Problemi risolti. Triangoli, trapezi

Ancora qualche problema

da noi risolto.

Sui triangoli: area, somma e rapporto tra grandezze, altezze di un triangolo ...

Con la LIM (utile per la corretta costruzione delle figure):

Con GeoGebra, sul trapezio: area, somma e rapporto tra segmenti

clic sulle immagini per eventualmente ingrandire

Problemi con frazioni: prodotto di numeri uno frazione dell'altro

Ragazzi,
abbiamo spesso incontrato nella risoluzione dei problemi geometrici la somma o differenza di numeri uno frazione dell'altro. ("numeri" che in geometria sono *misure di grandezze*. Fate clic e andate a rivedere se è il caso)
Meno frequentemente e con qualche evidente difficoltà, abbiamo incontrato la situazione:
conosco il prodotto di due numeri, uno frazione dell'altro. Quali sono i due numeri?
In geometria il problema si è presentato nella forma:
L'area di un rettangolo è di ... cm². Le due dimensioni sono l'una i ... (frazione) dell'altra. Quanto misurano le due dimensioni?
(Naturalmente questo è il problema nel suo "cuore". Lo abbiamo visto: potete avere il rettangolo equivalente ad altra figura, conoscere o dover calcolare l'area di quest'ultima, e la richiesta può essere il perimetro del rettangolo. Il *problema* consiste comunque nel trovare la misura delle due dimensioni).
Ho deciso dunque, affinché possiate ricontrollare ... che so, durante le vacanze, quando dedicherete qualche ora alle esercitazioni nella risoluzione di problemi, di riportare qui il facile ragionamento da seguire.
Consideriamo un esempio concreto:
Un rettangolo ha l'area di 810 cm². Una dimensione è pari ai 2/5 dell'altra. Qual è la loro misura?
L'area del rettangolo, sappiamo, è il prodotto delle due dimensioni, b e h. Ecco perché il problema rientra nel "tipo": prodotto di numeri, uno frazione dell'altro...
In questo caso, poiché conosco l'area (della superficie) del rettangolo, devo lavorare in primo luogo sull'interno della figura, servendomi dell'indicazione: dimensione una i 2/5 dell'altra.
Ipotizzo la base i 2/5 dell'altezza, b = 2/5 h (o, volendo: h=2/5 di b)
Lavoro sull'interno della figura con questa costruzione:

Mi accorgo che l'area del rettangolo risulta suddivisa in ... parti uguali, che sono dei quadrati.
Sì, in 10 parti uguali (giusto il prodotto 2*5!)
Ma se queste parti sono dei quadrati, che si può fare?
Ehi, lavoriamo sulle "aree", dunque?
Mah! Se conoscessi la misura dell'area di ciascun quadrat(ino)... potrei calcolare il suo lato.
E avrei la misura di ogni.... quinto!
Su dunque, con il nostro esempio!
Aquadr = Arettang /10 = 810/10 = 81 cm²
l quadr = √Aquadr = √81 = 9 cm
9 cm è dunque la misura di 1/5 dell'altezza
Per cui, la base è pari a 2/5:
b = 9 * 2 = 18 cm
l'altezza è pari a 5/5:
h = 9 * 5 = 45 cm
Problema risolto!
Volendo riunire in unica formula il calcolo della misura delle due dimensioni:

...buone esercitazioni eh!

Problemi con frazioni: somma o differenza tra numeri uno frazione dell'altro

Copio-incollo dal file di Gian Mario (gimmi forte!)...

Oggi (riferito a giovedì 27-11), dopo aver finito il compito in classe la prof, per non farci riposare troppo (ops, schiavista d'una prof!:-)), ha dato a me e Anna Laura delle "piccole aggiunte" che consistevano in problemi nuovi, che dovevano essere svolti inventandoci noi il metodo, perché non li avevamo ancora studiati.
Mi son chiesto: ce la farò? Posso rifiutarmi? Povero me! Ma ci voglio provare!!!!!
Il primo problema riguardava le
somme di numeri, uno è frazione dell'altro: trovare i due numeri

Trovare due numeri la cui somma è 63 e uno è i 4/5 dell'altro. Io e Anna Laura ce la siamo cavata facendo un procedimento ben preciso.
Guardate:
la somma di due numeri è 63. Un addendo equivale a 4/5 dell'altro, quindi l’altro è 5/5.
Siccome avevo la somma, ho sommato anche le frazioni che corrispondevano ai numeri.
Quindi 9/5 = 63. E ho calcolato il valore di 1/5 che è uguale a 7.
Per trovare il valore dei due addendi, moltiplico il 7 cioè 1/5 per i due numeratori 4 e 5.
Questo perché un numero è 4/5, l'altro 5/5:
7 x 4 = 28 = 4/5
7 x 5 = 35 = 5/5
Dopo aver ottenuto i due numeri li sommo per verificare che il risultato è proprio 63:
35+28=63

Il 2° problema riguardava
la differenza: trovare due numeri conoscendo la loro differenza e uno frazione dell'altro.

Trovare due numeri la cui differenza è 25 e uno è 7/2 dell'altro.
La differenza dei due numeri è 25.
Il minuendo è uguale a 7/2 e il sottraendo a 2/2.
Anche qui, siccome avevo la loro differenza ho sottratto anche le frazioni.
Quindi 25 = 5/2 e ho calcolato il valore di 1/2:
25 : 5 = 5 = ½
Per ricavare il valore del minuendo:
5 x 7 = 35 = 7/2
e del sottraendo:
5 x 2 = 10 = 2/2
Per verificare, eseguo la sottrazione fra i due numeri: la differenza è 25.
35 – 10 = 25
Gimmi (e Anna Laura), bravo/i!
Eh eh...ma come, "rifiutarti"? Vedi com'è facile "farcela"! :-))

Parliamo di frazioni...

In seconda parliamo di frazioni... in vista di un ampliamento dell'insieme N.
Hanno scritto Gimmi, Saverio, Laura, Maria. Altri devono ancora consegnare!
AnnaLaura ci dice...

Conoscevamo già dalle elementari le frazioni ma stiamo scoprendo delle altre cose...
La professoressa ci ha dato da risolvere dei piccoli problemi.
Abbiamo cominciato con un problema che diceva:
una maestra regala a Giovanni, Giuseppe e Maria un nastro della stessa lunghezza. I tre ragazzi decidono di dividere il nastro con i loro fratelli, Giovanni ha 1 sorella, Giuseppe lo divide con i suoi 2 fratelli, e Maria con i suoi 3 fratelli. I nastri erano uguali, ma a chi spetta la parte maggiore di nastro?
Abbiamo fatto uno schema come ci ha consigliato la prof, e abbiamo notato che Giovanni prendeva la parte più lunga di nastro, questo perché divideva il nastro con una sola persona.
La prof ci ha detto di indicare la parte che spettava ad ogni ragazzo in modo "matematico", allora abbiamo scritto che Giovanni prendeva la metà, Giuseppe un terzo e Maria un quarto.
Ma la prof ci ha detto che così era in italiano e non in matematico. Quindi finalmente abbiamo scritto le frazioni! Lo schema completo è questo:

Qualcuno di noi aveva difficoltà a dividere in parti uguali i nastri, lo abbiamo aiutato chiedendoci quale fosse il numero di quadretti più adatto per disegnare il nastro intero. Così abbiamo ripassato anche i multipli (e i divisori). La prof ci ha detto: abbiamo utilizzato ciò che sapevamo!
Con un altro problema abbiamo parlato di frazioni equivalenti.
Questo però è successo per caso, il problema era:
Giulia ha 1 tavoletta di cioccolato e la mamma le dice di dividerla a metà con suo fratello. Giulia mangia ¾ di una tavoletta e il resto lo da al fratellino, e il fratellino strilla. Perché il fratellino strilla?
Come sempre prima ci siamo fatti uno schema, uno schema per rappresentare come avrebbe dovuto fare secondo quello che le aveva detto la mamma e un altro per rappresentare quello che invece aveva fatto.

Dai due schemi abbiamo notato che il fratellino strilla perché la sorella ha mangiato più cioccolata e di conseguenza ne ha lasciato di meno al fratellino.
Adesso vi spiego perché da questo problema abbiamo parlato delle frazioni equivalenti.
Alcuni di noi per rappresentare la metà nel primo schema hanno scritto 2/4, altri 1/2.
Si poteva scrivere in entrambi i modi perché 2/4 e 1/2 significano la stessa cosa, infatti sono frazioni equivalenti cioè dello stesso valore.
Abbiamo discusso su come ottenere frazioni equivalenti: 1/2 diventa 2/4 se sia il denominatore che il denominatore vengono moltiplicati per uno stesso numero e il valore della frazione non cambia.
Questa regola non è altro che la proprietà invariantiva della divisione (moltiplicando o dividendo sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero il risultato non cambia).
La frazione è quindi una divisione! Infatti ci siamo ricordati che la linea di frazione vuol dire diviso. Poi il numeratore è il numero che sta su e il denominatore è quello che sta sotto, i termini della frazione ce li ricordavamo dalle elementari quindi non c’è stato bisogno di spiegarceli. Ma, dobbiamo ancora precisare meglio....
La professoressa ci ha chiesto: - quante sono le frazioni equivalenti alla frazione 1/2?
Ci abbiamo pensato un pochino e poi abbiamo detto che ne esistono infinite. Infatti possiamo moltiplicare in numeratore e il denominatore per infiniti numeri. (Qualcuno ha detto perché i multipli di un numero sono infiniti).
Sulle frazioni equivalenti dobbiamo però ritornare...

Abbiamo fatto ancora un altro problema:
Simone ama la musica rock, ha 57 dischi, 2/3 dei quali sono di musica rock. Quanti sono i dischi rock di Simone?
Abbiamo diviso 57 (il numero totale dei cd) per 3 e abbiamo trovato 1/3, cioè 19 cd.
Siccome ne dovevamo trovare 2/3 abbiamo moltiplicato per 2, 19 * 2= 38 , il numero dei dischi rock di Simone.
Da questo problema abbiamo capito che trovare una frazione (una parte) di una quantità, per es. il numero dei CD, è la stessa cosa che trovare una frazione di una grandezza, per esempio la tavoletta di cioccolato oppure la lunghezza del nastro.
Questo lo abbiamo spiegato in vari modi ad es. prendendo dapprima un foglio, calcolando i suoi 2/3, poi misurando la larghezza del foglio e calcolando la larghezza dei suoi 2/3, ecc...
Poi abbiamo scoperto il linguaggio specifico: la frazione è un operatore. Operatore perché lo usiamo per operare: dividiamo l'intero per quante volte ci dice il denominatore e moltiplichiamo la parte trovata per quante volte ci dice il numeratore.
Quindi: il denominatore di una frazione è il termine che indica in quante parti l'intero è stato suddiviso, il numeratore indica quante parti se ne considerano. Allora, usando il linguaggio specifico: operare su una grandezza equivale a operare sulla sua misura.
Abbiamo precisato che la frazione operatore finora usata, si chiama operatore diretto perché conosciamo l’intero e devo trovare una sua parte. Diretto perché ci viene più spontaneo dividere in parti uguali un intero e considerarne una certa quantità (di queste parti).
Abbiamo inoltre precisato che le frazioni del tipo: 1/ x (x = un qualunque numero intero) si chiamano unità frazionarie (il termine "unità" non ci veniva ma ci siamo arrivati...!). Perché si considera una sola delle parti in cui l'intero è stato frazionato.

A proposito di unità frazionarie, interrompo qui il "racconto" di Anna Laura sulle attività svolte, per mostrarvi il lavoro che Anna Laura ha fatto, da sola, senza che in classe se ne fosse parlato.
Con Excel ha rappresentato come varia il valore delle unità frazionarie al crescere del denominatore.

"Vediamo che al crescere del denominatore il valore diminuisce"
In cella C2 ha immesso la formula: =A2/B2
che poi ha copiato nelle celle sottostanti. Ha creato quindi il grafico.
Devo dire: bravissima Anna Laura!

Problemi con le frazioni

Nella risoluzione dei problemi con frazioni
possiamo riconoscere:

• l'operatore diretto.

Es.: devo calcolare i 2/3 di 18 unità. L'intero è conosciuto (18u), si chiede una sua frazione:
18 : 3 = 6u che rappresentano il valore di 1/3,
6u * 2 = 12u, che rappresentano i 2/3 cercati

• l'operatore inverso

Es.: i 3/4 di un percorso equivalgono a 27 km, Quanto è lungo il percorso?
L'intero è sconosciuto, ma so che sotto forma di frazione è 4/4. Ne conosco una sua frazione (i 3/4):
27 : 3 = 9 km che rappresentano il valore di 1/4
9 km *4 = 36 km, che rappresentano 4/4, cioè l'intero sconosciuto (intero percorso).

• posso utilizzare il concetto di rapporto

Es. Di un rettangolo so che la somma della base e dell’altezza è di 25 cm. La base è 2/3 dell’altezza. Quanto misura la base? Quanto l’altezza?

DATI
b + h = 25cm
b = 2/3 di h
RICHIESTE
? b = 10 cm
? h = 15 cm

Innanzi tutto noto che il rapporto che c’è tra la base e l’altezza è di 2:3.
quindi ho:
3 + 2 = 5 parti uguali

So che le 5 parti misurano 25 cm (somma base + altezza)
Così i 25 cm li divido per 5 parti
25 : 5 = 5 cm è la misura di ciascuna parte

5 * 3 = 15 cm = h perché l'h è costituita da 3 parti
5 * 2 = 10 cm = b perché la base è costituita da 2 parti

Alessandra II A

Risolvo in un altro modo il problema sul rettangolo:

Se la base è 2/3 dell’altezza, l’altezza sarà 3/3,
quindi sommandoli
2/3 + 3/3= 5/3 che rappresenta sotto forma di frazione la somma di 25 cm.

Qui lavoro con l'operatore inverso, eseguo:
25:5 = 5 cm =1/3 trovo la misura di ciascun terzo.

Ora:
5 cm×2 = 10 cm = 2/3 = b
ho moltiplicato il valore di 1/3 che è 5, per i "terzi" della base che sono 2.

5 cm×3 = 15 cm = 3/3 = h
ho moltiplicato il valore di di 1/3 per il numero dei "terzi" dell’altezza, che sono 3.

Laura II A