Geogebra e numeri razionali

PER LA SECONDA

Ragazzi, per chi dovesse controllare, come d’accordo...

Vi lascio io il link ai post che ci interessano. Basta quello al tema:

Operazioni di tipo geometrico sui numeri razionali

Naturalmente trovate i post in ordine di pubblicazione più recente. Il primo da leggere è l’ultimo della pagina. Per chi era assente. Gli altri dovrebbero solo fare clic sui link del post!

Poi, a seguire verso l’alto. Volendo però, potete scegliere di studiare su:

Costruzione delle potenze di 1/2 (2° post della pagina, perché il 1° sarà ora questo)

Insomma... divertirsi! - e non mi scandalizzo se riproducete, eh eh... -

Operazioni geometriche sui numeri razionali_4. Costruzione delle potenze di 1/2

Vediamo ancora un'operazione di tipo geometrico sui razionali.

Costruzione delle potenze di 1/2

Si tratta di un'interessante operazione che ci fa fare un passetto in più nella conoscenza.... dell'infinito!
Aiuta "noi ragazzi" a comprendere meglio Zenone e i suoi paradossi, e magari anche le "Somme infinite" di zar!
Sull'applet GeoGebra che andrete ad aprire potrete seguire passo a passo la costruzione:
- sull’orizzontale si costruisce il numero ½ (due mosse: segmento uno-due1 e segmento parallelo uno1-½ ),
- si unisce ½ con il due1 dell’obliqua e si traccia la parallela a quest’ultimo segmento sempre partendo dal punto uno1 [abbiamo costruito così il numero: ½/2 cioè ¼], cosi di seguito per le altre potenze.
Si ottengono via via le potenze:
$\frac{ 1 }{ 8}$, $\frac{ 1 }{ 16}$, $\frac{ 1 }{ 32}$ ... $\frac{ 1 }{ 2^n}$ (o $\left( \frac{ 1 }{ 2}\right)^n$).
Clic

Ora una domanda: continuando a costruire ininterrottamente le potenze di ½, se sommiamo tutti i segmenti ottenuti nell’orizzontale tra uno e 0 (zero) che segmento dovremmo ottenere?

Non pensate si dovrebbe ottenere la misura del segmento lungo 1?

Possiamo scrivere quindi:
$1= \frac{ 1 }{ 2} + \frac{ 1 }{ 4}+ \frac{ 1 }{ 8}+ \frac{ 1 }{16}+ ... + \frac{ 1 }{ 2^n}$
Questa formula dobbiamo interpretarla così:
quante più potenze di ½ costruiamo, quindi quanti più segmentini, tanto più la loro somma si avvicina alla misura del segmento di lunghezza 1.
Nel linguaggio dei veri matematici questo fatto si esprime così:
al tendere di n all’infinito, la somma delle potenze di ½ tende al valore 1.
(Difficile? Su, su, si tratta di fissare il verbo *tendere*! "Avvicinarsi a", "evolvere verso", es: "il tempo tende a migliorare, tende al bello")
Si può scrivere anche utilizzando dei bei simboli (il simbolo dell'infinito lo conoscete!):
per $n \rightarrow+∞$ si ha:
$\frac{ 1 }{ 2} + \frac{ 1 }{ 4}+ \frac{ 1 }{ 8}+ ... + \frac{ 1 }{ 2^n} \quad\rightarrow 1$
Quest'affermazione può essere dimostrata attraverso una serie di passaggi algebrici che per ora saltiamo, che portano alla formula:
$1=1- \frac{ 1 }{ 2^n}$
per n crescente, cioè $n \rightarrow+∞$, si ha: $\frac{ 1 }{ 2^n}\quad\rightarrow 0$.
Sottraiamo da 1 una frazione con numeratore 1 e con denominatore sempre più grande, cioè sottraiamo un numero sempre più piccolo. Un numero che addirittura tende a zero! Quindi rimane: 1 = 1!
Bello no?:-)

Operazioni di tipo geometrico sui numeri razionali_3

Vediamo in questo post come possono essere ancora utilizzate le due semirette aventi origine comune, sulle quali si sia stabilita un'unità di misura, per costruire la

Somma tra due numeri razionali

Supponiamo di sommare 1 e 3/4:
- si riporta a partire da1 sull'orizzontale la misura corrispondente a 3/4 (o viceversa da 3/4 la misura corrispondente all'1 dell’orizzontale);
- si segna il punto corrispondente sull’orizzontale,
- si unisce questo punto con l'1 dell’obliqua.
- Si traccia la parallela al segmento trovato (il segmento congiungente 1 e 1+3/4
disegnato precedentemente), che passa per il 4 sull’obliqua.
Tale parallela interseca l'orizzontale nel punto corrispondente al 7.
Il segmento che unisce (orizzontale – obliqua) il 7 al 4 rappresenta, infatti, il numero 7/4 che è la somma tra 1 e 3/4.
Clic sull'immagine:

E qui, come sommare due frazioni, con la stessa procedura.

Operazioni di tipo geometrico sui numeri razionali_2

Vediamo ora, con lo stesso strumento utilizzato per suddividere un segmento in parti uguali e rappresentare numeri razionali, la costruzione del reciproco di una frazione (frazione inversa) e anche
il prodotto di una frazione per un numero intero o per un'altra frazione.

Per costruire l'inversa di una frazione, una volta costruita la frazione stessa, si traccia il segmento parallelo a partire da 1 sulla semiretta orizzontale: si ottiene la frazione inversa sulla semiretta ripartitrice.
Per riportare un numero sulla semiretta orizzontale a partire dal corrispondente numero sulla ripartitrice basta tracciare da quest’ultimo il segmento parallelo al segmento 1--1.
Clic sulla figura:

Vediamo ora come eseguire il prodotto di una frazione per un intero e per un'altra frazione.
Dopo aver rappresentato la frazione basta tracciare il segmento parallelo a partire dal punto sulla semiretta ripartitrice, che indica il fattore voluto.
Per moltiplicare per una frazione si deve prima costruire sull'orizzontale la frazione inversa di quella che rappresenta il fattore voluto, quindi sulla ripartitrice la sua inversa (appunto il fattore per cui vogliamo moltiplicare).
Noterai che per costruire 3/2 e nel caso precedente, 2/5, si è seguito un metodo leggermente diverso da quello illustrato nel primo post. Semplifica la procedura.
Clic

Operazioni di tipo geometrico sui numeri razionali

... ovvero:
come suddividere un segmento in n parti uguali
Questa attività, realizzata con geogebra, mostra come "costruire" un numero razionale mediante strumenti geometrici.
La costruzione risolve il problema della suddivisione dell'intero in n parti uguali.
Lo strumento è costituito da due semirette che hanno origine comune, ciascuna caratterizzata da una scala, non necessariamente monometrica (cioè con la stessa unità di misura).
Una semiretta, orizzontale, serve per rappresentare i numeri naturali e successivamente anche i numeri razionali; la seconda semiretta, chiamata ripartitrice, permette di suddividere in parti uguali segmenti sulla prima.
Nell'esempio riporto il metodo operativo per ripartire in 3 parti (e in 6 parti) una lunghezza assegnata, rappresentata dal segmento che ha per estremi l'origine delle semirette A e il punto D.
- Si congiunge l’estremo D con il punto sulla retta ripartitrice che indica il numero di partizioni da effettuare (nell'esempio il 3 (e il 6 )): si individua il segmento LD;
- successivamente si tracciano i segmenti paralleli al primo segmento tracciato, passanti per i punti da 1 a 3 sulla retta ripartitrice.
Clic sulla figura

Un esercizio:
Sai rappresentare con il metodo grafico proposto la frazione 4/7?

Spiegazione-approfondimento.
Il funzionamento di questo strumento è basato sul Teorema di Talete, secondo il quale:
un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali individua su queste, coppie di segmenti direttamente proporzionali. Clic qui
Paralleli sono i segmenti che uniscono la semiretta orizzontale con la semiretta ripartitrice, le trasversali sono le due semirette.
AH':H'I'= AK:KN

... e sulla similitudine dei triangoli. Vedete su questa pagina al punto: Triangoli simili...

Vedremo in successivi post come costruire con lo stesso strumento il reciproco di una frazione (frazione inversa) e anche
il multiplo di una frazione.