Frazioni, che problemi ...

Per la II

Ragazzi,

per chi ancora non dovesse aver risolto l’attività avviata in classe, eccovi guidati con un’applet geogebra! Clic su img e, se volete, scaricate il file (Download)

Per chi invece ha già risolto e per continuare il ripasso:

un paio di problemi con le frazioni.

1. Marco vuole fare una bandiera. Vuole che:

1\6 della sua area sia rossa
2\5 della sua area sia gialla
1\3 della sua area sia verde
e il resto nera
Disegna la bandiera di Marco per lui.

2. Disegnare una scala di misura di peso

a) Questa scala deve indicare:

• I kg interi
• I decimi di kg
• Gli ottavi di kg

fino a 2 kg

Disegna la scala in modo che sia facilmente leggibile (la figura è solo per darvi un’idea, potete utilizzare geogebra e fare un bel lavoretto! Strumenti: Angolo di data misura, Segmento, Arco di circonferenza-dati il centro e due punti, ...)

b) Sulla tua scala disegna frecce per indicare:

• 1\2 kg
• 7\10 kg
• 2\5 kg
• 9\8 kg
• 7\4 kg

c) Elenca le cinque quantità frazionarie.

Problemi tratti da Questo lavoro

Frazioni, angoli, ...

III,

i tre esercizi per rinfrescare cosette...

1. I due esagoni regolari della figura sono congruenti.
Quale frazione del parallelogramma rappresenta l'area colorata?

2. Le tre strisce della bandiera sono suddivise rispettivamente, in 4, 3 e 2 parti uguali.
Quale frazione dell’area della bandiera è colorata?

3. Qual è l’ampiezza dell’angolo α ?

occhio! Tutte le risposte vanno motivate. Spiegare ragionamenti!

Frazione come operatore

Ragazzi,

ci siete? dove siete? siete rientrati?

Ok, se leggete, vista la mappa del post sotto?

E ora, vedete un po’ se vi ... ritrovate! Ma sì, figuriamoci se no!

Osservate le figure:

a) Uno di questi triangoli ha i 5\8 della sua area colorati. Individua qual è.

b) Quale triangolo ha la parte maggiore di area colorata rispetto agli altri due?

c) Quale frazione della sua area è colorata?

d) Quale frazione del triangolo C è colorata?

Ancora da Questo Lavoro

Mappa concettuale sui numeri razionali

In seconda,

dovremo riprendere, recuperare, sviluppare o verificare conoscenze e competenze sulle Frazioni e Numeri Razionali

Clic per ingrandire

elaborata da un gruppo di ricerca IPRASE

Sulle frazioni

Ragazzi della prima,

Come d’accordo vi segnalo alcuni materiali, per ripassare, consolidare, approfondire.

Non dovete fare tutto in una volta ma, tenere presente questo post!

Da Maestra Renata,

una bella mappa riassuntiva. Fate clic su immagine e leggete le indicazioni di maestra Renata

In particolare, esercitatevi con le Frazioni sulla linea dei numeri. Clic su img

Giocate un po’ anche con quest’altra applet geogebra. Troppo bella! Clic

 

Per quanto riguarda il calcolo con le frazioni, fate clic sull’immagine qui sotto

Di seguito le immagini di ciò che troverete. Tanto materiale. Vi spiegherò come utilizzare per il ripasso estivo o pre-riapertura scuola!

Da subito però:

Nella sezione Eserciziari risolti e schede operative, cliccate su Espressioni con le frazioni con addizioni e sottrazioni. Con il destro per salvare subito, oppure aprite e poi salvate sul vostro pc, un PDF - Raccolta di espressioni.

- Non mi dispiace se cliccate anche sulle Etichette di questo post!

“Racconti” dalla I

Hanno detto i ragazzi di prima:

  noi apriamo il nuovo ... centinaio!

- Bravi!

Ed ecco i vostri lavori.

Cominciamo con Marco D.

A Marco è stato regalato un bel libro di Matematica divertente. Infatti è intitolato proprio Il Matematico si diverte e l’autore è Federico Peiretti.

Il primo capitolo del libro narra di Divertimenti matematici nell’antico Egitto.

In questo periodo parliamo di frazioni, Marco si è quindi soffermato su “Le frazioni nell’antico Egitto”. E vuole raccontare ai compagni:

Le frazioni dell’occhio di Horus

L’ idea di frazione per gli Egizi era molto primitiva, infatti conoscevano soltanto le unità frazionarie. Usavano un geroglifico che significava “parte”, e prendeva il ruolo del numeratore, per esempio 1/5 si scriveva così: , 1/3 così:

L’unica differenza era nella frazione 2/3 , per la quale si usava un simbolo specifico:

All’origine delle frazioni dell’antico Egitto c’è una leggenda. La leggenda narra che Horus figlio di Osiride e Iside, volle vendicarsi contro Seth il quale uccise il padre. Nella lotta Horus perse un occhio nel Nilo. Toth, il dio della giustizia, lo raccolse e lo ricompose.

L’ occhio di Horus per gli Egizi ha un significato magico-religioso, lo usavano per siglare i documenti, e le sue parti assunsero un significato molto importante. Vennero adottate come frazioni dell’unità di misura della quantità di cereali, grano, orzo che veniva assegnata ad ogni famiglia. Ecco l’immagine dell’occhio:

Se sommiamo tutte le frazioni otteniamo 63/64, quindi manca 1/64 per arrivare all’intero. Si narra che Toth non riuscì a ritrovare la parte, ma la ricreò e la donò a Horus perché potesse completare il suo occhio divino.

Gli egizi come abbiamo detto prima, usavano soltanto le unità frazionarie ogni altra frazione era composta da unità frazionarie.

Un esempio l’abbiamo nel papiro di Rhind dove viene riportata una tabella di scomposizione di 2/n e di n/10 in unità frazionarie. Ad esempio:

9/10 = 1/30+1/5+2/3 [il libro riporta così ma, Marco, anche: 1/2 + 1/3 + 1/15, che sono tutte unità frazionarie]

2/7 = 1/28+1/4

Ora, ragazzi, provate voi a scomporre in unità frazionarie (vi aiuto):

2/5 = ...  + ...

3/4 = ... + ...

5/7 = ... + ... + ...

E ancora un aiuto: ricordate la proposta di soluzione del problema della suddivisione dei 3 appezzamenti di terreno fra 4 figli .... ?  Qualcuno di voi ha detto: divido due terreni a metà e ne do una parte a ciascun figlio, l’altro terreno .... Ecco: avremmo usato le frazioni egiziane!

  - E ora, torniamo ai tempi moderni con ... Geogebra!

Davì ha costruito correttamente il rombo. Tanto che, orgogliosamente lo chiama rombo indeformabile. Clic su immagine, dal file di Davì, per vederlo.

Beatrice invece mi ha detto di essere andata a curiosare sul blog del prof Daniele e di aver visto un’altra dimostrazione dell’area del trapezio. [ecco che mi combinano i miei ragazzi, prima di cliccare sui link del nostro blog .... Scherzo. Al contrario, mi fa piacere che vadano ad esplorare in rete!]

Ed ecco che Bea dice e fa:

Dimostrazione dell'area del trapezio

Sappiamo che la caratteristica principale del trapezio è di avere 2 lati paralleli (B (base maggiore), b (base minore)).

Gli altri 2 sono i lati obliqui, non paralleli.

La distanza fra le 2 basi si chiama altezza (h).

Trasformando il trapezio mediante l'equiscomposizione/composizione in un triangolo, cioè unendo la base minore a quella maggiore e unendo i loro vertici,

Clic su figura - Mi accorgo ora che Bea scrive nel foglio di lavoro: Muovendo i vertici l'area e i segmenti CD e BE non cambiano! Io so che intendeva, e ne era felice, che la costruzione non si deforma, conserva le proprietà.

ci trasportiamo automaticamente un triangolo ottusangolo con un lato uguale alla base minore del trapezio (in poche parole lo abbiamo “tagliato”dal trapezio e aggiunto alla base maggiore) notiamo che le due figure ABDC e ACE sono equivalenti.

Possiamo dire allora che l'area del trapezio è (B+b)*h/2, e che è equivalente a quella del triangolo che ha per base la somma delle basi del trapezio e come altezza la stessa altezza del trapezio.

(Prof, ma i triangoli si trovano in ogni figura!! – mi scrive Bea. Già, ne abbiamo poi parlato ...)

Bea, ragazzi, come vi ho detto, dobbiamo però dimostrare che il triangolo trasportato automaticamente, “tagliato”dal trapezio è equivalente al triangolo FBE. Ma prima dobbiamo scoprire altre proprietà sulle rette che si incontrano ...

Ragazzi: lode anche a voi!

Frazioni e segmenti

Costruiamo e osserviamo ...

Davide D., Daniele, Marco N. hanno costruito su Geogebra rettangoli di dato rapporto base/altezza. Metto il lavoro di Marco (che comincia a usare il LaTex - grazie a sorellina? - Bravi, così si fa!) Clic se si vuol aprire l’applet.

Questo lavoro fatto a casa qualche giorno fa.

In classe abbiamo lavorato con gli “stecchini”: in verità abbiamo disegnato segmenti.

Considerando ancora un rettangolo così: 2 stecchini per l’altezza, 3 stecchini per la base, h = $\frac{ 2 }{ 3}$ b

Se i segmenti dell’altezza diventano 4, certo, per la base allora 6 segmenti, ecc...

Domanda: se aggiungo uno stecchino all’altezza, quindi 3 stecchini, quanti stecchini dovrò usare per la base, affinché il loro rapporto rimanga $\frac{ 2 }{ 3}$ ?

Il problema si presenta un po’ difficile (siamo in I), qualcuno naturalmente ha proposto 4 stecchini per la base ...

Stefano ha invece risolto così:

“Divido i 3 stecchini per 2, in modo che i pezzi siano due da 1,5 stecchini. Se due pezzi da 1,5 sono in tutto tre stecchini, per avere solo pezzi da 1,5, tre pezzi da 1,5, bisogna prendere 4,5 stecchini per la base.

Se fra altezza da 2 e base da 3 il rapporto è 2/3, fra altezza da 3 e base da 4,5 sarà lo stesso”

Bravo Ste’

Orologio alla mano!

... due curiosità. Ehm, indagini!

1. Il quadrante dell’orologio

Si tratta di dividere il quadrante dell’orologio (vedi immagine) in sei parti, a vostra scelta, ma con la condizione che in ogni settore la somma dei numeri sia la stessa.

2. Determinare gli angoli

Che ampiezza hanno gli angoli (convessi) formati dalle lancette degli orologi rappresentati nella figura? Cercate di risolvere il problema mentalmente senza ricorrere al goniometro  (ma alle frazioni, sì! Forse anche a quelle equivalenti ...).

Entrambi i problemi da Y. PERELMAN

... le frazioni!

Operare

con le frazioni.

Sull’applet geogebra dovete completare le figure e descrivere ciò che l’attività rappresenta. Vi serviranno gli strumenti Nuovo punto e Inserisci testo.

Clic su immagine

Continuiamo a parlare di Q!

Maria Chiara si gode davvero lo sviluppo del tema! :-)

E ci dice...

Sviluppando il discorso sull’insieme Q, abbiamo scoperto cose nuove e meravigliose [che esagerata :-)]. Ora racconto com’è andata.

Antonello, nella sua relazione, ha voluto sottolineare il fatto che N è sottoinsieme di Q,

nel suo insieme scriveva come vedete, frazioni come 16/4, 2/4, 3/18, 3/9, ecc.. La professoressa, osservandolo ha notato le frazioni e ha detto: “Scusate ragazzi ma anche voi avreste scritto 16/4, 2/4, 3 /18 ecc..?”.

Pier Paolo ha parlato pronunciando un no secco [e te pare, Pier Paolo! :-)] e poi ha detto, “io per esempio avrei scritto 1/3 anziché 3/9, e poi al posto di 2/4, 1/2 e via dicendo”, infatti, era proprio la risposta esatta perché, ci ha ripetuto la prof, sono queste le frazioni “rappresentanti” la classe di equivalenza, cioè il numero razionale.

Tanto che, come si chiamano frazioni come 1/6, 1/3, 7/2, 11/18 ? Sono chiamate tutte frazioni primitive. Abbiamo scoperto anche quando una frazione è primitiva: quando il numeratore e il denominatore sono primi fra loro (quando non hanno più fattori in comune) . E…. visto come si collegano i vari argomenti? “Primi fra loro”, un concetto incontrato nella divisibilità.

Così, rispettando questa regola, abbiamo iniziato a elencarne molte, per esempio: 8/7, 7/6, e anche 220/19, 345/2, 99/20.

A sentire ciò, la professoressa è rimasta un po’ stupita e ha esclamato: “stranamente siete portati a fare degli esempi… con una caratteristica comune, a me ne sarebbero venuti altri …” Beh! Si può vedere anche dagli esempi elencati: tendiamo a mettere il numeratore più grande del denominatore.

Come mai?, ci chiedeva la prof. Gabriele ha detto che forse, dato che la frazione è una divisione, siamo abituati, in genere, al dividendo più grande del divisore, quindi… La prof ha detto che certamente, poteva essere un buon motivo.

La prof ci ha chiesto che cos’era per noi la frazione. Cosa voleva dire “frazionare”. Abbiamo detto che significava dividere (l’intero).

E quindi dividendo cosa ottengo, rispetto all’intero?

Delle parti più piccole, delle parti dell’intero!

Così ci ha indicato:

rappresentate i 6/5 di un nastro.

Ecco:

 devo prendere più dell’ intero! Non è bastato solo un nastro per prendere le sei parti dovute, quindi devo prendere l’intero più un altro quinto.

Mentre se noi prendiamo i ¾

Abbiamo preso una parte, una frazione dell’intero.

Quindi 3/4 , come 2/3, 5/8, ecc… sono vere frazioni!

   E ora arriva la parte più simpatica: non riuscivamo ad indovinare che nome dare alle frazioni ¾, ½ ecc.., quelle “una parte dell’intero”, e la professoressa che ci dava degli indizi per arrivarci: “ma scusate, che nome gli sta bene se queste frazioni sono veramente una parte dell’intero….” e ad un certo punto, Letizia interviene dicendo proprie! Immaginate che la professoressa dalla soddisfazione per essere arrivati alla risposta giusta, ha dato parecchie sculacciate a Letizia (naturalmente piano e scherzando) [per la verità la prof gliele ha date perché l’avevano fatta penare… :-)] poi se quelle erano proprie, i 6/5 ecc… erano improprie e le altre, come 10/5, 16/4, ecc... prima che finisse l’ora, siamo riusciti a dire che si chiamano apparenti (il termine esatto lo ha detto Giada)

Brava Maria Chia’! :-)

Sull’ampliamento di N: le relazioni dei giovini

Antonello, Erica, Gabriele, Giovanna, Letizia, Marcello, Maria Chiara e Veronica (ragazzi, rigoroso ordine alfabetico!)

hanno scritto sulla scoperta dei numeri razionali.

Qualcuno ha scritto sul quaderno e ho scannerizzato, altri su word e  copio-incollo  le parti più simpatiche! :-) Ecco i lavori:

 (l’affermazione sulla sottrazione non è proprio esatta... abbiamo chiarito) 

Ancora:

E:

“  E’….. con un po’ di fantasia e di logica che si possono intraprendere delle bellissime lezioni di matematica. [...]

….. chi poteva immaginare che proprio da questi curiosi quadrati si potesse introdurre un argomento così ampio e interessante! Beh…. se parliamo di suddivisione di interi non si può che pensare alle frazioni.

Vi diremo di più, l’uomo usava le frazioni fin da tempi antichi, infatti un papiro è stato ritrovato in Egitto e ora conservato in un famoso museo [Papyrus Rhind] . In effetti, l’uomo aveva molta necessità di allargare le mura dell’insieme N, se per esempio ad un uomo dell’antichità gli fosse capitato il problema seguente come avrebbe fatto senza le frazioni?

Un uomo aveva 4 figli e tre terreni e doveva lasciare l’ eredità in parti uguali a ciascun di loro. Come fa a dividerli? [...]

La frazione è un operatore che ci permette di dividere l’intero in parti uguali e considerarne alcune di esse. Ma la frazione è anche un numero: è il quoziente esatto della divisione, infatti, è più giusto dire 8/3, che il risultato della divisione 8:3 (la frazione è il quoziente esatto della divisione fra due numeri naturali qualsiasi).

... Le frazioni equivalenti, non sono solo quelle con numeratore e denominatore uguale, ma sono tutte quelle dove il numeratore diviso per il denominatore diano tutte uno stesso numero [...]”

“Partendo dalla suddivisione dell’intero in parti uguali.... Abbiamo diviso un quadrato in 4 parti uguali, poi siamo passati al rettangolo e così via, fino a quando la professoressa ci ha chiesto di dare un nome ad ogni parte di quadrato/rettangolo/… .

Quando abbiamo dato la risposta, la professoressa era contenta perché era esatta: ogni parte di quadrato/rettangolo/… era ¼ di rettangolo (cioè il rettangolo diviso in 4 parti di cui è stata presa una parte) che si chiama anche unità frazionaria.

Da quel “¼” , considerando tutto l’ intero abbiamo scoperto che frazioni come 1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5,…… sono equivalenti e valgono 1; infatti si può formare un insieme con queste frazioni, che viene detto una classe di equivalenza. Esistono però altre classi di equivalenza come per esempio le frazioni che valgono 2: 2/1, 4/2, 6/3, 8/4, 10/5, …… e ogni numero razionale è una classe di equivalenza.

L’insieme di tutte le classi di equivalenza si chiama Q o dei numeri razionali, e N è incluso in Q .

Abbiamo anche scoperto che una frazione è un quoziente esatto, per esempio se io faccio 4:3 il risultato sarà: 1,33333333333333….. questo risultato non è esatto perché dobbiamo approssimare; se invece dico 4/3 so che questo è il quoziente esatto di 4:3.

Per questo sono state inventate le frazioni: per dare alle divisioni un risultato perché prima non si conosceva la virgola, infatti un numero con la virgola è più difficile da capire di una frazione. “

Costruzione delle classi di equivalenza

Ragazzi,

abbiamo visto le classi di equivalenza. Quegli insiemi, infiniti, di frazioni equivalenti, ciascuno dei quali è un numero razionale: una classe di equivalenza <--->un numero razionale.

Cioè: più rappresentazioni, come frazione, dello stesso numero razionale.

L’insieme dei razionali, dunque, l’inseme Q è costituito da tutte le classi di equivalenza, dall’insieme delle classi di equivalenza.

Eh, fermiamoci solo un attimo: Un insieme, Q, infinito, i cui elementi sono degli insiemi, infiniti ... ancora una volta incontriamo ...l’infinito!

E ora, vediamo:

le classi di equivalenza sono insiemi infiniti. Come abbiamo fatto con i numeri naturali (N), infiniti, possiamo rappresentarle mediante un ente geometrico, infinito naturalmente: la retta.

Precisamente:

ogni classe di equivalenza può essere rappresentata come una retta, passante per l'origine degli assi cartesiani, che passa per ogni coppia ordinata che rappresenta quel numero razionale.

Ricordate le coppie ordinate? Ricordate il prodotto cartesiano? (fate clic sui link!)

In questo caso le coppie ordinate in questione le possiamo rappresentare così:

$(a,b) ---->  \frac{ a }{b} \,=\,\frac{k*a }{k*b }$

il numero k è un naturale qualsiasi (proprietà invariantiva, vero?).

Il sistema di riferimento cartesiano ci aiuta nella rappresentazione grafica delle classi di equivalenza.

Vediamola. Clic sull’immagine per aprire l’applet geogebra.a)  Tutte le rette (tranne quella numerica, dei naturali e ...) passano per l’origine degli assi cartesiani;

b) ogni punto di ciascuna retta ha per coordinate una coppia ordinata di valori che corrisponde a:

 $(a,b) ---->  \frac{ a }{b} \,=\,\frac{k*a }{k*b }$ (a/b = k*a/k*b)

Come fare per ottenere la retta che rappresenta una classe di equivalenza?

Qualche esempio: volete rappresentare il numero razionale 3/5?

Sulla barra di inserimento digitate: x =3/5 y e, invio.

Per individuare – evidenziare dei punti che formano la retta:

digitate sulla barra di inserimento: (3, 5) e, invio; o anche (6, 10), invio. (Naturalmente anche il punto (1.5, 2.5) – ho diviso per 2 - farà pare della retta!) Ecc...

Volete rappresentare il numero razionale 4?

Sulla barra di inserimento digitate: x = 4 y

Per evidenziare dei punti sulla retta:

sulla barra di inserimento: (4, 1), O anche: (8,2), ecc...

Potete provare subito anche sull’applet.

Una lezione con la LIM: dalla suddivisione dell’intero... al numero razionale.

Non è una lezione “speciale” con la LIM (lavagna interattiva multimediale)

E’ soltanto una nostra normale lezione con la Lim, che utilizziamo da qualche mese nelle nostre normali attività.

Oggi ci è venuto in mente di salvare un PDF da condividere. Ci sono tutti i nostri scarabocchi, così come sono venuti, spontanei, in corso d’opera! Non siamo precisini, ordinatini... ma a noi pare importante il fatto che ci siamo tutti!

Il tema è l’ampliamento di N, insieme dei numeri naturali, alla scoperta dell’insieme Q, dei razionali.

Dalla suddivisione dell’intero.... (nella suddivisione del quadrato in parti uguali ci siamo poi sbizzarriti !)

Clic sulla figura per scaricare il PDF (al quale ho aggiunto qualche nota esplicativa...)

Ehi, o belli: la relazione ...resta assegnata! :-)

Cominciamo a dividere l’intero ...

Ragazzi di prima,

 - sì, vi preparate per la verifica di mercoledì. Poi ...

...dopo tante operatività in N, diciamo che N non ci basta più! :-)

Infatti: arriva il momento di suddividere l’intero...

E voi cominciate a farlo con l’attività su GeoGebra che vado a proporvi. Aprirete l’applet cliccando sulla prima immagine (o Scaricate il .ggb). Potrete lavorare ancora sul quadrato e, in un secondo foglio di lavoro, su un rettangolo (vi indico cosa fare... Ho scordato però di chiedervi di indicare “matematicamente” la parte ottenuta con la suddivisione – ehi, LaTex, che dite? -).

Tutti insieme lavoreremo poi anche su altre figure (triangoli, cerchi... o segmenti, percorsi non necessariamente rettilinei, ecc. Meglio se proporrete voi ...)

In quali modi si può piegare un quadrato in quattro parti uguali?

 

Questo il quadrato (già pronto!) su cui lavorare. Avete disponibili gli strumenti...

P.S [aggiornamento]

ragazzi...

il prof.Popinga ha così commentato:

L’insieme Q
È l’insiem dei razionali,
con la virgola o le frazioni:
corrispondon alle divisioni
tra numeratore e denominator.
Diversamente dai naturali,
non si contan sulle dita:
si rischierebbe persin la vita
a far frazioni delle falang.

Proprio così: N non ci basta più ... ... per dividere come ci pare e piace!

Per cui: insieme Q (che sta per quoziente), dei numeri razionali (dal latino ratio: vuol dire ragione, in origine aveva il significato di “calcolo” (presente ancor oggi nel termine ragioniere, colui che fa i conti, i calcoli), e anche relazione, rapporto (matematico) quindi quoziente.

Vedremo, c’è da comprendere bene ... il numero razionale!

grazie prof. Popinga :-)

Tipi di frazioni

Lavoro di Anna Laura, GiuliaG e Laura

Esistono 3 tipi di frazioni, le frazioni vere e proprie che sono una parte minore dell’intero, si riconoscono perché il numeratore è minore del denominatore.
Come si può vedere nell'esempio fatto su excel, possiamo notare che operando sulla misura di una grandezza con una frazione propria, il valore della grandezza ottenuta, omogenea a quella di partenza, è minore di quello dell’intero.
Poi ci sono le frazioni improprie che sono una parte maggiore dell’intero e si possono riconoscere perché il numeratore è maggiore del denominatore,
Nel secondo esempio su Excel, sono rappresentate le frazioni improprie che come ho già detto sono più del tutto e questo si può notare: ho operato sulla misura di una grandezza con una frazione impropria, il valore ottenuto è maggiore di quello dell’intero.
Infine le frazioni apparenti che apparentemente sembrano frazioni ma sono uno o più interi, e si riconoscono perché il numeratore è uguale o multiplo del denominatore.
Operando con una frazione apparente sulla misura di una grandezza otteniamo misure di grandezze uguali o multiple della frazione stessa (nell'esempio ottengo grandezza doppia, la frazione é: 4/2 = 2).
Il lavoro in Excel è di Anna Laura. E' stata molto brava con i formati personalizzati! Si può scaricare il suo file, tipi_di_frazioni_calcoli su excel.xls
Sul blog, frazioni proprie, improprie, apparenti e complementari

L'insieme Q dei numeri razionali

Anna Laura, Giulia G, Laura e Saverio dicono....

Studiando le frazioni abbiamo scoperto l'insieme Q.
E' l'insieme di tutte le classi di equivalenza. La classe di equivalenza è l'insieme delle infinite frazioni equivalenti ad una data primitiva, la sua rappresentante.
Abbiamo scoperto che dell’insieme Q dei numeri razionali fa parte l’insieme N dei numeri naturali, N ⊂ Q, e che l’insieme Q che è infinito ha per elementi insiemi che a loro volta sono infiniti! Curioso...!
L’insieme N fa parte dell’insieme Q perché questo comprende le frazioni apparenti, siccome sembrano ma non sono frazioni, sono dei numeri naturali cioè interi. Anche i naturali sono classi di equivalenza …

Classi di Equivalenza,
3/5, 2/3, 2/1 sono le rappresentanti della classe di equivalenza, servono a indicare il
numero razionale.

Sull'insieme Q, altro sul blog

Parliamo di frazioni...

In seconda parliamo di frazioni... in vista di un ampliamento dell'insieme N.
Hanno scritto Gimmi, Saverio, Laura, Maria. Altri devono ancora consegnare!
AnnaLaura ci dice...

Conoscevamo già dalle elementari le frazioni ma stiamo scoprendo delle altre cose...
La professoressa ci ha dato da risolvere dei piccoli problemi.
Abbiamo cominciato con un problema che diceva:
una maestra regala a Giovanni, Giuseppe e Maria un nastro della stessa lunghezza. I tre ragazzi decidono di dividere il nastro con i loro fratelli, Giovanni ha 1 sorella, Giuseppe lo divide con i suoi 2 fratelli, e Maria con i suoi 3 fratelli. I nastri erano uguali, ma a chi spetta la parte maggiore di nastro?
Abbiamo fatto uno schema come ci ha consigliato la prof, e abbiamo notato che Giovanni prendeva la parte più lunga di nastro, questo perché divideva il nastro con una sola persona.
La prof ci ha detto di indicare la parte che spettava ad ogni ragazzo in modo "matematico", allora abbiamo scritto che Giovanni prendeva la metà, Giuseppe un terzo e Maria un quarto.
Ma la prof ci ha detto che così era in italiano e non in matematico. Quindi finalmente abbiamo scritto le frazioni! Lo schema completo è questo:

Qualcuno di noi aveva difficoltà a dividere in parti uguali i nastri, lo abbiamo aiutato chiedendoci quale fosse il numero di quadretti più adatto per disegnare il nastro intero. Così abbiamo ripassato anche i multipli (e i divisori). La prof ci ha detto: abbiamo utilizzato ciò che sapevamo!
Con un altro problema abbiamo parlato di frazioni equivalenti.
Questo però è successo per caso, il problema era:
Giulia ha 1 tavoletta di cioccolato e la mamma le dice di dividerla a metà con suo fratello. Giulia mangia ¾ di una tavoletta e il resto lo da al fratellino, e il fratellino strilla. Perché il fratellino strilla?
Come sempre prima ci siamo fatti uno schema, uno schema per rappresentare come avrebbe dovuto fare secondo quello che le aveva detto la mamma e un altro per rappresentare quello che invece aveva fatto.

Dai due schemi abbiamo notato che il fratellino strilla perché la sorella ha mangiato più cioccolata e di conseguenza ne ha lasciato di meno al fratellino.
Adesso vi spiego perché da questo problema abbiamo parlato delle frazioni equivalenti.
Alcuni di noi per rappresentare la metà nel primo schema hanno scritto 2/4, altri 1/2.
Si poteva scrivere in entrambi i modi perché 2/4 e 1/2 significano la stessa cosa, infatti sono frazioni equivalenti cioè dello stesso valore.
Abbiamo discusso su come ottenere frazioni equivalenti: 1/2 diventa 2/4 se sia il denominatore che il denominatore vengono moltiplicati per uno stesso numero e il valore della frazione non cambia.
Questa regola non è altro che la proprietà invariantiva della divisione (moltiplicando o dividendo sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero il risultato non cambia).
La frazione è quindi una divisione! Infatti ci siamo ricordati che la linea di frazione vuol dire diviso. Poi il numeratore è il numero che sta su e il denominatore è quello che sta sotto, i termini della frazione ce li ricordavamo dalle elementari quindi non c’è stato bisogno di spiegarceli. Ma, dobbiamo ancora precisare meglio....
La professoressa ci ha chiesto: - quante sono le frazioni equivalenti alla frazione 1/2?
Ci abbiamo pensato un pochino e poi abbiamo detto che ne esistono infinite. Infatti possiamo moltiplicare in numeratore e il denominatore per infiniti numeri. (Qualcuno ha detto perché i multipli di un numero sono infiniti).
Sulle frazioni equivalenti dobbiamo però ritornare...

Abbiamo fatto ancora un altro problema:
Simone ama la musica rock, ha 57 dischi, 2/3 dei quali sono di musica rock. Quanti sono i dischi rock di Simone?
Abbiamo diviso 57 (il numero totale dei cd) per 3 e abbiamo trovato 1/3, cioè 19 cd.
Siccome ne dovevamo trovare 2/3 abbiamo moltiplicato per 2, 19 * 2= 38 , il numero dei dischi rock di Simone.
Da questo problema abbiamo capito che trovare una frazione (una parte) di una quantità, per es. il numero dei CD, è la stessa cosa che trovare una frazione di una grandezza, per esempio la tavoletta di cioccolato oppure la lunghezza del nastro.
Questo lo abbiamo spiegato in vari modi ad es. prendendo dapprima un foglio, calcolando i suoi 2/3, poi misurando la larghezza del foglio e calcolando la larghezza dei suoi 2/3, ecc...
Poi abbiamo scoperto il linguaggio specifico: la frazione è un operatore. Operatore perché lo usiamo per operare: dividiamo l'intero per quante volte ci dice il denominatore e moltiplichiamo la parte trovata per quante volte ci dice il numeratore.
Quindi: il denominatore di una frazione è il termine che indica in quante parti l'intero è stato suddiviso, il numeratore indica quante parti se ne considerano. Allora, usando il linguaggio specifico: operare su una grandezza equivale a operare sulla sua misura.
Abbiamo precisato che la frazione operatore finora usata, si chiama operatore diretto perché conosciamo l’intero e devo trovare una sua parte. Diretto perché ci viene più spontaneo dividere in parti uguali un intero e considerarne una certa quantità (di queste parti).
Abbiamo inoltre precisato che le frazioni del tipo: 1/ x (x = un qualunque numero intero) si chiamano unità frazionarie (il termine "unità" non ci veniva ma ci siamo arrivati...!). Perché si considera una sola delle parti in cui l'intero è stato frazionato.

A proposito di unità frazionarie, interrompo qui il "racconto" di Anna Laura sulle attività svolte, per mostrarvi il lavoro che Anna Laura ha fatto, da sola, senza che in classe se ne fosse parlato.
Con Excel ha rappresentato come varia il valore delle unità frazionarie al crescere del denominatore.

"Vediamo che al crescere del denominatore il valore diminuisce"
In cella C2 ha immesso la formula: =A2/B2
che poi ha copiato nelle celle sottostanti. Ha creato quindi il grafico.
Devo dire: bravissima Anna Laura!