Prodotti notevoli, potenze di binomi e ... !

Erica, Letizia e Maria Chiara,

tornano a scrivere! Hanno scritto singolarmente, bene tutte e tre. Riporto la sintesi delle tre relazioni.

Prodotti notevoli, potenze di binomi e anche...

Dopo aver acquisito sicurezza nei vari calcoli con monomi e polinomi, eccoci immersi nell’elevamento a potenza di binomi.

La prof ci chiede di risolvere le seguenti espressioni:

All'inizio siamo un po’ incerti su come procedere, sappiamo che elevare a potenza vuol dire moltiplicare la base per se stessa quante volte indica l'esponente, ma la prof ci deve un po’ aiutare a considerare che la base può essere costituita da “più termini”, in questo caso da un binomio: “le parentesi mi aiutano a individuare la base!”

Quindi deduciamo che $(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$,  un prodotto che sappiamo ben risolvere. Applicando la proprietà distributiva e riducendo i termini simili, otteniamo:

La prof ci ha invitato a iniziare a fare delle considerazioni o a cercare di trovare delle regolarità nei polinomi ottenuti.

Intanto ci ha fatto notare che, mentre ci chiedeva i risultati, sapeva già che il polinomio sarebbe stato composto da tre termini.

Prendendo in considerazione la terza espressione $(-4ab+3a^2b)^2$, abbiamo notato che il primo termine del risultato $(16a^2b^2)$ era il quadrato del primo termine dell’espressione (-4ab), il secondo termine del risultato $(-24a^3b^2)$ era il doppio prodotto del primo per il secondo $[2(-4ab*3a^2b)]$ e che il terzo termine $(+9a^4b^2)$ era il quadrato del secondo $(3a^2b)$.

Ovviamente la stessa cosa succedeva anche per le altre due espressioni, così la prof è intervenuta dicendo che eseguendo questi particolari prodotti potevamo farne delle “regole generali”. Questi prodotti infatti prendono il nome di prodotti notevoli e  per risolverli possiamo evitare i consueti passaggi algebrici.

La regola da seguire per calcolare il 1° prodotto notevole ovvero il quadrato di un binomio è la seguente:

1. quadrato del primo termine;
2. doppio prodotto del primo termine per il secondo;
3. quadrato del secondo termine

Successivamente abbiamo fatto la medesima analisi anche con il cubo di un binomio. Abbiamo sviluppato:

E siamo arrivati alla conclusione che i passaggi necessari per calcolare il cubo di un binomio sono:

1. cubo del primo termine;
2. triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo;
3. triplo prodotto del quadrato del secondo termine per il primo;
4. cubo del terzo termine

Ma… non è ancora finita…

La prof ci ha detto di concentrare la nostra attenzione sui coefficienti numerici dei risultati del quadrato e del cubo di un binomio, e così abbiamo fatto:

$(a+b)^2=1a^2+2ab+1b^2$

$(a+b)^3=1a^3+3a^2b+3ab^2+1b^3$

Non sono per caso 1  2  1  e  1  3  3  1 ? Non ci ricorda qualcosa?

Dopo qualche istante, ci viene in mente il triangolo di ... di... sul quale avevamo tanto lavorato all’inizio dell’anno... di Tartaglia!

Ebbene si, la matematica ci stupisce ancora una volta, parliamo di nuovo del triangolo di Tartaglia.

Riportiamo alla lavagna alcune righe per provare a scoprire come utilizzarlo per calcolare in maniera ancora più rapida le potenze dei binomi [siamo stati bravi con le prime due righe!]:

Abbiamo anche notato che, nelle potenze di binomi, es.$(a+b)^3$, i monomi sono ordinati in modo decrescente rispetto alla lettera a e crescente rispetto alla b:

$a^3b^0+3a^2b^1+3a^1b^2+ a^0b^3$

Quindi abbiamo provato a calcolare $(a+b)^4$ servendoci solo della sequenza dei numeri del triangolo di Tartaglia e della regolarità degli esponenti:

$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Quindi, possiamo ...

sviluppare qualsiasi Potenza di un binomio!

Comodo il Triangolo di Tartaglia!

Tartaglia e Sierpinski

di Letizia (III)

Leti ha creato con Geogebra, una bella costruzione.

Spiega tutto lei sull’applet! Clic su img

Ha ancora arricchito, sempre Letizia, il lavoro con Excel. Si può cliccare sulle immagini per ingrandire

Brava, Leti!

I pari e i dispari...

sul nostro Triangolo Magico!

Io l’ho detto che dopo il lavoro di Davì avrebbero fatto da soli...!

Beatrice ha pensato di colorare i numeri pari o quelli dispari, del Triangolo di Tartaglia.

Ed ecco il suo lavoro su Geogebra.

Ho dato una mano a Bea, per rendere meno noiosa la costruzione [per tutti: per avere il triangolo nella posizione 1 dello slider lo abbiamo traslato di un vettore di piccola dimensione, poi nascosto]

Come vedete, inoltre, abbiamo potuto nascondere i numeri: perché in questo caso non ci interessa molto sapere il valore esatto dei vari elementi del Triangolo di Tartaglia: ci interessa l’effetto! Solo se gli elementi sono pari o dispari.

Provate infatti, sull’applet, a zoomare, con lo strumento zoom_indietro (rimpicciolire): non vedete un effetto merletto?

E’ un tipo di frattale!

E, via ora alla ricerca degli oggetti geometrici Frattali!

- Non vi avevo detto che il ‘magico triangolo‘ ci avrebbe trascinato verso tante meraviglie?

Clic su immagine:

Bene, Bea!

Tartagliamo ...

ma mica farfugliamo!

Arriva un’altra bella applet geogebra di Gabriele (III) che illustra 3 regolarità.  Clic su img

           E ...

      Davì (II) ha continuato l’esplorazione e ha trovato:

Davì, lavorone anche tu: tutti quei numeri con geogebra! Doppiamente bravo !

E ora io posso riposare ... Continuate da soli ...............!

Tartaglia con Excel

Come promesso,

il lavoro di Letizia (III). Che ci spiega, con il suo garbo ...

Dopo averci presentato il Triangolo, la prof ci ha chiesto come prima cosa di individuare le proprietà e regolarità più semplici.
Subito siamo stati capaci di dire che ogni numero è dato dalla somma dei due che stanno sopra di esso.

Un altro aspetto che abbiamo colto all'istante, sono le diagonali esterne che fungono da lati, costituite da una serie di 1, mentre le due diagonali a seguire sono costituite dalla successione dei numeri naturali.

Successivamente abbiamo concepito che questo triangolo è un caso di simmetria assiale, ovvero una figura simmetrica.

Continuando i nostri studi, abbiamo avuto modo di scoprire altre importanti proprietà.

Per esempio abbiamo intuito che le somme dei numeri presenti in ogni riga sono le potenze di 2 e siamo anche riusciti a mettere a punto che la terza diagonale è composta dai numeri triangolari che, come ci siamo ricordati, sono dati dalla somma in successione, dei numeri naturali.

Es: 3 = 1 + 2;  6 = 1 + 2 +3;    10 = 1 + 2 + 3 + 4

E, la serie di Fibonacci:

si può scaricare TARTAGLIA.xls (clic su Data ultima modifica)

Brava, Letizia!

I lavori!

Arrivano ...

Per stamane

Il Triangolo di Tartaglia visto da Beatrice (II):

mazza da hockey!
(questa, Bea, non ce l’avevi raccontata!)

Posizioni simmetriche

I numeri centrali ...

Le potenze di 2

I numeri triangolari

Le potenze di 11

(per le righe successive subentra un meccanismo che Bea non ricordava bene)

La successione di Fibonacci
(che vediamo anche sull’applet: gratifico Bea, che ha animato con slider ciascuna costruzione! Clic su immagine)

Bea, sei stata davvero brava. Lavorone!

questo pomeriggio il lavoro di Letizia (III) su Excel

Il Triangolo è di Tartaglia!

Eh sì,

oggi non abbiamo più potuto nasconderlo. O meglio, abbiamo potuto rivelare che Il triangolo ... molto speciale è il Triangolo di Tartaglia.

Questo perché i miei croceedelizia (e va bene, meno croce, più delizia) lo hanno ormai sviscerato!

Dopo l’anticipo di ieri, oggi è stato bellissimo! Vado alla rinfusa, è venuto fuori:

1) Potenze di 2 e di 11: ripassato potenze, proprietà, °, ² *³, (in II – ciao Guz!) ecc... benissimo, ragazzi, entrambe le classi!

2) numeri triangolari: ricordato Pitagora e Tutto è numero e i sassolini e sacra decade e gli allievi dietro la tenda...

3) Niccolò Tartaglia (in III soprattutto; ragazzi, metto il link per voi di III, per chi vuole approfondire Quando che 'l cubo... attraverso il link del post e per voi di II). Il triangolo a noi piace chiamarlo di Tartaglia perché Niccolò Fontana ci sta molto simpatico!

4) La successione di Fibonacci: ricordato filius Bonacci e le cifre arabo-indiane, e le pigne e il cavolfiore, l’ananas....

5) Una regolarità “tutta di Bea” ci ha portato a ripassare la divisibilità: bene o benino. Bravo Giovanni! E, è VERO che se un numero è divisibile per 9 è sempre divisibile per 3, ma che un numero divisibile per 3 è sempre divisibile per 9 è FALSO.  E, ahi però, le divisioni e le tabelline! (ma quanto ci stanno... Tuttavia, non possiamo far brutte figure con i prof delle superiori!!!)

I ragazzi ora produrranno le loro testimonianze! Molte cose le ho viste sui quaderni, di alcune eseguirò la scansione, altre le aspetto in formato digitale (promesse!)

E, non è mica finita qui, o ragazzi (ma forse già l’ho detto) : c’è dell’altro con cui divertirsi, belle immagini dovranno venir fuori.

E, più avanti in III, sfrutteremo il Triangolo quando tratteremo l’algebra un po’ più avanzata! - speriamo!

Potenze di un binomio e Triangolo di Tartaglia

Come anticipato, vediamo come si esegue
una qualsiasi potenza del binomio: (a + b).
E nel titolo del post la nostra conoscenza cui accennavo.
Sì, per calcolare le potenze di un binomio possiamo utilizzare il Triangolo di Tartaglia. Quante proprietà e relazioni numeriche questo magico triangolo!
Ricordiamo il Triangolo con l'immagine di una sua piccola porzione

Riprendiamo però le potenze di un binomio che noi conosciamo.
Quadrato di un binomio:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Cubo di un binomio:
(a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³
Osserviamo bene i polinomi risultanti; essi sono ordinati (meglio abituarsi a scriverli ordinati) e completi. Ma possiamo notare due precise caratteristiche dei loro termini:
- in ogni monomio gli esponenti delle potenze di a (1° termine) decrescono e quelli delle potenze di b (2° termine) crescono; per esempio, nel quadrato:
a² , $a^1$, $a^0$ e
$b^0$, $b^1$, b²
- ogni monomio viene moltiplicato per un numero detto coefficiente. I coefficienti seguono una certa "legge di formazione" che ritroviamo ... nel Triangolo di Tartaglia!
Osserviamo i coefficienti del polinomio *quadrato di un binomio*; sono i numeri: 1, 2, 1;
osserviamo quelli del polinomio *cubo di un binomio*; sono i numeri: 1, 3, 3, 1. E, se ridate uno sguardo al Triangolo di Tartaglia ...
vediamolo così

La prima riga risolve (a + b) elevato 0 (zero);
la seconda riporta i coefficienti di $(a+b)^1$;
la terza riga è costituita dai coefficienti di (a + b)²
e così via...
Notate lo sviluppo della quarta potenza del binomio:
- mi suggerisce i coefficienti, il Triangolo di T.; e mi suggerisce anche che avrò 5 termini;
- il 1° termine del polinomio è la quarta potenza di a: a elevato 4 (e b elevato 0, perciò 1, elemento neutro, non compare)
- il 2° termine contiene a elevato 3 e b elevato 1
- il 3° termine contiene a elevato 2 e b elevato 2
- il 4° termine: a elevato 1 e b elevato 3
- il 5° termine: a elevato 0 e b elevato 4
Potreste ora scrivere facilmente lo sviluppo della quinta e dalla sesta potenza del binomio (a + b)
Bello no? Senza fare troppi calcoli sviluppo una qualsiasi potenza di binomio!

Il problema dell'ubriaco

... ovvero, una passeggiata aleatoria.
Ragazzi,
QUI vi avevo detto che il Triangolo di Tartaglia riserva .... altri segreti!
Considerate questa situazione:
Un ubriaco arriva alla porta di una città a pianta quadrata, come da figura

Superata la porta, situata in uno dei vertici della cinta muraria, egli si incammina tra gli isolati, indicati dai quadratini, procedendo a caso e senza mai tornare indietro. E' come se una persona sobria si proponesse di fare una passeggiata aleatoria lungo la strada decidendo ad ogni incrocio se andare a destra o sinistra, a seconda di aver avuto testa o croce nel lancio di una moneta.
Ci poniamo le domande:
- quale probabilità ha l'ubriaco di imboccare la via giusta per tornare a casa?
- l'ubriaco ha uguale probabilità di arrivare in uno dei punti che si trovano allo stesso livello, cioè in uno degli incroci situati nella stessa riga orizzontale, per altro equidistanti dalla porta?
Questo problema è tratto da uno dei Laboratori de l'Officina matematica, ragionare con i materiali il libro che raccoglie le lezioni della più grande ricercatrice italiana di didattica della matematica, Emma Castelnuovo e documenta l'esperienza delle attività laboratoriali presso la Casa-laboratorio di Cenci.
Ed ecco l'attività:
Osserviamo i due triangoli di lettere e di numeri:

(il triangolo di numeri lo riconoscete...)
La lettera A indica la porta di accesso alla città ed è obbligata, quindi vi è un solo percorso, ma, subito dopo, vi sono due percorsi possibili, uno che porta in B e uno che porta in C: questo risulta chiaro nel triangolo di numeri.
Avanzando, da B si può andare in D o in E e da C ancora in E oppure in F.
Quindi in D e in F si arriva con un solo percorso, mentre in E portano due vie.
Al livello successivo, in G si arriva con un solo percorso, mentre in H si può giungere sia da D che da E, con tre percorsi in tutto, quello che passa per D più i due di E.
Stesso ragionamento per la lettera I ...
Nel triangolo di numeri sono indicati i percorsi che portano in ciascun punto (casi favorevoli), mentre la tabella a fianco riporta i percorsi complessivi di ogni riga (casi possibili) (la somma dei termini di ogni riga...), che raddoppiano ad ogni incrocio secondo le potenze di 2, ogni volta che la strada si biforca.
Il rapporto tra il numero dei percorsi che conducono in ciascun punto e il numero dei percorsi possibili di ogni riga ci dà la probabilità.
Così la probabilità di giungere in B = 1/2; in D = 1/4; in H = 3/8
Con questo particolare modo di procedere a caso, dove è più probabile giungere, nei punti centrali della città o in quelli periferici?
Osservate con attenzione il triangolo di numeri!
La rappresentazione grafica con istogrammi delle probabilità di raggiungere i vari punti di uno stesso livello, approssima sempre meglio una curva normale (a campana, o di Gauss) (vedi anche qui e, vi avevo detto che avremmo rincontrato Gauss... e ancora ne parleremo!) man mano che si considerano livelli con un maggior numero di percorsi possibili.
Ad esempio, al livello degli incroci M, N, O, P, Q, le probabilità corrispondenti sono rispettivamente 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16 e si ha il grafico:

Nota: il laboratorio, il cui titolo completo è: "Dal "problema dell'ubriaco" alla teoria dell'evoluzione di Darwin", riportato sul testo di Emma Castelnuovo, come il titolo stesso lascia intuire, si amplia con numerose altre esperienze da poter proporre ai ragazzi ...