Allenamenti prova esame_3

Ragazzi,

ancora uno ... prima dell’ultimo!

1. Risolvi l’equazione

$ \frac{(2x+2)^2}{6} -\frac{2(x+3)(x-3)}{3}+\frac{(2x+3)(x-1)}{6}=\frac{x(x+2)}{3}$

2. Alcuni studiosi hanno catturato 20 lucertole e hanno misurato la loro lunghezza ottenendo i seguenti dati in cm :
25-28-26-27-26-26-26-28-30-25-22-26-27-29-25-28-25-29-30-30.
Calcola la media, la moda, la mediana e rappresenta i dati graficamente.

3. Dopo aver definito la legge del moto rettilineo uniforme, risolvi il seguente problema:
Un’auto percorre 580 km in 7 ore e 15 minuti, calcola la velocità media.
Rappresenta graficamente il tempo in funzione dello spazio e ricava sia analiticamente che graficamente in quanto tempo ha percorso 300 km.

4. In una piramide quadrangolare regolare, l’apotema è 13/24 dello spigolo di base; la superficie di base è pari a 2304 cm^2.
Calcola la misura della superficie totale della piramide e il suo volume.

Allenamenti prova esame_2

III,

ehi raga, coraggio, siete in gamba ...!

Temi: piano cartesiano, probabilità, funzioni proporzionalità, geo solida (chi può, risolva con sistema equazioni), equazioni primo grado.

1. In un sistema di riferimento cartesiano rappresenta i seguenti punti:
A(1; 6)  B(-2; 2)  C(1; -2)  D(4; 2)
Calcola perimetro e area del quadrilatero ottenuto unendo i vari punti (considera l’unità di misura 1 u = 1 cm).

2. Da un sacchetto contenente 100 dischetti numerati da 1 a 100, ne estraggo uno a caso.
Calcola la probabilità, esprimendola anche in percentuale, che il numero estratto sia:
a) Pari
b) Maggiore o uguale a 60
c) Divisibile per 9

3. Un corpo si muove con moto rettilineo uniforme alla velocità di 10 Km/h; quanti km percorre rispettivamente in 3h, 5h, 7h, 12h e 15h ?
Costruisci il relativo diagramma cartesiano, portando i valori del tempo t sull’asse delle ascisse e i valori dello spazio s sull’asse delle ordinate.
Qual è la legge matematica che lega le due grandezze ?

4. In una piramide quadrangolare regolare la somma dell’altezza e dell’apotema misura 100 cm e l’apotema è uguale ai 13/12 dell’altezza.
Calcola la misura della superficie totale della piramide e il suo volume.

5. (ehm, 5 quesiti: ok, all’esame saranno 4!) Risolvi l’equazione:

$ \frac{x(x+1)}{2}-\frac{(2x-1)^2}{8}=\frac{(x+1)(x-1)}{4} -\frac{2x(x+3)}{8}$

Problema su piramide quadrangolare regolare

Di Letizia, su GeoGebra

Passo a passo la risoluzione sull’applet. Clic sotto.

Volume della piramide

Per la III

Ragazzi, voi fate il lavoro manuale a casa (e mi raccomando!), io ho fatto questo. Clic su img

Ancora una costruzione. Per rafforzare: le basi dei due solidi devono essere ....?

Cliccate anche sulla figura qui a destra, molto carine le figure geometriche in legno.

Cono, solido di rotazione

III,
vi segnalo intanto l’aggiornamento del post

Cono: sviluppo sul piano con geogebra,

integrato con una nuova applet nella quale è possibile, oltre che visualizzare lo sviluppo piano, modificare le dimensioni del raggio di base e dell’altezza del cono.
Ho preparato quindi una nuova animazione GeoGebra che mostra come un triangolo rettangolo che modifica la sua posizione descriva una figura solida: il cono, appunto.
Lo sappiamo, possiamo dire che il cono è la regione di spazio occupata da un triangolo rettangolo che ruota attorno ad uno dei suoi cateti.
Sappiamo anche che figure solide di questo tipo sono chiamate solidi di rotazione.
Detto ancora meglio, il cono possiamo pensarlo generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno alla retta a cui appartiene un suo cateto.
Tale retta è l’asse di rotazione,
l'altezza del cono è rappresentata dal cateto appartenente all'asse di rotazione.
L'altro cateto descrive un cerchio che è la base del cono e la sua misura è la misura del raggio di base.
L'ipotenusa del triangolo rettangolo è la generatrice della superficie curva e prende il nome di apotema del cono.
Stiamo considerando un cono retto: l'altezza cade nel centro del cerchio di base.
Clic sull’immagine per aprire l’applet

Link:
Les Mathematiques avec GeoGebra

Cilindri di ugual base

 Andrea e Gimmi

hanno realizzato una presentazione che mostra come, considerando dei cilindri di uguale base e di altezza doppia, tripla, ... , i loro volumi variano secondo la legge di proporzionalità diretta.

Altezze E Volume Cilindro

View more presentations

L’animazione, partendo da cilindri a base costante, costruisce una retta per l’origine, cioè la rappresentazione grafica di due grandezze direttamente proporzionali.

Ancora da La Matematica – Figure solide Emma Castelnuovo

Parallelepipedi equivalenti

III,

Una breve presentazione: due cubi uguali si trasformano in due parallelepipedi equivalenti.

Il numero delle facce che potete vedere sono diverse. La superficie minima, lo sapete, è quella del ... ?

Parallelepipedi Equivalenti

View more presentations.

Dal testo La Matematica – Figure solide  Emma Castelnuovo

Piramide in Excel

... mica solo con geogebra!
Vedete un po' la piramide retta in Excel

come si intravede, è possibile modificare la misura dello spigolo di base e dell'altezza. Troverete anche calcolati le superfici e il volume relativi.
Ehi, è una piramide retta ma anche regolare. Il poligono di base è il quadrato disegnato in assonometria cavaliera! Eheh, grazie al collega di Ed. Tecnica mi faccio una cultura in ... assonometrie!:-)
clic sulla figura per scaricare il file.

Cono: sviluppo sul piano con geogebra

E' la volta del cono: disegnato stavolta in assonometria isometrica [eh, ragazzi, che mi dite? Vi ho quasi raggiunto nel disegno tecnico!:-)]
Lo vediamo così:

e questo lo sviluppo sul piano:

[Aggiornamento] Nuova applet, Clic sull'immagine

Il cilindro. Sviluppo, superfici ...

Seguiamo su geogebra lo sviluppo sul piano di un cilindro.
Clic sulla prima figura. Lo vedrete dapprima così:

poi così:

Il foglio di lavoro contiene anche le formule per il calcolo delle superfici e del volume del cilindro.
Potete inoltre modificare le dimensioni del cerchio di base.
Ps: ragazzi, vedete il cerchio di base "in prospettiva"? eheh... :-))

Dimostriamo con geogebra la congruenza degli apotemi in una piramide retta

Abbiamo visto che in una piramide regolare (retta e avente per base un poligono regolare), le facce laterali hanno tutte la stessa altezza, l'apotema della piramide.
Ma in qualunque piramide retta anche non regolare, le facce laterali hanno tutte la stessa altezza, quindi si può parlare ancora di apotema della piramide.
Ricordiamo che:
una piramide è retta se la sua base è un poligono circoscrittibile e il piede dell'altezza coincide con il centro del cerchio inscritto nella base.
Come da titolo del post, andiamo a verificare su geogebra che le altezze delle facce laterali in una piramide qualsiasi, purché retta, sono congruenti.

In figura una piramide non regolare retta.
L'altezza delle facce laterali cade, come nel caso della piramide regolare, nel punto di tangenza dei lati del poligono di base con il cerchio inscritto in esso.
L'altezza h della piramide, il raggio r del cerchio (apotema del poligono, apotema di base) e l'apotema a della piramide, ancora come nel caso della piramide regolare, formano un triangolo rettangolo, per cui queste grandezze sono legate dal Teorema di Pitagora (h e r sono i ... a è ...).
Come si dimostra che le altezze delle facce laterali sono congruenti?
Oh, non è la prima volta che incontriamo questo problema (chi ricorda in quale occasione?) e siete arrivati alle giuste conclusioni!
Ad ogni modo:
h è costante senza dubbio;
r è costante (senza dubbio!)
dunque, il triangolo è rettangolo, a non può essere che ...!
Nell'animazione che andrete a seguire QUI non vedete della stessa misura l'altezza delle facce laterali: dovete tener conto della visualizzazione del solidi in prospettiva!

Nota: nella piramide si possono individuare altri interessanti triangoli rettangoli: chi li scopre?:-)
Nota2: di proposito ho scritto il termine "prospettiva" in corsivo. I disegni delle nostre figure, per praticità di costruzione, non rispettano esattamente i canoni del disegno prospettico (assonometrie, ecc...).

... e se la scatola ha forma piramidale?

eh... prosegue il discorso aperto qui ...
Se devo rivestire una scatola a forma di piramide ... banale, no? Devo calcolare l'area della superficie delle sue facce e poi eseguire la somma!
Il calcolo della superficie totale di una piramide regolare è semplificato dal fatto che le facce laterali hanno tutte la stessa altezza (apotema della piramide).
Consideriamo una piramide regolare quadrangolare

Non è difficile scoprire le formule: basta un clic sulla figura!
... e riflettere sull'animazione e sull'immagine del foglio di lavoro di geogebra:-)
Solo dopo aver osservato, fatto le vostre considerazioni e magari provato a scrivere le formule, tornate pure a leggere qui.
.... fatto?
Noi lo abbiamo "fatto" in classe.
Irene, osservata l'animazione, ancora prima dell'azione sullo slider s, ha proposto la corretta formula risolutiva per il calcolo della superficie laterale. Béh, è stata brava, glielo dobbiamo dire!:-)
Altri hanno avuto necessità di osservare l'immagine del parallelogramma...

E alla domanda:
Che relazione c'è tra l'area del parallelogramma e quella della superficie laterale della piramide?
Diverse manine, la parola a Nicola: "l'area del parallelogramma è doppia di quella della superficie laterale della piramide".
Quindi, la formula per il calcolo della superficie laterale è: Sl = (Pb * a)/2
[formule inverse (Maria ...) Pb = Sl * 2/a e a = Sl * 2/Pb ]
E quella per il calcolo della superficie totale? St = Sl + Sb
Naturalmente Sb richiede la conoscenza delle formule per il calcolo della superficie delle figure piane. Ripassare!!!
Ribadisco un concetto: non si è obbligati a ricordare le formule, meglio la riflessione sul significato di superficie. Come avete visto le formule si possono ricavare.
Nella risoluzione di un problema nessuno vieta il calcolo separato dell'area delle singole facce e poi la somma. Nel caso di un solido irregolare bisogna procedere giusto così [e se le facce dovessero essere poligoni irregolari? Ahi! Ma si posso scomporre in figure regolari...!].
Converrete solo che nel caso di solidi regolari, le formule costituiscono una scorciatoia, si fa prima!
Eppoi: ma ci dimentichiamo che le formule sono utili per generalizzare? E, saper generalizzare... anche questo è crescere!

Una scatola azzurra vorrebbe cambiare colore … !

Un titolo curioso per dire...
Qualche ragazzo della III B mi ha detto di aver cercato sul blog le
"formule dei solidi", "anche se ci sono nel libro...".
Mi pare bello accontentarlo, raccomandando però che le formule non sono tanto da ricordare quanto da comprendere, addirittura uno se le può ricavare da sé! :-)
Cominciamo col dire che di un solido, che ha tre dimensioni, misuriamo:

• gli spigoli (se ci sono, in una sfera ad es... ?) che sono dei segmenti
• il contorno, che in questo caso è una superficie
• il volume, che è l'estensione del solido nello spazio.

Consideriamo in questo post la misura, il calcolo quindi, della superficie di un solido.
Dunque: il titolo del post?
Già, se la superficie è il contorno di un solido, immaginate di doverlo verniciare oppure doverlo rivestire...
Ecco perché "una scatola che vuol cambiare colore"!
Quanta carta mi serve per rivestire una scatola? Si tratta di calcolare la misura della superficie della scatola.
Consideriamo la nostra scatola a forma di un prisma retto a base triangolare.

Taglio la scatola lungo uno spigolo laterale e lungo due spigoli di base: distendo sul piano le superfici che costituiscono il contorno della scatola. Potrò calcolare facilmente quanti cm² di carta mi servono per rivestirla di un altro colore.

Ora andrete ad aprire una pagina dove potete seguire, animato, quello che più propriamente viene chiamato sviluppo del solido sul piano. Trovate anche le principali indicazioni per il calcolo della superficie del prisma. (clic destro sullo slider s se volete attivare: "Animazione attiva") CLIC QUI

I poligoni, che abbiamo visto svilupparsi sul piano, facce del prisma, costituiscono la sua superficie.
Le superfici che delimitano il prisma (e questo vale per tutti i solidi) prendono il nome dalla posizione che hanno nel solido.

Osservate lo sviluppo della superficie totale del prisma sul piano.

Le facce laterali hanno assunto la forma di un rettangolo(ne!) che ha per base i lati del poligono costituente la base del prisma (la sua misura corrisponde quindi al perimetro della base (Pb)), e per altezza l'altezza del prisma (h) che è la distanza tra i due piani paralleli che contengono le basi.
L'area di questo rettangolo sarà quindi la misura della superficie laterale del prisma (il rettangolo è equivalente alle facce laterali del prisma).
Conosciamo già formule e procedimenti per calcolare l'area di un rettangolo. Perciò:
Sl = Pb * h
[formule inverse: Pb = Sl/ h e h = Sl/Pb]
Per il calcolo della superficie totale (dobbiamo considerare due volte la superficie di base):
St = Sl + 2*Sb
[formule inverse: Sl = St - 2*Sb e Sb = (St - Sl)/2]
Ricorda: La formula della superficie di base di un prisma cambia a seconda della forma della sua base. Ripassare le formule riguardanti le figure piane!
E … ricordando che in geometria il disegno/modello suggerisce, è sempre bene riportare separato da quello del solido, il modello del poligono di base (datemi retta, vi aiuta molto nella risoluzione dei problemi!)
Alla prox!

Solidi...

Ragazzi,
per voi e anche per qualcuno della III B che qualche volta "cerca sul blog", raccomandando il Cruci_solidi con Excel ... da risolvere!
Propongo una tabella di riepilogo (se serve, clic per ingrandire)

un diagramma di Eulero-Venn che illustra ancora le relazioni tra i diversi sottoinsiemi della classe dei prismi

e, due costruzioni interattive che vi aiutano a consolidare il concetto di solido:
1) costruite un poliedro ... di che tipo di poliedro si tratta? Clic sull'immagine per andare a costruirlo

2) e un poliedro ... (clic)

Alla prox!
PS (in particolare per la III B): potete esprimere attraverso i commenti qualche vostra precisa esigenza... chiedete pure!

I poliedri regolari

Ragazzi, guardate:

tempo fa lo ha regalato al nostro blog maestra Maria Giovanna (Mgio', ritoccato eh?-grazie!)
E, per saperne di più sui poliedri regolari di cui abbiamo parlato stamane ...
Per cominciare vi segnalo una pagina:
Modelli dei 5 poliedri platonici
è un laboratorio di matematica ricreativa dove sono presentati i solidi platonici, le loro principali proprietà, la formula di Eulero che mette in relazione facce, vertici e spigoli.
Sarete guidati inoltre, con tanto di materiali da stampare e ritagliare, alla costruzione su cartoncino dei 5 poliedri. Davvero una bella e divertente pagina!

Mi è piaciuta molto quest'altra:

I poliedri regolari via kwout

in cui si legge:
nel Timeo di Platone, di poco successivo a Pitagora, troviamo una descrizione precisa dei 5 corpi regolari, cioé dei possibili solidi sfaccettati che abbiano le facce, gli spigoli e gli angoli, uguali tra loro. Platone userà questa straordinaria scoperta come simbologia dell'universo e dei suoi elementi base: il fuoco (tetraedro), la terra (cubo), l'aria (ottaedro) e l'acqua (l'icosaedro).
Il quinto poliedro regolare, il dodecaedro, era a simboleggiare la quinta essenza che tutto avvolge e comprende. La metafora ha un qualche senso matematico dato che è possibile dimostrare che l'unico poliedro regolare nel quale sia possibile inscrivere gli altri 4 è il dodecaedro.
Questa tradizione neo-platonica resterà viva fino a Keplero che credette di poter descrivere i moti dei pianeti in termini di poliedri e loro reciproche inclusioni.
L'applet Polyhedra realizzato da Gian Marco Todesco e pubblicato sul CD Divina Proporzione, il Trattato di Luca Pacioli con i disegni di Leonardo da Vinci e il libello di Piero della Francesca, edizione Hochfeiler, permette di visualizzare in modo interattivo le possibili inclusioni di un poliedro regolare in un altro.

I poliedri regolari via kwout

continuate l'interessante lettura cliccando sul link....
E ancora dalla stessa pagina una delle belle immagini (cliccando sulle quali appare una animazione che descrive la costruzione del poliedro passo a passo)

i 5 corpi regolari disegnati da Leonardo da Vinci per illustrare il bellissimo manoscritto di Luca Pacioli De divina proportione (1498). (le altre sul sito...)

[AGGIORNAMENTO - 02/01/2010]  Sul blog di Popinga

Il manoscritto di Milano del «De Divina Proportione»

Da una copia della ristampa anastatica del manoscritto conservato all’Ambrosiana di Milano, Popinga riferisce i contenuti dell’opera originale, arricchita dalle rappresentazioni dei solidi platonici realizzate da Leonardo da Vinci. Straordinaria presentazione della figura di Luca Pacioli, i particolari del manoscritto, "Divina è quella proporzione, che oggi si chiama sezione aurea [...] produce, secondo il Pacioli, infiniti “effetti”, ma per brevità il trattato ne considera solo tredici, infatti “per la salute dell'anima, l'elenco va terminato”, in quanto tredici furono i commensali dell'Ultima Cena.", "Dopo aver dimostrato che i solidi regolari “essenziali” non possono essere più di cinque [...] il Pacioli passa a trattare il modo di costruire questi corpi"  Béh, non perdetevi la lettura!

E poi, le animazioni con Excel, del mio (del nostro blog anche, ormai!) amico Fernando di cui vi ho detto. Cliccando sull'immagine qui sotto scaricherete un primo file: 3dwire.xls

Sul file potrete animare l'immagine ... (leggete sotto le indicazioni)
Sul foglio di lavoro troverete anche i link per scaricare altri file.
Vi raccomando questo (clic e scaricate)
Come utilizzare i file:
All'apertura vi può essere richiesto di attivare le macro, quindi clic su "Attiva macro"
Per far partire le animazioni dovete premere sul pulsante Spin, per fermare premete il tasto Esc sulla tastiera.
Per inserire un'immagine sulle facce dei poliedri (sull'icosaedro potrebbe rallentare un bel po' l'animazione...):
- clic con il destro su una faccia;
- scegliere dal menu: Formato forme;
- Scheda Colori e linee: Riempimento
- Clic sul menu Colore,
- scegliere Effetti di riempimento, scheda Immagine, Seleziona immagine (dal tuo PC), Inserisci, Ok!
buon divertimento!:-)
PS: sui *commenti* c'è una bella integrazione di Pier Luigi Zanata. [Platone:''Non entri chi non e' geometra'']. Leggete!

Un'esperienza di podcasting

"keIdeaGeosolida"

della III A

Qui si può scaricare la scheda PDF con la descrizione del Format e la sceneggiatura della trasmissione.


Esercitazione per il Seminario di Podcasting - curato da Alberto Pian
Master E-Learning - Università della Tuscia - Garamond