Numeri poligonali

Marco N. ha cominciato

a costruire i numeri poligonali su geogebra

I numeri quadrati. Clic per vedere l’animazione

La sacra decade. Clic..

Bravo Marco!

Ragazzi,

abbiamo tanto materiale sui numeri poligonali. Per trovare facilmente, fate clic sul titolo di questo post. La pagina si ricarica mostrando il solo post e sotto,

Articoli correlati per categorie

vedrete diversi link per la categoria “Numeri poligonali”.

  - In particolare raccomando un lavoro, delle interessantissime indagini sulla moltiplicazione. Clic sul link che segue (leggete attentamente: aggiornamento 03/09/2005),  nella pagina che si apre trovate le indicazioni per scaricare.

Presentazione su Power Point (aggiornamento del 03/09/2005).

Questa un’immagine:

Paperino e la matemagica!

Ragazzi,
Oggi è domenica e ... andiamo al cinema! :-)
Segnalati su PI GRECO QUADRO,
vi invito a godervi 3 fantastici video. Incontriamo

Paperino nel mondo della matemagica

Cominciate con questa 1* parte. I ragazzi di seconda ritroveranno magie di cui abbiamo già parlato, con quelli di prima avremo modo di scoprirle. Sul blog abbiamo notizie e attività, con voi cominciamo dal film!

Buon divertimento! In seguito, 2* e 3* parte.

Frazioni e musica

Ragazzi,

nel raccomandarvi i link di cui abbiamo detto, sulla barra a destra “in evidenza” per voi,

vi propongo ora un “per saperne di più”. Leggete e sperimentate!

- Certe volte, le frazioni ci sono, si usano, si “sentono”, e però non ce ne accorgiamo.

Le frazioni sono nella musica. “do, re, mi, fa, sol, la, si” sono le note musicali; dove sono le frazioni? 

Pensate alla chitarra, al violino, al mandolino, .... Per produrre un suono con uno di questi strumenti si pizzica una corda: si vede allora la corda vibrare e, contemporaneamente, si ode un suono.

Il suono è vibrazione

Anche senza avere uno strumento musicale, ve ne potete rendere conto con un semplice esperimento: prendete un pezzo di spago sottile ma resistente, o meglio un filo di nylon, lungo circa 90 centimetri.

Fissatene una estremità, per esempio, alla maniglia di una porta, e, tenendo lo spago ben teso con la mano sinistra, pizzicatelo con la destra: sentirete un suono grave.

Adesso, tirate di più lo spago, e pizzicate ancora: il suono è più acuto del precedente.
Poi, partendo dalle condizioni della prima esperienza, riducete la lunghezza dello spago a 1/3,  fate cioè in modo che sia lungo circa 30 centimetri. Ripetete l’esperimento: udirete un suono più acuto di quello che si aveva con lo spago lungo.

Con questi esperimenti ci si rende conto che ci sono due modi per ottenere un suono più acuto: tendere lo spago di più o scorciarlo. 

Perché il suono risulta più acuto? Che cosa accade in questi due casi? Accade che aumenta il numero delle vibrazioni al secondo, e l’altezza del suono — essere grave o acuto — dipende dal numero delle vibrazioni.
Più questo numero è grande e più il suono è acuto.

Arriviamo adesso alla matematica attraverso esperimenti più precisi.
Prendiamo tante corde dello stesso materiale e ugualmente tese. Se sono della stessa lunghezza, quando le pizzico, per esempio nel punto di mezzo, odo lo stesso suono; ma se una corda è più corta, il suono risulta più acuto. 

Partiamo da una corda AB

se la riduco esattamente a metà ho la corda CD

e accade che il numero delle vibrazioni diventa esattamente il doppio (si può misurare con degli apparecchi speciali). Bene, il suono che si ode è più acuto di quello dato da AB, ma dà la stessa sensazione sonora: è un suono “uguale”.
Se poi si divide CD a metà, il suono prodotto da questa corda è ancora più acuto, ma, anche questa volta, del tutto simile ai precedenti.
Insomma, se si prendono lunghezze della corda uguali a:

1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...

il suono sarà sempre simile, ma via via più acuto: si ottiene sempre la stessa nota.

Ora invece, scorciamo la corda ma senza dividerla proprio a metà; facciamone per esempio i 2/3

otterremo la corda EF

Ripetiamo l’esperimento: si produrrà un suono che dà una sensazione diversa da quella di prima.
Se poi dividiamo a metà la corda EF, e poi ancora a metà, e così via, si otterrà una serie di suoni simili fra loro, più o meno acuti: è un’altra nota.
”Scorciare la corda in modi diversi” — si è detto. E chiaro che potrei scorciarla a piacere, e avere così infinite note. Ma l’orecchio umano non distinguerebbe tutti questi suoni. 

Si è trovato che basta scorciare la corda in 7 modi diversi per avere sensazioni sonore diverse. Alle 7 lunghezze della corda corrispondono 7 diversi numeri di vibrazione della corda, e, dunque, 7 suoni diversi: le 7 note musicali. Si va di 7 in 7, di ottava in ottava.

Suonando la lira, nel 500 a.C., Pitagora aveva scoperto questo, anzi... molto più di questo: aveva scoperto la scala naturale.  La scala naturale è composta di 7 suoni diversi, cioè di 7 note che furono poi chiamate do, re, mi, fa, sol, la, si. Queste note corrispondono a determinate lunghezze della corda. Ecco come si ottiene il re: se il do di un’ottava, cioè di una certa altezza, si ottiene da una corda lunga “1”, il re si ottiene da una corda lunga gli 8/9 della corda che dà il do

 

Ciò significa che il numero delle vibrazioni della corda che da il re è i 9/8 del numero delle vibrazioni del do (ricordatevi: se scorcio la corda, il numero delle vibrazioni aumenta, e precisamente se la corda diventa la metà, il numero delle vibrazioni raddoppia; se diventa un terzo, il numero delle vibrazioni triplica; se diventa gli 8/9, il numero delle vibrazioni diventai i 9/8)

Per ottenere il mi, partendo sempre dalla corda “1” corrispondente al do, bisogna prenderne i 4/5

Il mi corrisponde dunque a un numero di vibrazioni uguali ai 5/4 delle vibrazioni del do.

Ecco le sette note con indicato, in corrispondenza, il numero delle vibrazioni: 

note	do	re	mi	fa	sol	la	si
n° vibraz.	1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8

Le frazioni vanno via via aumentando (mentre le lunghezze delle corde diminuiscono e diventano 8/9, 4/5, 3/4, ...) e questo vuol dire che i suoni diventano via via più alti. 

Abbiamo confrontato tutte le note con il do e, per semplicità, abbiamo fissato uguale a 1 il numero delle vibrazioni del do. Ma, per convenzione, tutte le note si riportano al la, al suono cioè che si ottiene pizzicando una corda di lunghezza tale da compiere 440 vibrazioni al secondo.

Allora, il numero delle vibrazioni delle altre note sarà (tenete presente il quadro delle note e del numero di vibrazioni che abbiamo scritto prima):

do = 3/5 * 440 = 264

re = 9/8 do = 9/8 * 264 = 297

mi = 5/4 do = 5/4 * 264 = 330

fa = 4/3 do = 4/3 * 264 = 352

sol = 3/2 do = 3/2 * 264 = 396

la = 440

si = 15/8 do = 15/8 * 264 = 495

Molti secoli sono passati dal tempo di Pitagora che è stato il primo a capire la relazione musica-numero. Variazioni e perfezionamenti sono stati apportati alla scala naturale, ma lo stretto rapporto fra musica e numero rimane sempre.  Quando suonate la chitarra, assieme al suono, voi, senza accorgervene, fate della matematica!

Da La Matematica – Numeri,

Emma Castelnuovo

Per il lettori più amanti della storia, QUI un contributo: uno scritto tratto da “Vita di Pitagora” di Bernardino Baldi ... – 1887.

Dall’inversa della potenza …

Maria Chiara, Erica, Letizia e Gabriele

relazionano sui Numeri quadrati… di Pitagora 

Ma, “abbiamo iniziato dicendo…”  dice Letizia. Ed ecco il testo collettivo.

Pochi giorni fa abbiamo scoperto l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.

Dato che l’elevamento a potenza mi permette di associare due numeri (base, esponente) a un terzo (potenza) moltiplicando il primo per se stesso tante volte quante me ne chiede il secondo,

se mettiamo che l’esponente sia 2, per estrarre la radice quadrata di un numero “n” devo trovare quel numero che moltiplicato per se stesso mi dia il numero considerato: per esempio se prendo in considerazione 64 la radice quadrata è 8.

Consideriamo invece un cubo da costruire con 64 cubetti: di questo cubo vogliamo sapere qual è lo spigolo. Attraverso la simbologia mi esprimo nel seguente modo: x³ = 64.
Quindi devo trovare quel numero che elevato 3 mi dà 64 (che è 4). Ma non importa il risultato: ciò che ci serve sapere è che l’estrazione di radice è quell’operazione che mi permette di trovare la base che non si conosce. 4 è la radice cubica di 64, ma più frequentemente è usata la radice quadrata [da noi…], indicata con il simbolo “√”.

Vediamo degli esempi di numeri elevati alla seconda:

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4²= 16

5² = 25

6² = 36

I risultati sono i cosiddetti numeri quadrati perfetti perché un qualsiasi numero intero moltiplicato per sé stesso (quindi alla seconda) mi dà uno di essi, quindi sono numeri la cui radice quadrata è un elemento di N.

La radice quadrata di questi numeri è perciò, perfetta, è esatta ed è un numero intero, ma provate a trovare la radice quadrata di 3, o di 5, o anche di 7: per averla devo ricorrere ai decimi, ai centesimi o ai millesimi, il che non la rende un numero intero. Radici quadrate così vengono chiamate infatti approssimate.

Ma torniamo ai numeri quadrati: avranno fatto bene a chiamarli così? Per saperlo dobbiamo andare indietro nel tempo, ai tempi di Pitagora che pensò bene di utilizzare dei sassolini per rappresentare i numeri e fece nel seguente modo:

 

… come abbiamo visto q u i

se osservate bene il numero di sassolini con cui riuscì a fare il suo “esperimento”, sono i nostri numeri quadrati. Per costruire dei quadrati, doveva essere un NUMERO QUADRATO PERFETTO. Quindi secondo voi hanno fatto bene a chiamare 1  4  9  16  25 ecc. numeri quadrati? Secondo me si!

Ma non è finita qui. Pitagora provò anche un altro esperimento: provò a sottrarre a ogni numero quadrato il suo precedente:

1 - 0 = 1

4 - 1 = 3

9 - 4 = 5

16 - 9 = 7

25 -16 = 9

Ottenne i numeri dispari. Noi abbiamo indagato sulla regolarità, il problema della scheda… 

Giovanni è stato il primo a scoprirla: ogni numero quadrato si ottiene dalla somma dei numeri dispari, in successione…

Per esempio il 4 si ottiene da 1 + 3, il 9 si ottiene da 1 + 3 + 5 e così via.

Lo dimostriamo anche con excel.

Per ottenere in excel la successione dei numeri quadrati è nata l’esigenza di fissare il primo numero dispari da sommare e ampliare via via l’intervallo, quindi abbiamo utilizzato i riferimenti assoluti. Le formule in figura sono state poi copiate lungo le righe (e le colonne).

Il file num.quadrati.xls si può scaricare.

Ragazzi,

ora posso segnalarvi Numeri quadrati e numeri rettangolari (che ormai avete scoperto…)  da maestra Renata. E’ un incrocio di link (!), ma vi rimando per vedere i numeri quadrati e rettangolari con GeoGebra e anche per eseguire gli esercizi con GeoGebra, che maestra Renata propone attraverso un simpaticissimo gufetto! Occorre cliccarci sopra.

Numeri quadrati

Ragazzi,

abbiamo già detto (e disegnato!) dei numeri quadrati.

Ora osservate, leggete e … indovinate!

Da QUADRATI
Collana: Numeri a merenda
Editoriale Scienza

L’indagine-discussione continuerà in classe…

Mi sa che occorre un ingrandimento del “problema”

E a rievocar Pitagora ...

... divento poetica :-)

Già, a citare Pitagora, sono andata a rileggere qui e là qualche passo sul grande matematico, filosofo ...

Filosofica è l'intervista impossibile di Umberto Eco al Maestro, riportata nella sezione Ritratti di Racconti matematici, a cura di Claudio Bartocci - ET Einaudi.

Naturalmente si parla del numero, sostanza di tutte le cose.

E c'è un passo, che ho ritrovato per l'appunto, poetico! Che posso farci ...

Si parla della sacra decade, la Tetraktys.

Ecco il passo dal testo:

PITAGORA:  ... Piuttosto, guarda questa figura.

ECO: La conosco ... E' la Tetraktys, il triangolo magico composto di punti. Tre lati, di quattro punti ciascuno, e un punto al centro, così che sembra anche composta di quattro file di punti, una di quattro, una di tre, una di due e una di uno.

PITAGORA: E in essa, se saprai capire, già ti sorride la verità del numero. [di seguito, per me ... poesia :)]

Uno più due più tre più quattro uguale a dieci.

Un punto al centro, origine di tutti gli altri.

Quattro punti ai lati,

quattro, il numero della perfezione, della forza, della giustizia e della solidità.

Tre serie di quattro punti formano

il triangolo equilatero, simbolo di eguaglianza perfetta.

La somma dei punti dà dieci,

e coi primi dieci numeri puoi esprimere tutti gli altri infiniti numeri che abitano nell'universo.

E se guardi il triangolo dal vertice alla base,

ecco che il numero dei punti ti mostra, alternati,

il pari e il dispari.

Il pari, simbolo dell'infinito,

perché non potrai mai identificare in una linea di punti pari il punto che la divida in due parti uguali.

Il dispari, dotato di un centro che separa due metà sempre uguali.

E l'uno, infine,

numero pari e dispari a un tempo,

origine sia dei numeri dispari che dei pari,

che con la sua sola presenza può rendere pari il dispari e dispari il pari.

Non vedi, uomo, in questo simbolo elementare, tutta la saggezza dell'universo,

tutte le leggi matematiche che fanno il mondo?

Link
Pitagora: "Tutto è numero"
E ancora ... Pitagora!
Pitagora continua....
Pitagora: contributo di un lettore
[Contributi] Pitagora e la musica
Pitagora lo predispose

[Matematica nella storia] Le prime teorie sulle proporzioni

La teoria delle proporzioni ha radici molto profonde....
Già i Babilonesi utilizzavano proporzioni per risolvere i problemi. È però da attribuire ai Pitagorici lo sviluppo di una vera e propria teoria delle proporzioni, viste da questi filosofi-matematici come relazioni puramente numeriche, mentre più tardi vennero interpretate come relazioni tra grandezze geometriche.
Pitagora visse nel VI secolo a.C. in Grecia, ma conobbe i matematici babilonesi, dai quali apprese, ad esempio, l'uso delle proporzioni.
I Pitagorici consideravano il «numero» come base di ogni cosa: ogni numero aveva un significato e influiva sulla vita delle persone, un po' come i segni zodiacali per gli astrologi.

La scuola pitagorica continuò la sua attività ancora per diversi secoli: la caratteristica di questa scuola fu la netta distinzione tra
• lo studio della teoria dei numeri in sé e per sé a cui i Pitagorici si dedicavano con passione, quasi con fanatismo, e
• lo studio delle tecniche di calcolo, che veniva chiamato logistica e di cui essi non si occuparono minimamente.

La «numerologia» è una tradizione che incuriosisce e interessa ancora oggi molte persone.
Per matematici che tenevano in tanta considerazione il numero, la proporzione, che offriva un'immagine così ricca di regolarità, era certamente molto intrigante.
Infatti, partendo da tre relazioni fondamentali, che Pitagora aveva appreso nel corso dei suoi viaggi in Mesopotamia, la scuola pitagorica si dedicò allo studio delle proporzioni fino a costruire un complesso armonico e coerente.

Le tre specie di proporzioni, che costituivano il fondamento delle teorie dei Pitagorici, possono essere così descritte, usando l'attuale linguaggio matematico.

1. PROPORZIONE ARITMETICA
4 numeri a, b, c, d sono in proporzione aritmetica quando
b + c = a + d
ossia quando la somma dei medi è uguale a quella degli estremi.

2. PROPORZIONE GEOMETRICA
4 numeri a, b, c, d sono in proporzione geometrica quando
a * d = b * c
ossia quando il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi.

3. PROPORZIONE ARMONICA
4 numeri a, b, c, d sono in proporzione armonica quando
1/b + 1/c = 1/a + 1/d
ossia quando i loro reciproci sono in proporzione aritmetica.

Sulla base di queste tre proporzioni, la scuola pitagorica elaborò un sistema di dieci uguaglianze (dieci è il numero perfetto secondo i pitagorici), ognuna delle quali esprime una relazione fra tre numeri, a, b e c, quando b è un medio proporzionale tra a e c (proporzione continua).

Le dieci uguaglianze sono le seguenti:

1) a-b=b-c (proporzione aritmetica)
2) a:b=b:c (proporzione geometrica)
3) a:c=(a-b):(b-c) (proporzione armonica)
4) a:c=(b-c):(a-b) (proporzione subcontraria)
5) b:c=(b-c):(a-b)
6) a:b=(b-c):(a-b)
7) a:c=(a-c):(b-c)
8) a:c=(a-c):(a-b)
9) b:c=(a-c):(b-c)
10) b:c=(a-c):(a-b)

Nella proporzione aritmetica la relazione è di tipo quantitativo perché un estremo ha sul medio "la stessa eccedenza che il medio ha rispetto all’altro estremo."
Al contrario nella proporzione geometrica la relazione fra i termini è di natura qualitativa, poiché è "una relazione di rapporti."
Diversa da entrambe la proporzione armonica, che stabilisce l’uguaglianza del rapporto degli estremi e di quello fra la differenza dei termini più grandi e la differenza dei termini più piccoli, come esprime la formula citata.
Tale proporzione è detta armonica perché su di essa si basano i rapporti fra le corde degli strumenti musicali, rapporti che danno luogo a suoni determinati.

Alle tre proporzioni, aritmetica, geometrica e armonica, corrispondono, rispettivamente, la medietà (o media) aritmetica,
semisomma degli estremi
$b = \frac{(a+c)}{ 2}$

la medietà geometrica,
radice quadrata del prodotto degli estremi:
$b= \sqrt{ ac } $

e la medietà armonica,
quoziente ottenuto dal doppio prodotto degli estremi e dalla loro somma:
$b = \frac{2ac}{(a+c)}$

Questa interpretazione trovava appunto delle incoraggianti conferme nello studio della musica; infatti considerando i due toni che definiscono l'intervallo di ottava (do grave e do acuto) come termini estremi a e c di una proporzione, risulta che, essendo essi in rapporto di 1/2, la loro media aritmetica
è b = (2+1)/2 = 3/2
mentre la loro media armonica è
b = 2(2*1)/(2+1) = 4/3.
L'intervallo di quinta è quindi la media aritmetica tra due toni distanti di un’ottava, mentre quello di quarta ne è la media armonica.
Quanto alla proporzione geometrica, essa mette in relazione le due medie, essendo
2 : 4/3 = 3/2 : 1.

A Pitagora quel che è di Pitagora ...

Nell'attesa del vostro post, ragazzi, sappiate che...
Leggete ancora una bella storia!

"Dalla parte opposta del sipario, si aprì la porta laterale e una ventata d'aria fresca entrò nello studio. Perrette sgattaiolò silenziosa nella sala proprio nel momento in cui si spegneva il fischio di ammirazione di Jonathan e Lea. Lei avrebbe voluto raggiungerli, poi, vedendo Albert, cambiò idea e si sedette.
Fu allora che, dall'altoparlante, giunse una voce ferma: «Attenzione, attenzione, questa è una rivelazione! Questa è una rivel... »
Ruche spense il contatto e annunciò: « Qui Ruche, ho una rivelazione da farvi. Il teorema di Pitagora non è di Pitagora».
Una salva di applausi accolse lo scoop. Lea non avrebbe saputo spiegare per quale motivo provasse tanto piacere; Jonathan, invece, rimase impassibile.
«Bisogna dare a Cesare quel che è di Cesare », riprese Ruche, « e togliere a Pitagora quel che non è di Pitagora. Molto tempo prima di lui, gli egizi e soprattutto i babilonesi avevano scoperto che esisteva un legame tra alcuni gruppi di tre numeri interi, e precisamente quello indicato dal celebre teorema.»
Per non allungare troppo il proprio intervento, si astenne dal precisare che su una tavoletta babilonese, la tavoletta Plimpton 322, così chiamata dal nome dell'archeologo inglese che l'aveva scoperta, uno scriba aveva indicato una quindicina di gruppi di tre numeri interi per i quali valeva la regola che la somma del quadrato di due di essi era uguale al quadrato del terzo.

La tavoletta babilonese, Plimpton 322.

La tavoletta era stata incisa oltre mille anni prima della nascita di Pitagora. Uno dei tre gruppi era 44, 60, 75, che equivale al nostro 3, 4, 5.

[44, 60, 75 non è una terna pitagorica...
Su questa tavoletta vi sono state e continuano innumerevoli discussioni. Cosa vogliono dire tutti questi numeri ? Al di là di ricostruzioni fantastiche, i più sono d'accordo nell'affermare che ci troviamo di fronte alla elencazione di terne pitagoriche. Nelle colonne II e III sono riportati dei numeri c e b tali che c² - b² sia uguale ad un quadrato, a², riportato nella colonna I diviso per c² (la colonna I, risultando parzialmente danneggiata, è stata interpretata laddove risultava illeggibile).
La colonna IV enumera solo le colonne, si tratta di numeri che vanno dall'1 al 15.
La colonna che viene supposta mancante, sulla sinistra, avrebbe dovuto contenere i numeri a. Si intuisce che siamo noi a dire che vi sono riferimenti a triangoli ma la tavoletta non lo dice in nessuna parte ed inoltre non si capisce cosa stia a fare o a significare il rapporto a²/c² che è riportato nella colonna I.
Quanto detto autorizza a varie ipotesi la più semplice è quella che prevede una manipolazione di numeri dai quali si ricavano alcune proprietà (ci sono storici che affermano che la tabella serva per preparare le soluzioni di equazioni di secondo grado). Non è detto che si stia argomentando su quello che conosciamo come Teorema di Pitagora.
In ogni caso, vediamo alcuni problemi a carattere geometrico in cui si può ravvisare la conoscenza del Teorema che sarà noto come Pitagora. Da qui]

Fece un segnale a Nofutur, che si drizzò sul posatoio, mentre Max si alzava.
«Tre bastoncini di legno! » annunciò il pappagallo. Max prese i tre bastoncini di legno disposti sul tavolo e li presentò al pubblico.
Nofutur: «La lunghezza del primo è 3, del secondo 4, del terzo 5 ». Max riportò tre volte la lunghezza della mano aperta sul pezzo di legno più piccolo, quattro volte su quello mediano e cinque sull'ultimo.
« E adesso che fanno, un'esibizione live? » brontolò Lea.
« Hanno fatto le prove », borbottò Jonathan. « Quando hanno potuto preparare questo numero da hostess? »
In effetti, Max aveva un sorriso vacuo e i suoi gesti meccanici somigliavano a quelli delle hostess che, in aereo, dopo il decollo, spiegano ai passeggeri il funzionamento della maschera a ossigeno e del giubbotto di salvataggio.
Nofutur proseguì: «Il quadrato di 3, che è 9, più il quadrato di 4, che è 16, danno come risultato il quadrato di 5, che è 25: il triangolo che ha come lati questi tre bastoncini è rettangolo! »
Mentre il pappagallo parlava, Max, con la punta dell'indice, scriveva nell'aria quello che Nofutur diceva: «3²+4² = 5² ».
Poi unì i tre legnetti in modo che le estremità fossero a contatto, formando un triangolo perfettamente identico a una squadra.
Che cosa dice il teorema? » domandò il signor Ruche. « Esso spiega che esiste un rapporto fra la lunghezza dei lati e la natura del triangolo.
E questo legame si può esprimere come segue: se la somma dei quadrati di due lati di un triangolo è uguale al quadrato del terzo, ossia: a² + b² = c², allora il triangolo è rettangolo. Esiste un rapporto molto stretto tra la lunghezza dei lati e la natura di uno degli angoli del triangolo.»
Si riempì un bicchiere d'acqua, bevendolo poi lentamente.
Max, che intanto era tornato al suo tavolo, colpì uno dei vasi sonori.
« Accordo del signor Ruche! » annunciò con la voce roca di Nofutur, che riusciva a imitare sempre meglio.
Il signor Ruche per poco non si strozzò.
Perrette si era sfilata le scarpe, allungando le gambe; la lunga giornata di lavoro in libreria l'aveva stancata. Seduta davanti al sipario chiuso, ascoltava senza vedere. ....
Jonathan fremeva, e finì per apostrofare Ruche. « Non per difendere Pitagora... »
Invece era proprio quello che intendeva fare. I capelli lunghi e il look di Pitagora avevano creato subito un legame di complicità tra lui e quel giramondo dell'antichità che aveva scorrazzato un po' ovunque dalle rive del Nilo a quelle dell'Eufrate, da Tebe a Babilonia, dalle coste dell'Asia Minore a quelle della Siria, dalle isole del mar Egeo alle sponde dello Ionio.
« Non per difendere Pitagora », continuò Jonathan, « ma lei, signor Ruche, ci ha spiegato a sufficienza che bisogna distinguere tra un risultato e la sua dimostrazione. Ora, i babilonesi e gli egizi possedevano un risultato, certo, ma lo avevano dimostrato? »
« A quanto pare, no », rispose Ruche.
« Dunque si può dire 'il risultato dei babilonesi' e 'il teorema di Pitagora'. Bisogna dare a Pitagora ciò che è di Pitagora! » argomentò Jonathan tutto trionfante.
Lea scelse proprio quel momento per chiedere al signor Ruche: « Perché quel sipario? Perché ci ha costretti ad aspettare tutto quel tempo là dietro? » [ cosa vi ricorda questa battuta, ragazzi?:-)]
Da Il teorema del Pappagallo

[Contributi] Pitagora e la musica

Il nostro amico Gaetano Barbella, ci invita a cominciare il 2008....
"Con il suono creatore di vita così come è parso a Pitagora"
Ci regala uno scritto tratto da un libro del 1887.

LE PROPORTIONI HARMONICHE
di
PITAGORA

Da la “Vita di Pitagora” di Bernardino Baldi Estratto dal Bollettino di bibliografia delle scienze matematiche e fisiche, diretto da B. Boncompagni Anno XX – 1887 – Forni Editore – Bologna. Pag. 275, 277, 278, 279, 280. [...]

La molta cognitione che questo filosofo [Pitagora] hebbe de l'Aritmetica e de la Geometria fece che, ne l'Astrologia e ne la Musica, egli facesse grandissimo profitto.
Percioché, constando la Musica di numeri armonici, e di proportioni de' segamenti de tuoni, non può essere appresa teoricamente da chi de l'Aritmetica e de la Geometia si troua ignorante.
Che Pitagora sopra tutte l'altre cose desse opera a le cose de la Musica, ce ne fa fede Ateneo ne' Dinnosofisti, oue parla de la Musica antica; il medesimo afferma Laertio, oue dice, hauer egli principalmente dato opera a le speculationi del Monocordo.
Iamblico accenna, chìegli l'apprendesse da i magi, da' quali egli imparò anco l'Aritmetica.
Giorgio Valla, ne la Musica, et Emanuele Briennio auanti a lui, affermano, questo filosofo hauer ritrouato ne gli aditi, cioè ne le parti più secrete de' tempii de l'Egitto, l'antichissima lira d'Orfeo, la quale di sette corde, portataui da Terpardro Lesbio, che, per diuenirne più caro a' sacerdoti, da' quali apparò la filosofia egittia, ve la lasciò appesa; da la qual lira comminciò ad andare rintracciando, prima di tutti gli altri, le consonanze e le proportioni; ma, come egli ciò facesse, e come di parte in parte s'andasse auanzando in questa specolatione, à pieno è spiegato dal sopradetto Briennio, nel primo libro e capitolo de la Musica. Che Pitagora non fosse inuentore da la Musica è manifesto, essendoui stati musici ualentissimi, molto più antichi di lui, e già essendo noto, per il testimonio de le Scritture sacre, esserne stati ritrouatori i figlioli di Caimo.
È confessato nondimeno da' migliori, egli, prima di tutti gli altri, hauerla ridotta in arte, e trattala metodicamente e per via di ragioni. Ma, come dal macrobio nel Sogno di Scipione, da cui prenderemo quello che sarà utile a questa opera nostra.
Dice dunque, che affaticandosi questo filosofo, et affannandosi indarno per ritrouar cosa cotando nascosta , gli uenne offerto da la sorte quello, che per uia di profonda specolatione non haueua potuto conseguire.
Percioché, passando à caso per una contrada, oue alcuni fabbri batteuano il ferro, giunse a l'improuiso a l'orecchie il suono de' martelli, che con un certo ordine de le percosse, consonando, i piccioli et grandi fra loro si corrispondeuano, laonde, immaginadosi di poter toccar con mano e ueder con gli occhi proprii quello, che poco prima andaua inuestigando per uia di speolatione, imaginossi prima, che la vuarietà de' suoni nascesse da la uarietà de le forze di chi percoteua: del che per accertarsi, fatti cambiare fra loro i medesimi martelli, trouò che la diuersità non consisteua ne le forze, me ne' martelli medesimi; onde, riuolto tutto il pensiero a l'essamine de le grauezze loro, et hauendo notato diligentemente il peso di ciascuno, e fatti fare altri martelli di grandezze diuerse, trouò che il suono ne ueniua alterato, e non così concorde e consonante come il primo; onde, fatto certo, la diuersità altronde non nascere, che da la diuersità de' pesi, notate le grauezze di tutti quei martelli da' quali nasceua la consonanza, riuolse tutto il pensiero da' martelli a le corde; e, fatto di budella di pecore, o di nerui di buoi, alcune corde, u'attaccò uarii pesi, e corrispondenti à quelli de' martelli, da' quali proueniva la consonanza; e trouò prouenirne la medesima consonanza, aggiuntaui di più la sonorità e dolcezza, che di sua natura sogliono hauere quelle corde. Per uia dunque di questa osseruatione, hauendo conseguito Pitagora la cognitione di così ascoso secreto, ritrouò i numeri, da' quali nascono le consonanze, et, adattagli a le corde, ne fece instrumenti, ne' quali, tese le corde o più o meno, fece benchè fossero poste lontane l'una da l'altra, toccate da un medesimo plettro, consonauano. Trouò egli dunque, ne l'infinita armonia, cioè sei solamente: l'Epitrio, che è come quattro atti à tre, cioè quando di due numeri il maggiore ha in sé tutto il minore, e di più la terza parte; l'Hemiolo, quando il maggiore contiene tutto il minore et la metà di più, come tre e due; il Duplo, come quattro à due; il Triplo, come tre à uno; il Quadruplo, come quattro à uno: l'Epogdoo, come noue à otto.
Ciascheduno di questi numeri produce una consonanza propria; l'Epitrio genera il Diatessaron, che è la quarta; l'Hemiolo il Diapente, che è la quinta; il Duplo il Diapason, che è l'ottaua; il Triplo, il Diapason et il Diapente; il Quadruplo la ottaua raddoppiata, che i Greci dicono Disdiapason; l'Epogdoo partorisce il tuono. Riprendeva Pitagora, come riferisce Plutarco nel suo Commentario de la Musica, quel giudizio che pende dal senso; uolendo egli che, non da l'udito, ma solamente da l'acutezza de l'intelletto e da le proportioni armoniche, potesser le cose musiche essere squisitamente essaminate. Giudicò parimente, come riferisce il medesimo, che la Musica douesse contenersi ne' termini del Diapason, cioè ottaua. De le proportioni harmoniche, ritrouate da Pitagora per via de' martelli, fa mentione anco Iamblico, aggiungendo, il detto filosofico da quel principio hauer ritrouato infinite proportioni, e molti istrumenti musici, come il Tetracordo, Heptacordo, il Monocordo, et anco il Pentacordo. La medesima diligenza di Pitagora nel ritrouare le proportini harmoniche uien commemorata da Censorino, nel suo libro del Giorno Natale, aggiungendo, non solamente hauer egli fatta l'esperienza con le corde, ma con le canne ancora, proportionatamente di grandezza dispari.
Nel qual luogo spiega anco, in qual modo il detto filosofo, per uia di ragioni musiche, saluasse il uiuere de' bambini, che nascono nel settimo e nel decimo mese.
Due spetie di parti si trouano, dice egli, secondo Pitagora: l'uno minore e di sette mesi, cioè quando il bambino esce fuori del uentre ducento e dieci giorni dopo la concettione; l'altro maggiore e di dieci mesi, che è quando, non prima di ducento settanta quattro, il parto se ne uiene a la luce: per renderne poi la ragione, dice, il primo parto, cioè il minore, esser contenuto nel numero senario, et il secondo nel settenario; il che posto, dice, i primi sei giorni il seme esser humido e bianco, a guisa di latte, gli otto giorni seguenti sanguigno: i quali due numeri hanno fra loro proportione harmonica, detta epitrito, cioè la quarta, perché il sei misura l'otto una uolta, et auanzane un terzo. Noue giorni dopo il feto douenta carne: il qual numero di noue al sei ha proportione hemiolia, et fa la consonanza diapente. Dodici giorni dopo si fa il corpo formato: il qual dodici, paragonato al medesimo senario, ha proportione dupla, da la quale nasce la consonanza diapason, cioè ottaua.
Questi quattro numeri, sei, otto, noue e dodici, congiunti insieme, fanno trentacinque: il qual numero, come secondo fondamento de la perfettione del parto, multiplicato di nuovo per sei, rende il numero di ducente e dieci, che costituisce lo spatio di sette mesi, nel qual nascono i parti de la spetie minore. Quelli de la spetie maggiore, come si disse, hanno fondamento il sette; e questo, non in trentacinque giorni, come gli altri, ma in quaranta, sono perfetti di membra: il qual numero, multiplicato per sette, numero fondamentale, produce ducento ottanta, che fa spatio di quarante settimane; e perché il feto nasce il primo giorno de l'ultima settimana, cauandone i sei de l'ultima settimana, rimane da la concettione al parto il numero di ducento settantaquattro giorni, che il parto ua a cadere nel decimo. Queste et altre cose di mente di Pitagora riferisce Censorino, aggiungendo, il detto filosofo essersi seruito de le ragioni harmoniche, ne l'inuestigar le distanze de' pianeti fra loro e la terra. Percioché tutto il mondo uoleua egli che fosse composto con ragioni musiche, e che le sette stelle, che uanno uagando fra il cielo e la terra, e moderano le natiuità de le genti, hauessero mouimento harmonico e proportionato, e gli inteualli loro hauessero moto conueniente à le le distanze harmoniche; e per ciò, mouendosi, rendessero dolcissima melodia, ma intesa da noi, per il souerchio suono: Queste cose, come dicemmo di sopra, furono riprouate dal Filosofo ne' libri del Cielo. [...]

Illustrazione tratta dall'enciclopedia I MONDI DELL'UOMO: IL MONDO DELLA TECNICA – Edizione Arnoldo Mondadori

Grazie Gaetano!

Pitagora: contributo di un lettore

Con mio grande piacere il poliedrico saggista e designer Gaetano Barbella, da qualche tempo lettore del nostro blog, accoglie la mia richiesta di pubblicazione di un suo recente commento sull'affascinante figura di Pitagora.
Riporto testualmente il suo intervento:

Gentile Prof.ssa Arcadu,
eccomi ancora a fornirle dei contributi, perché qui si tratta di Pitagora che merita approfondimenti per porre sul moggio la sua discepola e sposa Teano, riconosciuta come emblema della sapienza.
Credo sia utile conoscere la sua descrizione storica, quella di una esemplare madre, sposa e amante della scienza dell'antichità.

Da la «Vita di Pitagora» di Enrico Narducci (datata: Addì 3 Giugno 1588 - Forni Editore - Bologna 1887) è detto che:

«Hebbe moglie Pitagora, e questa fu Cretese, figliuola d'un Pitonatte e chiamossi Teano; di professione Philosofa (sic).».
Ma sembra che altre donne siano comprese nel novero di mogli ed anche amiche, da considerare, però, che «molti (storici) hanno preso l'una per l'altra, o stimato che due fossero una sola.».
«Che fieramente Pitagora amasse Teano, leggesi ne' Dinnosofisti d'Ateo.».

E poi altre interessanti notizie come le seguenti:

«Di Teano, moglie di Pitagora, si raccontano alcuni detti arguti, fra’ quali u’è questo, che nota Plutarco, ne l’operetta de’ Precetti Connubiali.
Una uolta, hauendosi costei cauato un guanto, ouero tiratosi la manica uerso il cubito, scoperse o la mano o il braccio; onde fu un certo, che disse: o bella mano; ed essa: ma non per la plebe o per il uolgo.
Addimandata parimenti, quando la donna sia monda da l’huomo, rispose: sempre dal suo, da l’altrui non mai. Soleva dire a le mogli, che ne l’entrare a’ mariti deponessero la vergogna con la ueste, ma ne l’uscire, con la ueste la ripigliassero.
Addimandata che vergogna fosse quella di ch’ella intendeva: quella, disse, che ch’io mi chiami donna.»

N.d.r.: In questo “riprendere la veste” di Teano, da stimarsi, per i pitagorici, la sacerdossa quasi da venerare, io intravedo il modo suo specifico di donna, emblematizzata con la “vergogna” in discussione, in perfetta aderenza all'osservanza del “silenzio”.

Fondamentale per Pitagora era l'osservanza del «silentio, ch'egli chiamava “echemitia”, cioè ritenimento di parlare, leggesi questo anco ne l'istesso Florilegio, fatto da Pallada:

E' gran dottrina à gli huomini il silentio:
Fede ne fa Pitagora sì saggio,
Che, dotto in dir, silentio insegnò altrui,
Gran rimedio il tacer trouato hauendo.

La cagione per la quale Pitagora imponeva il silentio a' suoi discepoli era il non uolere che le cose insegnate da lui fossero aulite, col farle palesi a' la feccia del uolgo... Né solamente commandaua Pitagora il silentio a' suoi discepoli, ma egli ancora amaua la brevità sopra tutte l'altre cose; ...».

Cordiali saluti,
Gaetano Barbella

Gaetano Barbella è autore del sito Il Geometra Pensiero in Rete dove raccoglie i suoi studi che spaziano dall'Arte, alla Geometria, all'Archeomitologia, all'Esoterismo, nonché Tradizione, Amore e Patria.
Un lettura che raccomando, un viaggio davvero interessante!
Grazie Gaetano!

Pitagora continua....

Eheh... che ci posso fare, Pitagora affascina, devo ancora scriverci su! :-)

In questo post ancora il numero 5 e la sezione aurea.
Già avevamo visto che nella scuola pitagorica il 5 era considerato l'unione del primo numero femminile (2) e del primo numero maschile (3), e come tale, il numero dell'amore e del matrimonio.

Sembra che i pitagorici avessero adottato il pentagono stellato o la Stella a cinque punte, quale simbolo del loro ordine, e che lo chiamassero «Salute».

Andiamo a vedere il perché dei punti (le lettere maiuscole) e delle uguaglianze (di rapporti) indicati in figura....
Il numero 5 ci conduce alle origini del rapporto aureo.
Il pentagono stellato si disegna tracciando tutte le diagonali possibili di un pentagono regolare fino ad ottenere una stella a 5 punte.
Da questa pagina riporto una chiara spiegazione
Dato un pentagono regolare ABCDE con lati uguali ed angoli uguali, tracciamo una diagonale BE che unisca due vertici qualsiasi del pentagono.
Se dividiamo la lunghezza della diagonale BE per la lunghezza di un lato AB, otterremo il valore
1,618... !
Se tracciamo ora una seconda diagonale AD all’interno del pentagono, ogni diagonale sarà divisa in due parti: il rapporto tra le due parti e tra la parte maggiore e l'intera diagonale sarà pari a PHI = 1,618....
Se tracciamo tutte le diagonali del pentagono, esse formeranno una stella a cinque punte o pentangolo al cui interno apparirà un pentagono invertito che sarà in rapporto aureo PHI con il primo pentagono...
Il pentagono stellato è sicuramente la figura geometrica che più di ogni altra rappresenta, all'infinito, la sezione aurea. E' forse per questo motivo che questo fu scelto come simbolo della scuola pitagorica;a questa figura è stata attribuita per millenni un’importanza misteriosa probabilmente per la sua proprietà di generare la sezione aurea, da cui è nata.

Questo simbolo dunque, accompagnava gli iniziati ai misteri pitagorici durante tutta la giornata, dal momento in cui si alzavano, alle prime luci dell'alba, fino a sera quando si ritiravano nella propria stanza.
Esso si trovava pure nella sala dove gli iniziati consumavano i pasti frugali ed alla fine di ogni pasto, il più anziano ricordava ai fratelli le cinque regole fondamentali di “giusta vita” che corrispondevano ai cinque angoli del Pentagramma:

1. esiste una sottile magia che unisce tutti gli esseri viventi e rispetta tutto ciò che vive;
2. impara a nutrire solamente pensieri buoni;
3. vieni in aiuto alle leggi divine e combatti l'illegalità;
4. adora solamente gli altari incruenti e offri agli dei i profumi della natura;
5. studia attentamente i presagi, le profezie e tutti i segni spontanei e ricordati che nulla avviene per caso.

alla prox!:-)

E ancora ... Pitagora!

E sì ... per rilassarci tra un problema e l'altro. Ve lo avevo detto che su Pitagora non sarebbe finita lì!

"Ecco come si mettevano alla prova i candidati [a frequentare la scuola pitagorica]. Pitagora cominciava col verificare se il postulante [colui che chiedeva di essere ammesso alla scuola] era capace di "tenere la lingua a freno": era questo il termine che usava. Sarebbe riuscito a tenere per sé quello che aveva sentito durante le sedute di insegnamento? In un primo tempo, vedete, il silenzio gli interessava più della parola. La sala dove si tenevano le lezioni era divisa in due da una tenda: Pitagora si trovava da una parte e i postulanti dall'altra, quindi avevano accesso al suo insegnamento solo grazie all'udito. Lo sentivano, ma senza vederlo. E quel periodo di prova durava cinque anni! [...] La tenda era di estrema importanza nella vita della scuola pitagorica. Oltrepassarla significava aver superato con successo le prove d'iniziazione. I membri della scuola erano divisi in due categorie, a seconda del lato della tenda dal quale si trovavano. All'esterno dello spazio in cui si trovava Pitagora, gli essoterici [dal greco exo, di fuori, esterno]... All'interno, e per tutto il resto dei loro giorni, gli esoterici [dal greco eso, dentro, interno]. Loro soltanto potevano sentire e vedere Pitagora.
Persino i testi dei pitagorici obbedivano alla regola del segreto. Redatti in un linguaggio a doppio senso, giocavano su due livelli di interpretazione, uno comprensibile a tutti, l'altro riservato agli iniziati. I pitagorici parlavano di symbola e di aenigmata, di simboli e di enigmi. La maggior parte delle nozioni si trasmettevano parlando all'orecchio e ciò dava luogo a una seconda separazione. Da un lato si trovavano gli "acusmatici", ai quali si fornivano i risultati, ma non le dimostrazioni per arrivarvi , e dall'altro i "matematici", ai quali si trasmettevano risultati e dimostrazioni insieme".
Da "Il teorema del pappagallo", Denis Guedj

alla prox!:-)

Numeri triangolari, quadrati, ... poligonali.

Vediamo di conoscere meglio i numeri triangolari, quadrati.... della scuola pitagorica.
In realtà di questi numeri ho già parlato qui in blog, sia pure indirettamente.
Vi ricordo la segnalazione: Indagini sulla moltiplicazione.
La quale rimandava ad una interessante, ricca e divertente presentazione su Power Point (aggiornamento del 03/09/2005).
Questa è una delle slide sull'argomento:

Sulla tabella della moltiplicazione, fra le tante proprietà e curiosità sui numeri, si possono individuare i numeri poligonali. La presentazione spiega anche come ottenerli via via, osservando la tabella.

Come potete leggere nella presentazione stessa, ho dato il mio contributo rendendo "interattive" con Excel alcune delle proposte inserite (notate sulla slide il link al file excel relativo ai poligonali).

Un'immagine-excel è questa:

Notate in figura i numeri triangolari, elencati ed evidenziati nella tavola. Per ottenere i numeri quadrati basterà fare clic sulla prima cella viola contenente il numero1, subito a destra dell'elenco dei triangolari e copiare la formula lungo la colonna. Si vedrà apparire l'elenco dei numeri quadrati e popolarsi di questi la tavola. Così per gli altri poligonali. Il file contiene le istruzioni d'uso. [nota: l'immagine riportata nelle mie "informazioni personali" è ancora tratta da un file excel contenuto nella presentazione: rappresenta i numeri cubici].
Dunque:
come già visto, parlando della scuola di Pitagora, i numeri poligonali indicano la quantità di punti con cui si può formare un determinato poligono regolare. A seconda della figura generata, pertanto, avremo i numeri triangolari, quadrati, pentagonali, esagonali ecc.
(Potete scorrere appena sotto e rivedere le immagini).
Qui seguite questa simpatica animazione con i numeri quadrati.

Suggerisco la visione dell'intera pagina da cui essa è tratta.

[Aggiornamento]: da Maestra Renata ancora un'animazione e la proposta di esercizi sui numeri quadrati.

I numeri poligonali si possono ottenere sommando gli elementi di progressioni aritmetiche.
Un semplice esempio di progressione aritmetica è quella che genera i numeri naturali:
1+1+1+1+1+ ... (ragione r=0) numeri naturali: 1; 1+1= 2; 1+1+1= 3; 1+1+1+1= 4; 1+1+1+1+1= 5 e così via ...
1+2+3+4+.... (ragione r=1) numeri triangolari: 1; 1+2= 3; 1+2+3= 6; 1+2+3+4= 10; 1+2+3+4+5= 15 e così via ...
1+3+5+7+... (ragione r=2) numeri quadrati. Come sopra si sommano via via i termini della progressione e si ottengono: 1 4 9 16 25 ...
1+4+7+10+13+... (ragione r=3) numeri pentagonali: 1 5 12 22 35 ...
1+5+9+13+17+... (ragione r=4) numeri esagonali: 1 6 15 28 45....
Si procede allo stesso modo per ottenere gli altri numeri poligonali.

A ogni tipo di numero poligonale corrisponde una formula, una piccola espressione, che ne permette l’immediato calcolo.
Consideriamo un numero naturale qualsiasi, n. Troviamo:
un numero triangolare con la formula: n*(n+1)/2
un numero quadrato: n*(2*n+0)/2 (più semplicemente, come sappiamo: n^2)
un numero pentagonale: n*(3*n-1)/2
un numero esagonale: n*(4*n-2)/2
un numero eptagonale: n*(5*n-3)/2
un numero ottagonale: n*(6*n-4)/2
E così per gli altri: notate la regolarità presente nelle ultime quattro formule.

Pillola di Excel:
Le formule appena viste sono state utilizzate nel lavoro in Excel.
I numeri n, naturali in successione, si ottengono con la funzione di Excel: RIF.RIGA() che, immessa senza argomenti in una cella di una riga qualsiasi, restituisce il numero di riga alla quale la cella appartiene. Es: =RIF.RIGA(), immessa in cella C5, restituisce il numero 5.
Se immettiamo invece la formula: =RIF.RIGA(A1), in una cella qualsiasi, è restituito il numero 1
Dunque:
riprendiamo la formula dei numeri triangolari: n*(n+1)/2 per n=1,
in Excel digiteremo:
=RIF.RIGA(A1)*(RIF.RIGA(A1)+1)/2 che significa: 1*(1+1)/2 = 1
per n=2, in Excel:
=RIF.RIGA(A2)*(RIF.RIGA(A2)+1)/2 che significa: 2*(2+1)/2 = 3
per n=3:
=RIF.RIGA(A3)*(RIF.RIGA(A3)+1)/2 che significa: 3*(3+1)/2 = 6
e così via...
Rivedete ancora i numeri triangolari nelle immagini del post sotto....!

alla prox!:-)