domenica 29 novembre 2009

Le operazioni aritmetiche: addizione e sottrazione in N

Ragazzi,

è arrivato dunque il momento di cominciare a operare in N.  Dedicarci alle operazioni aritmetiche. Oh lo so, già sapete fare i calcoli, ci mancherebbe! (ehm … tutti tutti correttamente e con sicurezza? :-))

Occorre tuttavia  approfondire un po’ qualche concetto, e… come diciamo noi, acquisire consapevolezze!:-)

Operazione

Il termine è utilizzato in diversi contesti, in diversi campi: operazione chirurgica, operazione bancaria, operazione militare, … e operazioni aritmetiche!

In ogni caso il termine operazione indica l’atto di agire, intervenire su qualcosa, seguendo procedimenti ben precisi per arrivare a un risultato.

Ma cos'è un'operazione aritmetica?

Eseguiamo una piccola operazione:  2 + 3 = 5

Abbiamo operato su due numeri, 2 e 3, con un certo procedimento che ci ha permesso di arrivare a un terzo numero, il 5.

Il procedimento in questo caso è indicato dal simbolo +

Riflessione:

sareste capaci di spiegare il procedimento che dai termini 2 e 3 ci permette di ottenere il risultato 5?

E, no, non potete dire: basta aggiungere, sommare, addizionare a 2 il 3! Dovete spiegare come si aggiunge, si somma, si addiziona.

Immaginate di dover insegnare il procedimento a un vostro fratellino piccolo, che ancora non sa addizionare ma sa contare! Per eseguire l’addizione basta saper contare seppure sulle dita!

    Ecco, vi ho aiutato a spiegare il procedimento. Provateci!

Nell’esempio abbiamo usato i numeri 2 e 3, dati in un certo ordine: prima il 2 , dopo il 3.

Anche se verificheremo quando l’ordine è fondamentale e quando no, in generale consideriamo i termini di una operazione nell’ordine in cui vengono dati.

Due numeri dati in un certo ordine, li chiamiamo coppia ordinata di numeri.

Possiamo quindi dire meglio cosa intendiamo per operazione aritmetica.

L'operazione aritmetica è un procedimento che ci permette di associare a due numeri, dati in un certo ordine, un terzo numero che rispetti certe condizioni.

Allora osservate bene, come esempio, un nuovo modo di rappresentare ogni addizione di due addendi ad es. 2 + 3 = 5 :

coppia ordinata addiz

2 e 3 sono rispettivamente il primo e il secondo addendo dell’addizione (il simbolo dell’operazione è indicato sopra la freccetta)  5 è la somma.

Esercitatevi sul quaderno a rappresentare con coppie ordinate le addizioni:

1 + 5 = 6;    7 + 8 = 15;    12 + 4 = 16;    0 + 5 = 5;     6 + 4 = 10.

Ancora un piccolo esercizio

Al posto dei puntini mettete la somma dovuta:

addiz in coppie ord

Naturalmente, tale simbologia si estende a tutte le operazioni. Nel caso della sottrazione il segno sopra la freccetta sarà “-”, nel caso della moltiplicazione sarà “.” (un punto), nel caso della divisione, “:” Esercitatevi a piacere!

Oh, per il momento abbiamo già parlato troppo (faticoso leggere, eh? ma dovete abituarvi!). Andate dunque a scoprire qualcos’altro … su Geogebra!

Clic sull’immagine, ehi attenzione: dovrete lavorare con le coppie ordinate di numeri. Addizioni e sottrazioni! Le indicazioni sulla finestra dell’applet.

 

addiz sottraz N

Buone scoperte!

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L’insieme N dei numeri naturali

Scrivono Maria Chiara, Gabriele e Marcello:

Dopo le varie discussioni sugli  insiemi, ci siamo occupati di  un insieme  di tipo … numerico.  Si tratta dell’ insieme dei numeri naturali. I numeri naturali sono tutti i numeri positivi interi, cioè quei numeri che partono dallo zero e arrivano fino all’infinito; dunque non comprendono i numeri negativi né quelli decimali. 

Abbiamo scoperto le proprietà di questo insieme:
•    è un insieme
ordinato, perché prendendo due elementi qualsiasi, si può sempre stabilire qual è il maggiore e quale il minore; (l’unico numero che pur essendo naturale non è il successivo di un numero naturale è lo zero (0) )
•    è un insieme infinito, perché ha elementi infiniti.

Abbiamo parlato di come rappresentare graficamente nel modo migliore i numeri naturali. Il modo migliore per rappresentarli graficamente è con una semiretta. Perché non con una retta? Vi starete chiedendo perché: per il semplice motivo che i numeri naturali hanno un inizio (lo zero ), ma non hanno una fine, infatti si dice “infinito”.  E anche la semiretta ha un inizio ma non una fine.
Quindi, fissando una unità di misura, __  (questo trattino rappresenta 1, unità), associamo un  numero ad ogni punto di una semiretta.

    O__A__ B__ C__ D__ E__ F__ G__ H__ I__ L__ M__
     0     1        2      3       4       5      6       7        8       9      10

Ci siamo soffermati molto su due quesiti sui quali la professoressa ci ha fatto riflettere:
1)    ad ogni numero assegni un punto?  Cioè ogni numero naturale trova collocazione in un punto della semiretta? VERO

2)    Su ogni punto della semiretta cade un numero naturale? FALSO

perché tra un punto della semiretta dove cade un numero naturale e il suo successivo dove ancora cade un numero naturale, ci sono infiniti punti e non c’è un altro numero, o meglio c’è ma non è numero di tipo naturale ma di tipo decimale, es: 0,9999999….

La prof ci ha detto che nei tre anni della scuola media riempiremo la semiretta, anzi tutta una retta!

L’insieme dei numeri naturali viene indicato con la lettera maiuscola: N
e si può rappresentare, come tutti gli insiemi anche:
•    per elencazione o in forma tabulare: N= {0; 1; 2; 3; ...}
•    per caratteristica: N= {x|x è un numero naturale}
•    graficamente con il diagramma di Eulero-Venn
- fine  della lezione oooo almeno credo (dice M. Chiara!)

Gabriele e M. Chiara hanno anche realizzato in Excel la rappresentazione dei naturali sulla semiretta. Ecco le immagini

M.ChiarasemirettaMChiara

GabrielesemirettaGabriele  

Altri nostri post sull’argomento:

L'insieme N dei numeri naturali e la sua rappresentazione sulla semiretta  (si può scaricare il file Excel)
[Tutoriale]Come creare un grafico in Excel

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venerdì 27 novembre 2009

Linee, segmenti, coppie di segmenti

Ragazzi, I!

per chi riesce: tempo, connessioni e varie…

cominciate a vedere i due lavori seguenti.

Linea, linea retta e segmento. Clic sull’immagine, istruzioni sulla finestra applet:linee_segmentoCoppie di segmenti. Clic e istruzioni…coppiesegmenti

Link:

potete anche divertirvi da Maestra Renata, con un bel video,

 Robo Tino e le linee, imagee

Geometria: classificare le linee (già segnalato su questo blog… da ritrovare!:)

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giovedì 26 novembre 2009

Esercizionline_02_terza

Giovanotti, :-)

l’esercitazione che qui vi propongo non è una mia creazione, l’ho trovata, gentilmente condivisa da una collega, sul sito dove abbiamo la classe. [Appena abbiamo un po’ di materiali, condivideremo anche noi!]

Fa al caso nostro e perciò, esercitatevi! (clic sotto)

CERCHIO E CIRCONFERENZA

cerchicirconf

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mercoledì 25 novembre 2009

Le pale eoliche

Gabriele,

è andato con la sua squadra di calcio a giocare a …  dove, Gabri? :-) Mah, penso verso Porto Torres – Stintino.

Fatto sta che ha visto le pale eoliche, ne è stato colpito e ha deciso di disegnarle con Geogebra. Funzionanti eh?!

Clic sull’immagine, attivare l’animazione o muovere lo slider manualmente.lepale_eoliche

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martedì 24 novembre 2009

Esercizionline_03_prima

Ragazzi, I!

Ormai passwordmuniti  :-), seguite le indicazioni per l’esecuzione di un nuovo esercizio (lo so, non avete ancora fatto gli altri, non importa: cominciate con questo, ci tengo! – domani abbiamo aritmetica…) 

Quando invece vorrete scegliere gli esercizi dalla vostra pagina iniziale leggete le indicazioni date alla III!

Dopo aver cliccato sull’immagine sotto [Esercizio sull’insieme N dei numeri naturali. Cimentarsi!], scegliete il vostro nome dal menu a tendina, Student, immettete la password, OK. Procedete, clic su Start testing.

Una volta date le risposte, o anche una per una, avete la possibilità di cambiarle, cliccando sulla barra laterale destra, sulla doppia freccia, indietro, sopra la scritta Change Answer. Attenzione: se avete finito il test e volete cambiare delle risposte o rivedere, fatelo prima di cliccare su Finish.

Ora clic sull’immagine

I_es_onlineNaturali Per i lettori

qui si può eseguire il test

Buon divertimento :-)

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Esercizionline_01_terza

Ragazzi,

Ecco la vostra pagina iniziale. Avete ora le password, dopo aver cliccato sull’immagine sotto, scegliete il vostro nome dal menu a tendina, immettete la password, OK. Vi apparirà l’elenco degli esercizi (per ora è uno) da eseguire. Cliccate sul nome dell’esercizio (Test Name), in una nuova finestra potrete procedere, clic su Start testing.

Una volta date le risposte, o anche una per una, avete la possibilità di cambiarle, cliccando sulla barra laterale destra, sulla doppia freccia, indietro, sopra la scritta Change Answer. Attenzione: se avete finito il test e volete cambiare risposte o rivedere, fatelo prima di cliccare su Finish.

Ora clic sull’immagine

IIIPagInizioEonline

Per i lettori

si può accedere all’esercizio cliccando sull’immagine sotto EsonlineTriangpart buon divertimento!:-)

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lunedì 23 novembre 2009

Esercizionline_02_prima

Ragazzi,
ecco un esercizio di geometria. Chiamiamolo ancora test-allenamento: nessuna valutazione! Clic sull’immaginehttp://www.thatquiz.org/tq/practicetest?PAAK2025

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domenica 22 novembre 2009

Altra bella sorpresa…

Ragazzi (entrambe le classi!)

prima di ogni cosa, guardate QUI!

Come ho detto da maestra Renata, potevo mai privare voi di tale opportunità? :-)

Ho creato così anch’io le vostre “classi in rete”!  Avete la possibilità di eseguire vari esercizi on line, che via via preparerò per voi, e potrò poi controllare i risultati, che vedrò solo io, tranquilli! Fornirò a ciascuno di voi la propria password.

Cominciamo con la prima.

Clic sull’immagine: agendo sulla casella di selezione dovete scegliere il vostro nome e vi sarà chiesta la password. Che per ora non avete, dunque …  Per un esercizio di prova, cliccate QUI

http://www.thatquiz.org/tq/classpage?00bfebc147551d3

Classe I A - scuola secondaria 1° grado via kwout

Ditemi com’è andata! - Se non avete voglia di eseguire *tutte* le divisioni, e va bene …., suddividetevi il lavoro in due tappe! :-)

E …

ancora una volta un GRAZIE,  maestra Renata!

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Triangoli SI triangoli NO

Ragazzi,
Ispirata da un lavoro di maestra Renata, Costruzione di triangoli,
ho preparato una esercitazione su GeoGebra.
Utilizzando gli strumenti opportuni siete guidati a costruire dei triangoli. Data la misura dei lati, verificare SE la costruzione è possibile o no e individuare anche il perché.
Clic sulla figura (vedete solo una parte dell’esercizio), leggete con attenzione sul foglio di lavoro le indicazioni su come procedere. Al termine avrete un riscontro.  (continuate a leggere anche sotto questa immagine! :-)!CostruzTriangoli
Non abbiamo ancora visto le proprietà dei triangoli, vi invito tuttavia ad eseguire il lavoro proposto da maestra Renata. Fate clic sul link sopra, nulla vieta provare, io ho fiducia… Eppoi, maestra Renata vi fa trovare una sorpresa mooolto carina ….!
Grazie, maestra Renata!

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venerdì 20 novembre 2009

Cerchio_casa!

Gabriele,

riferendosi a questa chiacchierata…

ha realizzato la sua costruzione con GeoGebra.

Gabri, sfruttando la tua idea di muovere punto e segmento lasciando la traccia … sul foglio dinamico trovi una sorpresa: animazione attiva. Non devi muovere tu! :-)

Bene, ti (vi!) aiuto a scoprire come si fa . Cercate gli strumenti:

  • Slider
  • Ruota intorno a un punto di un angolo
  • Mostra/Nascondi oggetto

(traccia attiva già conoscete, clic destro sullo slider per Animazione attiva )

Ora clic sull’immaginecasa

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giovedì 19 novembre 2009

Il prodotto cartesiano

Nel nostra discussione sugli insiemi, al momento è un fuori programma …

ma Gabriele, che ha frugato sul file del prof. Popinga, dice di non aver compreso bene e ne vuol sapere di più.

Io dico wow! :-) Saranno curiosi anche gli altri? ?

Partiamo dall’osservazione.

Una tabella a doppia entrata:
prodCart1

Un grafico di Eulero-Venn:prodCart2

Un grafo ad albero:prodCart3

Secondo me avete già capito… 

ma parliamone!

Cominciamo con la tabella a doppia entrata (le conoscete: tabella Orario delle lezioni, tabelle delle operazioni, tabella del Pari e Dispari, tabella del V e F , dello 0 (zero) e dell’1 …).

In ogni situazione in cui si costruisce una tabella a doppia entrata si esegue un’operazione su due insiemi A e B, i cui elementi sono disposti rispettivamente nella colonna e nella riga che intestano la tabella.

Questa operazione si indica:  A x B (si legge A prodotto B) e si chiama prodotto cartesiano

E’ un po’ diversa dalle altre operazioni tra insiemi.

Gli elementi dell’insieme  A x Bnon sono singoli ma coppie ordinate.

Attenzione: ordinate. Le coppie ordinate hanno:

come primo elemento un elemento dell’insieme A

come secondo elemento un elemento dell’insieme B

Perciò il prodotto  A x B  è diverso da B x A: non vale la proprietà commutativa!

Se guardate ancora le immagini troverete tutte le coppie ordinate dell’insieme A x B: sono tutte le possibili coppie, ogni elemento del primo insieme (A) è associato con ciascuno degli elementi del secondo insieme (B)

Vediamo ancora un esempio:prodCart4

Il prodotto cartesiano prende il nome dal filosofo e matematico francese Cartesio, vissuto nel 1600.
René Descartes, il suo vero nome (italianizzato Cartesio) ebbe l'idea di un sistema di riferimento con il quale riuscì a unire il mondo dei numeri con quello delle figure geometriche.

E proprio il sistema di riferimento cartesiano è il più famoso esempio di prodotto cartesiano. Osservate:prodCart5

Tutti i punti (verdi) del piano sono individuati, quindi è ben fissata la loro posizione, da una coppia ordinata di numeri (x ∈A e y ∈ B)

Ehi, provate voi su GeoGebra! Visualizza Assi e Griglia e per i punti Visualizza Valore.

E ora potete anche esercitarvi con il file Operazioni con gli Insiemi del prof. Popinga! Che… a maggior ragione ora ringraziamo! :-)

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mercoledì 18 novembre 2009

Intersezione e Unione in Excel

Ragazzi,

vi ricordo il file Excel da scaricare per esercitarvi sulle operazioni di Intersezione e Unione tra insiemi. Ecco due immagini, leggete le indicazioni nei Commenti nella cella. Clic sulla prima immagine per scaricareintersez

unione

E abbiamo ancora un altro file Excel, un regalo del prof. Popinga: Operazioni con gli Insiemi.xls, che oltre alle operazioni di Intersezione e Unione contiene Differenza complementare e Differenza simmetrica, e prodotto cartesiano. Per scaricarlo clic QUI

Per voi ragazzi ho preparato una versione semplificata: ho solo nascosto le righe in più… e un foglio di lavoro. Ecco un’immagine, clic per scaricare questa versione.OP_INSIEMI_pop

grazie, prof. Popinga :) 

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Raggi!

O piccoli …

osservatehttp://www.matematita.it/materiale/?p=cat&sc=270,507&im=12535

bello, no? la natura è più bella … ! :-)

Sul blog abbiamo altre immagini per la matematica dal sito *Matematita*. Vi invito a cercarle, a visitare il sito e… certo, certo, dovremo visitarlo insieme. Dovremo!

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martedì 17 novembre 2009

Rotazione: ancora un “come si fa”

Avevamo visto

 Rotazione: individua il centro e...

Ci siamo accorti che occorre un rinforzo per un’altra operazione:

come costruire la figura (F’ ) corrispondente ad un figura (F ) in una rotazione, dati centro di rotazione, ampiezza e verso.

Su carta, sul quaderno, abbiamo visto, occorrono righello e goniometro.

Un filmato, su Geogebra, vi può aiutare a fissare la procedura da seguire.

Noterete che con il programma, non occorre tracciare il segmento che unisce ogni vertice della figura F con il centro di rotazione. Inoltre:

una volta costruito l’angolo (strumento Angolo di data misura), viene immediatamente evidenziato il punto corrispondente al dato vertice nella rotazione. Non resta che mostrare l’etichetta.

Nella costruzione manuale dobbiamo invece misurare la distanza vertice-centro_rotazione e riportarla sulla semiretta che costituisce il secondo lato dell’angolo (anche mediante arco di circonferenza di centro O…)

Nel filmato ho utilizzato uno slider “angolo” per avere l’opportunità di variare l’ampiezza della rotazione.  Esercitandovi con Geogebra, potete anche muovere il centro di rotazione… Clic sull’immagineruoto intorno a un punto

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Per la prima: le analogie di struttura

Ragazzi (dico per la classe prima ma mica è male se rivedono i più grandi…!)

a proposito delle tabelle simili per … struttura, vero?

Andate a vedere QUESTO (abbiamo visto intersezione di insiemi e congiunzione logica "e" o "et" latino, oppure AND, simbolo)

e poi

QUESTO

Trovate al primo link un bel file Excel da scaricare! (Per ora non preoccupatevi delle formule, ne parliamo insieme…)

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sabato 14 novembre 2009

La forma rotonda!

Con ampia discussione abbiamo sviluppato in classe la nostra storiella!

L’uomo esce dalle caverne, l’uomo si ingegna a costruire, l’uomo inventa la ruota perché gli serve per trasportare carichi… (i ragazzi scriveranno [spero!] la loro cronaca), l’uomo costruisce delle capanne a forma rotonda.

E giù le ipotesi su come ha fatto a tracciare i confini delle primitive abitazioni: “qui ci sarà la mia capanna!”.

Simulazioni del moderno compasso, un palo conficcato in un punto del terreno, una corda tesa o un cavetto, un animale legato ad essa da far muovere attorno, il bastone che deve lasciare la traccia…

E ora, ragazzi, riproducete le situazioni con GeoGebra!

Sotto, la scheda di lavoro per costruire la circonferenza. Potete, lo abbiamo detto, lavorare on line.

Dovete avere Java sul vostro computer. Se non lo avete potete scaricarlo QUI.

Inoltre, per chi ancora non l’ha fatto, scaricate il software di GeoGebra:
a QUESTA PAGINA
Installazione della versione WebStart: QUI.
Installazione dell'ultima versione (Pre-Release) in linea: QUI.

Fate clic sulla figura per aprire l’applet. Come potete vedere, trovate le istruzioni. Buon divertimento! (leggete anche sotto l’immagine però!)scheda_costruz_circonf

Ancora una volta vi raccomando:

se la vostra connessione va, se avete il tempo, andate a visitare  la pagina di Maestra Renata.  Cominciate da QUI.

PS (OT per chi legge …): dimenticavo, ragazzi: ecco il link per l’intersezione di insiemi!

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Carnevale della Matematica_19

E’ uscito oggi il

Raga, ho portato anche voi! :-)

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venerdì 13 novembre 2009

La storia di una grotta.

Ragazzi (della classe prima)

ecco la nuova storiella promessa…

Osservate:pittura Altamira

L'immagine che vedete è la riproduzione di una pittura trovata in una grotta della Spagna settentrionale, vicino a Santander, nella caverna di Altamira.

La zona rossa dell’immagine image
Sapete di che epoca è il disegno? È di 15 o 20 mila anni fa!
In molte zone, soprattutto della Spagna e della Francia, si sono scoperte e si continuano a scoprire delle grotte, delle caverne, che risalgono ad epoche preistoriche, e spesso sul soffitto e sulle pareti sono apparse delle pitture, miracolosamente conservate dopo tanti secoli.

La caverna di Altamira, famosa in tutto il mondo, è la prima ad essere stata scoperta, ed io ve ne voglio raccontare la storia e, prima di tutto, la storia di come fu scoperta.

Nel 1868 un cacciatore, accompagnato dal suo cane, si aggirava per le boscaglie di quella regione, quando vide il cane, lanciato all'inseguimento di una volpe, sparire in un fitto cespuglio e non tornare più indietro. Impressionato, si fece largo nella macchia e udì, a un certo punto, dei flebili latrati: venivano da giù, come dal fondo della terra; egli riuscì a individuare il punto e si accorse che il cane era scivolato, fra pietra e pietra, in un profondo fossato. Riuscì a penetrarci lui stesso e si trovò cosi in un'immensa caverna.

Ritornato su, dopo aver tratto in salvo il cane (lo so che stavate più in pensiero per l'animale che per il suo padrone!), raccontò in tutti i paesi vicini la sua straordinaria avventura, ma nessuno ci fece troppo caso: quella regione della Spagna è piena di fossi, di crepacci scavati nella pietra.

Fu solo qualche anno dopo che la caverna venne visitata più volte da un appassionato di studi storici, Marcellino di Sautuola; in una di queste esplorazioni, nell'estate del 1879, aveva condotto con sé la sua bambina di 12 anni.

Mentre egli era intento a fare degli scavi nel suolo, la bimba che aveva alzato gli occhi al soffitto, gridò: «Guarda, babbo, ci sono dei tori dipinti!».

Con questa frase si apre l'epoca dello studio delle pitture preistoriche: è una bimba di 12 anni, Maria di Sautuola, che ha, senza saperlo, dato inizio a una delle più interessanti ricerche!

Nella caverna di Altamira, la più grande finora scoperta, vivevano un tempo, 10-20 mila anni fa, delle tribù, per ripararsi dai rigori dell'inverno; perché non si trattava di un inverno relativamente mite, come vi è oggi in quella regione, ma di mesi gelidi, fra le nevi eterne: si era allora nell'epoca glaciale.

E gli uomini, che non sapevano ancora costruire delle abitazioni resistenti, si raccoglievano in questi antri naturali e si distribuivano i lavori a seconda delle loro attitudini e degli ordini del loro capo. In questa società di uomini delle caverne - i cosiddetti trogloditi - c'era anche chi si dedicava alla pittura.

E, non potevano che dipingere qualcosa della vita di ogni giorno, della loro vita. Dovevano lottare contro degli animali selvaggi, dei bisonti, dei cinghiali… ed ecco che nelle loro pitture si ritrovano proprio i bisonti, i cinghiali… che corrono impauriti perché cacciati dall’uomo.

Si tratta dell'epoca più lontana in cui si ritrovano segni di una civiltà già evoluta: è l'epoca paleolitica, cioè l'epoca della pietra antica (dal greco palaios, "antico", e  lithos, "pietra"), della pietra scheggiata, non lavorata.

Ho voluto parlarvi di tutto questo che sembra tanto lontano dalla matematica per farvi capire che non è stato certamente il disegno geometrico a segnare l'inizio dell'arte pittorica. Prima è nato il disegno spontaneo, quello che riproduce ciò che si vede e che si sente: la vita d'ogni giorno. E l'uomo primitivo non aveva davanti agli occhi né triangoli, né quadrati, e nemmeno cerchi; non li ha avuti davanti agli occhi fino a quando non ha avuto bisogno di costruirli.

da La Matematica/La Geometria - Emma Castelnuovo

Ora una riflessione: pensate ai vostri primi disegni da bambini, alla scuola materna, durante i primi anni alla scuola elementare … béh, ancora oggi, in un disegno “a mano libera”!

Con le vostre immagini cosa rappresentavate?

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mercoledì 11 novembre 2009

Il lampione

Ho proposto ai ragazzi una prova descritta nel

Quadro di riferimento della matematica - Valutazione dei quindicenni” - OCSE-PISA 2003.

Esempio 1 - IL LAMPIONE
Il consiglio comunale ha deciso di mettere un lampione in un piccolo parco
triangolare in modo che l’intero parco sia illuminato. Dove dovrebbe essere
collocato il lampione?

Ecco una delle relazioni dei ragazzi (tutti hanno partecipato all’attività, hanno verbalizzato in molti, NON tutti!):

Oggi la prof ci ha proposto un problema che possiamo trovare anche nella vita quotidiana per farci capire la scuola è vita e che quello che facciamo a scuola non è inutile o fatto a caso.
Il problema è questo:

- un Comune deve collocare un lampione in una piazza a forma triangolare in modo che illumini tutte le parti della piazza nello stesso modo. Dove deve essere collocato il lampione?

La piazza non è “un triangolo equilatero” ma ha la forma di un triangolo qualsiasi.
La prima ipotesi è stata quella di mettere il lampione al centro della piazza e quindi la prof ci ha chiesto di trovare il centro della piazza.

Abbiamo disegnato un triangolo, Giammario ha detto che tracciando le bisettrici … (cioè dividere gli angoli in due parti uguali e segnare il punto d’intersezione)  ma Sara ha detto subito [“ma” io ho notato Gimmi ricredersi prima ancora che Sara intervenisse eh!] che il punto d’incontro delle bisettrici cioè l’incentro, è diversamente distante dagli angoli (o meglio dai vertici del triangolo).

La seconda ipotesi è stata quindi quella di tracciare gli assi di un triangolo e poi segnare il punto d’incontro cioè il circocentro. Il centro del triangolo è il circocentro, cioè  il  centro della circonferenza circoscritta. Il circocentro è equidistante dai vertici.

Ecco la costruzione con GeoGebra (In classe abbiamo lavorato alla lavagna, Anna Laura ha realizzato il geogebra. Clic per aprire l’applet)circocentro

Ma costruendo un triangolo qualsiasi, cioè anche ottusangolo, il lampione risulta fuori dalla piazza. Oppure se il triangolo è rettangolo, come ha ricordato Giammario e anche Giovanni Andrea, il lampione risulta nel punto medio dell’ipotenusa. In tutti i casi però è equidistante da ogni vertice del triangolo.

Il lampione essendo fuori dalla piazza, nella vita reale causerebbe dei problemi perché magari nel punto dove dovrebbe essere collocato c’è una strada o delle case o degli alberi, quindi anche trovando il centro perfetto si dovrebbe tener conto di tutti questi aspetti.

Con questa attività abbiamo capito meglio e ripassato tante proprietà. La prof ci ha citato alla fine della lezione una frase di Dante: “non può esistere un triangolo inscritto in un semicerchio che non sia rettangolo.”

Anna Laura non dice che la prof era soddisfatta della classe perché (in tanti) hanno saputo “utilizzare informazioni precedentemente acquisite”. Mica succede sempre! :-)

Link

Invalsi

Matematicamente

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martedì 10 novembre 2009

I conigli di Fibonacci

E chi li ferma più

i piccini di prima, con le avventure di Fibonacci? :-)

Maria Chiara ci parla del problema dei conigli.

Durante una  gara di matematica Fibonacci risolse in pochissimo tempo un problema  utilizzando la sua famosa successione.

Il testo del problema era così:

 C’è una coppia di conigli che si riproduce ogni mese. Ogni nuova coppia si riproduce a sua volta ogni mese , ma a partire dal secondo mese di vita. La prima coppia genera dopo il primo mese.

Quante coppie di  conigli si avranno in un anno?
Ecco come ragionò Fibonacci
I mese:  A = la prima coppia di conigli  ---> 1 coppia
II mese: A B  = la prima coppia ha generato ---> 2 coppie
III mese: A B C = C, coppia generata sempre dalla prima coppia ---> 3 coppie
IV mese: A B C D B1 = D generata dalla coppia A, B1 dalla coppia B ---> 5 coppie
V mese: A B C D B1 C1 E B2 =  3 coppie in più: C1 dalla coppia C, E dalla coppia A, B2 dalla coppia B ---> 8 coppie
VI mese:
A B C D B1 C1 E B2 F B3 C2 B4 D1 = 5 coppie in più: F dalla coppia A, B3 dalla coppia B, C2 dalla coppia C, B4 dalla coppia B1, D1 dalla coppia D ---> 13 coppie
E così via…..

Possiamo concludere che basta considerare per ogni mese il numero di coppie del mese precedente più una coppia di figli per tutte le coppie presenti due mesi prima.

Ecco l’immagine creata da Maria Chiara, per i primi 4 mesiconigli

Aggiorno anche questo post con il commento del nostro amico prof. Popinga, bravissimo compositore di limerick! [ragazzi, sono delle brevi poesie con una precisa metrica, lo schema è: AABBA. Lo schema delle rime lo avete visto con la prof di italiano… ] Leggete, copiate il limerick e proponetelo all’insegnante di Italiano!

Una delle domande che mi assillano la mente
è come i conigli aumentino tanto velocemente:
il numero di coppie, fatto strano,
aumenta come la serie di Leonardo Pisano.
Non conoscono sottrazione o quoziente.

(che gente!)

grazie prof. Popinga!

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Questo per la III: “o se del mezzo cerchio…”

Ecco, ragazzi

il verso di Dante di cui stamane …

“o se del mezzo cerchio far si pote
triangol sì ch'un retto non avesse.”

PARADISO – canto XIII - Versi 101, 102

si capisce perfettamente, vero?

Traduco tuttavia:

o se nel semicerchio si possa inscrivere un triangolo non rettangolo

In altre parole:

se un triangolo è inscritto in una semicirconferenza, allora necessariamente quel triangolo è rettangolo cioè ha un angolo retto.

Per completare solo un poco.

Nel canto si si sta discutendo il problema: c’è contraddizione tra la sapienza perfetta di Adamo e di Cristo, e la sapienza di Salomone?
San Tommaso parla a Dante della sapienza del re Salomone: Salomone non chiese per sé la sapienza per risolvere problemi di teologia (v. 97) o di dialettica (v. 99) o di filosofia naturale (v. 100) o di geometria (v. 101 il “nostro”) ma per riuscire a ben governare.

Badate che sul blog abbiamo anche qualche altra cosetta su Dante e la matematica:

Leggete QUI

 e, mi raccomando,

QUI !

E poi tornate alla geometria,

QUI  e  QUI

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lunedì 9 novembre 2009

Ancora per la “prima”: sullo Zero!

o voi,

che ormai lo chiamate Zephirum e Sunya … che forti siete! :-)

avete letto QUI?

dovete, vi interrogo! eheheh ...  cattivissima :-) :-)

Scherzo naturalmente, ma: c’è una simpatica poesia e troverete la risposta a:

da dove deriva il simbolo grafico "O"?  [pare che…]

Per piacere, provate a rispondere qui sotto:

Mi piace portare in evidenza il commento di Peppe, un nuovo nostro amico. Ci regala una poesia di Trilussa, sullo zero  … molto significativa!

NUMMERI
- Conterò poco, è vero:
- diceva l'Uno ar Zero
- ma tu che vali?
Gnente: propio gnente.
Sia ne l'azzione come ner pensiero
rimani un coso voto e inconcrudente.
lo, invece, se me metto a capofila
de cinque zeri tale e quale a te,
lo sai quanto divento? Centomila.
È questione de nummeri. A un dipresso
è quello che succede ar dittatore
che cresce de potenza e de valore
più so' li zeri che je vanno appresso.

Trilussa (1944)

grazie Peppe.

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sabato 7 novembre 2009

Per la I A … sugli insiemi

Ragazzi,

ora potete andare a vedere la presentazione che cercavamo stamane. CLIC !

Sul sito che vi segnalo qui sotto invece potete trovare teoria ed esercizi (anche con soluzioni!). Trovate il pulsante per scorrere le pagine, scegliete solo ciò che vi interessa! :-) Clic sull’immagine

Se avete difficoltà scrivete. Ci sono qua io ! :-)

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venerdì 6 novembre 2009

La nostra soluzione del problema del quarto di cerchio

Il problema era questo

E’ stata davvero un’interessante attività.

Ha richiesto diversi incoraggiamenti è vero (ma in questo sta il vero interesse!). Tra un’ipotesi esatta e una errata … siamo giunti a una conclusione.

Riportiamo la figura. Si tratta di riconoscere che la porzione rossa e quella blu della figura hanno la stessa area.quartodicerchio Il settore circolare AOB è equivalente a  $\frac{ 1 }{ 4} $ del cerchio c.
I due semicerchi gialli sono equivalenti ciascuno a  $\frac{ 1 }{8 }$ del cerchio c:  presi assieme formano un cerchio che equivale a $\frac{ 1 }{ 4}$ del cerchio c. Questo perché  il raggio del cerchio giallo è pari alla metà del raggio del cerchio c.
Dunque il cerchio giallo e il settore circolare rosso sono equivalenti.
Ma non congruenti perché hanno diversa forma.
Nei due semicerchi gialli sono costruiti due rispettivi segmenti circolari (le parti blu). Questi, disponendo il cerchio giallo all'interno del settore rosso, sono equivalenti ai segmenti circolari gialli che restano fuori dal settore rosso. (come si potrà visualizzare nell’applet geogebra… vedi sotto)
I due segmenti circolari blu sono quindi equivalenti alla porzione rossa di settore, che resta visibile.

Abbiamo realizzato tutti insieme, per ora in maniera semplificata, la dimostrazione con geogebra.

Io avevo anticipato la costruzione un po’ più elaborata (vista dai ragazzi naturalmente solo dopo le attività). Clic sull’immagine per aprire l’applet. quartodicerchio2

Ancora un GRAZIE dunque al prof. Daniele: con questa attività abbiamo imparato molto! Sul suo blog abbiamo lasciato il nostro commento.

Ps: devo un GRAZIE  anche alla mia amica Renata per un suggerimento nella costruzione dell’animazione :-)

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Per la serie … di Fibonacci!

Le scoperte continuano…

Visto che Letizia ha curato (troppo) la formattazione… :-), inserisco l’immagine della sua relazione:LetiziaLetizia2 E Maria Chiara, Letizia e Gabriele hanno lavorato con Excel. Ecco l’immagine di uno dei lavori:tabellaFib

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giovedì 5 novembre 2009

Le magiche pigne ovvero I numeri e la natura.

Così hanno intitolato le loro relazioni Gabriele e Marina…

Gabriele scrive:

Le magiche pigne.

Oggi il giorno 04-11-2009 a scuola abbiamo fatto un'attività interessante con le pigne: abbiamo preso delle pigne e abbiamo dipinto le brattee che sono disposte a spirale salendo dalla “coda” alla punta.

Alcune delle nostre pigne avevano 5 spirali in senso orario e 5 in senso antiorario, altre ne avevano 8 in senso orario e in senso antiorario, qualche pigna ne aveva 13.

Quindi contando le spirali si nota che il loro numero corrisponde ad un numero della “serie di Fibonacci”.

La serie dei numeri di Fibonacci l'avevamo scoperta già una lezione prima. Era quasi finita l'ora e avevamo lavorato alla correzione della verifica scritta ...

La prof ha scritto alla lavagna una serie di numeri in fila:
1 1 2 3 5 8 13 21 ….

Ci ha chiesto di indovinare cosa ci stava dietro a questa serie, cioè come si formava la successione. Chi aveva capito poteva continuare la serie.
Intanto passava fra i banchi e guardava i quaderni.

Molti di noi, prima ancora di dirlo a voce alta, avevano capito e continuato a scrivere altri numeri della serie.

Abbiamo scoperto che: ogni numero della serie si ottiene sommando i due numeri che lo precedono: 5 = 3 + 2; 8 = 5 + 3; ecc

Fibonacci:

questo studioso in realtà si chiamava Leonardo Pisano ma lo hanno chiamato Fibonacci perché il padre si chiamava Guglielmo dei Bonacci e Fibonacci vuol dire filius Bonacii cioè figlio di Bonacci. Nacque a Pisa nel 1170 e morì a Pisa nel 1250, scrisse nel 1202 il Liber Abaci dopo aver trascorso con il padre un lungo periodo in Algeria dove studiò con alcuni importanti matematici arabi il nuovo sistema di numerazione.

queste non sono le nostre!

Marina scrive:

I numeri e la natura.

Oggi a scuola abbiamo fatto un laboratorio matematico.

Abbiamo portato due pigne e 2 pennarelli ciascuno. Le pigne sono state colorate a spirale. Man mano che le coloravamo annotavamo sul foglio il numero di spirali in senso orario e il numero in senso antiorario.

Poi la prof. ha mandato uno di noi alla lavagna per trascrivere tutti i risultati.

Guardando i numeri di spirali che avevamo colorato, Gabriele si è accorto che in mezzo a quei numeri c’era lo zampino di Fibonacci.

Cioè erano numeri della successione es. 1  1  2  3  5  8  13  21  34  55  89  144  ecc …

Un po’ dopo la prof ha preso un libro e ci ha mostrato altre foto che dimostravano che nella natura esiste la matematica!

ps: anche gli altri (quasi tutti) hanno scritto le relazioni e cercato notizie sul Fibonacci. Hanno scritto solo sul quaderno e… :-) ; altri devono completare inserendo i nostri ampliamenti.

[Aggiornamento] Ecco le nostre pigne:

Foto0562ho cercato di mettere in qualcuna il numero di spirali, non sono troppo chiare! 

Foto0564

Foto0566

Link sul blog:

Quando il girasole si volge al suo Signore
I numeri di Fibonacci e la formula di Binet
Curiosità e fascino della successione di Fibonacci_2
Curiosità e fascino della successione di Fibonacci

Magica matematica

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mercoledì 4 novembre 2009

Sui cerchi e dintorni ...

Ecco il bel problemino “intorno al cerchio…” promesso all’amico Popinga! :-)

Letto in questi giorni nel nuovo Pi greco quadro del prof. Daniele Gouthier.  Caldamente raccomando la lettura del blog. In particolare ai colleghi docenti e agli studenti!

http://www.danielegouthier.it/pigrecoquadro/un-classico-problema.html

Pi greco quadro » Archives » Un classico problema via kwout

Noi dobbiamo ancora discutere in classe il problema, andremo poi a commentare dal prof. Daniele.

Grazie, prof. Daniele! :-)

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martedì 3 novembre 2009

Relazione tra raggio e area del cerchio

Ragazzi,

va bene, va bene, la relazione tra lato e area del quadrato era troppo facile …

Quindi anche quella tra il raggio di un cerchio e la sua area non presenta segreti!

Per pura formalità vi propongo ugualmente il geogebra per osservare ... Clic:areaC

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lunedì 2 novembre 2009

Relazione tra lato e area del quadrato

Ragazzi,

nell’attesa di approfondire il discorso sulle figure simili e anche sulle funzioni matematiche

studiamo con geogebra come varia l’area di un quadrato al variare del lato. Clic sulla figura per aprire l’applet interattivo.Osservate attentamente e rispondete alla domanda…  areaQ2

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