martedì 27 dicembre 2011

Su radici quadrate, insieme Irrazionali, Reali ...

Segnalazione per la II!

Cari ragazzi,

imagemica posso non pensarvi, eheh ... ! E allora:

da QUESTO POST, dove ho già raccolto i richiami all’argomento,

terapia (di rinforzo): un link al giorno!

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venerdì 23 dicembre 2011

Buon Natale e Buone Feste

Ai nostri amici, a chi ci legge,

Auguriamo Buone Feste

con una bella presentazione curata da Carmela, Erica, Giada, Giovanna, Letizia, M. Chiara, e Veronica. E’ la componente femminile della III A!

Brave, ragazze

Auguri a voi, tutte le classi e le famiglie.

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mercoledì 21 dicembre 2011

Piramidi per un cubo

Gabriele,

con SketchUp proprio bravo, non c’è da dire. Ma non solo... !

Ha eseguito l’attività sul volume della piramide: il cubo assemblato con piramidi uguali.

Con GeoGebra 3D –corretta!

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lunedì 19 dicembre 2011

Ancora lavori sulla piramide

Ragazzi (III),

eccovi due attività:

1. Costruita una piramide quadrangolare regolare, con altezza lunga 1/2 dello spigolo di base (la mia costruita con SketchUp; volendo, scaricate il file (file in ordine alfabetico) oppure costruite voi),

piramide base quadrata h =1/2 lato base

quante di queste piramidi si dovranno unire per assemblare un cubo?

Chi è più bravo di me faccia il lavoro su SketchUp! Sorriso

Ancora una volta potete giustificare la formula per il calcolo del volume della piramide. Provate a scrivere i passaggi matematici utilizzando le lettere.

Aiuto: l = spigolo del cubo, h piramide = ? (in funzione di l).

2. Costruita così invece:

- la base è un quadrato;

- lo spigolo più corto è perpendicolare e uguale alla base.

piramide base quadrata

 quante di queste occorrono per assemblare un cubo?

E ancora si dimostra la formula del volume della piramide...

Chi può, lavori su SketchUp; potete scaricare anche questa seconda costruzione.

Potete altrimenti costruire la piramide da questo sviluppo piano, da stampare (trovato in rete, dovrei mettere un link, per evitare di darvi la risposta lo farò fra qualche giorno ... anche se voi siete furbetti!)

cubo_piramidi

Aggiungo lo sviluppo piano realizzato su SketchUp con il tool suggerito dal prof. Guzman (vedi commenti). Si possono aggiungere perfino le linguette! Sono intervenuta sull’immagine per eliminare lo sfondo verde-azzurro di SK. e ho ravvivato i colori.

sviluppo piramide

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domenica 18 dicembre 2011

Volume della piramide

Per la III

Ragazzi, voi fate il lavoro manuale a casa (e mi raccomando!), io ho fatto questo. Clic su img

volume piramide

Ancora una costruzione. Per rafforzare: le basi dei due solidi devono essere ....?

prisma-piramide

prisma-piramidi in legnoCliccate anche sulla figura qui a destra, molto carine le figure geometriche in legno.

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giovedì 15 dicembre 2011

Decimale periodico n/7

Ragazzi,

riporto qui la curiosità di cui vi ho parlato, sul numero periodico semplice generato dalle frazioni con denominatore 7.

Abbiamo trovato il numero periodico generato da 1/7 :image

Quando si è ripresentato il resto di 1 abbiamo trovato il periodo: 142857 142857 142857 142857 .... di sei cifre.

Il periodo non poteva essere più lungo di sei cifre: infatti, abbiamo ragionato, la divisione per 7, escludendo lo zero  se il divisore è un multiplo di 7, può avere solo sei resti: 1, 2, 3, 4, 5, 6. (Se ho resto 7 o maggiore... so che ho sbagliato la divisione: ci stava qualche volta in più!)

Ora: per calcolare il periodico generato da 2/7,  basta osservare che il calcolo comincia con un resto 2:

2:7 = 0 con resto 2

Il lavoro l'abbiamo già fatto per la divisione 1:7; ci limitiamo a prendere il risultato dal punto in cui compare il resto 2, e a scrivere la risposta come 0,285714... periodico.

Possiamo chiamare questa ricorrenza, proprietà del nastro trasportatore, pensando al dispositivo sui cui girano i bagagli usciti nella sala arrivi di un aeroporto. Dovunque ci fermiamo, ci passano davanti gli stessi oggetti.

Per trovare il periodico generato da 3/7, basta fermarsi nel punto in cui compare il resto 3 e osservare il ciclo che si ripresenta come 0,428571....

Ribadiamo: ci sono soltanto sei possibili resti: 1, 2, 3, 4, 5, 6, e ciascuno di essi compare una sola volta. E osservate bene la proprietà del nastro trasportatore del numero 142.857:

142.857 x 1 = 142.857
142.857 x 2 = 285.714
142.857 x 3 = 428.571
142.857 x 4 = 571.428
142.857 x 5 = 714.285
142.857 x 6 = 857.142

Non vi sembra curioso?

A questo punto, osservate:

142.857 x 7 = 999.999

Quando si calcola la sesta cifra decimale del rapporto 1/7 il resto è 1. Ciò significa che la divisione di 1.000.000 per 7 ha resto 1, e quindi 7 sta esattamente in 999.999, 142.857 volte.

La frazione 1/7 e il suo valore decimale ci dicono una cosa sugli interi: 7 è un divisore esatto del numero che si scrive come sei 9!

.... C'è una regolarità che sussiste anche per altre frazioni?

imageLa curiosità è tratta dal libro:

 Il Curioso Dei Numeri (già!) - Stranezze matematiche, controversie scientifiche, divagazioni da 1 a 9 di Andrew Hodges  

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mercoledì 14 dicembre 2011

martedì 13 dicembre 2011

domenica 11 dicembre 2011

Problema su prisma triangolare

Di Letizia

sempre su Geogebra 5.0 beta la costruzione del solido in 3D ...

Letizia mostra passo a passo la risoluzione.

Clic su img prisma a base triangolare (tr. rettangolo)image

Brava Leti!

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giovedì 8 dicembre 2011

La simmetria sul piano cartesiano

Compiti per casa

realizzati su Geogebra da

Beatrice:

Esercizi n° 28-29-30-31-32 pag.227 libro di geometria!!.ggb Sorriso

Ecco l’applet. Clic

simmetria piano cartesiano

Il n° 31 lo ha eseguito correttamente su Geogebra anche Giovanni

simmetria piano cartesiano

Le costruzioni sono realizzate utilizzando le proprietà dei punti nella simmetria assiale. Come in entrambi i lavori si può verificare visualizzando “oggetti nascosti” : rette e circonferenze (a meno che quella furbetta di Bea non abbia, in qualche figura, “imbrogliato”, usando lo strumento di Geogebra Sorriso Sorriso)

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mercoledì 7 dicembre 2011

Un problema sul cubo

Di Gabriele

su Geogebra. Ha utilizzato GeoGebra 5.0 beta per la costruzione del solido in 3D ma non è stato possibile creare l’applet. Abbiamo inserito l’immagine in GeoGebra 4. Clic su Img

cubo cubo

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martedì 6 dicembre 2011

Simmetria centrale

Sono i lavori su Geogebra di

Marco D.

 Clic su immagini, le costruzioni sono realizzate sfruttando la proprietà dei punti simmetrici rispetto a un punto, centro di simmetria, e non con lo strumento apposito di Geogebra.

simmetria centrale

di Davide D. Che finalmente si è dato al colore! Sorriso

simmetria centrale

e di Davì. Il quale ha risposto alla domanda dell’esercizio del testo: cosa noti?

Geogebra aiuta proprio a fare scoperte! Davì scrive:

provando a giocare con geogebra e volendo sovrapporre i poligoni, ho scoperto che la sovrapposizione in questo caso
non avviene attraverso un ribaltamento ma per rotazione di 180°.
Quindi ho creato uno slider ....

simmetria centrale

Già: la simmetria centrale corrisponde a una rotazione di 180° attorno al centro di simmetria!

Bravi, ragazzi!

Appena arrivato un lavoro di Stefano. Clic

simmetria centrale

Bene, Stefano!

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lunedì 5 dicembre 2011

Simmetrie del quadrato e analogie di struttura

Le abbiamo viste in classe.

Ho riportato su Geogebra le osservazioni sulle simmetrie del quadrato, nelle quali abbiamo riconosciuto analogie di struttura: operazioni geometriche, operazioni aritmetiche, operazioni logiche... elementi e operazioni del tutto diverse dove si ripete però lo stesso motivo, la stessa struttura!

A partire da questa immagine:

simmetrie del quadrato

osservando particolari coppie di figure, ci si accorge che alcune coppie sono inversamente uguali, ottenute perciò con un ribaltamento, altre sono direttamente uguali, si ottengono senza che la figura si sollevi dal piano, come avviene ad es. con la rotazione.

 Sull’applet, potete interagire, sono riportate le composizioni di simmetrie e rotazioni e

la tabella di composizione:

tavola composizione simmetrie e rotazioni del quadrato

Ragazzi, qui vi sottolineo un particolare sulla composizione delle due simmetrie assiali. E’ noto come il Teorema dei due ribaltamenti:

Il prodotto di due simmetrie assiali rispetto ad assi incidenti equivale alla rotazione, intorno al loro punto di intersezione, di ampiezza pari al doppio dell’angolo formato dagli assi di simmetria. 

Verificatelo sull’applet.

Ricordiamo le strutture analoghe, viste l’anno scorso (clic sulle immagini, sono le vostre relazioni):

Tabella dell’addizione del Pari e Dispari 

tabella addizione Pari e Dispari

Tabella di composizione del Sì e del No

tabella Si e No

E la tavola dell'addizione dello zero e dell'uno

tabella addizione zero e uno

Attenzione! Non c'è un errore nell'ultima casella in basso: 1+1 non fa 0 nella nostra aritmetica, ma in un’aritmetica che ancora dobbiamo scoprire, quella delle "classi resto [0] modulo 2", sì! (per il momento stabiliamo soltanto che i simboli 0 e 1 stanno ad indicare, in modo breve, i termini pari e dispari: i numeri pari sono i numeri che divisi per 2 danno resto 0 e i numeri dispari sono i numeri che divisi per 2 danno resto 1)

Potete scaricare un file Excel tab_Pari_Dispari.xls dove troverete, anche la legge moltiplicativa oltre a quella additiva.

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venerdì 2 dicembre 2011

Simmetrie, giochi di specchi

Tempo fa scrissi 

in un commento su Il piccolo Friedrich, che avrei rubato l’attività sulle Riflessioni geometriche della maestra Cristina. [Ragazzi, fate clic sul link dell’attività, vedrete le belle immagini del lavoro della classe!]

Infatti: ho proposto nella classe seconda, la simmetria dei poligoni regolari anche attraverso l’utilizzo degli specchi incidenti.

Il materiale è stato procurato dai ragazzi; chi preciso, chi un po’ meno, hanno costruito gli specchi, disegnato, ritagliato, e svolto con entusiasmo e allegra partecipazione l’attività.

Qualcuno ha lavorato con più calma a casa e principalmente di quei lavori ci siamo serviti per riportare i risultati e le scoperte in una presentazione Power Point. Abbiamo lavorato anche con Geogebra, simulando gli specchi incidenti. Le osservazioni sulla presentazione sono tratte dalle relazioni dei ragazzi sul lavoro svolto.

Anche le righe che seguono sono una sintesi dei loro diversi scritti.

In prima media abbiamo già conosciuto la simmetria. Con Geogebra abbiamo costruito, con rotazioni, inviluppi, effetto caleidoscopio, ecc..., tante belle figure simmetriche anche animate.

Nello studio dell’aritmetica (le tabelle dell’addizione e della moltiplicazione)  e della geometria abbiamo riconosciuto figure che si guardano allo specchio ! Ma abbiamo scoperto che la simmetria è un fenomeno che si registra in natura, non solo nell'aritmetica e geometria.

Ora, in seconda, stiamo facendo un lavoro di maggiore consapevolezza, dice la prof!
Per studiare meglio la simmetria dei poligoni regolari abbiamo utilizzato gli specchi.
Con due specchi incidenti, uniti con un pezzo di scotch, facendo in modo che si possano muovere a seconda dell'angolo desiderato, abbiamo eseguito delle attività divertenti. Ecco la nostra presentazione!

Grazie, Maestra Cristina!

Link

Nostro lavoro su geogebra, simulazione specchi. Con doppio clic si può aprire l’applicazione e salvare.

Altri nostri lavori:

Simmetrie nei poligoni regolari
Simmetrie nel rombo e nel rettangolo
Trova gli assi di simmetria nel triangolo
Trova gli assi di simmetria nel rettangolo
E con la simmetria?
Da cosa nasce ... “+ belle immagini!”

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venerdì 18 novembre 2011

Il cuore con la simmetria

Marco D. (II)

ha rivisitato la costruzione del cuore con Geogebra, con la simmetria assiale.

Clic su immagine per vederla sull’applet.

cuore

bene, Marco!

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Il DNA con SketchUp

 Questa la costruzione

di Erica



Brava Erica.
Aspetto la costruzione di qualcun altro ... !
...che arriva!
 
Quella di Gabriele



Bene, Gabri.

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giovedì 17 novembre 2011

Video DNA

Questo pomeriggio in III,

imagesi era davvero in pochi e, con Veronica, Giovanna, Gabriele, Erica e Carmela ci siamo goduti dei bellissimi video sul DNA: struttura, duplicazione, trascrizione, sintesi delle proteine...

Il primo:

1. DNA: struttura, duplicazione, trascrizione, traduzione

un’affascinante visualizzazione CGI (computer-generated imagery - immagini generate al computer) che mostra le animazioni di avvolgimento del DNA, la replicazione, la trascrizione e traduzione. Creato da Drew Berry, “biomedical animator” del Walter and Eliza Hall Institute of Medical Research di Melbourne, Australia.

Abbiamo potuto vedere bene anche gli istoni, le proteine associate al DNA nella cromatina del nucleo della cellula.

2. Cromosomi e DNA

3. DNA: duplicazione

4. Trascrizione (dal DNA all'mRNA) e Traduzione (mRNA in proteina)

5. Traduzione: sintesi delle proteine

Anche quest’ultimo ci è piaciuto tantissimo, abbiamo controllato sulla tabella del nostro testo la corrispondenza esatta triplette mRNA –aminoacidi, triplette-stop, ecc...

Buona visione agli assenti interessati!

La ricerca su Google dei materiali, ci ha portato quasi subito sul blog della neo mamma Maria Carla, da cui abbiamo preso i suggerimenti. Grazie neomamma!

Infine:

sotto la regia dei maestri, Gabriele e Erica abbiamo cominciato a costruire il DNA con SketchUp Sorriso

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sabato 12 novembre 2011

[Tutoriali] Costruzione di solidi platonici con SketchUp

Gabriele,

il mio braccio destro per SketchUp, ha realizzato i video tutorial della costruzione dei poliedri regolari.

Gabri ha creato un unico video che ho dovuto suddividere in più parti per via del peso, per comodità di caricamento su You Tube e forse risulta anche più comoda la fruizione.

E’ consigliabile la visualizzazione schermo intero su You Tube

Il primo mostra la costruzione del dodecaedro:

Il secondo quella del cubo e dell’ottaedro

Il terzo video mostra la costruzione del tetraedro

L’ultimo, quella dell’icosaedro

Bravo Gabri, grazie!

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mercoledì 9 novembre 2011

Un problema (per la II!)

Ragazzi,

proposto stamane, mentre finivate ricreazione, prima che uscissi... Sorriso a Marco D. e Stefano.

Chi legge, cerchi di risolvere!

Se si congiunge un punto di una diagonale di un parallelogramma con i quattro vertici, si decompone la figura in quattro triangoli equivalenti a due a due. Perché?

punto su diagonale parallelogramma Costruite voi su geogebra, muovete il punto sulla diagonale ...

Marco D. mi ha già inviato la soluzione corretta!

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domenica 6 novembre 2011

I mistici poliedri regolari

Così hanno intitolato

Erica  e Letizia, la relazione sulle nostre attività inerenti i poliedri regolari, probabilmente colpite dalla visione cosmologica di Platone di questi solidi perfettissimi.

Nella lezione di oggi abbiamo continuato a parlare dei meravigliosi poliedri regolari, che come abbiamo già potuto constatare nelle lezioni precedenti, sono dei solidi delimitati da poligoni regolari.

poliedri regolari

I poliedri regolari sono solo 5: tetraedro, avente 4 facce a forma di triangolo equilatero, esaedro (comunemente detto cubo) avente 6 facce quadrate, ottaedro avente otto facce a forma di triangolo equilatero, dodecaedro avente dodici facce pentagonali (pentagoni regolari) e infine l'icosaedro avente venti facce a forma di triangolo equilatero.

Perché ci sono solo 5 poliedri regolari???

Avevamo già analizzato la situazione: nel tetraedro il numero delle facce per vertice è pari a 3 e la somma degli angoli che si incontrano nel vertice è uguale a 180° quindi non raggiunge 360°. Se avesse raggiunto 360° sarebbe stato un bel guaio!! Perché un angolo di 360° è un angolo giro e quindi si appiattirebbe sul piano e non si formerebbe l'angoloide. [Angoloide: parte di spazio delimitato da tre o più facce con
un vertice comune]. Perciò il massimo numero di triangoli equilateri che si possono incontrare in un solo vertice è 5.

La stessa cosa vale per gli altri poliedri regolari.

Nel cubo (esaedro) si incontrano in un vertice 3 facce (3*90° va bene, non si potrebbero incontrare 4 facce (4*90° = 360°).

Nel dodecaedro si incontrano 3 facce pentagonali: 108° *3 =324°

I 5 poliedri regolari vennero descritti da Platone come simboli dell'universo e dei suoi elementi: il fuoco (tetraedro),la terra (esaedro), l'aria (ottaedro), l'acqua (icosaedro) e per concludere la quinta essenza (dodecaedro). [Segnalo ancora QUESTO che contiene tra l’altro, un’interessante integrazione: 

Il manoscritto di Milano del «De Divina Proportione» dal blog di Popinga

Oggi abbiamo pensato di costruire una tabella nella quale indicare il tipo di poliedro, il tipo di poligono, n° facce per vertice, n° totale facce (f), n° vertici (v), n°spigoli (s).

Sotto ve ne riportiamo una copia:

tabella solidi regolari

Lo scopo di ciò era di trovare la relazione che lega f, v e s che viene chiamata relazione di Eulero.

La prof ci ha chiesto di osservare la tabella concentrando la nostra attenzione sulle ultime tre colonne e subito abbiamo notato che f + v - 2 equivale a s o anche, di conseguenza, f + v = s + 2. Facciamo degli esempi: 4 + 4 – 2 = 6 ; 6 + 8 – 2 = 12 ; 12 + 20 – 2 = 30

Questa regola vale per tutti i poligoni, anche quelli irregolari purché siano “senza buchi”.

La prof ci ha ricordato che avevamo già incontrato la relazione di Eulero in prima media in un gioco topologico. Questi sono i nostri lavori:

Gioco topologico
Come fece Eulero …

E poi avevamo scoperto la relazione, in un'applet geogebra:

Scopri la formula di Eulero!

Fine

Brave, Leti e Erica. Aggiungerò al post le altre nostre foto non appena le riceverò da Gabri.

Ho raccolto le foto dei vostri poliedri, in una breve presentazione

Labo solidi platonici

grazie Gabri, Bravi tutti! Sorriso

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venerdì 4 novembre 2011

Poliedri platonici con SketchUp

di Gabriele.

Che ha realizzato anche il video (gli ho aggiunto la musica).

Bravo Gabri!

Sotto, un’immagine della nostra attività in classe. Carta e Geomag. Manca il dodecaedro!

poliedri platonici

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giovedì 3 novembre 2011

Esamini e sviluppi di un cubo

I ragazzi della terza,

per questo pomeriggio hanno il compito di trovare tutti i possibili sviluppi piani del cubo. Nell’attesa delle loro scoperte, predispongo il completamento dell’attività. 
Utilizziamo i polimini. Sono figure costruite con uno, due, tre, quattro, cinque e più quadrati che devono avere almeno un lato in comune. Non si considerano le figure che si ottengono con simmetrie e rotazioni.
Presa da Maestra Renata:tabella polimini
Ovviamente 6 quadrati possono rappresentare lo sviluppo piano della superficie di un cubo. Dati gli esamini, tutte le possibili figure piane ottenute combinando tra loro sei quadrati tutti uguali, riusciamo a individuare quali possono rappresentare lo sviluppo di un cubo?

Questo pomeriggio discussione in classe: compito e ampliamento.

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mercoledì 2 novembre 2011

Poliedri halloween

Davì (II),

ha risposto all’invito e ha provato a costruire il dodecaedro con la zucca. Non era facilissimo, in seconda ancora non conosciamo i solidi platonici, forse non è perfetto ma è carino. ecco le immagini

Dodecaedro halloween

Bravo Davì!

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lunedì 31 ottobre 2011

Halloween

festa che mica mi piace tanto .... !

Ma come si fa a non pubblicare il lavoro che mi invia Bea? Che con archi, circonferenze, ellissi, poligoni, settori circolari,..., su Geogebra ha realizzato questo. Clic se volete aprire l’applet.

Halloween

Brava, Bea!

E, carissimi tutti (ragazzi II e III), io vi propongo un link, segnalato in rete, davvero carino e interessante.

Andate a osservare come si possono intagliare delle zucche per costruire i poliedri regolari, i solidi platonici (animazioni). E anche:

I poliedri platonici con SketchUp

Materiali e strumenti
Zucche (il più possibile sferiche)
coltello affilato
Seghetto (per tagliare il gambo per l'ottaedro e icosaedro)
Giornale (per il disordine!)
Nastro adesivo (non troppo appiccicoso, in modo che possiate nastrare e staccare facilmente)
Carta
Matita o pennarello

Clic sull’immagine sotto per seguire le istruzioni di lavoro. In inglese, voi dovreste saper interpretare (se no, usate http://translate.google.com, come faccio io!) Ci sono tuttavia le immagini, chiarissime; non serve neppure tradurre.

zucche solidi platonici

Per giovedì, al rientro, aspetto lavoretti. Soprattutto dai ragazzi della terza! Ma, un bel voto a chi della seconda realizza... Sorriso

- Altra segnalazione interessante

Halloween: la paura viene dallo spazio

Dieci oggetti spaziali dall'aspetto inquietante scelti dalla redazione di National Geographic per celebrare degnamente Halloween.

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mercoledì 26 ottobre 2011

Teorema dello gnomone [Aggiornato]

Ragazzi, (II e III)

attività!

Non allarmatevi per il titolo del post, che è perfino carino, “teorema” a parte, no?

Seguitemi...

- Abbiamo un parallelogramma, tracciamo una sua diagonale e individuiamo in essa un punto.

Se per quel punto conduciamo le parallele ai lati, il parallelogramma rimane scomposto in altri 4 parallelogrammi dei quali i due non attraversati dalla diagonale sono equivalenti.

Ecco la costruzione, potete cliccare e aprire l’applet.

Teorema gnomone

I parallelogrammi non attraversati dalla diagonale sono i due color violetto e sono equivalenti.

Sapreste spiegare il perché? I Matematici dicono, sapreste dimostrarlo?

Provateci, osservate attentamente la costruzione. Si tratta di un parallelogramma, ABCD, suddiviso da una diagonale ...

Il Teorema dello gnomone è descritto nel Libro I degli Elementi di Euclide, Proposizione 43,

[vedi:

[Matematica nella storia] Euclide e anche
[Matematica nella storia] Il teorema di Pitagora negli Elementi di Euclide]

così:

“in ogni parallelogramma i complementi dei parallelogrammi posti intorno alla diagonale sono uguali tra loro” Libro I - Elementi di Euclide, Proposizione 43

Da QUI

Per lo gnomone, guardate QUESTA PAGINA.

E noi, abbiamo incontrato gnomoni nelle nostre attività?

Direi di sì! E ...

 Divertitevi!  Siamo pure in vacanza Triste Oh lo so che voi sorridete, altroché. Seppure senz’acqua!

Ma, spiegate il teorema!! Valuto ...Sorriso

Aggiorno

Riporto le dimostrazioni.

Gabriele:

soluzione teorema gnomone

Stefano:

soluzione teorema gnomone

Oggi in seconda abbiamo discusso il teorema.

La dimostrazione di Marco D. si può vedere sull'applet poiché Marco spiega passo a passo: c’è qualche integrazione, frutto della discussione in classe.

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