Per esercitarsi sui Sistemi di Numerazione

Carissimi,

della prima. 

In preparazione alla verifica potete, volendo, esercitarvi on line sui Sistemi di Numerazione. Vi segnalo:

1. Test sui SISTEMI DI NUMERAZIONE

2. Sistema di numerazione decimale e cenni storici

3. Sistema di numerazione decimale – Scrittura numeri (quest’ultimo è un eserciziario in formato PDF che potete anche salvare sul vostro PC. Attenti al blocco di esercizi dal n° 40 in poi... Ma anche i precedenti, scrivere numeri più grandi! Quando si sanno scrivere i più piccoli )

Questa è la pagina da cui segnalo i test. Per chi volesse consultare altri materiali

Suggerirei anche il penultimo link nella sezione: Test ed esercitazioni on line.

Riferitemi sui vostri risultati!

Da base 10 a base 2

Ragazzi,

la maggior parte di voi ha capito come si fa a passare dalla scrittura di un numero a base 10 a quella a base qualsiasi.

Tuttavia: qualcuno può avere ancora qualche dubbio oppure non è troppo convinto del perché si fa così.

Ho pensato allora di mostrarvi come si fa in un piccolo video: le immagini chiariscono meglio i raggruppamenti in successione ...

L’esempio riguarda la conversione da base 10 a base 2, ma, lo sapete, il meccanismo è lo stesso per passare ad una qualsiasi altra base.

Cliccate sul quadratino con freccetta in basso a destra per la modalità schermo intero. Per uscire, ancora clic sulla stessa icona.

Lo vedete, ho preparato il lavoro utilizzando un file Excel. Potete anche scaricarlo: binario.xls

... che, tra l’altro, io ci provo ma i miei video lasciano tanto a desiderare! :-(

Ancora per la “prima”: sullo Zero!

o voi,

che ormai lo chiamate Zephirum e Sunya … che forti siete! :-)

avete letto QUI?

dovete, vi interrogo! eheheh ...  cattivissima :-) :-)

Scherzo naturalmente, ma: c’è una simpatica poesia e troverete la risposta a:

da dove deriva il simbolo grafico "O"?  [pare che…]

Per piacere, provate a rispondere qui sotto:

Mi piace portare in evidenza il commento di Peppe, un nuovo nostro amico. Ci regala una poesia di Trilussa, sullo zero  … molto significativa!

NUMMERI
- Conterò poco, è vero:
- diceva l'Uno ar Zero
- ma tu che vali?
Gnente: propio gnente.
Sia ne l'azzione come ner pensiero
rimani un coso voto e inconcrudente.
lo, invece, se me metto a capofila
de cinque zeri tale e quale a te,
lo sai quanto divento? Centomila.
È questione de nummeri. A un dipresso
è quello che succede ar dittatore
che cresce de potenza e de valore
più so' li zeri che je vanno appresso.

Trilussa (1944)

grazie Peppe.

Compito in classe

Sorridendo un po’ con i bambini, oops … ragazzi di prima,
abbiamo deciso di pubblicare il loro primo “compito in classe”: si sorrideva appunto sul come chiamarlo.
Oggi non si usa quasi più Compito in classe, si parla di Verifiche. Alle elementari facevano le verifiche.
Per qualcuno comunque, compito in classe fa sentire più grandi, per qualcun altro mette più paura. Ma nel senso di lavoro impegnativo!
Com’è come non è … hanno svolto il lavoro direi con impegno ma con serenità: paura  proprio no! E mi sa che hanno lavorato anche bene :-) 
Si tratta della verifica di quanto appreso sui Sistemi di Numerazione.

Gli obiettivi:

• conoscenza e comprensione,
• applicazione di procedimenti e proprietà,
• comprensione e uso del linguaggio e della simbologia specifica,
• capacità di utilizzare informazioni.

A questa pagina si può scaricare il PDF.

Da "decimale" a "binario" con Excel

In I A andiamo avanti con i sistemi di Numerazione...

Siamo ai sistemi di tipo posizionale, multibase. Abbiamo imparato a convertire i nostri numeri "decimali" in basi diverse da 10. Un'attenzione particolare al sistema binario e...

I ragazzi si appassionano ad Excel!

E perfino mediante il foglio di lavoro simulato alla lavagna (avevamo solo una mezz'ora prima del suono della campanella) a casa realizzano poi i loro bei lavoretti!

Hanno saputo individuare le funzioni da utilizzare.

Breve cronaca della lezione:  
QUOZIENTE() era conosciuta (bisogna dire "appena conosciuta"); in un primo momento tuttavia si proponeva di dividere mediante simbolo (/), ma c'era l'esigenza del quoziente intero e... è poi venuta in mente! :-)

Ci serviva anche il resto però!

Così, spontaneamente Francesco propone: "scrivo =resto(A1_diviso_B1)"

- Ebbene sì: Excel ha la funzione RESTO() !

Ho dovuto solo ricordare la separazione degli argomenti della funzione mediante il punto e virgola: =RESTO(A1;B1)

Ma ecco le immagini dei loro lavori.

Decimale-binario di M.Chiara:

di Gabriele, che usa anche una "comodità" di excel

di Letizia, anche lei utilizza il riferimento di cella per riportare i quozienti

Carino il lavoro di Giovanni, anche se dimentica di scrivere il numero binario ottenuto:-)

Erica ha invece preparato un lavoro sul resto della divisione per 2 dei numeri pari e di quelli dispari:

Oh, io dico "Bravi!" ai miei ragazzi :-)

Post sul tema:  

Il nostro sistema di numerazione è "decimale"

I sistemi di numerazione a base diversa da 10

Conversione di numeri da base 10 a base diversa e viceversa

Conversione numeri da base... a base... 

E su Excel:

Funzione QUOZIENTE()

La funzione RESTO() in Excel

Magia binaria

Ragazzi,
finita scuola. A giocaree!! (II eh...)
E qui si gioca ... a modo nostro: cominciamo con un gioco di magia matematica!
Lo avrete capito dal titolo, in vari giochi di magia matematica è utilizzato il sistema di numerazione binario (ecco, rileggetevi le storielle: qui e....)
Mi raccomando, per poter giocare dovete andare a rivedere, se non ricordate, la conversione di un numero da decimale a binario e viceversa.
Comunque vi ricordo il metodo più rapido (per fare il gioco occorrerà una certa rapidità, non state ad eseguire divisioni per 2...):
preparate la tabella di valori di posizione

Utilizzando questa vi è facile, posizionando degli 1 e degli 0, trasformare da base a base.
Es:

Se dovete trasformare da base 10 a base 2 cominciate mettendo 1 sotto la potenza di 2 immediatamente inferiore al numero da trasformare.
Nell'esempio: metto 1 sotto il 16 che è la potenza di 2 immediatamente più piccola di 19. Questo 1 vale 16.
A questo punto è facile, con un piccolo calcolo, vedere quanto manca a 19;
manca 3, per cui: 1 sotto il 2 e 1 sotto l'1 della tabella dei valori di posizione.
Naturalmente se state passando da base 2 a base 10, fate la somma dei prodotti:
1 x valore di posizione occupato da 1.
Ed ora, il gioco di abilità!
Uno dei più sorprendenti fra i giochi di magia binaria è quello ideato dallo statunitense Mel Stover; leggete prima le fasi del gioco e poi i trucchi da seguire e ... resteranno tutti a bocca aperta!

Fasi
1) Prendi un mazzo di carte e, dopo averlo mescolato più volte, chiedi a un compagno (babbo, mamma, fratellino...) di dirti quante carte desidera che tu prenda dal mazzo.
Supponi che dica 12
2) Poni una carta sopra l'altra, sul tavolo, a faccia in alto, finché non arrivi a contarne una quantità uguale a quella che ti è stata indicata. [Attento in questa fase: capirai perché nei Trucchi da seguire]
3) Ricomponi in un mazzetto le carte così selezionate (senza mescolarle) e voltalo in modo che le carte siano a faccia in basso.
4) Ora dichiara di essere in grado di prevedere quale carta verrà selezionata (rimarrà nelle tue mani) al termine di un procedimento che andrai a eseguire.
Supponi per esempio di dichiarare "dieci di cuori" (capirai dopo perché ...)
5) Resa nota la tua previsione ("dieci di cuori"), comincia a effettuare la seguente manovra di selezione:
- sposta una carta da sopra a sotto il mazzetto (fig. 1);
- scarta la carta successiva (fig. 2);
- prosegui nello stesso modo, finché non ti resta in mano una sola carta.
6) Mostra ora la carta così selezionata: è proprio quella che avevi previsto ( il "dieci di cuori")!

Trucchi
Appena sai il numero n di carte da prelevare (fase 1 ; nell'esempio n = 12), devi svolgere le seguenti operazioni (avrai predisposto su un foglio di carta la tabella di valori di posizione come illustrata sopra. Oppure potrai predisporla al momento, sarai ancora più ... misterioso!):
a) trasforma n in numero binario, così, se n = 12, ottieni
1 1 0 0
b) trasferisci in fondo a questo numero la sua prima cifra. Nel nostro esempio 1 1 0 0 diventa 1 0 0 1 (se, dopo lo spostamento, dovessero rimanere degli zeri iniziali, non devi considerarli, cancellali)
c) trasforma ora il numero così ottenuto, in base 10. Il numero binario 1 0 0 1 corrisponde al numero 9 in base 10

Mentre conti le carte sul tavolo, ponendole una sopra l'altra, a faccia in alto (fase 2), devi osservare e tenere a mente quella che occupa la posizione corrispondente al valore ottenuto prima (nel nostro esempio il 9): per esempio se in 9° posizione c'è il "dieci di cuori", allora sarà proprio questa carta che resterà nelle tue mani con il procedimento descritto (fase 5).

divertitevi! :-)

[Contributi] Antichi Sistemi di Numerazione_3

Ecco la terza parte del lavoro di Paolo
(ma Paolo, è davvero un lavorone. Grazie!)
Ricordo post_1 e post_2 sul tema.

Greco
I Greci usavano prevalentemente due sistemi di numerazione: il primo, più antico, detto alfabetico o milesio, il secondo detto acrofonico o attico (dalla regione di applicazione: Attica), o erodianeo (da Erodiano, grammatico del 2° sec. d.C. che lo descrisse). Quest'ultimo restò in uso dal VI sino al I sec. a.C per essere poi progressivamente sostituito dal precedente.

Il sistema alfabetico o milesio, in uso sin dalla fine dell'VIII secolo a.C, si basava sul principio posizionale: il valore della numerazione era in funzione della posizione occupata dal simbolo o dal numero.
Faceva uso di 27 simboli, ovvero le 24 lettere dell'alfabeto oltre ad altri tre simboli, intercalati rispettivamente al 6°, al 18° ed all'ultimo posto; tre segni alfabetici antichi e caduti poi in disuso: (vau, coppa, sampi).
La tavola seguente mostra l'accoppiamento fra la lettera dell'alfabeto ed il suo contrassegno numerico:

Con queste cifre i Greci potevano contare fino a 999.
Per esempio, il numero 257 veniva rappresentato così: σ ν ζ'
Mentre il 386, così: τ πς'
Per indicare le migliaia, le decine e le centinaia di migliaia venivano usati sempre gli stessi simboli provvisti però di un apice a sinistra in basso (iota), come si può notare dalla tabella seguente:

Così per es. il numero 80.000 veniva rappresentato in questo modo: ,π
Con questo sistema i Greci erano in grado di rappresentare numeri fino a 999.999, il quale ultimo veniva quindi scritto così: ,ϡ,Ϙ,ϴϡϘϴ'

Etrusco
Gli Etruschi si affermarono in Italia, più precisamente nelle regioni attualmente riferibili alla Toscana, all'Umbria ed al Lazio, dal X secolo a.C fino al I secolo a.C, quando furono definitivamente assorbiti dai conquistatori romani.
Essi usavano un sistema di numerazione a base decimale rappresentato dai segni di cui alla tabella seguente.

La scelta di segni relativamente semplici era determinata dalla facilità di scrittura, soprattutto per quanto riguardava le incisioni su pietra.
La loro scrittura era particolare in quanto procedeva da destra verso sinistra.

Romano
Gli antichi Romani acquisirono la simbologia dei segni dagli etruschi, però cambiandone la direzione di scrittura, da sinistra a destra, ed il verso dal basso all'alto.

La tabella sopra riportata mostra l'intera simbologia numerica romana.
Da notare che il segno del 500, , che è la meta del 1.000, , finì per trasformarsi in una D, mentre il 1.000 in una M.
La numerazione era basata sulla legge additiva, pertanto il numero 351 veniva scritto nel seguente modo: CCCLI
mentre il 4.778: MMMMDCCLXXVIII
In alcuni eccezioni veniva applicata la regola della differenza o sottrattiva; era il caso del numero 4, rappresentato da IV (ovvero 5-1), o del 9, rappresentato da IX (10-1), oppure del 40 indicato XL.
In pratica, questa regola valeva quando il numero si approssimava alla diecina, a suoi multipli, oppure alla loro metà.
Per indicare i numeri superiori a 1.000 si usava circoscrivere il simbolo con una coppia di semicircoli; così = 10.000.
Più spesso, però, si ricorreva alla semplice sovrapposizione di una lineetta, vedi tabella sopra riportata.
Per ulteriori approfondimenti consultare anche Antichi sistemi di numerazione.

ciao Paolo!:-)

[Contributi] Antichi Sistemi di Numerazione_2

Dopo il come cominciò,
ecco la seconda parte del lavoro di Paolo, che ci parla di

Alcuni Sistemi di Numerazione presso gli antichi

Mesopotamico
Era un sistema adottato dalle popolazioni dell'area mesopotamica (Assiri, Babilonesi, Persiani) nel 3000/2000 a.C.
Si trattava di una numerazione a cifre ideografiche rappresentata da cunei variamente orientati e raggruppati.
L'unità era rappresentata da un cuneo verticale con la punta in basso:
La decina con due cunei uniti per la base e disposti ad angolo:
Un cuneo verticale seguito da un cuneo orizzontale con la punta a destra rappresentava il numero 100:
Ripetendo i cunei verticali si formavano le centinaia: = 200
Il segno del 10, quando era posto a sinistra di quello del 100, aveva funzione di moltiplicatore:
= 10 x 100 = 1.000.
Nella seguente figura sono riportati i numeri compresi fra 1 e 59.

Egiziano
Gli antichi egizi (dal 3.300 a.C. al 31 a.C, data della conquista da parte di Roma) usavano due sistemi, l'uno geroglifico (inciso nella pietra), l'altro ieratico (scritto sui papiri).
Quello geroglifico, utilizzato prevalentemente per scrivere sui monumenti, era composto da simboli che, in qualche misura, raffiguravano motivi della vita reale. Vedi la seguente tabella:

I numeri venivano formati secondo la legge additiva dei simboli fondamentali. Vale a dire che ogni simbolo veniva ripetuto tante volte, fino ad un massimo di nove, quante erano le quantità della stessa classe.
Ad esempio, per indicare il numero 5, venivano utilizzati 5 tratti verticali da una unità, ||||| mentre il numero 20 era rappresentato da due decine ∩ ∩
il numero 1 245 veniva scritto così:
mentre il numero 1 234 567, così:
Quello ieratico, impiegato dagli scribi per ragioni pratiche in quanto poteva essere scritto con un pennello su fogli di papiro, utilizzava caratteri di valore simbolico come quelli della tabella a lato.

I numeri si formavano per combinazione additiva dei simboli.
La praticità di questo sistema era evidente; un numero nell'ordine di 10.000 avrebbe richiesto circa 40 simboli geroglifici contro i 4 o 5 della notazione ieratica. Motivo per cui, gradualmente, la scrittura ieratica sostituì quella geroglifica.

[Aggiornamento]: volete divertirvi a scrivere dei numeri nel sistema egizio, e perfino ad eseguire dei calcoli?
Cliccate QUI! ["la calcolatrice egiziana", JavaScript interattivo]

Cinese
I Cinesi, che svilupparono il loro sistema di misurazione prima dell'era cristiana (da circa il 1.200 a.C al 300 a.C), adottavano tre distinti sistemi, tutti a base decimale. Di questi, il più usato era quello a legge additiva e moltiplicativa.
I numeri erano rappresentati da ideogrammi come quelli delle tabelle seguenti:

La struttura del calcolo procedeva per colonne verticali, con lettura dall'alto in basso. Quando uno dei primi 9 numeri era posto prima del 10 o di una delle sue potenze (100, 1.000 ...) funzionava da moltiplicatore; quando invece era posto dopo, da addendo. Nella tabella a fianco sono riportati alcuni esempi.
Gli altri due sistemi, commerciale e ad aste, erano a notazione posizionale; si leggevano orizzontalmente scrivendo a sinistra le unità di ordine più elevato.

Nel sistema ad aste, vedi figura sopra, il numero 10 ed i suoi multipli si indicavano ruotando semplicemente i segni di 90° quelli dall'1 al 5 e di 180° i successivi. Come nella tabella seguente:

Oltre ai tre sistemi principali anzidetti, ne veniva usato anche un quarto che utilizzava i cosiddetti caratteri Fo-hi.

Come si può notare, questo sistema era basato su due soli segni, cioè un segno corto __ ed uno lungo ____, precorrendo, di fatto, l'attuale sistema binario (vedi anche per sistema binario), se si pone: __ = 0 e ____ = 1 e posizione alto/basso = destra/sinistra.

continua...

[Contributi] Antichi Sistemi di Numerazione

Il mio amico Paolo ci regala stavolta un bel lavoro sugli

Antichi sistemi di numerazione.

Cominciò così
Sembra che l'uomo abbia iniziato ad utilizzare un primo sistema di numerazione oltre 30.000 anni fa nell'era del Paleolitico Superiore. L'uomo di Cro-Magnon, che fece la sua comparsa in quell'epoca, ha lasciato significative testimonianze pervenute sino a noi in forma di ossa e legnetti incisi con tacche regolari, cui venivano certamente fatti corrispondere gli oggetti da contare.

Non si può comunque escludere che anche nel tardo Pliocene, oltre 500.000 anni fa, i primi Homo Sapiens adottassero già una qualche forma di numerazione, anche solo per il fatto che disponevano di mani e piedi dotati di cinque dita ciascuno e quindi adatti a rappresentare quantità numeriche.

L'uso dell'indigitazione, ovvero del contare con le dita della mano, ed avendo la mano cinque dita, portò a fissare la cinquina come unità di base e ad introdurre il sistema di numerazione quinario, che, sembra, sia il più antico sistema di misurazione.

Successivamente, combinando insieme le due mani o i due piedi, venne sviluppato il sistema decimale in uso, tuttora, in gran parte del mondo.

Nel corso della Storia, in relazione alle epoche, alle situazioni geografiche, economiche e, in sostanza, alle culture, i sistemi di numerazione assunsero le forme più diverse rispetto a quella enunciata dianzi.

La numerazione quaternaria, secondo Aristotele utilizzata dalle popolazioni dell'antica Tracia, è un'elaborazione della quinaria; sembra infatti che abbia avuto origine dall'usanza di contare con il pollice le restanti dita della mano. Ne restano tracce in alcune misure, derivate di quarto, usate prima dell'introduzione del sistema metrico decimale: la quarta, il quartarolo, il quarticino.

Nel Medio Evo veniva usata per definire alcune monete: la quartarola, il quarto, il quartiglio, il quattrino. Da quest'ultimo derivano motti moderni per definire ricchezza: è pieno di quattrini, o povertà: è uno squattrinato.

Contando col pollice le falangi della altre dita si poteva triplicare la numerazione di base, si addivenne quindi al sistema duodecimale: la dozzina, la grossa (12 dozzine), l'oncia (1/12° di unità), il grano.

I piani di costruzione della cattedrale di Chartes in Francia, risalente quest'ultima all'XI secolo e considerata uno degli edifici religiosi in stile gotico più importanti del mondo, dichiarata peraltro dall'UNESCO "Patrimonio culturale dell'umanità", furono proprio basati sul sistema di numerazione duodecimale.

La combinazione dei sistemi in base 5 e base 12 diede origine alla numerazione sessagesimale, già utilizzata dai Babilonesi e dagli Egiziani e, tuttora, in uso nelle misure degli angoli e del tempo.

Con i sistemi di numerazione usati dagli antichi l'esecuzione dei calcoli era complicata e scomoda, infatti, essi usavano i loro caratteri più che altro per esprimere il risultato delle operazioni,
mentre per l'effettiva esecuzione si servivano di mezzi strumentali e principalmente degli abachi.
In alcuni Paesi, ad esempio in Russia ed in Cina, l'uso dell'abaco è ancora attuale.

continua...

Grazie Paolo.

Conversione di numeri da base 10 a base diversa e viceversa

Immaginiamo di dover convertire un numero

da base 10 a base 2

Faremo raggruppamenti da 2 visto che stiamo lavorando con la base 2.
L'operazione che ci permette di fare i raggruppamenti è la divisione. Quindi eseguiremo divisioni per 2.
Es: trasformo il numero 14 a base 10 nel numero scritto a base 2 (sistema binario)

14 : 2 = 7 Resto 0 (zero)
ottengo 7 raggruppamenti da 2 unità (che chiamo "duine", come le decine del sistema decimale) e ho zero unità di resto.

Con 7 duine posso ancora fare raggruppamenti da due.
7 : 2 = 3 Resto 1
ottengo 3 "quartine" (formate da 4 unità) perché ho raggruppato a due a due le "duine" e ho il resto di 1 (duina)

3 : 2 = 1 Resto 1
Ho 1 solo raggruppamento da 8 unità, perché sono 2 "quartine" e il resto di 1 ("quartina")
Con 1 gruppo da 8 unità non posso più fare raggruppamenti da 2, quindi mi fermo.

Riepilogo le divisioni per 2:

Per scrivere il numero a base 2 ora scrivo l'ultimo quoziente e via via seguendo la freccia, tutti i resti:

Quindi il nostro 14 a base 10 è il 1110 (si pronuncia uno, uno, uno, zero a base 2).

Per fare una verifica posso scrivere:

0x1+1x2+1x4+1x8

questa è la scrittura del numero 1110 a base 2, in forma polinomiale. La forma polinomiale fa vedere chiaramente il valore delle singole posizioni: la prima, nel sistema binario vale 1, la seconda vale 2, la terza 4, la quarta posizione vale 8 eccc...

Risolvendo l' espressione ottengo 14.
Con questa “prova” abbiamo avuto la conferma che 1110 a base 2 è 14 a base 10.

La scrittura polinomiale ci permette di passare

da base qualsiasi a base 10.

Ho ad esempio il numero 1210 a base 3 da trasformare a base 10

Scrivo il numero in forma polinomiale, usando questa volta le potenze crescenti della base, 3.

0x3^0 + 1x3^1 + 2x3^2 + 1x3^3

La prima posizione (da destra) è quella delle unità per tutti i sistemi, quindi vale 1, che si indica con base ^0 (qualsiasi numero elevato 0 da 1), così continuo con le potenze crescenti della base, per tutte le posizioni seguenti.

Eseguo l'espressione in colonna:

Quindi il numero 1210 a base 3 è il numero 48 a base 10.

Dalle bozze di
Anna Laura e Giovanni Andrea
la I A

Ricordo che da questa pagina si può scaricare un lavoro in Excel "Conversione numeri da base a base". E' trattato anche il sistema esadecimale.

I sistemi di numerazione a base diversa da 10

Lavorando con i sistemi di numerazione posizionali,
abbiamo chiarito perché si dice "a base...". Si dice così perché il valore delle singole posizioni varia secondo le potenze crescenti (da destra verso sinistra) della base scelta.
Sui sistemi di numerazione a base diversa da 10 abbiamo scoperto che tutte le basi possibili si scrivono 10, che non si pronuncia dieci, bensì uno - zero; l'uno (1) se stiamo lavorando a base 4 pesa 4 unità (corrisponde alle decine, 10 unità, del sistema decimale), se lavoriamo a base 7 pesa 7 unità.
Per esempio, se stiamo lavorando a base 4 :
la prima posizione vale 1 (4^0),
la seconda 4 (4^1),
la terza 16 (4^2),
la quarta 64 (4^3),
e così via sempre moltiplicando i valori delle singole posizioni per 4, o secondo le potenze crescenti del numero 4 (la base).
A differenza del sistema a base 10 dove si fanno i raggruppamenti da 10 qui si fanno raggruppamenti da 4 unità passando da una posizione a quella successiva.
Nel sistema a base 4 la seconda posizione "scatta" quando nella prima posizione abbiamo 3 unità, perché con una unità in più vado a formare una quartina.
Così quando in seconda posizione ho 3 quartine, scatta la terza posizione e si va a formare una sedicina, cioè ho 4 quartine, raggruppamenti da 4 unità, quindi 16 unità totali. E così via…
Man mano che ci spostiamo da destra verso sinistra il valore delle posizioni va crescendo sempre di 4 in 4. Non notate qualcosa? Beh! certo che anche se stiamo lavorando a base 4 il ragionamento è sempre lo stesso del sistema decimale. Sono tutti sistemi posizionali.
Curioso vero? Ciao alla prossima.

Saverio, I A

[Aggiornamento] Maestra Renata pubblica un bellissimo lavoro per capire meglio! Anche i decimali... Questa la presentazione, su splash_scuola gli esercizi

Contare mele in base due | Splash ragazzi via kwout

grazie Renata!

Il nostro sistema di numerazione è "decimale"

Perché il nostro sistema di numerazione si chiama decimale.

Il nostro sistema di numerazione si chiama decimale perché per scrivere i numeri usiamo 10 cifre: sono le famose 10 cifre “arabe” ma in realtà inventate dagli indiani (abbiamo letto la bella storiella delle sifr, della carovana a Bagdad che veniva dalle Indie…).
C’è anche un altro motivo. Il nostro sistema è di tipo posizionale: il valore delle cifre dipende dalla posizione che occupano nel numero. E’ decimale perché si fanno dei raggruppamenti da 10 per passare da una posizione a un’altra.

Vediamo come scriviamo i numeri formando i gruppi di 10.

Se ci chiedono di scrivere l’otto noi lo scriviamo così: 8, e già pronto. Anche il nove: 9.
Ma cosa succede se noi vogliamo aggiungere 1?
Prendiamo come esempio dei dolci, se ho gia nove dolci + uno, avrò 10 dolci, che sono 10 unità (ogni dolce una unità). Perché nella prima posizione (le unità) c’era già il 9, non può starci un’altra unità. 10 unità formano una decina, quindi l’uno passa al secondo posto, ma vale 10, la prima posizione resta vuota, lo zero, e avremo: 10.
Ora aggiungendo sempre un dolce potremo scrivere le altre unità fino a 19; aggiungiamo un dolce: nella prima posizione ci sono nove dolci (unità) e un altro non ci può stare, ma formo un’altra decina.
Quindi passa in seconda posizione, che ha già 1 decina, diventano 2 e la posizione delle unità è di nuovo vuota: e avremo 20.
Sempre aggiungendo 1 fino a 29 e se aggiungiamo un dolce quello non sta nella posizione del
nove e quindi viene accolto dal 2 che diventa 3 e la posizione del 9 diventa vuota e avremo 30.
E così via fino a 99. Se a 99 aggiungo 1 il primo nove non lo accoglie, diventa 1 decina, deve andare in seconda posizione, in seconda posizione ci sono già 9 decine, aggiungendone una diventano 10 decine, ma non ci stanno in seconda posizione, quindi 10 decine vanno a occupare la terza posizione (10 decine = 1 centinaio)
Scriveremo: 100. L’uno vale 100 la prima e la seconda posizione restano vuote.
Si continua così per scrivere tutti i numeri. Man mano che nelle posizioni si raggiunge un gruppo da 10, “scatta” la posizione successiva.
Quindi stiamo facendo gruppi di 10: decimale (o a base 10, da approfondire perché questo termine: base).

Saverio I A

Numeri e ... G. Leopardi

Stimolata da un articolo scritto dal mio amico P. Vereni sul suo blog,
vado a rileggere Giacomo Leopardi ...
Il quale ha fatto delle riflessioni anche sul... numerare!
[Il post non è precisamente per i ragazzi, semmai potremmo leggerlo insieme, ma io ho amato il poeta e scrittore e mi piace riportare il passo seguente, dalla sua opera Zibaldone. Spero sia gradito agli adulti che ci leggono]
"Alla p.1102. È stata anche utilissima e necessarissima invenzione e pensamento quello di dividere le quantità non per unità, ma per parti di quantità contenenti un numero di quantità determinato, e perpetuamente conforme; vale a dire per diecine, ossia quantità contenenti sempre dieci unità; per centinaia contenenti sempre dieci diecine; per migliaia ec. Senza questo ritrovato ottimo ed ammirabile, noi quanto ai numeri saremmo ancora appresso a poco, nel caso degli [1395]uomini privi di favella. Cioè non potremmo concepir chiaramente l’idea di veruna quantità numerica determinata (e quindi di nessun’altra non numerica, perchè se è determinata, ha sempre relazione ai numeri), se non piccolissima.
L’idea che l’uomo concepisce della quantità numerica è idea compostissima. L’uomo è capacissimo d’idee composte, ma bisogna che la composizione non sia tanta, che la mente umana abbia bisogno per concepir quell’idea di correre tutto a un tratto per una troppo grande quantità di parti.
Se noi non dicessimo undici, cioè dieci e uno, ec. ec. ma seguissimo sempre a nominare ciascuna quantità o numero, con un nome affatto progressivo, e indipendente dagli altri nomi e numeri, e non si fosse data ai numeri una scambievole relazione, tanto arbitraria e dipendente dall’intelletto umano, quanto necessaria, e difficile; noi perderemmo ben presto l’idea chiara di una quantità determinata alquanto grossa, perchè le sue parti, essendo pure unità, sarebbero troppe per poter esser comprese in un tratto, e [1396]abbracciate dalla nostra concezione.
Se il centinaio non fosse nella nostra mente una diecina di diecine (il che, chi ben l’osserva, viene a formare un’idea non decupla, ma quasi unica e semplice, (o al più doppia) a causa del rapporto scambievole delle unità colla diecina, e della diecina semplice colla diecina di diecine); ma fosse un centinaio di pure, slegate, indipendenti, indivise unità, ci sarebbe impossibile il correre in un tratto per cento unità così disposte, e quindi non potremmo concepire idea, se non confusissima e insufficiente, di detta quantità.
Per lo contrario la nostra mente abituata alla facilità di concepir chiaramente la quantità contenuta nella diecina semplice, si abitua ancora facilmente alla stessa concezione nella diecina di diecine, ec. ec. e con un solo atto di concezione, apprende chiaramente il numero delle unità contenute in una quantità, la cui idea se le presenta così ben distribuita nelle sue parti, così relative fra loro.
Questo è infatti il progresso delle idee de’ fanciulli, i quali da principio, quantunque bastantemente istruiti circa i numeri e le materiali quantità loro ec. non si [1397]formano però mai l’idea chiara delle unità contenute in una quantità più che tanto grossa, nè intendono mai chiaramente che quantità sia p.e. il centinaio, finchè la loro mente non si è abituata nel modo che ho detto, ascendendo gradatamente dall’idea simultanea e perfetta di una diecina, a quella di due, di tre, della diecina di diecine ec. "
Da Lo Zibaldone - G. Leopardi

ciao!:-)

"Sifr" e la scrittura dei numeri

Storiella... 2

"Quelle dieci cifre costituivano uno degli elementi di un dispositivo globale che permetteva di scrivere i numeri e di usarli per i calcoli: la "numerazione decimale posizionale con uno zero". Indubbiamente una delle invenzioni più importanti dell'umanità.

Il signor Ruche [è uno dei protagonisti del racconto...] lasciò trascorrere un istante, prima di domandare: - Ma perché posizionale? Visto che nessuno mi rivolge questa domanda, mi vedo costretto a farlo io stesso. Voi dormite, per caso? [Oh... ma a volte non succede così anche a scuola? :-)]

- Nient'affatto, sto ascoltando - insorse Lea. - Trovo così appassionante questo racconto che ...

Un lungo sospiro di Jonathan le impedì di proseguire: - Ah, Baghdad...-

Scherzi a parte, sembravano veramente interessati. I numeri appassionano sempre tutti. Forse anche troppo! [...]

Il signo Ruche cominciò a rispondere alla domanda che aveva formulato poco prima:

- In pratica tutti i popoli hanno posseduto una numerazione, vale a dire un modo di scrivere i numeri. Alcune molto efficaci, altre bolse [un po' fiacche, meno efficaci], come la numerazione romana, per esempio. Nella maggior parte dei casi, il valore di una cifra è indipendente dalla posizione che occupa nella trascrizione dei numeri: il X della numerazione romana ha il valore di dieci ovunque si trovi, così come XXX vale trenta, ossia dieci più dieci più dieci [si chiamano per questo Sistemi di numerazione additivi]. Invece, nella numerazione posizionale, è vero il contrario, cioè il valore di una cifra dipende dalla posizione che occupa nella trascrizione del numero. Per dirla in una parola, la posizione 'conta'! Il numero uno vale uno, dieci o cento, a seconda che occupi l'ultimo, il penultimo o il terz'ultimo posto. - [se consideriamo le posizioni a partire da destra dovremmo dire al contrario: la prima posizione vale 1, la seconda 10 ecc...]

- Il valore dipende dalla posizione che si occupa! Mi pare di avere già sentito questo genere di slogan - lo interruppe Lea. - Più si è in alto nella società, più si acquista valore, la scala gerarchica che bisogna salire se si vuole avere successo nella vita e bla, bla, bla. - Fece una smorfia. - E tu che ne pensi, Jonathan?-

- Io mi limito a constatare che Lea vuole politicizzare le nostre sedute e ... sono d'accordo con lei. Ma...- Assumendo il tono di un vecchio saggio orientale, declamò: - Un nano seduto sul gradino più alto è più alto di un gigante che sta in piedi sul più basso. Antico proverbio arabo -.

Il signor Ruche prese la palla al balzo. - E il numero uno di 1000 vale più dei tre nove di 999. La numerazione indiana compiì un autentico prodigio, ancor più ammirevole di quello dell'alfabeto. Con una manciata di segni, tanti quante sono le dita delle nostre due mani, permette di rappresentare tutti i numeri del mondo! Ecco che cos'hanno inventato gli indiani e quanto erano in vantaggio su tutte le altre civiltà, almeno in questo campo.

Oggigiorno tutto il mondo utilizza queste cifre: se c'è un'invenzione che ha avuto un destino universale, è proprio questa. -

Lanciando un'occhiata significativa in direzione dei gemelli [Lea e Jonathan], concluse: - Ecco qualcosa che non è stato inventato dai greci! -

A quel punto si levò una voce che li lasciò interdetti: - Amico mio, non vorrai derubare noi arabi delle nostre cifre, vero? -

[...] Habibi, il droghiere di rue des Martyrs [amico della famiglia....] emerse dalla penombra nella quale era rimaso nascosto fino a quel momento. - Le cifre, lo zero, sono un'invenzione degli arabi - protestò con energia. - Che cosa ci combini signor Ruche? -

- Sono desolato, Habibi, era quello che credevo anch'io, fino a pochi giorni fa. Ma era un errore: le cifre che si utilizzano oggi sono state inventate dagli indiani, in India. E' così, e non si può riscrivere la storia. -

- Allora puoi spiegarmi come mai tutti parlano di 'cifre arabe'? -

- Quando le cifre arrivarono a Baghdad, - spiegò il signor Ruche - gli arabi le chiamarono 'figure indiane'. Un matematico, che faceva parte della Casa del Sapere [Museo, Biblioteca di Baghdad], compilò un trattato per farle conoscere e per descrivere il modo di utilizzarle. E' grazie a lui che gli arabi hanno conosciuto le cifre indiane. Alcuni secoli dopo, il libro è stato tradotto in latino, diventando uno dei più grandi best-seller della fine del Medioevo. Per mezzo di quell'opera le cifre sono state conosciute in Francia, in Italia, in Germania, e infine si sono diffuse in tutto il mondo occidentale.

E poiché è stato grazie alla mediazione degli arabi che i cristiani le hanno conosciute, le hanno battezzate 'cifre arabe' e hanno dichiarato che lo zero era un'invenzione araba. E se tutti dicono 'cifre arabe', e non 'cifre indiane', è perché, nel corso dei secoli, il mondo occidentale si è arrogato il diritto di dare un nome alle cose per conto di tutta l'umanità. -

[...]

- Non essere triste, Habibi. Gli arabi non hanno inventato le cifre, però hanno creato qualcos'altro di veramente formidabile. Se poco fa ho detto che l'algebra non era nata in Grecia, è perché è nata a Baghdad! -

Da: Il teorema del pappagallo - Denis Guedj

... quella dell'algebra, più avanti, sarà per noi un'altra bella storiella!

Nel frattempo godetevi questo gioco:

ciao!:-)

Storiella...

Per i nuovi della I A ... ma anche per i "vecchi". Ma della nuova II! :-)

Dovete sapere che durante il califfato (nel Medioevo islamico, il califfo era il supremo capo spirituale e politico) di al-Ma'mun (anni 813-833 IX secolo), giunse a Bagdad (la città di Bagdad, fondata nell'anno 762 d.C., era detta anche Madinat el Salaam (Città della Pace). E' la città in cui, alla corte del Califfo Harun al Rashid, furono ambientate le favole delle "Mille e una Notte") una carovana ricca di merci e doni per il califfo, che veniva dalle Indie.

"Tra i doni contenuti nei suoi bauli ce n'era uno che avrebbe avuto un'importanza decisiva per i sapienti arabi: il Siddantha, un testo di astronomia completo di tavole, scritto un secolo prima da un matematico e astronomo indiano Brahmagupta (598 – 668).
Subito tradotto in arabo, sarebbe diventato celebre sotto il nome di Sindhind. Nelle sue pagine era contenuto un tesoro. Dieci piccole cifre! Oh, niente di più familiare, per voi: si tratta delle cifre con le quali facciamo i calcoli. Sì, uno, due, tre ... fino al nove. Senza dimenticare l'ultimo, lo zero.
L'erudito incaricato di consegnare i doni al califfo, un certo Kanka, le conosceva bene, visto che le usava da anni per i suoi calcoli. Quante volte, per ingannare il tempo, le aveva salmodiate nel corso degli innumerevoli giorni di viaggio che lo avevano condotto alla città rotonda! [Bagdad].
A forza di sentirli, anche i carovanieri avevano finito per impararli a memoria. La sera, intorno al fuoco, si sentiva la voce di uno di loro che snocciolava le cifre nel silenzio della notte; e gli altri carovanieri le ripetevano in coro.

[...] <<Eka, dva, tri, catvar, panca, sast, sapta, asta, nava ... >>

- E lo zero?
[...] <<Sunya!>> [...]
In sanscrito sunya significa 'vuoto'. Lo zero è rappresentato da un piccolo cerchio. Perché un cerchio? In effetti non si sa. Si sa invece che, tradotto in arabo, sunya diventa sifr, che, tradotto in latino, diventa zephirum, che, in italiano, dà luogo a zefiro. E da zefiro a zero il passo non è lungo.
Invece il nome dello zero, sifr, divenne quello di tutte le cifre. Lo zero, 'quel niente che tutto può', meritava in tutto e per tutto il suo nome."

Da Il Teorema del Pappagallo - Denis Guedj
La storia continua....

alla prox! :-)