Orologio alla mano!

... due curiosità. Ehm, indagini!

1. Il quadrante dell’orologio

Si tratta di dividere il quadrante dell’orologio (vedi immagine) in sei parti, a vostra scelta, ma con la condizione che in ogni settore la somma dei numeri sia la stessa.

2. Determinare gli angoli

Che ampiezza hanno gli angoli (convessi) formati dalle lancette degli orologi rappresentati nella figura? Cercate di risolvere il problema mentalmente senza ricorrere al goniometro  (ma alle frazioni, sì! Forse anche a quelle equivalenti ...).

Entrambi i problemi da Y. PERELMAN

Continuiamo a parlare di Q!

Maria Chiara si gode davvero lo sviluppo del tema! :-)

E ci dice...

Sviluppando il discorso sull’insieme Q, abbiamo scoperto cose nuove e meravigliose [che esagerata :-)]. Ora racconto com’è andata.

Antonello, nella sua relazione, ha voluto sottolineare il fatto che N è sottoinsieme di Q,

nel suo insieme scriveva come vedete, frazioni come 16/4, 2/4, 3/18, 3/9, ecc.. La professoressa, osservandolo ha notato le frazioni e ha detto: “Scusate ragazzi ma anche voi avreste scritto 16/4, 2/4, 3 /18 ecc..?”.

Pier Paolo ha parlato pronunciando un no secco [e te pare, Pier Paolo! :-)] e poi ha detto, “io per esempio avrei scritto 1/3 anziché 3/9, e poi al posto di 2/4, 1/2 e via dicendo”, infatti, era proprio la risposta esatta perché, ci ha ripetuto la prof, sono queste le frazioni “rappresentanti” la classe di equivalenza, cioè il numero razionale.

Tanto che, come si chiamano frazioni come 1/6, 1/3, 7/2, 11/18 ? Sono chiamate tutte frazioni primitive. Abbiamo scoperto anche quando una frazione è primitiva: quando il numeratore e il denominatore sono primi fra loro (quando non hanno più fattori in comune) . E…. visto come si collegano i vari argomenti? “Primi fra loro”, un concetto incontrato nella divisibilità.

Così, rispettando questa regola, abbiamo iniziato a elencarne molte, per esempio: 8/7, 7/6, e anche 220/19, 345/2, 99/20.

A sentire ciò, la professoressa è rimasta un po’ stupita e ha esclamato: “stranamente siete portati a fare degli esempi… con una caratteristica comune, a me ne sarebbero venuti altri …” Beh! Si può vedere anche dagli esempi elencati: tendiamo a mettere il numeratore più grande del denominatore.

Come mai?, ci chiedeva la prof. Gabriele ha detto che forse, dato che la frazione è una divisione, siamo abituati, in genere, al dividendo più grande del divisore, quindi… La prof ha detto che certamente, poteva essere un buon motivo.

La prof ci ha chiesto che cos’era per noi la frazione. Cosa voleva dire “frazionare”. Abbiamo detto che significava dividere (l’intero).

E quindi dividendo cosa ottengo, rispetto all’intero?

Delle parti più piccole, delle parti dell’intero!

Così ci ha indicato:

rappresentate i 6/5 di un nastro.

Ecco:

 devo prendere più dell’ intero! Non è bastato solo un nastro per prendere le sei parti dovute, quindi devo prendere l’intero più un altro quinto.

Mentre se noi prendiamo i ¾

Abbiamo preso una parte, una frazione dell’intero.

Quindi 3/4 , come 2/3, 5/8, ecc… sono vere frazioni!

   E ora arriva la parte più simpatica: non riuscivamo ad indovinare che nome dare alle frazioni ¾, ½ ecc.., quelle “una parte dell’intero”, e la professoressa che ci dava degli indizi per arrivarci: “ma scusate, che nome gli sta bene se queste frazioni sono veramente una parte dell’intero….” e ad un certo punto, Letizia interviene dicendo proprie! Immaginate che la professoressa dalla soddisfazione per essere arrivati alla risposta giusta, ha dato parecchie sculacciate a Letizia (naturalmente piano e scherzando) [per la verità la prof gliele ha date perché l’avevano fatta penare… :-)] poi se quelle erano proprie, i 6/5 ecc… erano improprie e le altre, come 10/5, 16/4, ecc... prima che finisse l’ora, siamo riusciti a dire che si chiamano apparenti (il termine esatto lo ha detto Giada)

Brava Maria Chia’! :-)

Sull’ampliamento di N: le relazioni dei giovini

Antonello, Erica, Gabriele, Giovanna, Letizia, Marcello, Maria Chiara e Veronica (ragazzi, rigoroso ordine alfabetico!)

hanno scritto sulla scoperta dei numeri razionali.

Qualcuno ha scritto sul quaderno e ho scannerizzato, altri su word e  copio-incollo  le parti più simpatiche! :-) Ecco i lavori:

 (l’affermazione sulla sottrazione non è proprio esatta... abbiamo chiarito) 

Ancora:

E:

“  E’….. con un po’ di fantasia e di logica che si possono intraprendere delle bellissime lezioni di matematica. [...]

….. chi poteva immaginare che proprio da questi curiosi quadrati si potesse introdurre un argomento così ampio e interessante! Beh…. se parliamo di suddivisione di interi non si può che pensare alle frazioni.

Vi diremo di più, l’uomo usava le frazioni fin da tempi antichi, infatti un papiro è stato ritrovato in Egitto e ora conservato in un famoso museo [Papyrus Rhind] . In effetti, l’uomo aveva molta necessità di allargare le mura dell’insieme N, se per esempio ad un uomo dell’antichità gli fosse capitato il problema seguente come avrebbe fatto senza le frazioni?

Un uomo aveva 4 figli e tre terreni e doveva lasciare l’ eredità in parti uguali a ciascun di loro. Come fa a dividerli? [...]

La frazione è un operatore che ci permette di dividere l’intero in parti uguali e considerarne alcune di esse. Ma la frazione è anche un numero: è il quoziente esatto della divisione, infatti, è più giusto dire 8/3, che il risultato della divisione 8:3 (la frazione è il quoziente esatto della divisione fra due numeri naturali qualsiasi).

... Le frazioni equivalenti, non sono solo quelle con numeratore e denominatore uguale, ma sono tutte quelle dove il numeratore diviso per il denominatore diano tutte uno stesso numero [...]”

“Partendo dalla suddivisione dell’intero in parti uguali.... Abbiamo diviso un quadrato in 4 parti uguali, poi siamo passati al rettangolo e così via, fino a quando la professoressa ci ha chiesto di dare un nome ad ogni parte di quadrato/rettangolo/… .

Quando abbiamo dato la risposta, la professoressa era contenta perché era esatta: ogni parte di quadrato/rettangolo/… era ¼ di rettangolo (cioè il rettangolo diviso in 4 parti di cui è stata presa una parte) che si chiama anche unità frazionaria.

Da quel “¼” , considerando tutto l’ intero abbiamo scoperto che frazioni come 1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5,…… sono equivalenti e valgono 1; infatti si può formare un insieme con queste frazioni, che viene detto una classe di equivalenza. Esistono però altre classi di equivalenza come per esempio le frazioni che valgono 2: 2/1, 4/2, 6/3, 8/4, 10/5, …… e ogni numero razionale è una classe di equivalenza.

L’insieme di tutte le classi di equivalenza si chiama Q o dei numeri razionali, e N è incluso in Q .

Abbiamo anche scoperto che una frazione è un quoziente esatto, per esempio se io faccio 4:3 il risultato sarà: 1,33333333333333….. questo risultato non è esatto perché dobbiamo approssimare; se invece dico 4/3 so che questo è il quoziente esatto di 4:3.

Per questo sono state inventate le frazioni: per dare alle divisioni un risultato perché prima non si conosceva la virgola, infatti un numero con la virgola è più difficile da capire di una frazione. “

Costruzione delle classi di equivalenza

Ragazzi,

abbiamo visto le classi di equivalenza. Quegli insiemi, infiniti, di frazioni equivalenti, ciascuno dei quali è un numero razionale: una classe di equivalenza <--->un numero razionale.

Cioè: più rappresentazioni, come frazione, dello stesso numero razionale.

L’insieme dei razionali, dunque, l’inseme Q è costituito da tutte le classi di equivalenza, dall’insieme delle classi di equivalenza.

Eh, fermiamoci solo un attimo: Un insieme, Q, infinito, i cui elementi sono degli insiemi, infiniti ... ancora una volta incontriamo ...l’infinito!

E ora, vediamo:

le classi di equivalenza sono insiemi infiniti. Come abbiamo fatto con i numeri naturali (N), infiniti, possiamo rappresentarle mediante un ente geometrico, infinito naturalmente: la retta.

Precisamente:

ogni classe di equivalenza può essere rappresentata come una retta, passante per l'origine degli assi cartesiani, che passa per ogni coppia ordinata che rappresenta quel numero razionale.

Ricordate le coppie ordinate? Ricordate il prodotto cartesiano? (fate clic sui link!)

In questo caso le coppie ordinate in questione le possiamo rappresentare così:

$(a,b) ---->  \frac{ a }{b} \,=\,\frac{k*a }{k*b }$

il numero k è un naturale qualsiasi (proprietà invariantiva, vero?).

Il sistema di riferimento cartesiano ci aiuta nella rappresentazione grafica delle classi di equivalenza.

Vediamola. Clic sull’immagine per aprire l’applet geogebra.a)  Tutte le rette (tranne quella numerica, dei naturali e ...) passano per l’origine degli assi cartesiani;

b) ogni punto di ciascuna retta ha per coordinate una coppia ordinata di valori che corrisponde a:

 $(a,b) ---->  \frac{ a }{b} \,=\,\frac{k*a }{k*b }$ (a/b = k*a/k*b)

Come fare per ottenere la retta che rappresenta una classe di equivalenza?

Qualche esempio: volete rappresentare il numero razionale 3/5?

Sulla barra di inserimento digitate: x =3/5 y e, invio.

Per individuare – evidenziare dei punti che formano la retta:

digitate sulla barra di inserimento: (3, 5) e, invio; o anche (6, 10), invio. (Naturalmente anche il punto (1.5, 2.5) – ho diviso per 2 - farà pare della retta!) Ecc...

Volete rappresentare il numero razionale 4?

Sulla barra di inserimento digitate: x = 4 y

Per evidenziare dei punti sulla retta:

sulla barra di inserimento: (4, 1), O anche: (8,2), ecc...

Potete provare subito anche sull’applet.

Una lezione con la LIM: dalla suddivisione dell’intero... al numero razionale.

Non è una lezione “speciale” con la LIM (lavagna interattiva multimediale)

E’ soltanto una nostra normale lezione con la Lim, che utilizziamo da qualche mese nelle nostre normali attività.

Oggi ci è venuto in mente di salvare un PDF da condividere. Ci sono tutti i nostri scarabocchi, così come sono venuti, spontanei, in corso d’opera! Non siamo precisini, ordinatini... ma a noi pare importante il fatto che ci siamo tutti!

Il tema è l’ampliamento di N, insieme dei numeri naturali, alla scoperta dell’insieme Q, dei razionali.

Dalla suddivisione dell’intero.... (nella suddivisione del quadrato in parti uguali ci siamo poi sbizzarriti !)

Clic sulla figura per scaricare il PDF (al quale ho aggiunto qualche nota esplicativa...)

Ehi, o belli: la relazione ...resta assegnata! :-)

Schede ripasso: calcolo con frazioni

Il calcolo con le frazioni, meglio dire con i numeri razionali, è anch'esso una "chiave di ricerca" frequente. Ma, ragazzi di II, direi proprio: vale anche per voi!:-)
Si possono rivedere le spiegazioni nel link indicato, QUI, QUI e QUI.
Propongo delle schede di esercizi direttamente da un "libro delle vacanze" - Il capitello edizioni (che suggerisco, ripassare divertendosi!)
Ingrandire le immagini e stampare

Addizione e sottrazione

E un divertente Colora spazi

In una prossima scheda, l'elevamento a potenza.

Per esercitarsi con il calcolo con le frazioni, aggiungo un'altra segnalazione. Clic sulla figura, si può scaricare il file Excel dal sito di Daniel Mentrard

E' possibile controllare le soluzioni degli esercizi.
Sarebbe possibile! Come si legge, il file è in lingua francese (le cifre e i simboli delle operazioni... come i nostri, eh! :-)) e sono utilizzate le formule di Excel per il calcolo del Massimo Comune Divisore e del minimo comune multiplo, appunto in lingua francese.
- Per il MCD, la formula in francese è: =PGCD(num1; num2)
PGCD sta per: plus grand commun diviseur (il più grande divisore comune)
- Per il mcm: =PPCM(num1;num2)
PPCM sta per: plus petit commun multiple (il più piccolo multiplo comune)
Come vedete le denominazioni in francese ci aiutano perfino ... a non equivocare!
Che vi dico di solito? O meglio, cosa succede a volte con quel "mcm", quel termine "minimo" all'inizio? quante volte ci fa "sparare" il più piccolo dei numeri dati? Mentre stiamo cercando un multiplo! :-) Dunque, in francese: le plus petit commun multiple!
Ah, per verificare le soluzioni nel file segnalato:
nella colonna Solutions se cliccate su Afficher appaiono nelle celle dei simboli cancelletto, poiché il nostro Excel in italiano non riconosce le funzioni.
Clic sulla cella e nella barra della formula sostituire la scritta PGCD con MCD e
e la scritta PPCM con mcm.
Poi premere il tasto F9 per aggiornare i dati.

[Esercitazioni] Le frazioni equivalenti in Excel

Sara, Anna Laura e Saverio hanno trovato con excel le frazioni equivalenti ad una data (primitiva, vero ragazzi?)

Il lavoro di Sara:

quello di Anna Laura:

Anche Anna Laura ha immesso in cella B3 la formula:
=simbolo_dollaroA3*Bsimbolo_dollaro1 (come nella formula di Sara)
che ha poi copiato sia verticalmente, in B4, che orizzontalmente.
Il lavoro di Saverio:

Anche Saverio ha utilizzato naturalmente nelle sue formule i riferimenti di cella misti;
in C14:
in C21:
trascinate poi nella cella sottostante e in quelle adiacenti...
Hanno cominciato dunque a utilizzare i riferimenti di cella e l'uso del tasto F4 per passare da un riferimento all'altro.

Parliamo di frazioni...

In seconda parliamo di frazioni... in vista di un ampliamento dell'insieme N.
Hanno scritto Gimmi, Saverio, Laura, Maria. Altri devono ancora consegnare!
AnnaLaura ci dice...

Conoscevamo già dalle elementari le frazioni ma stiamo scoprendo delle altre cose...
La professoressa ci ha dato da risolvere dei piccoli problemi.
Abbiamo cominciato con un problema che diceva:
una maestra regala a Giovanni, Giuseppe e Maria un nastro della stessa lunghezza. I tre ragazzi decidono di dividere il nastro con i loro fratelli, Giovanni ha 1 sorella, Giuseppe lo divide con i suoi 2 fratelli, e Maria con i suoi 3 fratelli. I nastri erano uguali, ma a chi spetta la parte maggiore di nastro?
Abbiamo fatto uno schema come ci ha consigliato la prof, e abbiamo notato che Giovanni prendeva la parte più lunga di nastro, questo perché divideva il nastro con una sola persona.
La prof ci ha detto di indicare la parte che spettava ad ogni ragazzo in modo "matematico", allora abbiamo scritto che Giovanni prendeva la metà, Giuseppe un terzo e Maria un quarto.
Ma la prof ci ha detto che così era in italiano e non in matematico. Quindi finalmente abbiamo scritto le frazioni! Lo schema completo è questo:

Qualcuno di noi aveva difficoltà a dividere in parti uguali i nastri, lo abbiamo aiutato chiedendoci quale fosse il numero di quadretti più adatto per disegnare il nastro intero. Così abbiamo ripassato anche i multipli (e i divisori). La prof ci ha detto: abbiamo utilizzato ciò che sapevamo!
Con un altro problema abbiamo parlato di frazioni equivalenti.
Questo però è successo per caso, il problema era:
Giulia ha 1 tavoletta di cioccolato e la mamma le dice di dividerla a metà con suo fratello. Giulia mangia ¾ di una tavoletta e il resto lo da al fratellino, e il fratellino strilla. Perché il fratellino strilla?
Come sempre prima ci siamo fatti uno schema, uno schema per rappresentare come avrebbe dovuto fare secondo quello che le aveva detto la mamma e un altro per rappresentare quello che invece aveva fatto.

Dai due schemi abbiamo notato che il fratellino strilla perché la sorella ha mangiato più cioccolata e di conseguenza ne ha lasciato di meno al fratellino.
Adesso vi spiego perché da questo problema abbiamo parlato delle frazioni equivalenti.
Alcuni di noi per rappresentare la metà nel primo schema hanno scritto 2/4, altri 1/2.
Si poteva scrivere in entrambi i modi perché 2/4 e 1/2 significano la stessa cosa, infatti sono frazioni equivalenti cioè dello stesso valore.
Abbiamo discusso su come ottenere frazioni equivalenti: 1/2 diventa 2/4 se sia il denominatore che il denominatore vengono moltiplicati per uno stesso numero e il valore della frazione non cambia.
Questa regola non è altro che la proprietà invariantiva della divisione (moltiplicando o dividendo sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero il risultato non cambia).
La frazione è quindi una divisione! Infatti ci siamo ricordati che la linea di frazione vuol dire diviso. Poi il numeratore è il numero che sta su e il denominatore è quello che sta sotto, i termini della frazione ce li ricordavamo dalle elementari quindi non c’è stato bisogno di spiegarceli. Ma, dobbiamo ancora precisare meglio....
La professoressa ci ha chiesto: - quante sono le frazioni equivalenti alla frazione 1/2?
Ci abbiamo pensato un pochino e poi abbiamo detto che ne esistono infinite. Infatti possiamo moltiplicare in numeratore e il denominatore per infiniti numeri. (Qualcuno ha detto perché i multipli di un numero sono infiniti).
Sulle frazioni equivalenti dobbiamo però ritornare...

Abbiamo fatto ancora un altro problema:
Simone ama la musica rock, ha 57 dischi, 2/3 dei quali sono di musica rock. Quanti sono i dischi rock di Simone?
Abbiamo diviso 57 (il numero totale dei cd) per 3 e abbiamo trovato 1/3, cioè 19 cd.
Siccome ne dovevamo trovare 2/3 abbiamo moltiplicato per 2, 19 * 2= 38 , il numero dei dischi rock di Simone.
Da questo problema abbiamo capito che trovare una frazione (una parte) di una quantità, per es. il numero dei CD, è la stessa cosa che trovare una frazione di una grandezza, per esempio la tavoletta di cioccolato oppure la lunghezza del nastro.
Questo lo abbiamo spiegato in vari modi ad es. prendendo dapprima un foglio, calcolando i suoi 2/3, poi misurando la larghezza del foglio e calcolando la larghezza dei suoi 2/3, ecc...
Poi abbiamo scoperto il linguaggio specifico: la frazione è un operatore. Operatore perché lo usiamo per operare: dividiamo l'intero per quante volte ci dice il denominatore e moltiplichiamo la parte trovata per quante volte ci dice il numeratore.
Quindi: il denominatore di una frazione è il termine che indica in quante parti l'intero è stato suddiviso, il numeratore indica quante parti se ne considerano. Allora, usando il linguaggio specifico: operare su una grandezza equivale a operare sulla sua misura.
Abbiamo precisato che la frazione operatore finora usata, si chiama operatore diretto perché conosciamo l’intero e devo trovare una sua parte. Diretto perché ci viene più spontaneo dividere in parti uguali un intero e considerarne una certa quantità (di queste parti).
Abbiamo inoltre precisato che le frazioni del tipo: 1/ x (x = un qualunque numero intero) si chiamano unità frazionarie (il termine "unità" non ci veniva ma ci siamo arrivati...!). Perché si considera una sola delle parti in cui l'intero è stato frazionato.

A proposito di unità frazionarie, interrompo qui il "racconto" di Anna Laura sulle attività svolte, per mostrarvi il lavoro che Anna Laura ha fatto, da sola, senza che in classe se ne fosse parlato.
Con Excel ha rappresentato come varia il valore delle unità frazionarie al crescere del denominatore.

"Vediamo che al crescere del denominatore il valore diminuisce"
In cella C2 ha immesso la formula: =A2/B2
che poi ha copiato nelle celle sottostanti. Ha creato quindi il grafico.
Devo dire: bravissima Anna Laura!

Il calcolo con le frazioni

Eseguiamo le operazioni con le frazioni perché esse sono, oltre che operatori su grandezze, anche dei numeri. Sono i numeri razionali.
Sì, non i naturali, quelli non bastavano più!
Quando l’uomo si è trovato a dover risolvere certe divisioni, quelle non fattibili in N, insieme dei numeri naturali, (si dice non interne ad N) si è dovuto inventare l’insieme Q (insieme dei numeri razionali). Più precisamente, ricordiamo che per numero razionale si intende una classe di equivalenza che è: l’insieme delle infinite frazioni equivalenti ad una frazione primitiva.
Vediamo le più semplici operazioni con frazioni, l’addizione e la sottrazione.
Un esempio:
2/3 + 5/3 + 4/3 = 11/3.
In questo caso mi è venuto molto facile perché dovevo addizionare sempre dei terzi, aggiungere sempre la stessa unità frazionaria che è 1/3, cioè sommare unità frazionarie omogenee, come si fa con le grandezze omogenee (solo fra grandezze omogenee si può operare, fare calcoli).
Quando invece dobbiamo eseguire un addizione con diverse unità frazionarie come sarà il procedimento?
Facciamo un esempio:
2/3 + 5/4 + 7/2
So che posso sommare solo unità frazionarie uguali, quindi devo avere uguali i denominatori. Questo con le frazioni è possibilissimo. Abbiamo uno strumento: riduzione al minimo comune denominatore. Lo abbiamo usato tante volte, per es. per confrontare frazioni.
Cerco il m.c.m. (il minimo comune multiplo) fra i denominatori, che in questo caso è 12 e lavoro così:
2/3 + 5/4 + 7/2 =
8/12 + 15/12 + 42 /12 = 65/12 (sul quaderno anziché scrivere il 12 per quanti addendi sono presenti, lo scrivo una volta sola sotto un’unica linea di frazione).
Come avete potuto vedere anche i numeratori sono cambiati, perché abbiamo seguito la regola dell’invariantiva, che è la proprietà della divisione, che ci permette di trovare frazioni equivalenti.

Cioè se il 3 per diventare 12 è stato moltiplicato per 4, anche il 2 a sua volta deve essere moltiplicato per 4, per questo è diventato 8. Così è stato anche per il 5 ed il 7. Per le sottrazioni si usa lo stesso procedimento.

dalla bozza di Laura,

la II A