Altro problema con i monomi

Nei lavori per ‘coppie d’aiuto’,

un trio (in classe si è in numero dispari) ha risolto il problema

 n° 4: Due rettangoli aventi la medesima base 3a, hanno rispettivamente altezza $ \frac{2}{3}b   \; \;  e \; \;  \frac{4}{3}b  $

Calcola area e perimetro di ciascun rettangolo. La somma delle aree è un monomio? La somma dei perimetri è un monomio?

Soluzione (copio dal loro foglio di quaderno; ragazzi, riprovo con le formule LaTex, ho modificato, potete vederle avvicinandovi con il mouse alla formula stessa)

$\left\{\begin{array}lA_1=b*h_1\\ A_2=b*h_2\\ P_1=2b+2h_1\\ P_2=2b+2h_2\\ \end{array}\right.$      $\left\{\begin{array}l A_1=3a*\frac{2}{3}b\\ A_2=3a*\frac{4}{3}b\\ P_1=2*3a+2\frac{2}{3}b\\ P_2=2*3a+2\frac{4}{3}b\\ \end{array}\right.$       $\left\{\begin{array}l A_1=2ab\\ A_2=4ab\\ P_1=6a+\frac{4}{3}b\\ P_2=6a+\frac{8}{3}b\\ \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}l A_1+A_2=2ab+4ab\\ P_1+P_2=6a+\frac{4}{3}b+6a+\frac{8}{3}b\\ \end{array}\right.$       $\left\{\begin{array}l A_1+A_2=6ab\\ P_1+P_2=12a+\frac{12}{3}b=12a+4b\\ \end{array}\right.$

La somma delle aree è un monomio, la somma dei perimetri non è un monomio.

- Sono contenta di questi ragazzi [insomma, mica sempre  - prima che si montino la testa...]: lavorano già benino con il calcolo letterale. Ma, ancora NON abbiamo trattato, in algebra, il “calcolo con monomi e polinomi”! Per ora sappiamo solo che : mele + mele = mele; mele * mele= mele ^2; mele^2/mele =mele, ...ah, e anche che: mele + pere = mele + pere, ma, mele*pere= melepere !  Inoltre sanno applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma e differenza. Abbiamo preferito questo approccio, ora il calcolo algebrico sarà facile e più simpatico! Ok, ragazzi?

Problemi con i monomi [Aggiornato - soluzioni]

più facili di questo!

Sì, il problema di ieri si è rivelato un po’ impegnativo. Ma la discussione in classe lo ha privato di molte difficoltà, no? E avete trovato diversi “approcci”. Bene!

Ripartiamo con problemi più semplici, sempre utili per sviluppare, in maniera più graduale, le abilità nel generalizzare.

1. Il quadrato in figura ha il lato lungo l. Determina a quale monomio corrisponde l’area della parte colorata

Soluzione

Questo è stato di facile soluzione: sono colorati i 3/8 della figura, l’area del quadrato: $A=l^2 $ per cui, la parte colorata si può esprimere con il monomio: $\frac{3}{8}l^2$

2. L’area totale della figura equivale al monomio $\frac{9}{4} x^2$, mentre l’area del quadrato più piccolo è rappresentata dal monomio $\frac{1}{4} x^2$

a) Sapendo che l’altezza del rettangolo è uguale a x, scrivi il monomio che esprime il perimetro della figura.

Soluzione (quella di Letizia e altri...?)

in base ai dati, la figura è stata così suddivisa:

 
L’area del quadrato piccolo ha permesso di calcolare il lato: $ \sqrt{\frac{1}{4}x^2} = \frac{1}{2}x$

Il contorno della figura risulta suddiviso in 14 segmenti tutti uguali a $\frac{1}{2}x$, per cui il perimetro è uguale al monomio: $14*\frac{1}{2}x = \frac{14}{2}x = 7x$

- Altri hanno risolto calcolando l’area del rettangolo, la sua base, e i lati del poligono... Le operazioni con i monomi:

$A_{rett.}=\frac{9}{4} x^2-\frac{1}{4}x^2=\frac{8}{4}x^2=2x^2$

$base_{rett.}=\frac{2x^2}{x} =2x$

Come sopra il lato del quadrato, quindi la somma:

$x+2x+x+2*\frac{1}{2}x+2x = x+2x+x+x+2x = 7x$

(considerati solo due lati del quadrato per utilizzare per intero la seconda base del rettangolo)

b) Disegna una figura diversa dalla precedente il cui perimetro sia espresso dallo stesso monomio ricavato al punto a).

- Non è stata disegnata un’altra figura!

3. Un triangolo isoscele ha l’altezza uguale a $\frac{1}{4}$ della base, che è 4a.

Un rettangolo con base coincidente con la base del triangolo ha altezza uguale a $\frac{2}{3} a$.

Trova l’area S della figura. L’espressione di S è un monomio?

Trova il valore di S per a = 3 cm.

Soluzione

$ S=\frac{4a*a}{2} +(4a*\frac{2}{3}a )= \frac{4a^2}{2}+\frac{8}{3}a^2=2a^2+\frac{8}{3}a^2=\frac{14}{3}a^2$

Sì, l’espressione di S è un monomio.

Per a = 3, $S = \frac{14}{3}3^2 = \frac{14}{3} *9=42$

bravi, ragazzi!

Da online.scuola.zanichelli.it/