Operazioni geometriche sui numeri razionali_4. Costruzione delle potenze di 1/2

Vediamo ancora un'operazione di tipo geometrico sui razionali.

Costruzione delle potenze di 1/2

Si tratta di un'interessante operazione che ci fa fare un passetto in più nella conoscenza.... dell'infinito!
Aiuta "noi ragazzi" a comprendere meglio Zenone e i suoi paradossi, e magari anche le "Somme infinite" di zar!
Sull'applet GeoGebra che andrete ad aprire potrete seguire passo a passo la costruzione:
- sull’orizzontale si costruisce il numero ½ (due mosse: segmento uno-due1 e segmento parallelo uno1-½ ),
- si unisce ½ con il due1 dell’obliqua e si traccia la parallela a quest’ultimo segmento sempre partendo dal punto uno1 [abbiamo costruito così il numero: ½/2 cioè ¼], cosi di seguito per le altre potenze.
Si ottengono via via le potenze:
$\frac{ 1 }{ 8}$, $\frac{ 1 }{ 16}$, $\frac{ 1 }{ 32}$ ... $\frac{ 1 }{ 2^n}$ (o $\left( \frac{ 1 }{ 2}\right)^n$).
Clic

Ora una domanda: continuando a costruire ininterrottamente le potenze di ½, se sommiamo tutti i segmenti ottenuti nell’orizzontale tra uno e 0 (zero) che segmento dovremmo ottenere?

Non pensate si dovrebbe ottenere la misura del segmento lungo 1?

Possiamo scrivere quindi:
$1= \frac{ 1 }{ 2} + \frac{ 1 }{ 4}+ \frac{ 1 }{ 8}+ \frac{ 1 }{16}+ ... + \frac{ 1 }{ 2^n}$
Questa formula dobbiamo interpretarla così:
quante più potenze di ½ costruiamo, quindi quanti più segmentini, tanto più la loro somma si avvicina alla misura del segmento di lunghezza 1.
Nel linguaggio dei veri matematici questo fatto si esprime così:
al tendere di n all’infinito, la somma delle potenze di ½ tende al valore 1.
(Difficile? Su, su, si tratta di fissare il verbo *tendere*! "Avvicinarsi a", "evolvere verso", es: "il tempo tende a migliorare, tende al bello")
Si può scrivere anche utilizzando dei bei simboli (il simbolo dell'infinito lo conoscete!):
per $n \rightarrow+∞$ si ha:
$\frac{ 1 }{ 2} + \frac{ 1 }{ 4}+ \frac{ 1 }{ 8}+ ... + \frac{ 1 }{ 2^n} \quad\rightarrow 1$
Quest'affermazione può essere dimostrata attraverso una serie di passaggi algebrici che per ora saltiamo, che portano alla formula:
$1=1- \frac{ 1 }{ 2^n}$
per n crescente, cioè $n \rightarrow+∞$, si ha: $\frac{ 1 }{ 2^n}\quad\rightarrow 0$.
Sottraiamo da 1 una frazione con numeratore 1 e con denominatore sempre più grande, cioè sottraiamo un numero sempre più piccolo. Un numero che addirittura tende a zero! Quindi rimane: 1 = 1!
Bello no?:-)

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