L'algoritmo dell'estrazione di radice quadrata

Come si estrae la radice quadrata di un numero qualsiasi con il calcolo manuale?

Si potrebbe pensare che tale operazione sia di scarsa utilità (abbiamo a disposizione calcolatrici e ... excel!) e scarso valore didattico trattandosi di un procedimento, un algoritmo, che solitamente si impara meccanicamente.
E' possibile tuttavia, almeno in parte alla scuola media, comprendere i "passi" da compiere, eseguire dunque il calcolo per l'estrazione di una radice quadrata, con una certa consapevolezza.
Gli strumenti per capire appieno l'algoritmo si acquisiscono con lo studio del calcolo letterale e precisamente dei prodotti notevoli. Per il momento tali strumenti non sono alla portata dei ragazzi di seconda media.

Abbiamo tuttavia cercato, insieme, di capire perché si deve procedere in un certo modo....
Una stima iniziale.
Riflettiamo sul numero di cifre della parte intera della radice di un numero intero qualsiasi.
La radice di un numero intero di 2 cifre ha una sola cifra.
La radice di un numero intero di 3 o 4 cifre è un numero di 2 cifre.
La radice di un numero intero di 5 o 6 cifre ha 3 cifre.
La radice di un numero intero di 7 o 8 cifre ha 4 cifre. ....
Una seconda stima:
qual è la prima cifra della radice di un numero?
Consideriamo un numero di 3 cifre: 354.
Abbiamo stabilito che la radice, nella sua parte intera, è costituita da 2 cifre. La prima cifra non potrà quindi che essere un 1. Ipotizzando il 2, il numero più basso di 2 cifre, sarebbe 20, ma 20^2 = 400!
Consideriamo un numero di 4 cifre: 1378
La sua radice, nella sua parte intera, è costituita da 2 cifre. La prima cifra non può che essere 3. Se ipotizzassimo 4, il numero più basso, di 2 cifre, sarebbe 40, ma 40^2 = 1600!
Nasce da queste osservazioni l'esigenza di suddividere il numero di cui si deve estrarre la radice, il radicando, in gruppi da 2 cifre a partire da destra.

Prepariamoci dunque ad estrarre al radice di un numero qualsiasi. Prendiamo come esempio il numero, di 5 cifre, 14161
Passo 1:
dividiamo il numero in gruppi di due cifre a partire da destra:

Dobbiamo trovare un numero che elevato alla seconda potenza non superi 1. Tale numero è 1. Sarà 1 la prima cifra della radice. Eseguiamo 1^2. Il risultato va sottratto alla cifra 1 (a sinistra) del radicando.
A questo punto,
Passo 2:
vogliamo ricordare come si esegue una divisione?
Siamo portati a dire: "Aah! Abbasso il 4!"
E no, attenzione! Noi si estrae una radice quadrata che è l'inversa dell'elevamento a potenza 2!
Perciò.... si abbassano 2 cifre!
Ecco (la sottrazione 1-1, abbreviata) la situazione:

Passo 3:
questo è quello la cui comprensione non è alla nostra portata!
Si raddoppia il risultato finora ottenuto, la cifra 1, e si scrive sotto la linea di separazione: otteniamo 2.
Ora... attenti: bisogna trovare una cifra, indichiamola con x, da affiancare al 2 per ottenere 2x e tale che 2x * x non superi il 41, il "resto" che abbiamo in basso a sinistra.
Come regolarsi?
La cifra x NON può essere un 3 perché: 23*3 = 69
Potrebbe essere 2? Potrebbe! Infatti 22 *2 = 44. Almeno con le decine, ci siamo!
Tuttavia 44 è maggiore di 41, per cui la cifra giusta è 1.
Il "fare i conti" con le decine è perciò la considerazione esatta per "regolarsi". Che vuol dire non "andare a naso", ma scegliere con consapevolezza!
Quindi potrebbe essere di aiuto separare nel resto, la cifra delle decine, es: nel 41, mettere un puntino (in basso, per non confondere con la precedente separazione del radicando): 4.1, quindi stabilire: il 2 nel 4 è contenuto (ci sta) 2 volte. Verificare, eseguendo il prodotto, che la cifra 2 è troppo alta e provare con la cifra inferiore: 1.
La cifra 1, valida, va a completare il risultato, quindi si affianca alla prima cifra (1), ottenuta in precedenza.
Il prodotto 21, va sottratto dal 41.
Ecco lo schema (sottrazione 41-21 abbreviata):

Passo 4:
si abbassano le altre 2 cifre del radicando, 61;
si ripete la procedura: raddoppio ancora il risultato finora ottenuto, e lo scrivo sotto una seconda linea di separazione: 22.
Cerco una cifra x, da affiancare al 22 per ottenere 22x e tale che 22x * x non superi il 2061, il "resto" che abbiamo ora in basso a sinistra.
Come ci si "regola"?
Separiamoci l'ultima cifra del resto. Consideriamo quante volte il 22 è contenuto nel 206, quindi il 2 nel 20. Sappiamo che 2 nel 20 è contenuto 10 volte. Possiamo dunque partire affiancando la cifra 9.
Se 229 * 9 dovesse superare 2061, scriveremmo, sotto un'altra linea di separazione [quindi non abbiamo bisogno di cancellare (o pasticciare)], 228 *8. Ma ... non siamo andati "a naso"! :-)
Il nostro 229 *9 è tuttavia uguale a 2061. Va ...perfetto!
La cifra 9 va a completare il risultato. Si sottrae il prodotto 2061 dal 2061 e ... resto pari (zero)!

La radice quadrata di 14161 è 119.
Il numero 14161 è un quadrato perfetto: non abbiamo ottenuto resto.

Nel caso in cui il radicando non fosse un quadrato perfetto, avremmo il resto diverso da zero.
Come continuiamo?
"Metto la virgola nel risultato e aggiungo... lo zero al resto!"
E no! Sempre la solita attenzione! Estraggo la radice quadrata che è......
Devo aggiungere 2 zeri al resto!
Poi ripeto il passaggio 4 .....
Anche l'algoritmo dell'estrazione di radice quadrata offre dunque spunti per acquisire la consapevolezza (e padronanza) del calcolo!
Naturalmente nel caso in cui l'estrazione di radice diventi strumento per risolvere altre questioni, il calcolo si fa eseguire alla calcolatrice!
...e dovremmo tuttavia essere in grado di accorgerci di eventuali errori grossolani dovuti a malfunzionamenti o nostre distrazioni nel dare istruzioni alla macchina! :-)
Segnalo in rete questo articolo, di .mau. che offre ancora un esempio e una spiegazione passo a passo dell'algoritmo.