Dall’inversa della potenza …

Maria Chiara, Erica, Letizia e Gabriele

relazionano sui Numeri quadrati… di Pitagora 

Ma, “abbiamo iniziato dicendo…”  dice Letizia. Ed ecco il testo collettivo.

Pochi giorni fa abbiamo scoperto l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.

Dato che l’elevamento a potenza mi permette di associare due numeri (base, esponente) a un terzo (potenza) moltiplicando il primo per se stesso tante volte quante me ne chiede il secondo,

se mettiamo che l’esponente sia 2, per estrarre la radice quadrata di un numero “n” devo trovare quel numero che moltiplicato per se stesso mi dia il numero considerato: per esempio se prendo in considerazione 64 la radice quadrata è 8.

Consideriamo invece un cubo da costruire con 64 cubetti: di questo cubo vogliamo sapere qual è lo spigolo. Attraverso la simbologia mi esprimo nel seguente modo: x³ = 64.
Quindi devo trovare quel numero che elevato 3 mi dà 64 (che è 4). Ma non importa il risultato: ciò che ci serve sapere è che l’estrazione di radice è quell’operazione che mi permette di trovare la base che non si conosce. 4 è la radice cubica di 64, ma più frequentemente è usata la radice quadrata [da noi…], indicata con il simbolo “√”.

Vediamo degli esempi di numeri elevati alla seconda:

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4²= 16

5² = 25

6² = 36

I risultati sono i cosiddetti numeri quadrati perfetti perché un qualsiasi numero intero moltiplicato per sé stesso (quindi alla seconda) mi dà uno di essi, quindi sono numeri la cui radice quadrata è un elemento di N.

La radice quadrata di questi numeri è perciò, perfetta, è esatta ed è un numero intero, ma provate a trovare la radice quadrata di 3, o di 5, o anche di 7: per averla devo ricorrere ai decimi, ai centesimi o ai millesimi, il che non la rende un numero intero. Radici quadrate così vengono chiamate infatti approssimate.

Ma torniamo ai numeri quadrati: avranno fatto bene a chiamarli così? Per saperlo dobbiamo andare indietro nel tempo, ai tempi di Pitagora che pensò bene di utilizzare dei sassolini per rappresentare i numeri e fece nel seguente modo:

 

… come abbiamo visto q u i

se osservate bene il numero di sassolini con cui riuscì a fare il suo “esperimento”, sono i nostri numeri quadrati. Per costruire dei quadrati, doveva essere un NUMERO QUADRATO PERFETTO. Quindi secondo voi hanno fatto bene a chiamare 1  4  9  16  25 ecc. numeri quadrati? Secondo me si!

Ma non è finita qui. Pitagora provò anche un altro esperimento: provò a sottrarre a ogni numero quadrato il suo precedente:

1 - 0 = 1

4 - 1 = 3

9 - 4 = 5

16 - 9 = 7

25 -16 = 9

Ottenne i numeri dispari. Noi abbiamo indagato sulla regolarità, il problema della scheda… 

Giovanni è stato il primo a scoprirla: ogni numero quadrato si ottiene dalla somma dei numeri dispari, in successione…

Per esempio il 4 si ottiene da 1 + 3, il 9 si ottiene da 1 + 3 + 5 e così via.

Lo dimostriamo anche con excel.

Per ottenere in excel la successione dei numeri quadrati è nata l’esigenza di fissare il primo numero dispari da sommare e ampliare via via l’intervallo, quindi abbiamo utilizzato i riferimenti assoluti. Le formule in figura sono state poi copiate lungo le righe (e le colonne).

Il file num.quadrati.xls si può scaricare.

Ragazzi,

ora posso segnalarvi Numeri quadrati e numeri rettangolari (che ormai avete scoperto…)  da maestra Renata. E’ un incrocio di link (!), ma vi rimando per vedere i numeri quadrati e rettangolari con GeoGebra e anche per eseguire gli esercizi con GeoGebra, che maestra Renata propone attraverso un simpaticissimo gufetto! Occorre cliccarci sopra.

[Esercitazioni] Quadrati perfetti in Excel

In seconda cominciamo a parlare dell'operazione inversa dell'elevamento a potenza 2...
Anna Laura ha evidenziato i quadrati perfetti nella tavola della moltiplicazione in Excel

Il lavoro di Annalaura, quadrati perfetti_excel.xls
Nota per ALaura (e per tutti -alunni-): come ho detto più volte, la larghezza delle colonne va ridotta per ricavare l'immagine per il blog! L'ho fatto ancora io!!! :-)

Come si riconosce un quadrato perfetto, Funzione RADQ(), estrazione di radici in Excel

La nostra indagine sull'estrazione di radice continua...
Abbiamo potuto constatare che non tutti i numeri naturali sono quadrati di altri numeri.
I ragazzi, giustamente, pur non conoscendo la terminologia specifica, nel corso del lavoro hanno esclamato di aver costruito con 16 piantine un "quadrato perfetto"!
Hanno poi ricordato: "ah... i numeri quadrati...". Non è stato perciò difficile dedurre che con un numero di oggetti non quadrato, non è possibile costruire forme quadrate.

Abbiamo stabilito quindi che un numero è un quadrato perfetto se esso è il quadrato di un altro numero ovvero:
dato un numero razionale, esso è un quadrato perfetto se esiste un altro numero razionale che, elevato alla seconda potenza, ci da esattamente il numero dato.
Il concetto di "quadrato perfetto" si può infatti estendere anche ai numeri razionali che non sono naturali, Es: 2,25 è il quadrato di 1,5; 1,44 è il quadrato di 1,2, ecc...

Ci siamo occupati dunque di riconoscere i numeri quadrati perfetti.
Irene ci dice...

Abbiamo costruito una tabella, in una colonna i primi 10 numeri naturali, nell'altra i loro quadrati:

Osserviamo le ultime cifre a destra, dei numeri quadrati.
Siccome sappiamo come si esegue una moltiplicazione in colonna, anche con numeri di più cifre, possiamo dire che un numero quadrato perfetto può terminare, a destra, con una delle cifre: 0, 1, 4, 5, 6, 9.
Attenzione: se un numero termina con queste cifre NON vuol dire che sicuramente è quadrato perfetto! Es: 26 non è quadrato perfetto!
Possiamo invece dire che: un numero non è quadrato perfetto se l'ultima cifra a destra è: 2, 3, 7 o 8.
Altre osservazioni:
Se un numero naturale termina con uno zero, il suo quadrato termina con 2 zeri.
Es: 10, 10^2=100
Se un numero naturale termina con 2 zeri, il suo quadrato termina con 4 zeri.
Es: 100, 100^2=10.000
Se un numero naturale termina con 3 zeri, il suo quadrato termina con 6 zeri
Es: 1000, 1000^2=1.000.000
Insomma diciamo che:
un numero naturale che termina con un numero dispari di zeri NON è quadrato perfetto.
Es: 36.000 non è quadrato perfetto perché termina con 3 zeri.

... Siamo poi andati in aula informatica per lavorare con Excel sulle radici quadrate e scoprire come sono fatte le radici quadrate di numeri non quadrati perfetti.
Abbiamo fatto in tempo a conoscere e usare le formule che ci permettono in Excel di estrarre le radici.
Per la radice quadrata esiste la funzione: RADQ().
Es, se in cella A1 mettiamo un numero, la formula: =RADQ(A1) ci restituisce la radice quadrata di quel numero.
Poi abbiamo faticato un po', ma ci siamo arrivati, a scoprire un'altra formula.
La radice quadrata è l'operazione inversa dell'elevamento alla potenza 2.
Quindi possiamo scrivere che la radice è: numero ^(1/2), cioè il numero elevato all'esponente inverso del numero 2 [Emanuele ci ha aiutato dicendo: numero^(-2), ma -2 è l'opposto di 2!]
Possiamo scrivere anche: numero ^0,5
In Excel, le formule sono:
=A1^(1/2) oppure =A1^0,5
Nel primo caso bisogna stare attenti a mettere 1/2 dentro le parentesi tonde, perché l'elevamento a potenza ha la precedenza sulla divisione e Excel, senza le parentesi, =A1^1/2, farebbe: =A1^1, cioè A1 e poi diviso 2!
Per le altre estrazioni di radici non c'è una funzione apposita ma possiamo applicare le formule appena viste.
Es: come si trova la radice cubica di 8?
Radice cubica è inversa dell'elevamento alla potenza 3.
Formula in Excel: =8^(1/3)
In generale: =A1^(1/3)

Irene II A