Prime rotazioni

Sì,

quelle dei piccolini...

Manuel ruota così. Clic su img

Gabriele G è patriottico! Clic

Davide A1, lancia il martello Clic

Gian Mario fa canestro! Clic

In attesa di altri lavori, bravi!

I movimenti delle ‘elle’ sul piano ...

Bè, i piccoli

hanno rispettato l’impegno di lavorare sulle trasformazioni geometriche.

E’ il loro primo impatto con il tema, come ancora lo è quello con l’utilizzo di Geogebra!  Vero è che non possiamo far nulla a scuola per inutilizzabilità degli strumenti, però ... qualche progresso in autonomia sarebbe auspicabile!

Pietro P. ha lavorato così (riporto l’immagine dal foglio geogebra):

Manuel scrive:

In classe abbiamo parlato di movimenti rigidi nel piano. La rotazione, la traslazione, la similitudine... Questi argomenti ci sono serviti per un compito che consisteva nel dividere una L grande in quattro elle perfettamente sovrapponibili, cioè congruenti.

Ho fatto così:
prima ho disegnato una L, dopo altre quattro l piccole, simili alla L grande.

Per essere simili e in modo che nella L grande ci stessero 4 piccole, ho disegnato le l piccole con i lati uguali alla metà di quelli della grande.

Ho messo la elle blu in quella grande attraverso una traslazione.
Ho messo la elle gialla in quella grande attraverso una rotazione di 90° e una traslazione.
Ho messo la elle rosa in quella grande attraverso una traslazione.
Ho messo la elle rossa in quella grande attraverso una traslazione.

Pietro S., si è fatto aiutare con lo slider, ha usato la simmetria e realizzata la costruzione animata. Clic su img, Sull’applet spiega...

Bachisio ha lavorato sul quaderno per momentaneo impedimento con il pc. Descrive come i compagni i suoi disegni e i movimenti operati sulle figure (traslazioni e rotazioni).

Pier Luigi, così lavora su geogebra

e scrive:

abbiamo visto delle proprietà comuni alla rotazione e alla traslazione: avvengono nello stesso piano nel quale giace l'oggetto e sono movimenti rigidi che conservano invariate forma e dimensioni dell' oggetto (le figure ottenute con i due movimenti sono congruenti), traslazione e rotazione sono trasformazioni geometriche che si chiamano isometrie.

Gian Mario costruisce solo la figura

Ok, la prof ha preparato questa applet. Per voi la costruzione ancora è un po’ complessa, spero di aver modo di approfondire... Clic:

Simmetria centrale

Sono i lavori su Geogebra di

Marco D.

 Clic su immagini, le costruzioni sono realizzate sfruttando la proprietà dei punti simmetrici rispetto a un punto, centro di simmetria, e non con lo strumento apposito di Geogebra.

di Davide D. Che finalmente si è dato al colore!

e di Davì. Il quale ha risposto alla domanda dell’esercizio del testo: cosa noti?

Geogebra aiuta proprio a fare scoperte! Davì scrive:

provando a giocare con geogebra e volendo sovrapporre i poligoni, ho scoperto che la sovrapposizione in questo caso
non avviene attraverso un ribaltamento ma per rotazione di 180°.
Quindi ho creato uno slider ....

Già: la simmetria centrale corrisponde a una rotazione di 180° attorno al centro di simmetria!

Bravi, ragazzi!

Appena arrivato un lavoro di Stefano. Clic

Bene, Stefano!

Estate: fantasia e colore! Video

Ragazzi,

I vostri lavori estivi, con fantasia, cominciano ad arrivare!

Ho deciso di metterli in un (primo ?) video. Per ora ci sono solo Davide D. e tanta Beatrice!

Vedete!

Ho scordato di mettere il Fiore di Bea. Aggiungo qui l’applet:

Forme, colori, fantasia!

Ragazzi,

giocando con geogebra!

Guardate l’immagine: sono lavori dei ragazzini di Maestra Renata. Allora. Oggi ragazzi, giusto della vostra età (dico agli ex-prima!)

Realizzati facendo ruotare dei punti sul piano. Fate clic sull’immagine per vedere l’animazione. Poi vi spiego sotto....

Visto? Volete provarci? Non è difficile!

Vero che vi piacerebbe disegnare il cuore?

-- Certo, un cuore: sappiate che si tratta sempre di curve matematiche. In seconda già abbiamo commentato una frase di un matematico, filosofo,..., la abbiamo sulla nostra sidebar:

Se segnassimo a caso dei punti su un foglio di carta, si potrebbe individuare sempre e comunque un'equazione matematica tale da rendere conto di quanto fatto. (Leibniz)

Voi conoscete già delle curve matematiche: la retta (sì, anche la retta è una curva matematica), il cerchio, l’ellisse, la parabola, l’iperbole. Tutte hanno una loro equazione. Ma questo lo impareremo più avanti...!

E il cuore è la curva matematica chiamata Cardioide, "a forma di cuore" [dal greco kardioeides: kardia (cuore) e eidos (forma)].

  Abbiamo, andate a vedere...che belle!

La cardioide e Regali ... di cuore! --

Ebbene, torniamo a giocare! Ho preparato una Scheda di lavoro che vi guiderà passo a passo. Scaricate Scheda_3 Ruota punti

 Attenzione: trovate l’elenco dei documenti in ordine alfabetico; per trovare prima il documento da scaricare, fate clic sull’intestazione: Data ultima modifica. Cliccate sul nome del documento e si aprirà immediatamente la finestra per salvare.

Leggete tutto e scatenate la fantasia! E, se.... inviate!

Per la I A _Movimenti nel piano

Ragazzi,

eccovi i link promessi.

QUI ... sorpresina.

Poi QUI. Cliccate sempre sulle immagini ... dopo aver letto si intende! Fate anche gli “esercizietti”!

Se trovate difficoltà nell’aprire le applet, ditemi quali!

E poi QUI.

Una volta aperte le applet premete, se non sempre è indicato, sul pulsante Play in basso a sinistra.

Per cominciare basta questo. Voi, bè, vedete un po’ voi!:-)

Rotazione: ancora un “come si fa”

Avevamo visto

 Rotazione: individua il centro e...

Ci siamo accorti che occorre un rinforzo per un’altra operazione:

come costruire la figura (F’ ) corrispondente ad un figura (F ) in una rotazione, dati centro di rotazione, ampiezza e verso.

Su carta, sul quaderno, abbiamo visto, occorrono righello e goniometro.

Un filmato, su Geogebra, vi può aiutare a fissare la procedura da seguire.

Noterete che con il programma, non occorre tracciare il segmento che unisce ogni vertice della figura F con il centro di rotazione. Inoltre:

una volta costruito l’angolo (strumento Angolo di data misura), viene immediatamente evidenziato il punto corrispondente al dato vertice nella rotazione. Non resta che mostrare l’etichetta.

Nella costruzione manuale dobbiamo invece misurare la distanza vertice-centro_rotazione e riportarla sulla semiretta che costituisce il secondo lato dell’angolo (anche mediante arco di circonferenza di centro O…)

Nel filmato ho utilizzato uno slider “angolo” per avere l’opportunità di variare l’ampiezza della rotazione.  Esercitandovi con Geogebra, potete anche muovere il centro di rotazione… Clic sull’immagine

La simmetria centrale

III,
cominciamo dunque ad approfondire il discorso sulla simmetria.
Meglio, sulle simmetrie...
Come accennato QUI, conosciamo un po' la simmetria per aver incontrato in diversi contesti, figure (o tabelle) che ... si guardano allo specchio, qualche esperimento concreto in classe è capitato anche in questi giorni. Il ribaltamento come movimento rigido, appartiene alle isometrie ed è una particolare simmetria.
In questo post non vi faccio lavorare ancora su quella particolare simmetria.
Intendo riprendere la domanda posta sull'ultima attività nel foglio di lavoro geogebra(tornateci!)
Ma ... cominciamo così:
osservate questa bella Rosa di Grandi a 4 petali

Ho fissato il punto centrale C, disegnato poi un punto A sulla curva e, mediante lo strumento

Simmetrico rispetto a un punto, ho individuato appunto, il simmetrico, punto A', del punto A rispetto al centro C.
[vi guido con l'immagine:

Strumento, clic sul punto A (oggetto da trasformare), clic su C, centro di simmetria]
Nella rosa abbiamo dunque individuato una simmetria.
Propriamente, si tratta della simmetria centrale:
il punto A' è il punto corrispondente nella simmetria centrale di centro C, al punto A
Ora, fate clic sulla rosa e andate a muovere con il mouse il punto A sul petalo.
Osservate, agite e riflettete:
- il punto A', suo simmetrico rispetto al centro, descrive il petalo simmetrico della curva;
- confrontate le distanze AC e A'C. Potete misurare: strumento Distanza o lunghezza, questo lo conoscete! Cosa osservate?
- i punti corrispondenti A e A' sono allineati. Uniteli usando lo strumento Segmento tra due punti.
- Il punto C dunque, rispetto al segmento AA', cosa rappresenta? Dovrete usare un altro strumento per verificare ...
In quest'ultima domanda dovreste riconoscere quella cui accennavo sopra... (ultimo lavoro sulla rotazione)
Rivediamo l'immagine:

La rotazione di ampiezza α=180° ha caratteristiche diverse dalle altre rotazioni:
- i punti corrispondenti A e A', B e B' .... sono allineati con il centro E;
- EA = EA'
- E è quindi il punto medio dei segmenti di estremi A e A' , B e B', ...
Una domanda: nella rotazione di 180°, quale parte ha il verso della rotazione? Come deve o può essere? Ripetete l'attività! :-)
Per le caratteristiche descritte i punti A e A', ecc..., corrispondenti nella rotazione di 180°, si dicono simmetrici rispetto al punto E (centro di simmetria).
Due punti qualsiasi P e P' si dicono simmetrici rispetto a un punto O (il centro di simmetria) se O è il punto medio del segmento PP'.
Dunque concludiamo che:
ogni rotazione nel piano di ampiezza α=180° attorno a un centro O, è una simmetria centrale, o simmetria di centro O.
Possiamo anche dire che la simmetria centrale coincide con la rotazione di 180° rispetto al centro di simmetria!
Dobbiamo ora imparare a costruire il simmetrico di un punto rispetto a un altro, centro di simmetria. Vedremo poi la simmetria centrale dei poligoni e individueremo le coordinate sul piano cartesiano.
Alla prox!

La rotazione sul piano cartesiano in Geogebra

III A,
dopo quello della traslazione, eccovi lo studio della rotazione sul piano cartesiano.
Per individuare le coordinate dei vertici di un poligono ruotato di una certa ampiezza rispetto a un altro, dato il centro di rotazione e il verso, sul vostro quaderno dovreste utilizzare riga e squadra e in alcuni casi goniometro (in quali casi?). Con Geogebra invece... osservate come si fa nel seguente filmato. Clic sull'immagine

Ora provate voi sull'applet. (Potete sempre tenere aperta anche la finestra del filmato, potete bloccare, tornare indietro, riattivare...)
Clic per aprire la finestra del foglio di lavoro:

In un secondo foglio potete seguire mediante slider la rotazione di un quadrilatero, in senso orario oppure antiorario, confrontare le coordinate dei vertici con i risultati del precedente lavoro, osservarne la variazione a seconda dell'ampiezza di rotazione.
Particolare attenzione va prestata alla rotazione di 180°. Vedi foglio di lavoro.
In proposito ... c'è da sviluppare lo studio delle trasformazioni geometriche! Clic:

Buon lavoro!
(oops, devo ancora vedere i lavori di Anna Laura! fra un po', bella! :-))

Per giocare con la rotazione

I ragazzi di III lo sanno che
possono andare a vedere diverse cosette sulla rotazione....
Bisogna però cominciare da QUI!
Ancora per giocare un po', stimolata da maestra Renata - e lei lo sa che mi suggerisce anche delle tecniche...-:), mi sono divertita a creare un balletto di .. lucertoline (?) gemelle!
Boh, ma a voi cosa sembrano?
Sìì, sono lucertole! La coda è così perché le hanno mozzate e stanno ricrescendo doppie! :-)
Béh poche storie, ridete pure, fate clic sull'immagine e divertitevi con la danza! :-))

ah, l'idea l'ho presa ... in rete!

La rotazione in Excel

Dopo la traslazione, la rotazione in Excel.
Ma questa ... farina d'altrui sacco!:)
Dal mago dei grafici (e non solo) Fernando Cinquegrani, ho trovato il lavoro pronto per noi.
Clic sulla figura per scaricare il file rotazioni2d.xls

Al link si arriva da QUI, dove già si possono visualizzare diverse applicazioni realizzate da Fernando. In fondo alla pagina cliccate su
contributi ai newsgroup (alcuni)
contributi ai newsgroup (molti altri)
per trovare, e scaricare, numerosi esempi in risposta ai più svariati quesiti posti da utilizzatori di excel, nei newsgroup appunto.
Dunque, lavoro già pronto, ma ho voluto anch'io, giusto sulla falsariga, riprodurre la rotazione di figure sul piano.
Un triangolo:

un altro quadrilatero:

Il file da scaricare rotazione.xls
grazie Fer!

Rotazione: individua il centro e...

Sempre dopo QUESTO e QUESTO, stavolta in particolare per quanto concerne la rotazione,
ancora un'esercitazione guidata.
Si tratta di:
individuare il centro, l'ampiezza e il verso della rotazione che fa corrispondere una figura F' a una figura F.
Naturalmente con GeoGebra, seguite prima come si fa, nel filmatino.
clic sulla figura

Ora, a voi sull'applet. Clic

Dopo aver eseguito gli esercizi ....
VERO o FALSO?
1. Il centro di rotazione è sempre esterno a una figura F
2. Il centro di rotazione può coincidere con un vertice di un poligono F
3. In una rotazione R₀ il centro di rotazione è equidistante da due punti corrispondenti di F e F'
E ancora, per accertare meglio conoscenze e linguaggi ...
4. Una rotazione è una isometria diretta
5. Se F' e F si corrispondono in una rotazione, allora F' e F sono direttamente congruenti.

Proprietà della traslazione e della rotazione

Continuiamo la nostra attività sui movimenti nel piano.
Abbiamo visto delle proprietà comuni alla traslazione e alla rotazione: avvengono nello stesso piano nel quale giace l'oggetto e sono movimenti rigidi che conservano invariate forma e dimensioni dell'oggetto (le figure ottenute con i due movimenti sono congruenti), traslazione e rotazione sono trasformazioni geometriche definite isometrie.
Ora studiamo le proprietà che distintamente caratterizzano le due trasformazioni.
Come al solito utilizziamo GeoGebra, cominciamo con la traslazione.
Clic sulla figura per aprire l'applet e ... scoprire!:

E la rotazione:

Ragazzi, vi segnalo Inserimento di un vettore tra due punti e traslazione con i vettori, un video della maestra Renata che vi sarà di grande aiuto per comprendere meglio la traslazione. Anzi direi che sarebbe da vedere prima!
Attenzione, sulla pagina troverete più di un video, tutti interessanti, dovreste vederli... : quello che ci interessa nel caso specifico è il terzo, insomma basta leggere :-)

Movimenti nel piano

Ragazzi, ricordate i pesciolini nell'acquario ...cartesiano?
Ah, se non li ricordate ... perché non li avete visti :-(
dovete fare il clic e andare a vedere.
E comunque,
guardiamoci questi due

Lo sapete che il pesciolino azzurro non è altro che quello rosso che nuotando ... ha cambiato colore?[perché i nostri pesciolini sono cangianti! :-) ]
Nel post, quello su cui siete andati a vedere, avevo accennato alla geometria delle trasformazioni. Dovremo occuparcene, come vi ho detto, in maniera da fare ordine...
Già conosciamo (un po'), trasformazioni che non deformano in alcun modo le figure, cioè che fanno ottenere delle figure congruenti a quella iniziale, figure che si sovrappongono punto per punto, combaciano... Lo abbiamo visto tante volte ruotando degli oggetti, es la squadretta, per cambiare la posizione di angoli ..., oppure osservando delle figure o delle tabelle o parti di tabelle che si guardano allo specchio ..., e abbiamo detto che si tratta di movimenti rigidi.
Il nostro pesciolino nuota in un mare che, in matematica, chiamiamo piano cartesiano.
Cominciamo dunque a conosce meglio i movimenti nel piano (in quello cartesiano in particolare, in un secondo momento, )
E, a proposito di movimento, non potendo stare ferma, ho preparato delle animazioni!:-)
Cliccate: osservate che il triangolo T si muove, scorrendo sul righello. Il movimento è chiamato traslazione.

La traslazione avviene nel piano stesso nel quale giace il triangolo T. E' una proprietà specifica della traslazione.
Ora un altro movimento. Il triangolo è fissato alla lancetta delle ore di un orologio. La lancetta ruota ...

La rotazione, come la traslazione, avviene nel piano stesso nel quale giace il triangolo T.
Infine, un altro movimento rigido: nell'animazione vedrete la figura F che si trasforma in quella F', mediante un ribaltamento.

Il movimento di ribaltamento avviene fuori dal piano in cui giace la figura F (apri il palmo di una mano: per sovrapporlo al palmo dell'altra devi eseguire un ribaltamento, movimento fuori dal piano che contiene la prima mano)

Ora, mettiamo giusto un po' d'ordine, curando un po' la terminologia specifica:

1) Movimento rigido: traslazione, rotazione e ribaltamento;
le figure ottenute mediante questi movimenti si sovrappongono perfettamente, punto per punto, alla figura di partenza; esse sono congruenti. Le due figure congruenti mantengono quindi invariate ogni lunghezza, l'ampiezza degli angoli, l'estensione nel piano (area). Si dicono perciò isometriche (dal greco, di uguale misura - iso, ricordate, isoscele...- ).
La traslazione, la rotazione e il ribaltamento sono delle trasformazioni geometriche definite isometrie.
2) La traslazione e la rotazione avvengono nel piano nel quale giace la figura iniziale: sono detti movimenti diretti; le figure ottenute con questi due movimenti si dicono direttamente congruenti (o direttamente isometriche)
3) Il ribaltamento è un movimento inverso: richiede di uscire dal piano in cui giace la figura iniziale.; le figure ottenute per ribaltamento sono dette inversamente congruenti (o inversamente isometriche).
E... vi sarete accorti che il ribaltamento lo abbiamo già conosciuto con il nome di simmetria (figure che combaciano, si guardano allo specchio...) Ma è una particolare simmetria... su queste dobbiamo indagare più a fondo!
Per il momento fate qualche esercizietto:
a) Osserva le tre figure

__ __

In quale figura osservi:
- Una traslazione? .........................................
- Una rotazione? ..........................................
- Un ribaltamento? ......................................
Quale dei tre movimenti non è avvenuto nel piano nel quale giace la bandierina alla sinistra? ...............
Infine va', due schede da ingrandire e stampare, per sapere ...

e per saper fare

Testo di riferimento per l'argomento e le attività: Matematicamente - Ed scolastiche B. Mondadori da cui sono tratte schede e immagini.

Pesciolini nell'acquario ... cartesiano!

Ragazzi,
vedete questi bei pesciolini colorati?
Fate clic. Vedrete quello rosso solo soletto, agite sul pulsante Play, l'acquario cartesiano si popolerà!

E' solo un giochino, tanto per introdurre la geometria delle trasformazioni: similitudine, traslazione, rotazione, simmetrie...
Abbiamo più di una volta solo accennato a queste trasformazioni. Ora c'è da fare ordine, distinzioni, approfondire insomma, e imparare a operare! E, vedete, può davvero essere divertente.
Vabbé... per quest'anno scolastico non si fa in tempo. Potete però cominciare ad indagare... quando avrete voglia, durante le vacanze!:-)