2013

Ragazzi,

I e... dintorni!

Sì, Buon Anno Nuovo, eh!

Ma, questo numero? Vi siete chiesti qualcosa, lo avete “guardato in faccia”?  Bene, vi invito io! Che so, si può cominciare, per esempio, a scoprire per quale numero si può dividere (ovvio, con la divisione con resto uguale a zero), e poi, continuare a dividerlo ... trovare insomma i suoi mattoncini (eh eh anche i numeri sono costruiti con degli altri che ne sono i mattoni!).

E poi, perché possiamo dire che i numeri che dividono 2013 sono i mattoncini? Che caratteristica hanno?

Ecco, indagate...

Ma non è vietato fare osservazioni personali! Ciascuno può vedere nel numero 2013 delle particolarità. E poi, si può scrivere in base diversa... insomma, fate!

Auguri

continuano ...

Questi sono da parte di Pietro P. Clic, è animato!

Ragazzi, io vi regalo quest’albero: osservate, poi clic per vedere animazione

curioso, no? Auguri!

Guardate QUI altri alberelli!

Arriva anche l’alberello di un altro Pietro: P.S.! Felice di aver fatto lampeggiare le palline! Clic

Orologio Binario !

Ragazzi (prima e ... tutti)

guardate:

Carino vero? E come funziona l’orologio binario? Per capire bene bene, andate su QUESTA PAGINA.

Osservatelo attentamente in funzione sulla barra destra.

Ditemi poi se avete capito!

Quadrato di un numero: calcolo veloce

Ragazzi,

trucchi matematici!

Segnalati dal prof. Angelo Stella. Sul sito potreste leggere altri articoli di nostro interesse.

Clic sull’immagine, buon divertimento!

Decimale periodico n/7

Ragazzi,

riporto qui la curiosità di cui vi ho parlato, sul numero periodico semplice generato dalle frazioni con denominatore 7.

Abbiamo trovato il numero periodico generato da 1/7 :

Quando si è ripresentato il resto di 1 abbiamo trovato il periodo: 142857 142857 142857 142857 .... di sei cifre.

Il periodo non poteva essere più lungo di sei cifre: infatti, abbiamo ragionato, la divisione per 7, escludendo lo zero  se il divisore è un multiplo di 7, può avere solo sei resti: 1, 2, 3, 4, 5, 6. (Se ho resto 7 o maggiore... so che ho sbagliato la divisione: ci stava qualche volta in più!)

Ora: per calcolare il periodico generato da 2/7,  basta osservare che il calcolo comincia con un resto 2:

2:7 = 0 con resto 2

Il lavoro l'abbiamo già fatto per la divisione 1:7; ci limitiamo a prendere il risultato dal punto in cui compare il resto 2, e a scrivere la risposta come 0,285714... periodico.

Possiamo chiamare questa ricorrenza, proprietà del nastro trasportatore, pensando al dispositivo sui cui girano i bagagli usciti nella sala arrivi di un aeroporto. Dovunque ci fermiamo, ci passano davanti gli stessi oggetti.

Per trovare il periodico generato da 3/7, basta fermarsi nel punto in cui compare il resto 3 e osservare il ciclo che si ripresenta come 0,428571....

Ribadiamo: ci sono soltanto sei possibili resti: 1, 2, 3, 4, 5, 6, e ciascuno di essi compare una sola volta. E osservate bene la proprietà del nastro trasportatore del numero 142.857:

142.857 x 1 = 142.857
142.857 x 2 = 285.714
142.857 x 3 = 428.571
142.857 x 4 = 571.428
142.857 x 5 = 714.285
142.857 x 6 = 857.142

Non vi sembra curioso?

A questo punto, osservate:

142.857 x 7 = 999.999

Quando si calcola la sesta cifra decimale del rapporto 1/7 il resto è 1. Ciò significa che la divisione di 1.000.000 per 7 ha resto 1, e quindi 7 sta esattamente in 999.999, 142.857 volte.

La frazione 1/7 e il suo valore decimale ci dicono una cosa sugli interi: 7 è un divisore esatto del numero che si scrive come sei 9!

.... C'è una regolarità che sussiste anche per altre frazioni?

La curiosità è tratta dal libro:

 Il Curioso Dei Numeri (già!) - Stranezze matematiche, controversie scientifiche, divagazioni da 1 a 9 di Andrew Hodges  

Per cominciare ... curiosamente

Per voi piccoli che state per arrivare,

oltre che con tanti giochi, che già vi ho dedicato

(oh, dovrò presentarvi il blog e insegnarvi come ... frugarci!),

cominciamo curiosando con le operazioni!

1. Considerate le moltiplicazioni seguenti e osservate che:

3 x 37 = 111        111 è tale che 1+1+1 = 3

6 x 37 = 222       222 è tale che 2+2+2 = 6

9 x 37 = 333       333 è tale che 3+3+3 = 9

Riflettete:

6 = 2 x 3 e il risultato di 6 x 37 è il doppio di 111;

9 = 3 x 3 e allora 9 x 37 sarà uguale al ..................

- Sapete dire, senza eseguire l’operazione, quale sarà il risultato della moltiplicazione 37 x 12 ?

- E di 37 x 15 ?

2. Calcolate:

1 x 9 + 2 =

12 x 9 + 3 =

123 x 9 + 4 =

1234 x 9 + 5 =

Avete capito la legge di formazione di queste addizioni?

Sapreste costruirne un’altra? Sapreste prevedere quale sarà il risultato?

Benvenuti e buon divertimento! :-)

Un misterioso numero preso dal Vangelo

Ragazzi,

prima della ripresa, oppure per la ripresa...

Le curiosità sui numeri non finiscono mai!

Si legge nel Vangelo:

"Ascendit Simon Petrus et traxit rete in terram plenum magnis piscibus, centum quinquaginta trium." (Iohannem, 21, 11)

E cioè:

«Simon Pietro montò nella barca e tirò a terra la rete piena di 153 grossi pesci». Giovanni, XXI, 11

Perché 153 e non 150 o 155? Forse arcani misteri si nascondono dietro il 153? Quali? In verità questo numero ha qualcosa di magico. Intanto soddisfa alcune proprietà aritmetiche di fronte alle quali solo i minerali più grezzi restano indifferenti:

a) è la somma dei numeri da 1 a 17 compreso, niente di speciale:

1+2+3+4+....+15+16+17 = 153

b) Si può scrivere come somma:

153 = 1+(1x2)+(1x2x3)+(1x2x3x4)+(1x2x3x4x5)

ossia usando il fattoriale(!):
153 = 1!+2!+3!+4!+5!

[capito il *fattoriale*, ragazzi? Se vogliamo scrivere in modo più compatto prodotti del tipo:

1x2; 1x2x3; 1x2x3x4; 1x2x3x4x5; ecc

possiamo scrivere:

1x2=2! (2 fattoriale)   1x2x3=3! (3 fattoriale) = 6    1x2x3x4=4! = 24    1x2x3x4x5=5! = 120 e così via

Il fattoriale di un numero naturale indica il prodotto del numero per tutti i suoi antecedenti - i numeri che lo precedono nella successione naturale]

c) Il numero 153 è uguale alla somma dei cubi delle sue cifre:

1³+ 5³+ 3³= 153

Ci sono soltanto altri tre numeri, oltre a 1 e 153, che sono uguali alla somma dei cubi delle loro cifre: 370, 371 e 407. Queste curiose proprietà appartengono a 153 dalla notte dei tempi e potrebbero dare della matematica quell'idea, sbagliata, che sia una disciplina che tratta cose vecchie quanto il mondo.

E che dire allora di quest'altra meravigliosa proprietà del numero 153, scoperta dal matematico israeliano Phil Kohn nel 1961?

“Il 153 si trova "dormiente" nel 3 e in ogni multiplo di 3.”

Prendete un qualsiasi numero multiplo di tre, sommate i cubi delle sue cifre, poi sommate i cubi delle cifre del risultato ottenuto e così via. Riuscite ad indovinare cosa apparirà alla fine? Facciamo una prova col numero 162:

1³+ 6³+ 2³= 225;

2³+ 2³+ 5³= 141;

1³+ 4³+ 1³=66;

6³+ 6³= 432;

4³+ 3³+ 2³= 99;

9³+ 9³= 1458;

1³+ 4³+ 5³+ 8³= 702;

7³+ 2³= 351

et voila

3³+ 5³+ 1³= 153.

Ed ora, ripetendo l'algoritmo, avremo sempre il numero 153 di Simon Pietro (o dell'evangelista Giovanni).

Il 1961 non è un anno tanto lontano; ci si lamenta spesso che la Storia insegnata nelle nostre scuole si ferma troppo presto e che non tratta gli avvenimenti della seconda metà di questo secolo. Almeno parla della prima guerra mondiale!

E la Matematica? Di che secolo è l'argomento più giovane di matematica studiato dai nostri ragazzi? In certe scuole non ci si ferma che alla fine del '600?

Da una pagina di Mauro Cerasoli: Consigli per amare Matematica.

E da Base cinque la cui pagina contiene tre programmi in Javascript utili per indagare il problema.

In un file Excel le sequenze generate calcolando ripetutamente la somma dei cubi delle cifre di un numero.

Ho utilizzato formule per cui ho dovuto limitare il numero di cifre costituenti i valori da testare e il numero delle sequenze (le formule potrebbero estendersi lungo le colonne. Per noi, ragazzi, è sufficiente il numero di righe predisposto...) 

Clic sull’immagine per scaricare il file

Numeri riproduttori di Fibonacci

Di Fibonacci e della sua famosa successione,

su questo blog ci siamo occupati a più riprese.

Fra i record del mondo dei numeri, non mancano quelli collegati ai numeri di Fibonacci.

In questo post, i curiosi Numeri riproduttori di Fibonacci 

“Nel 1989, il dottor Googol scoprì che i numeri 129.572.008 e 251.133.297 sono nuovi "numeri riproduttori di Fibonacci" nell'intervallo definito tra 100 e 1.000 milioni. A quel tempo, erano i numeri riproduttori di Fibonacci più grandi scoperti, anche se oggi molte persone hanno raccolto la sfida e scoperto numeri di questo tipo molto più grandi.”

Da LA MAGIA DEI NUMERI – Clifford Pickover – Sfide Matematiche

“Un numero riproduttore di Fibonacci, o repfigit (da replicating Fibonacci digit), ha la notevole proprietà di ripetersi in una sequenza generata partendo con le n cifre di un numero e poi continuando la sequenza con un numero che è la somma dei precedenti n termini. Un esempio dovrebbe chiarirci  meglio.

47 è un repfigit poiché la sequenza: 4, 7, 11, 18, 29, 47, contiene il 47.

Analogamente, 1.537 è un repfigit poiché la sequenza: 1, 5, 3, 7, 16, 31, 57, 111, 215, 414, 797, 1537, contiene 1537.

Nel 1987, Michael Keith ha introdotto il concetto dei numeri riproduttori di Fibonacci. Allora la cifra di questo tipo più alta conosciuta era un numero di 7 cifre, 7.913.837. Nel novembre 1989, furono scoperti 3 numeri riproduttori ancora più grandi e il
numero più grande al mondo era 44.121.607.

La questione se il numero dei riproduttori è infinito oppure no, è ancora irrisolta. Sarebbe interessante trovare  che non esiste un numero riproduttore per numeri maggiori di cifre, oppure scoprire strutture ricercando i numeri più grandi.”

Nella tab. seguente i numeri riproduttori di Fibonacci fino a 5 cifre

n° di cifre
2	14	19	28	47	61	75
3	197	742
4	1104	1537	2208	2508	3684	4788	7385	7647	7909
5	31331	34285	34348	55604	62662	86935	93993

A questa pagina una tabella con numeri riproduttori o di Keith fino a ben 34 cifre!

Per i matematici la sequenza repfigit (Keith) può essere descritta così:

Considerato un numero intero positivo N con n° di cifre $d_1, d_2, ..., d_n$.

Si consideri la sequenza definita da $a_k =  d_k$ (k = 1, 2, …, n) e $a_k =  \sum_{n }^{i=1 } \,\, a_{k-i}\,\,(k>n)$. Se $a_k = N $ per ogni k, N è un numero riproduttore di Fibonacci o numero di Keith.

si veda anche QUI.

Ancora per la “prima”: sullo Zero!

o voi,

che ormai lo chiamate Zephirum e Sunya … che forti siete! :-)

avete letto QUI?

dovete, vi interrogo! eheheh ...  cattivissima :-) :-)

Scherzo naturalmente, ma: c’è una simpatica poesia e troverete la risposta a:

da dove deriva il simbolo grafico "O"?  [pare che…]

Per piacere, provate a rispondere qui sotto:

Mi piace portare in evidenza il commento di Peppe, un nuovo nostro amico. Ci regala una poesia di Trilussa, sullo zero  … molto significativa!

NUMMERI
- Conterò poco, è vero:
- diceva l'Uno ar Zero
- ma tu che vali?
Gnente: propio gnente.
Sia ne l'azzione come ner pensiero
rimani un coso voto e inconcrudente.
lo, invece, se me metto a capofila
de cinque zeri tale e quale a te,
lo sai quanto divento? Centomila.
È questione de nummeri. A un dipresso
è quello che succede ar dittatore
che cresce de potenza e de valore
più so' li zeri che je vanno appresso.

Trilussa (1944)

grazie Peppe.

Smile

Da qui...
la mia amica Renata, che con Geogebra... ma come la devo chiamare... è diabolica! :-)
... guardate che sorriso mi regala!
Clic sulla seconda immagine per vedere l'animazione.

grazie Rena' :-)

Moltiplicare... in quanti modi!

Ancora dedicato ai "nuovi" ma, ... noo, e chi li scorda i "vecchi"?
In questo post, un curioso metodo per eseguire una moltiplicazione anche senza ... tabelline! Andate a vedere anche il video segnalato.
Infatti, adsl evviva, ora che ci possiamo permettere qualche video (si spera anche a scuola!), seguiamo un altro paio di metodi altrettanto curiosi per moltiplicare.
Osservate qui:

Su questo metodo ci torneremo a proposito di addizioni e sottrazioni ...
Ora questo:

E infine:


Ragazzi.. poi farete delle prove per verificare se funziona sempre!
Alla base di tutto questo, la Matematica Vedica: QUI e, già segnalato, QUI

Happy Equations

Guardate un po'...

Step 1:

$x^2+y^2\,=\,9$

Grafico:

Step 2:

$y\,=\,- \sqrt{(4 - x²)}$

Altro grafico:

Step 3:

$(x - 1)² + (y - 3/2 )²\,≤\, \frac{ 1 }{ 2}$
$(x + 1)² + (y - 3/2 )²\,≤\, \frac{ 1 }{ 2}$

Grafico:

Da QUI

Con GeoGebra!

Ah, la matematica!:-))

Un cerchio famoso: il cerchio dei nove punti

Ragazzi, vi faccio conoscere un’altra interessante curiosità geometrica!
Osservate la figura (prima di fare clic su di essa può esservi utile leggere sotto. Oppure, chi crede può anche scoprire da se... Nell'applet muovete un qualsiasi vertice del triangolo)

Come vedete si tratta di un cerchio la cui circonferenza passa per ben nove punti caratteristici di un triangolo:
- i piedi delle tre altezze
- i punti medi dei tre lati
- i punti medi dei segmenti che uniscono i tre vertici del triangolo all'ortocentro.
Esiste un teorema che dice proprio così:
I piedi delle tre altezze di un triangolo, i punti medi dei tre lati e i punti medi dei segmenti che congiungono i tre vertici all'ortocentro, giacciono tutti sulla medesima circonferenza.
Il cerchio definito da questa circonferenza viene detto cerchio dei nove punti (o anche cerchio di Eulero o di Feuerbach).
Nonostante le denominazioni, la prima dimostrazione della sua esistenza venne in realtà pubblicata da J. V. Poncelet nel 1821 mentre K.W. Feuerbach ottenne un'altra interessante proprietà di tale cerchio.
Proprietà che andiamo a scoprire (qui, per voi ragazzi, credo davvero sia meglio leggere prima le spiegazioni sotto...)

In figura, oltre al cerchio dei nove punti, riconoscete bene il cerchio inscritto al triangolo (in azzurro-viola).
Ci sono delle novità: sono costruiti altri tre cerchi ciascuno dei quali risulta tangente ad un lato e ai prolungamenti degli altri due.
Questi tre cerchi sono detti excerchi o ex-inscritti al triangolo.
Come si costruiscono?
È sempre da considerare il punto di incontro delle bisettrici, l'incentro.
Ma stavolta occorre tracciare anche le bisettrici degli angoli esterni del triangolo.
Per costruire i quattro cerchi, quello inscritto e i tre excerchi, si procede nel modo seguente:
- si tracciano le tre rette passanti per i vertici del triangolo
- si costruiscono le bisettrici dei tre angoli interni, che come sappiamo si incontrano tutte in un punto (l'incentro, indichiamolo I).
- per disegnare la circonferenza inscritta, lo sapete, conviene tracciare la retta perpendicolare ad un lato qualsiasi del triangolo e passante per l'incentro I; segnato il punto di intersezione (L) di tale retta con il lato, si traccia il segmento IL e infine la circonferenza di centro I e raggio IL.
- si tracciano le bisettrici degli angoli esterni [ricordate: ciascun angolo esterno ha come lati rispettivamente un lato del triangolo e il prolungamento del suo consecutivo].
Tali bisettrici si incontrano a due a due nei punti D, D1, D2: gli excentri
- per costruire una delle circonferenze exinscritte, si traccia per esempio da D1 la perpendicolare ad un lato del triangolo, segnato il punto di intersezione (K), si traccia la circonferenza di centro D1 e raggio D1K
- si ripete la costruzione per le altre due circonferenze.

Nella costruzione possiamo ora rilevare una proprietà decisamente interessante: il cerchio iscritto è sempre tangente internamente al cerchio dei nove punti e quest'ultimo a sua volta, risulta tangente esternamente a tutti e tre i cerchi ex-inscritti.
Vedete evidenziati i punti di tangenza tra tutti i cerchi coinvolti nel teorema: questi quattro punti vengono detti punti di Feuerbach del triangolo ABC.
Potete verificare la proprietà muovendo nell'applet un qualsiasi vertice del triangolo.
Il teorema che enuncia formalmente tale proprietà viene attribuito proprio a K.W. Feuerbach che ne pubblicò la dimostrazione nel 1822.
Teorema di Feuerbach
Il cerchio inscritto è tangente internamente al cerchio dei nove punti e questo è tangente esternamente ai tre cerchi ex-inscritti.
Il teorema di Feuerbach permette quindi di associare ad un triangolo altri quattro punti tutti appartenenti al cerchio dei nove punti: è per questo motivo che tale cerchio viene anche detto cerchio di Feuerbach.
Noi ci fermiamo qui, non approfondiamo le dimostrazioni e le altre interessantissime proprietà del cerchio dei nove punti.

Irrazionali zebra

Non è vero che gli irrazionali non hanno delle regolarità!

"Se le cifre di un numero irrazionale vengono scelte a caso, certamente non bisogna aspettarsi che mostrino percorsi ovvi nelle prime cento cifre...
Mister Plex (alieno, assistente del dottor Oz): 'No, non è vero. Guarda la classe di numeri che i terrestri chiamano irrazionali zebra.' Due dei suoi piedi iniziano a battere eccitati.. 'E adesso ti faccio vedere perché! Qui c'è il mio irrazionale zebra preferito'. Mister Plex mostra una carta con l'equazione:

$f(n)= \sqrt{ \frac{ 9 }{ 121x100^n} + \frac{ (112-44n) }{121 } }$

E aggiunge: 'Voglio mostrarvi un numero irrazionale meraviglioso, generato quando n è uguale a 30'. Porge una carta:

272727272727272727272727272727
2727272727272727272727272727
08
96969696969696969696969696969
6969696969696969696969696969
08
280134
680134 680134 680134 680134
680134 680134 680134 680134
6760129280957725402169846614291058
7355031799476243920688365098232657372074...
il numero irrazionale zebra più bello del mondo

Dorothy indietreggia. "Oh, mio Dio, che disegno."
'Sì, ne ho fatto una composizione grafica per mettere in evidenza i comportamenti.'
II dottor Oz annuisce, apparentemente impressionato dall'abilità matematica di Mister Plex. "Qui ci sono alcune configurazioni bizzarre, che sembra si blocchino improvvisamente all'ultimo 680134, come l'acqua che zampilla da un buco si esaurisce all'improvviso se si chiude la fonte.
Da quel punto in avanti le cifre non seguono alcun comportamento che i miei occhi alieni possano distinguere. Dorothy, qui c'è una calcolatrice. Sei in grado di calcolare altri numeri di questo irrazionale zebra e trovare altre configurazioni? Quali altri irrazionali zebra puoi scoprire?""
Da La matematica di OZ - I Clifford Pickover (Sfide Matematiche)

Le 10 formule matematiche ...

... che hanno cambiato la faccia del mondo.

C'è poco da fare: le formule matematiche sono anche belle!
La bellezza dei simboli, delle formulazioni stesse...
La matematica è arte!

"Il dottor Googol ha condotto un sondaggio personale su quali formule gli scienziati considerassero "le 10 formule matematiche che hanno cambiato la faccia del mondo".
... la maggioranza degli intervistati erano matematici (professori, professionisti e studenti di dottorato).
Ecco la risposta a questa domanda data dalle circa 50 persone interessate che hanno fornito al dott Googol la loro opinione su quali fossero le equazioni più importanti ed influenti.
In ordine di preferenze ottenute

LE TOP 10
1. $E=mc^{2}$
2. $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
3.
4. $x= \frac{ (- b+/- \sqrt{ b^{2}-4ac) } }{ 2a} $
5. $\vec F=m\vec a$
6. $1+e^{iπ}=0$
7. $c=2πr; \quad a= πr^{2}$
8. $\vec{ F } = \frac{ Gm_1m_2 }{ r^{2}} $
9. $f(x)= \Sigma c_ne^{ \frac{ inπx }{L }$
10. $e^{iθ}=cosθ+isinθ$ ,
$imparentata\quad con \quad a^n+b^n=c^n, n≥2$

Quante di queste formule conoscete? Se ne riconoscete più di cinque, probabilmente le vostre conoscenze sono maggiori di quelle del 99% del resto del mondo. Se avete riconosciuto tutte le equazioni nell'elenco ....., vi siete meritati un posto accanto alle divinità antidiluviane.
Ecco qualche spiegazione per alcune delle formule.
3. Una delle equazioni di Maxwell per l'elettromagnetismo (non mi è riuscita con LaTex!) *
4. Formula risolutiva per le equazioni di secondo grado nella forma ax²+bx+c=0
5. La seconda legge di Newton, che collega forza, massa e accelerazione
7. Circonferenza e area di un cerchio
9. Rappresenta una serie di Fourier.
10. La prima formula è l'identità di Eulero che mette in relazione l'esponenziale e le funzioni trigonometriche; la seconda formula rappresenta l'Ultimo Teorema di Fermat."

Da Le Meraviglie dei Numeri - Clifford Pickover - Sfide Matematiche 15

* commenta Maurizio, a proposito di Maxwell:
aggiungerei la seguente relazione:
JCM = dp/dt (termodinamica)
Non a caso James Clerk Maxwell si firmava proprio dp/dt.
grazie Maurizio :-)
Anche Cristian++ mi invita ad allungare la lista:
"ne manca anche un'altra che ritengo bellissima:
$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ [Eulero forever]
sommiamo infiniti numeri e viene fuori una cosa finita non mette un po' i brividi :) ?"
grazie Cristian :-)

Enigmi di aritmetica: Dischi rotti

Ancora da
ESPERIENZA A-AH! - Martin Gardner
un rompicapo davvero carino ... :-)

DISCHI ROTTI

Bob e Helen sono appassionati di rompicapi. Il loro passatempo preferito è escogitare quesiti per mettersi alla prova.


Un giorno Bob a Helen passarono davanti a un negozio di dischi.
Bob: Hai ancora i tuoi dischi di musica country?


Helen: No, ne ho regalato la metà, più la metà di un disco, a Suzy.


Helen: Poi ho regalato la metà di quel che mi era rimasto, più la metà di un disco, a Joe.

Helen: Ora mi è rimasto soltanto un disco, e lo regalerò a te se saprai dirmi quanti dischi di musica country avevo all'inizio.


Bob era sconcertato perché non riusciva a capire a che cosa potesse servire mezzo disco.


All'improvviso gli venne un'idea, e capì che neppure un disco era stato spezzato.
Rispose alla domanda di Helen, e lei gli regalò quell'ultimo disco.
Quale intuizione ebbe Bob?

Suggerimento:

Sì, sì: è un suggerimento!
Chi spiega la soluzione? :-)
Per i ragazzi aggiornerò il post con ulteriori dritte.
[Aggiornamento] Avvio l'attività con i ragazzi.
Ragazzi, per trovare la soluzione al rompicapo rappresentiamo in un primo momento la situazione con degli schemi: un trattino (__) rappresenta un disco, mezzo trattino (_), "la metà" di un disco. Tra virgolette, perché nessun disco è stato rotto!

Riflettiamo sulla situazione finale: a Helen è rimasto 1 solo disco dopo i regali a Suzy e Joe:

Helen dice di aver regalato a Joe la metà di quel che le era rimasto, più la metà di un disco.
(mi raccomando, non facciamoci ingannare da quel "metà di un disco", ripeto, nessun disco spezzato!)
SE dunque ha regalato la metà più un mezzo (1/2), quell'unico disco che le è rimasto rappresenta la metà di quelli che aveva alla quale metà manca un mezzo (1/2):
questa è la metà dei dischi che aveva Helen prima del regalo a Joe.
Quindi, osservate ancora:
ho messo in evidenza la metà e la metà più un mezzo.
Quanti dischi aveva Helen prima di regalare a Joe?
Quanti dischi ha regalato a Joe?
La risposta, sù... è trooppo chiara!:-)

Ora, ripetiamo il ragionamento partendo dal numero di dischi che aveva Helen prima del regalo a Joe e dopo il regalo a Suzy:
dice di avere regalato a Suzy la metà (di quelli che aveva in totale) , più la metà ...
Quindi il numero di dischi dopo il regalo a Suzy, rappresenta la metà del totale, a cui manca un mezzo.
La metà del totale è dunque:

E la metà più un mezzo:

Quanti dischi ha regalato Helen a Suzy?
Quanti dischi aveva in totale inizialmente?

Un'altra riflessione importante è: la metà di qualcosa più un mezzo (1/2) può essere un numero intero!
La metà di quali numeri? .................................

Poligoni scomposti: triangolo

Il problema del Quadrato scomposto può essere esteso a tutti i poligoni regolari.
Consideriamo ad esempio un triangolo equilatero
Esso può essere così suddiviso in 3 quadrilateri congruenti:

Potete stampare, ritagliare i tre pezzi della scomposizione e provare a ricomporre il triangolo.

La scomposizione del triangolo può essere realizzata utilizzando GeoGebra. E' un buon esercizio anche per consolidare (o imparare) l'uso del programma.
Per voi, ragazzi, da scaricare un tutoriale in PDF che vi guida passo a passo nella costruzione.
Per la visualizzazione consiglio di scegliere lo zoom al 75% e di utilizzare le frecce di scorrimento pagine di Adobe Reader.
[L'ho scritto più volte sul blog, per coloro che ancora non avessero GeoGebra: si può scaricare qui.]
Realizzate il vostro geogebra, solo successivamente vi mostrerò il mio!:-)
Ragazzi, so che vi state dando da fare, ecco il "mio Geogebra": triangolo_scomposto.ggb

La formula più bella di Ramanujan

Ragazzi, non importa se per ora non potete apprezzare appieno certa "bellezza" della matematica,
ma... cominciate solo a osservare qualche formula: vi sembrerà certamente una cosa strana, però seminerete per apprezzare in futuro!

Srinivasa Ramanujan (1887-1920),
il più grande genio matematico di tutta l'India e uno dei più grandi matematici del XX secolo,
autodidatta, usava il suo istinto viscerale per oltrepassare i confini dell'analisi matematica del suo tempo (funzioni modulari, teoria analitica dei numeri, partizioni, teoria dell'iterazione...).
...
Per Ramanujan le equazioni non erano soltanto i mezzi per arrivare a dimostrazioni o calcoli. La bellezza dell'equazione ne era il valore supremo.
La più "bella" formula di Ramanujan fornisce un'incredibile connessione tra una serie infinita (a sinistra) e una frazione continua (al centro).
E' meraviglioso che né la serie né la catena di frazioni si possano esprimere tramite le famose costanti numeriche π ed e, mentre invece la loro somma sia misteriosamente uguale a $ \sqrt{ \frac{ πe }{2 } } $.
Provate a calcolare il valore del membro sinistro della formula, per parecchi termini, poi controllate cosa succede al membro destro quando si sostituisce π=3,141592 ed e=2,718282

Ecco la formula più bella di Ramanujan
$1+ \frac{ 1 }{ 1*3} + \frac{ 1 }{1*3*5 } + \frac{ 1 }{ 1*3*5*7} + \frac{ 1 }{ 1*3*5*7*9}+...+ \frac{ 1 }{1+ \frac{ 1 }{1+ \frac{ 2 }{1+ \frac{ 3 }{1+ \frac{ 4 }{1+... } } } } \\= \sqrt{ \frac{ πe }{2 } } $

(il simbolo & non fa parte della formula, LaTex mi da qualche problema)
Da Le meraviglie dei numeri, Clifford Pickover, Sfide Matematiche, vol. 15.
Potete (ri)leggere su questo blog anche La formula di Dio, ancora da
La magia dei numeri, Clifford Pickover, Sfide Matematiche, vol. 4.

Ventaglio misterioso

Ragazzi, sperando manteniate le promesse...., II in particolare eh!
Vi propongo un gioco-indovinello che mette alla prova le vostre competenze!
Vediamo vediamo...
Osservate questo ventaglio misterioso. Attentamente!
Vi propongo di pensare un numero da 1 a 31, mi indicate le colonne dove si trova il numero che avete pensato: sono capace di indovinare qual è il numero pensato!
Sapete spiegare come faccio a indovinare?
Aiutino: notate il verso con cui ho intestato le colonne (da destra verso sinistra), e... la prima riga di ogni colonna è un enorme suggerimento!!!
Ci sarebbe da aggiungere che.... no, lascio che lo scopriate voi!
Chi indovina .... merita un 10!!!
A chi risponde sul blog, 10 e lode!:-)
Grazie ai lettori che vogliano cimentarsi!:-)

Alberi di Natale ... numerici!

Vogliamo spezzare un po' con qualche calcolo magico? :-)
Osservate questi alberelli, non proprio simmetrici, ma ...
hanno una loro magia, no?
Ora trapezi ...

e inversioni....le serie possono essere estese ....
[Aggiornamento]: NON SI PUO' non andare a vedere cosa ha fatto la MAGICA maestra Renata con il primo "alberello"!