Una dimostrazione di Talete

Ragazzi,

(per la II, ma non proibito ai ragazzi della I anche se non conosciamo ancora Talete!)

Sì, proprio lui, Talete di Mileto, quello!

Ha dimostrato tante proprietà-teoremi. Fra cui, “o se del mezzo cerchio ...”

Con il ragionamento illustrato in figura. Clic sopra e completare le considerazioni!

Il lampione

Ho proposto ai ragazzi una prova descritta nel

“Quadro di riferimento della matematica - Valutazione dei quindicenni” - OCSE-PISA 2003.

Esempio 1 - IL LAMPIONE
Il consiglio comunale ha deciso di mettere un lampione in un piccolo parco
triangolare in modo che l’intero parco sia illuminato. Dove dovrebbe essere
collocato il lampione?

Ecco una delle relazioni dei ragazzi (tutti hanno partecipato all’attività, hanno verbalizzato in molti, NON tutti!):

Oggi la prof ci ha proposto un problema che possiamo trovare anche nella vita quotidiana per farci capire la scuola è vita e che quello che facciamo a scuola non è inutile o fatto a caso.
Il problema è questo:

- un Comune deve collocare un lampione in una piazza a forma triangolare in modo che illumini tutte le parti della piazza nello stesso modo. Dove deve essere collocato il lampione?

La piazza non è “un triangolo equilatero” ma ha la forma di un triangolo qualsiasi.
La prima ipotesi è stata quella di mettere il lampione al centro della piazza e quindi la prof ci ha chiesto di trovare il centro della piazza.

Abbiamo disegnato un triangolo, Giammario ha detto che tracciando le bisettrici … (cioè dividere gli angoli in due parti uguali e segnare il punto d’intersezione)  ma Sara ha detto subito [“ma” io ho notato Gimmi ricredersi prima ancora che Sara intervenisse eh!] che il punto d’incontro delle bisettrici cioè l’incentro, è diversamente distante dagli angoli (o meglio dai vertici del triangolo).

La seconda ipotesi è stata quindi quella di tracciare gli assi di un triangolo e poi segnare il punto d’incontro cioè il circocentro. Il centro del triangolo è il circocentro, cioè  il  centro della circonferenza circoscritta. Il circocentro è equidistante dai vertici.

Ecco la costruzione con GeoGebra (In classe abbiamo lavorato alla lavagna, Anna Laura ha realizzato il geogebra. Clic per aprire l’applet)

Ma costruendo un triangolo qualsiasi, cioè anche ottusangolo, il lampione risulta fuori dalla piazza. Oppure se il triangolo è rettangolo, come ha ricordato Giammario e anche Giovanni Andrea, il lampione risulta nel punto medio dell’ipotenusa. In tutti i casi però è equidistante da ogni vertice del triangolo.

Il lampione essendo fuori dalla piazza, nella vita reale causerebbe dei problemi perché magari nel punto dove dovrebbe essere collocato c’è una strada o delle case o degli alberi, quindi anche trovando il centro perfetto si dovrebbe tener conto di tutti questi aspetti.

Con questa attività abbiamo capito meglio e ripassato tante proprietà. La prof ci ha citato alla fine della lezione una frase di Dante: “non può esistere un triangolo inscritto in un semicerchio che non sia rettangolo.”

Anna Laura non dice che la prof era soddisfatta della classe perché (in tanti) hanno saputo “utilizzare informazioni precedentemente acquisite”. Mica succede sempre! :-)

Link

Invalsi

Matematicamente

Poligoni inscritti e circoscritti in una circonferenza

Come da titolo, Alessandra e Irene ci parlano di

Poligoni inscritti e circoscritti in una circonferenza.

Questo è un poligono inscritto in una circonferenza:

Osserviamo che tutti i vertici del poligono si trovano sulla circonferenza, sono punti della circonferenza.
La circonferenza si dice circoscritta al poligono.
Non sempre un poligono si può inscrivere in una circonferenza.
Sulla figura abbiamo tracciato il raggio della circonferenza, il punto F è un vertice del poligono.
E' necessario quindi un punto del poligono che sia equidistante dai vertici del poligono stesso.
Un punto con questa proprietà è il punto di incontro degli assi (tutti i punti dell'asse di un segmento AB sono equidistanti dagli estremi A e B del segmento).

Quindi diciamo che :
un poligono è inscrittibile in una circonferenza se gli assi dei suoi lati si incontrano in un unico punto detto circocentro del poligono. Il centro della circonferenza circoscritta coincide con il circocentro del poligono.

Questo è un poligono circoscritto in una circonferenza:

Osserviamo che tutti i lati del poligono sono tangenti alla circonferenza.
La circonferenza si dice inscritta al poligono.
Non sempre un poligono si può circoscrivere in una circonferenza.
Abbiamo tracciato il raggio.
Occorre che ci sia un punto equidistante dai lati del poligono. Questa proprietà la troviamo nel punto di incontro delle bisettrici degli angoli del poligono (tutti i punti della bisettrice di un angolo sono equidistanti dai lati dell'angolo)

Quindi diciamo che :
un poligono è circoscrittibile in una circonferenza se le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in un unico punto detto incentro del poligono. Il centro della circonferenza inscritta coincide con l'incentro del poligono.

Da quanto abbiamo detto si capisce che i poligoni regolari si possono sempre inscrivere e circoscrivere in una circonferenza, perché il circocentro e l'incentro coincidono.

Il raggio della circonferenza inscritta si chiama apotema del poligono. Il circocentro e l'incentro sono il centro del poligono.

Anche i triangoli sono sempre inscrittibili e circoscrittibili.
Un triangolo si può sempre inscrivere in una circonferenza perché esiste sempre il circocentro che è unico.

Ora si capisce anche meglio il motivo per cui il punto di incontro degli assi di un triangolo si chiama circocentro: perché è il centro della circonferenza circoscritta.

Il triangolo si può sempre circoscrivere perché esiste sempre l'incentro che è unico.

Si capisce perché il punto di incontro delle bisettrici si chiama incentro: è il centro della circonferenza inscritta.
Abbiamo utilizzato Geogebra per tutte le costruzioni.
I file:
Poligono inscritto e poligono circoscritto.ggb
Poligoni regolari e triangoli.ggb