Mappa concettuale sui numeri razionali

In seconda,

dovremo riprendere, recuperare, sviluppare o verificare conoscenze e competenze sulle Frazioni e Numeri Razionali

Clic per ingrandire

elaborata da un gruppo di ricerca IPRASE

Frazioni e segmenti

Costruiamo e osserviamo ...

Davide D., Daniele, Marco N. hanno costruito su Geogebra rettangoli di dato rapporto base/altezza. Metto il lavoro di Marco (che comincia a usare il LaTex - grazie a sorellina? - Bravi, così si fa!) Clic se si vuol aprire l’applet.

Questo lavoro fatto a casa qualche giorno fa.

In classe abbiamo lavorato con gli “stecchini”: in verità abbiamo disegnato segmenti.

Considerando ancora un rettangolo così: 2 stecchini per l’altezza, 3 stecchini per la base, h = $\frac{ 2 }{ 3}$ b

Se i segmenti dell’altezza diventano 4, certo, per la base allora 6 segmenti, ecc...

Domanda: se aggiungo uno stecchino all’altezza, quindi 3 stecchini, quanti stecchini dovrò usare per la base, affinché il loro rapporto rimanga $\frac{ 2 }{ 3}$ ?

Il problema si presenta un po’ difficile (siamo in I), qualcuno naturalmente ha proposto 4 stecchini per la base ...

Stefano ha invece risolto così:

“Divido i 3 stecchini per 2, in modo che i pezzi siano due da 1,5 stecchini. Se due pezzi da 1,5 sono in tutto tre stecchini, per avere solo pezzi da 1,5, tre pezzi da 1,5, bisogna prendere 4,5 stecchini per la base.

Se fra altezza da 2 e base da 3 il rapporto è 2/3, fra altezza da 3 e base da 4,5 sarà lo stesso”

Bravo Ste’

Costruzioni Geogebra

Per la cl. prima

Ragazzi,

deciso di aiutarvi! Eccovi la costruzione cui accennavo stamane. Potrete vedere (e “frugare”) l’applet oppure scaricare il file.ggb. C’è il link.

Clic: Unità frazionarie: costruiamo e osserviamo...

Unità frazionarie: costruiamo e osserviamo...

Ragazzi,

Utilizziamo ora le “porzioni” dell’intero diviso in parti uguali, quelle che si chiamano unità frazionarie [no???], per ... costruire e osservare.

Cominciate lavorando con dei fiammiferi o degli stecchini tutti uguali.

Costruiamo un rettangolo che ha la base doppia dell’altezza.

Quanti fiammiferi usate per la base? quanti per l’altezza?

Quanti rettangoli potete costruire rispettando l’indicazione: base doppia dell’altezza?

Vi risulta sempre, se scrivo in simboli:  b = 2 * h?

Oppure anche: $h\,=\, \frac{ 1 }{ 2}\, *\,b$ ? [altezza = un mezzo della base]

Costruiamo un rettangolo che ha la base tripla dell’altezza

Quanti fiammiferi usate per la base? quanti per l’altezza?

Quanti rettangoli potete costruire rispettando l’indicazione: base tripla dell’altezza?

Vi risulta sempre, se scrivo in simboli:  b = 3 * h?

Oppure anche: $h\,=\, \frac{ 1 }{ 3}\, *\,b$ ? [altezza = un terzo della base]

Ho preparato un geogebra dove potete ottenere dinamicamente tanti rettangoli con base doppia o tripla dell’altezza.

E inoltre scoprire che la relazione tra base e altezza ci aiuta a cominciare a comprendere un concetto cui si è accennato in qualche occasione ...

E, nella nostra discussione in classe, scopriremo anche dell’altro!

Clic sulla figura e ...studiare! :-) [Per chi ha bisogno, scaricare il file.ggb]

"In proporzione... Che sproporzione! ..."

Ragazzi, nella vita di tutti i giorni si fa riferimento alle proporzioni, non sempre in termini rigorosamente matematici.
Leggete con attenzione i due esempi che seguono e poi rispondete ai quesiti.

In proporzione...
Una signora che cerca casa per il suo figliolo, si lamenta: "Certo che l'affitto di un appartamento piccolo è, in proporzione, più alto dell'affitto di un appartamento grande!"
Cosa intende dire?
Spiegatelo cercando di essere precisi:
- individuate le grandezze in gioco,
- costruite i due rapporti e metteteli a confronto ( › , ‹ , =)

Che sproporzione! Ma non c'è proporzione!
Nelle frasi che seguono si fa riferimento alla proporzione, ma si parla di un solo rapporto.
- Tutto questo cibo è sproporzionato rispetto al mio appetito
- Questa sedia antica è molto bella, ma la sua altezza è sproporzionata rispetto al tavolo.
- Questo frigorifero è molto piccolo per voi che siete in tanti. Non c'è proporzione!
In realtà c'è sempre un altro rapporto a cui si pensa per un confronto, altrimenti non si parlerebbe di proporzione.
- Per ogni caso indicate di quale rapporto si tratta.
- Costruite, per ogni frase, i due "rapporti" della proporzione e metteteli a confronto ( › , ‹ , =).

Ad es. per la prima frase:
quantità di cibo : livello di appetito › quantità di cibo usuale : livello di appetito usuale

In generale quando ci si esprime mediante una frase del tipo precedente si fa riferimento a un rapporto teorico: cercate di spiegare come nasce nella nostra mente una frase di quel tipo.

[Matematica nella storia] L'accademia di Platone e Eudosso di Cnido

Il concetto di rapporto...
Nel IV secolo a.C. ad Atene, un momento d'oro della civiltà greca, la scuola più importante era l'Accademia di Platone.
Platone (428/427-348/347 a.C.) era un «leader» degli intellettuali dell'epoca, e godeva grande fama anche da un punto di vista pedagogico, pertanto la sua Scuola era frequentata dalla migliore gioventù della città.
Sulla porta della scuola era scritto: Non entri nessuno che sia ignorante in Geometria.
La geometria era una delle cosiddette sette arti liberali: la geometria, l'aritmetica, la musica, l'astronomia, la grammatica, la retorica e la dialettica, il cui insegnamento costituiva allora, ed è stato per molti secoli, la base dell'educazione scolastica.
Platone in prima persona si occupò di matematica solo marginalmente, ma lasciò sicuramente una forte impronta culturale. A lui si deve infatti il consolidamento della netta distinzione, di scuola pitagorica, tra:
• aritmetica: studio della teoria dei numeri in quanto aventi una propria essenza e dignità, studio adatto a elevare la mente su un piano di ragionamento astratto
e
• logistica: studio delle regole di calcolo, studio adatto a chi si occupa di affari o di guerra, a chi doveva operare su oggetti concreti, fossero uomini o anfore d'olio, a chi doveva sommare, moltiplicare o suddividere.

Un'analoga suddivisione egli prevedeva per la geometria.
Dalla scuola di Atene uscirono pertanto importanti matematici con l'impronta platonica del privilegio assoluto della matematica teorica su quella applicativa.
Questo portò sicuramente a un ampliamento delle conoscenze e alla costruzione di importanti impianti teorici, ma lasciò campo libero ad esempio agli indiani e agli arabi per quanto riguarda l'aspetto certamente pratico ma fondamentale della scrittura dei numeri.

Il concetto di rapporto, per il legame che crea tra due numeri, era sicuramente molto interessante per i teorici della scuola di Atene, ma rimase sempre piuttosto indefinito in sé e per sé.
Maggiori attenzioni ebbe l'uguaglianza di due rapporti, cioè la proporzione.
Chi si dedicò in modo particolare a questi studi e ne ricavò le osservazioni più durevoli fu Eudosso di Cnido (408 - 355 a.C.), che per un certo periodo fu allievo di Platone in persona.

Prima degli studi di Eudosso per i matematici greci era difficile accettare l'esistenza di un rapporto che non si presentasse come il rapporto tra un numero intero e un altro numero intero. In questo modo, ad esempio, non era possibile considerare il rapporto tra 1 e √2 (la lunghezza del lato del quadrato, considerata come unità, e la sua diagonale).
Eudosso diede invece una rivoluzionaria definizione di rapporto perché permetteva di prendere in considerazione qualunque tipo di numero.
Si dice che due grandezze sono in rapporto tra loro quando si può trovare un multiplo dell'una che superi l'altra. Questa affermazione è generalmente nota come «Assioma di Archimede», ma è lo stesso Archimede che ne attribuisce la paternità a Eudosso.

Osservate che questa definizione elimina molte complicazioni dovute alla presenza dello 0, in quanto lo esclude come numero che possa far parte di un rapporto. Infatti nessun multiplo dello 0 può essere maggiore di un altro qualunque numero diverso da 0.

Esercizi per i ragazzi:
1) Avendo letto il testo precedente, avrete letto la differenza fra aritmetica e logistica.
Esaminate i seguenti casi e indicate per ogni situazione se ci si occupa di aritmetica o di logistica:
- il calcolo di quanto spenderò oggi per la spesa;
- lo studio delle proprietà delle operazioni;
- l'applicazione della proprietà invariantiva della divisione per semplificare i calcoli;
- il calcolo dello sconto che mi è stato fatto quando ho acquistato la bicicletta;
- lo studio delle operazioni interne agli insiemi N, Q, R.

2) Dopo aver riletto la definizione di rapporto data da Eudosso, applicatela alle seguenti coppie ordinate di numeri:
(7; 30) (12; 50) (36; 9) (42; 14)

Attività: calcolo distanze sulla cartina geografica.

Sfruttando il concetto di rapporto abbiamo eseguito in classe un'attività.

Calcoliamo la distanza Roma-Napoli sulla cartina geografica dell’Italia.

Misuriamo sulla cartina la distanza tra le due città utilizzando uno spago che facciamo passare per il tratto di strada che le unisce, seguendo tutte le curve. Poi mettendo il filo in linea retta misuriamo la sua lunghezza con un righello.
La lunghezza dello spago è di 19,5 cm, quindi sulla cartina la distanza tra Napoli e Roma è di 19,5 cm.
Il rapporto di scala della nostra cartina è di 1:1.100.000.
Sappiamo che significa che 1 cm sulla carta equivale a 1.100.000 cm nella realtà.
Conviene trasformare 1.100.000 cm in km.
1.100.000 cm = 11 km
Quindi: 1 cm = 11 km,
19,5 cm = 19,5 * 11 = 214,5 km: è la distanza reale Roma-Napoli.
Controlliamo su una tabella delle distanze chilometriche fra città italiane.
Roma-Napoli: 219 km.
Noi abbiamo commesso qualche errore nella misurazione.
Possiamo aver sbagliato nel far passare il filo sulla carta, nella misurazione con il righello, nel segnare i punti di inizio e fine (Roma e Napoli sulla cartina)…
Ma abbiamo usato correttamente il rapporto di scala!

Emanuele e Nicola II A
(la prof ci ha corretto un po' la forma. Dobbiamo migliorare il nostro italiano!)

Il concetto di rapporto

Laura ha già cominciato a raccontare come dalla frazione stiamo passando al concetto di rapporto in matematica.

Il rapporto, come la frazione, considera un certo numero di parti rispetto a quelle totali, ci permette il "confronto" tra un certo numero di parti rispetto al totale.
Un esempio di rapporto può essere quello che c’è tra l'altezza di un un albero e l'altezza di un campanile. Ovviamente è più grande il campanile, ma possiamo precisare che tra altezza-albero e altezza-campanile c'è un rapporto di ¼ che possiamo scrivere 1:4 e si pronuncia 1 a 4 o 1su 4. Viceversa tra altezza-campanile e altezza-albero c’è un rapporto di 4:1 (4 a 1).
Bisogna ricordarsi che 4:1 non vuol dire necessariamente che il campanile misura 4 m e l’albero misura 1 m, ma vuol dire che il campanile è quattro volte più grande dell’albero, ossia il quadruplo. Per esempio: se l’albero misura 2 m il campanile misurerà 8 m, perché, 2 x 4 =8 e 8 : 2 =4.

Un tipo di rapporto è anche la percentuale. Il denominatore è sempre 100 ma il numeratore no. Il totale viene sempre rapportato a 100 e la percentuale indica il numero di parti su 100.

Abbiamo visto, inoltre in quanti modi può essere utilizzato il rapporto: nella carta geografica o per disegnare la pianta di qualcosa, per esempio, della classe.
Il rapporto che viene usato nella pianta dell’Italia (quella che abbiamo in classe) è di 1:1.100.000, vuol dire che rispetto alla dimensione reale è di 1.100.000 volte più piccola, ma soprattutto che 1 cm sulla carta, corrisponde a 1.100.000 cm nella realtà cioè 11 km.
Per quando riguarda la pianta della classe possiamo ridurla in scala 1:50, cioè la classe è 50 volte più piccola, in confronto alle dimensioni reali, ma anche che 1 cm corrisponde a 50 cm nella realtà.

Alessandra II A

Dalla frazione al rapporto

Ripasso, rinforzo e... altre scoperte!

Oggi abbiamo capito ancora più a fondo la frazione.
Siamo partiti da un problema che chiedeva quale fra 3 triangoli aveva la maggior porzione di area colorata. In un triangolo erano colorati 36/64, in un secondo 10/16 e nel terzo 3/4.
Abbiamo alzato subito la mano senza riflettere. Qualcuno ha detto: - Il secondo triangolo! e altri... ma non sapevamo spiegare perché!
La prof. ci ha invitato a pensare un po' dicendo che forse avremmo dovuto fare qualche calcolo.... o intervento sulle frazioni...
Allora ci ha aiutato chiedendoci: -Cosa chiede esattamente il problema?
Io ho risposto che ci chiedeva di paragonare, Nicola ha aggiunto: -Confrontare.
Ecco: confrontare!
Abbiamo ricordato "confrontare frazioni".
All’inizio non ci ricordavamo il procedimento ma poi Irene ci ha illuminato:
per confrontare le frazioni si cerca il mcd, cioè il minimo comune denominatore che è il minimo comune multiplo fra i denominatori. Quindi con la proprietà invariantiva si cambiano anche i numeratori in modo da avere frazioni equivalenti (ciè non cambiano valore ma ho la comodità di averle con uguale denominatore perciò le posso confrontare).
Abbiamo quindi potuto stabilire quale dei triangoli aveva la maggior superficie colorata.
La prof. ci ha detto che questo esempio ci ha dimostrato che la frazione quando x es. paragoniamo delle quantità, è utile per non farci trarre in inganno...
E ci ha chiesto: - Mi dite qual è la vera "forza" delle frazioni?
Noi continuavamo con il confronto fra quelle tre frazioni, ma non trovavamo dove stava questa "forza" della frazione!
X aiutarci a riflettere la prof. ha scritto alla lavagna la frazione 3/4 e ci ha invitato a riflettere solo su quella.
Allora abbiamo iniziato a riflettere sulla domanda, abbiamo fatto tanti tentativi di risposta....come dice la prof:- Anke se non date la risposta giusta, tutti state partecipando attivamente!...
Dopo un po’ Delia dice:- La forza della frazione è ... di 4 parti...
La prof esulta, ci aiuta solo a esprimere meglio il "di" 4 parti. Ci ricorda, lo avevamo già notato anche da poco aiutando Alejandro a "pronunciare" le frazioni...., che "tre quarti" si può esprimere come "tre su quattro" (3 parti considerate su 4).
Dunque capiamo che per fare confronti è importante considerare le parti riferendoci al totale delle parti.
La prof ci dice che ci stiamo avviando verso un nuovo concetto... Stiamo considerando, tra le parti ... dobbiamo trovare un termine...
Allora inizia Nicola:- Confronto.
Poi Federico:- Paragone.
E in quel momento con il loro aiuto mi si è accesa la lampadina:- Rapporto.
La prof. esulta felice. E anke io lo ero per la risposta giusta. Il termine c'è, ma il concetto è da approfondire! Poi...... driiiiiiin....La campanella, e tutti a casa!

Laura II A