Scoprire perché ...

Una nostra lezione, va!

.... anche perché all’ultima parte qualcuno era assente.

Si è parlato di proprietà delle potenze. 

Le potenze sono numeri: 3^2 è un numero, lo so che si pensa come 9, 3^9 è un numero non importa quanto valga, so che è un numero e che è un numero grande! Questa è la potenza ...delle potenze! Esprimere numeri grandi e grandissimi (e piccolissimi) in maniera breve, sintetica! Lo avete detto anche voi, ragazzi: la forza delle potenze!

E con i numeri si fanno dei calcoli!

A volte i calcoli con le potenze si possono fare usando delle scorciatoie: le chiamiamo proprietà delle potenze.

Un caso: moltiplichiamo due o più potenze con la stessa base e diverso esponente.

Ah, qualcuno ha già letto sul libro... eh, a volte non vorrei, ma bene i curiosi ...

e ricorda che: basta sommare gli esponenti e tenere la stessa base!

Ma... la prof non capisce il perché!

3^4 * 3^2 = ??

Via le ipotesi! Diversi i tentativi, ma no scorciatoie!

Fino a che Andrea F. viene a scrivere:

3 x 3 x 3 x 3   poi... - dice lui – : 3 x 3

- ma scusa, che c’è tra 3^4 e 3^2 ??

aah, c’è x (per) !

Allora:

3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3!

Ah, allora..

3^6

Ecco perché basta sommare gli esponenti !

3^4 * 3^2 = 3^(4+2) = 3^6

oh, ecco: mica noi prendiamo solo per oro colato!

E’ la volta di: dividere due potenze con la stessa base e diverso esponente.

- Aah.. facile! Se per moltiplicare sommo gli esponenti allora per dividere sottraggo gli esponenti perché la divisione è l’inversa della moltiplicazione e la sottrazione .....

Ma... la prof come al solito non è troppo convinta!

Dunque:

3^4 : 3^2 = ??

Stavolta impieghiamo un po’ più di tempo, ma Davide P. poi propone:

- facciamo la divisione per gruppi. Così:

9 x 9 : 9 =

9 x 1 = 9

Bella l’idea di Davide!

Ma, due osservazioni:

- l’operazione con le potenze ha per risultato una potenza,

- forse possiamo evitare di moltiplicare... perché se avessimo: 27 ^4 : 27^2 .... mmmh che fatica! [poltroni!]

Quindi, perché non dividere per gruppi da *un solo fattore* ?

1 x 1  x ....

oo (sempre i bambini che fanno ooh) bisognerebbe pareggiare i fattori! A sinistra ne ho 4 a destra solo 2 !

Problema: come pareggiare i fattori??

Ma si, ma si... noi sappiamo delle cose....

Ah, si dice: utilizzare informazioni!

Ancora Davide, in formissima, dice:

- ma aggiungiamo a destra due 1!

e segue il brusio:

- tanto è l’elemento neutro della moltiplicazione!

Perciò:

1 x 1 x 3 x 3 = 3 ^2

Anche stavolta siamo più convinti: ecco perché basta sottrarre gli esponenti !

3^4 : 3^2 = 3^(4-2) = 3^2

Mica finisce qui:

Igor pone il problema: se divido una potenza con esponente più piccolo per una con esponente più grande... siccome non è commutativa... (bene bene ... il linguaggio già va....)

- Certo! Facciamo ugualmente la sottrazione fra gli esponenti e, Igor calcola l’esponente negativo e .... così ci siamo avviati a scoprire la potenza delle potenze per esprimere i numeri piccoli e piccolissimi!

Ragazzi, i link che vi ho promesso (vedete con calma, un po’ alla volta):

Ancora dall'Antico Egitto

... questa volta le potenze!

[Per la classe prima]Approfondire le potenze!

Dai compagni che vi hanno preceduto ...

Il comportamento delle potenze nelle 4 operazioni

A proposito di potenze ...

Potenze di 10

Mi raccomando sull’ultimo link i due video, uno sul blog, l’altro segnalato. Da non perdere!

Buone vacanze ancora! ... ma attivi!

Magie …

 Ragazzi,

andate a leggere… Clic su immagine!

Piccole magie « Ai margini via kwout

Grazie Maurizio:-)

Il comportamento delle potenze nelle 4 operazioni

Così ha intitolato Letizia

il suo lavoro in Excel sulle 4 operazioni con le potenze. Dimostra quando si possono applicare le proprietà – scorciatoie e quando no.

Ecco qualche immagine d’esempio

Si può scaricare il file proprietà_potenze.xls

Leti, hai utilizzato il SE() logico, brava!

Ma! :-)

Tu prova ad es. in cella C30 a cancellare la base scelta; e controlla che succede nelle celle F30 e J30 (allarga le colonne).

Cosa manca al tuo SE() ??

Abbiamo detto che:

noi possiamo dire: “SE domani farà bel tempo, (allora) andrò a fare una passeggiata in pineta”

Excel vuole invece sapere anche cosa farò Se il tempo non sarà bello!

… altrimenti mi risponde un po’ sgarbato! ;-)

Potenze di 10

Ragazzi della prima!

Vi facilito il lavoro di ricerca sul blog secondo indicazioni date, con i link su potenze e curiosità, sulla barra a destra In evidenza per la I A. Elenco numerato!

Nel ricordarvi il link che troverete su potenzedi10.xls, eccovi un altro bel video sulle potenze di 10, segnalato tempo fa da Gravità Zero, blog di divulgazione scientifica.

Un viaggio immaginario dall'infinitamente grande all'infinitamente piccolo scalando una potenza di 10 ogni 2 secondi. Dai confini dell'Universo all'interno degli atomi.

 

Sempre da Gravità Zero segnalo:

UN VIAGGIO FANTASTICO NELL'UNIVERSO CONOSCIUTO

un altro video da non perdere: “Mi raccomando, guardatelo al buio e, per godervi a pieno lo spettacolo, portatelo a tutto schermo nella versione in alta definizione!”

L'enigma di St. Ives

Ai ragazzi della prima, che si stanno divertendo con le potenze...:-)
per rilassarsi un po' e giocare, ricordo il post su questo blog: Ancora dall'Antico Egitto
Leggetelo, risolvete gli enigmi ... facilissimi!
Qui, tratto da BASE Cinque, ne propongo un altro:

L'enigma di St. Ives

Mentre andavo a St. Ives
Incontrai un uomo con sette mogli.
Ogni moglie aveva sette sacchi,
Ogni sacco aveva sette gatti,
Ogni gatto aveva sette mici;
Mici, gatti, sacchi e mogli,
In quanti andavano a St. Ives?

Attenzione, questo è un indovinello col trucco!
Esiste qualche variante (attenti nella lettura!):

Mentre andavo a St. Ives
Incontrai un uomo che aveva sette mogli.
Ogni moglie aveva sette sacchi,
Ogni sacco aveva sette gatti,
Ogni gatto aveva sette mici.
Mici, gatti, sacchi e mogli,
In quanti andavano a St. Ives?

Le risposte valide possono essere diverse!
Dopo esservi cimentati, fate clic sull'immagine:

e leggete le informazioni sul St.Ives riddle (enigma, indovinello).
Buon divertimento!

[Per la classe prima]Approfondire le potenze!

Ragazzi di prima, penso anche a voi!:-)
Con le stesse considerazioni fatte ai vostri compagni di seconda, vi propongo un lavoro di approfondimento sulle potenze (anche questo è stato visto e usato da alcuni di voi nella scorsa attività per gruppi...)
In questo post tempo fa avevo segnalato un Excel da scaricare
Fatelo ora!
Sarete guidati, seguendo le indicazioni dei commenti nelle celle (avvicinatevi con il mouse alle celle con triangolino rosso), a scoprire le proprietà di cui godono le operazioni con le potenze.
Ecco qualche immagine del lavoro:

Vi ricordo brevemente:
- l'elevamento a potenza è un'operazione;
- le potenze (potenza si chiama il risultato dell'operazione) sono dei numeri.
Es 3 alla quinta (3^5), la quinta potenza del numero 3, anche NON sviluppata, cioè anche se non si calcola il risultato sotto forma di numero naturale, è un numero (grande, piccolo... non è questo importante, devo convincermi che è un numero, convenite?).
- Con i numeri 3^5, 4^6, 3^9 .... si possono eseguire dei calcoli.
Vedrete come è più conveniente eseguire calcoli usando le potenze al posto dei rispettivi valori sotto forma di naturali: dovrei lavorare con numeri anche grandissimi!
Sul file dapprima vi eserciterete un po' sull'operazione di elevamento a potenza, quindi passerete a conoscere come si eseguono altre operazioni usando come termini le potenze.
Buon lavoro a voi!
SE (SE!) per caso qualcuno si collega e scarica il lavoro, può lasciare qui o inviarmi via e- mail eventuali richieste di chiarimenti.

Potenze di frazioni. L'elevamento a potenza con le frazioni

Stavolta hanno scritto in tanti!
Nicola, Alessandra, Laura, Federico, Delia, Irene, Cristina hanno scritto i loro articoli. La classe li ha letti, commentati e unificati in un lavoro a più mani.

Lezione sull’operazione di elevamento a potenza di frazioni

L’operazione la conosciamo già, con i numeri naturali: si moltiplica la base per se stessa tante volte quanto mi dice l'esponente.
La prof scrive alla lavagna
(3/4)^2
3^2/4
3/4^2
ci chiede se notiamo una differenza fra queste diverse scritture.
La lezione comincia vivace e noi collaboriamo.
Queste tre scritture sono diverse perché nella prima, dove uso le parentesi, l’esponente è “associato” sia al numeratore che al denominatore, nella seconda l’esponente riguarda solo il numeratore, e nella terza l’esponente è del denominatore.
Quindi per elevare a potenza una frazione è valido il primo esempio, cioè devo metterla dentro parentesi.
La base della potenza è una frazione, è un numero (razionale).
Detto questo noi abbiamo dato subito il risultato dell’operazione di elevamento a potenza:
(3/4)^2 = 9/16 questo lo abbiamo intuito.
La prof ci spinge a dimostrarlo, e quindi scriviamo per esteso:
(3/4) ^2 = 3/4 * 3/4 = 9/16
Per fare questo ci siamo serviti della definizione di elevamento a potenza.

Potenze un po' particolari

Le stesse che conosciamo con i numeri naturali
(2/3)^0 =1
Questo perché qualsiasi numero con esponente 0 è uguale ad uno.

(3/8)^1 = 3/8
Questo perché qualsiasi numero elevato uno dà se stesso.

Operazioni con le potenze di frazioni

In taluni casi usiamo le proprietà delle potenze (ce le siamo ricordate noi, la prof era contenta!)
Moltiplicazione
L’esempio che ci propone la prof è:
(2/3)^3 * (2/3) =
Noi risolviamo subito
= (2/3)^4
ricordando: = (2/3)^(3+1) Si sommano gli esponenti
La prof dimostra che è soddisfatta. Ci fa dire anche il perché della soluzione:
qualsiasi numero apparentemente senza esponente, ha nascosto l’esponente 1 (la prof dice: "bravi". Perché non ci siamo fatti trarre in inganno...!)
Il prodotto tra due potenze con ugual base ed esponente diverso è uguale a una potenza con la base uguale e per esponente la somma tra gli esponenti.

Ora ci propone un altro caso di moltiplicazione con base uguale:
(8/11)^6 * (8/11)^0
Siccome qualsiasi numero elevato zero è uguale a uno mi basta fare (8/11)^6 * 1 = (8/11)^6
So che l’1 è l’elemento neutro della moltiplicazione, quindi il risultato non varia.

Quando ho base diversa devo avere esponente uguale per applicare le proprietà.
Es: (2/3)^3 * (3/4)^3 = (2/3*3/4)^3= (1/1*1/2)^3=(1/2)^3
In questo caso mi devo fare la moltiplicazione tra basi, nel modo di sempre, tenendo sempre lo stesso esponente.

Divisione
(2/7)^4 : (2/7)^2 = (2/7)^2 perché = (2/7)^(4-2)
Se per le moltiplicazioni si addiziona per le divisioni, che sono le inverse, si sottraggono gli esponenti.
Il quoziente tra due potenze con la stessa base ed esponente diverso è uguale a una potenza con la stessa base e per esponente la differenza tra gli esponenti.
Poi la prof ci propone:
(8/13)^5 : (8/13)^0 = (8/13)^5
Considerato che qualsiasi numero elevato 0 dà 1, quindi faccio la divisione tra (8/13)^5 e 1, mi da sempre (8/13)^5 , perché qualsiasi numero diviso per 1, da come quoziente se stesso.
(9/11)^3: (9/11)^3=1
Non ho bisogno di sottrarre gli esponenti perché ogni numero diviso per se stesso è uguale a 1 e (9/11)^3 è un numero!

Fino a questo punto noi ce la siamo cavata abbastanza bene, rispondendo alle domande.
La prof ci ha dovuto aiutare di più nel caso in cui dalla divisione otteniamo l’esponente negativo.
Cioè quando il primo esponente è più piccolo del secondo:
(2/3)^2:(2/3)^4 =(2/3)^-2=
Abbiamo ricordato le potenze negative di 10 tipo 10^-1 che vuol dire un decimo, 1/10, quindi del 10 scrivo l'inverso, 1/10, e l'esponente è positivo (1 sottinteso).
Perciò:
(2/3)^-2 = (3/2)^2.

Potenza di potenza
(non ci ricordavamo questo caso, la prof ha dovuto insistere... Irene poi si è ricordata)
Es. con numeri naturali:
(8^2)^3 = 8^2* 8^2 * 8^2 = 8^6
con frazioni:
[(8/7)^2]^3 =
In questo caso la base è composta da: (8/7)^2, quindi:
[(8/7)^2]^3 =(8/7)^2*(8/7)^2*(8/7)^2=(8/7)^6
Nelle potenze di potenze bisogna moltiplicare i due esponenti, tenendo la stessa base.
Ultima cosa: le proprietà si possono usare solo nelle moltiplicazioni e divisioni e solo nei casi che abbiamo descritto. In tutti gli altri casi bisogna sviluppare la potenza, cioè ottenere il risultato e poi eseguire le operazioni.

La II A

E bravi i miei monelli di seconda! :-)

Elevamento a potenza e proprietà in Excel

Puoi scaricare un file interattivo per esercitarti con le potenze e le loro proprietà.
Buon divertimento!

ciao! :-)

A proposito di potenze ...

Le nostre "moderne" potenze.
Ragazzi,
sapete che amo molto lavorare con Excel. Così approfitto per preparare dei materiali per le nostre attività. Ho appena preparato un lavoretto sulle potenze di 10. Così avremo l'occasione per approfondire il discorso sull'utilità delle potenze, in particolare quelle del 10.
Già sappiamo che l'operazione di elevamento a potenza ci permette di scrivere in maniera abbreviata il prodotto di fattori tutti uguali, quindi dei numeri che possono essere anche grandi.
Nella ricerca e nell'applicazione di molte scienze, per esempio la fisica, l'astronomia, la biologia, la chimica... si utilizzano largamente le potenze, in particolare le potenze del 10, per esprimere le misure delle grandezze studiate negli specifici ambiti.
Le potenze di 10 permettono di scrivere comodamente numeri molto grandi o numeri molto piccoli.
E' poi semplicissimo calcolare una potenza di 10: la successione delle potenze di 10 si costruisce aggiungendo alla cifra 1 tanti 0 quanti sono indicati dall'esponente.
Es. la quinta potenza di 10 (10 ^5) è: 100 000
E' molto più semplice scrivere cento milioni nella forma 10^8, anziché 100 000 000
Così come è più semplice scrivere il numero 0,0000001
(1:10.000.000) con una potenza di 10 con esponente negativo:
10^(-7)
Ora andate a scaricare il file potenzedi10.xls nel quale potete interagire per scoprire degli esempi sull'utilizzo pratico delle potenze di 10 e … vi rimanderà ad altre sorprese ...! :-)

ciao!:-)

Ancora dall'Antico Egitto

... questa volta le potenze!

Uno dei più antichi documenti matematici conosciuti è un rotolo egizio, il papiro di Rhind (o Papiro di Ahmes).

Ahmes è il nome dello scriba (persona che, in culture e in tempi diversi, si occupava di attività che richiedessero padronanza della scrittura) egizio, che lo scrisse nel 1650 a.C.
"copia - avverte lo scriba Ahmes - di un esemplare più antico di due secoli".
Ahmes è il primo matematico che scrisse il proprio nome su un documento giunto fino a noi (il primo matematico di cui si conosce il nome è invece Jsma Ja - 2500 a. C. circa).
Lo scozzese Henry Rhind, studioso dell'antico Egitto, acquistò il papiro di Ahmes a Luxor, in Egitto, nel 1858. Attualmente si trova al British Museum di Londra.
All'inizio del papiro si legge:
"Regole per scrutare la natura e per conoscere tutto ciò che esiste, ogni mistero, ogni segreto e contiene tavole di calcolo e 87 problemi ripartiti in vari gruppi, di natura pratica connessi con le attività di ingegneria edile, di agricoltura etc., esposti con intento didattico".
Il papiro è scritto in ieratico, la scrittura corsiva egizia, usata per scrivere con pennello e inchiostro sui papiri, che si diffonde dal 2400 a.C. circa accanto alla più antica scrittura geroglifica.
Il "problema 79" del Papiro di Rhind, può essere tradotto così:

In una proprietà ci sono 7 case
In ogni casa ci sono 7 gatti
Ogni gatto acchiappa 7 topi
Ogni topo mangia 7 spighe
Ogni spiga dà 7 misure di grano
Quante cose ci sono in tutto in questa storia?

- Ragazzi, risolvete il problema! Troppo facile non credete? :-)

E ancora un altro, stavolta del famoso matematico Leonardo Pisano (Fibonacci):

Sette vecchie in viaggio per Roma

Ci sono sette vecchie in viaggio per Roma

Ognuna di esse ha sette muli

Ogni mulo porta sette sacchi

Ogni sacco contiene sette pagnotte

In ogni pagnotta ci sono sette coltelli

Ogni coltello è in sette foderi

Donne, muli, sacchi, pagnotte, coltelli, foderi: in quanti viaggiano per Roma?

(Fibonacci, 1202)

In realtà, il problema 79 del Papiro di Rhind è più misterioso della nota filastrocca. Andate a leggere questa pagina.

alla prox!