Rapporti e proporzioni

II,

per ripassare e allenarsi per la verifica di Sabato.

1. Un test on line: Rapporti e proporzioni. Con valutazione e soluzioni

2. Un bel PDF da scaricare. Aprite, salvate sul vostro pc e eseguite gli esercizi: non è detto che dobbiate risolvere tutti i problemi fino in fondo ma, qualcuno sì!

3. Rapporti e Proporzioni(con animazioni FLASH):  interessante la prima parte su: Grandezze, Rapporti tra grandezze omogenee e non, ecc...

Proporzioni

Per la II

Come promesso, ecco il lavoro per cominciare con le proporzioni.

Clic su img. Trovate indicazioni sull’applet.

[antecedenti e conseguenti li abbiamo già visti con i rapporti, vero?]

Sulle proporzioni potete inoltre scaricare questo excel

Eccone un’immagine

Attività "Griglie", sulla proporzionalità

Stamane ho cominciato a proporre a una parte della classe (attività a classe suddivisa, per gruppi), le situazioni di cui al post precedente....
La relazione dei ragazzi (spiegano i loro ragionamenti):

Irene, Alessandra e Laura:
Attività GRIGLIE
Abbiamo continuato la sequenza delle figure, aggiungendo sempre una riga e una colonna e calcolando il numero dei quadrati:
Ci siamo accorti che 120 quadrati si potevano ottenere ma 240 no.
Quindi avevamo trovato la risposta!
La prof ci ha detto che era giusto, ma che avevamo seguito un metodo un po' "empirico" (ci ha detto, parolina nuova. Dal greco empeirìa = "esperienza"), cioè avevamo calcolato sperimentalmente, con il calcolo caso per caso, che non si potevano ottenere 240 quadrati e 120 sì.
Ci ha chiesto se potevamo trovare qualche spiegazione che dimostrasse maggiore consapevolezza...
Noi abbiamo detto che anche trovando 120, non potevamo raddoppiare perché così non si rispettava il rapporto.
La prof: mmhh... (ma come quando ci si schiarisce la voce...)
Abbiamo impiegato un po' a capire che così non andava. Ma non sapevamo trovare spiegazioni.
Allora la prof ci ha chiesto: secondo voi cosa vuol dire aver veramente capito un argomento o una proprietà?
Risposte: applicare, utilizzare... consapevolezza..., riconoscere.
Ecco: riconoscere! ha detto la prof.
E cosa vuol dire riconoscere???
Alessandra: identificare.
Giusto....
Ma... non riuscivamo ancora a "partorire" niente! (lo ha detto la prof!)
Allora la prof ci ha detto che anche NON identificando o riconoscendo una proprietà, si può essere bravissimi!!!
Oh, da questo abbiamo capito che ... la proporzionalità in qualche situazione poteva esserci oppure no.
Nel caso delle griglie, le figure non ingrandiscono rispettando una proporzionalità!

L'ora ormai alla fine, ho chiesto solo di avviare il secondo quesito: Altezze.
Emanuele, dalla bella mente ma brontolone, quasi seccato, ha esclamato appena letto: "ma NON si può calcolare! Che ne so quanto è cresciuta!"
Gli ho chiesto solo di essere un po' più gentile! :-)

Le proporzioni, la proporzionalità. Applicazioni_2

Ancora qualche attività sulla proporzionalità.

2) Griglie (Jaquet, 2000)
Da una griglia all’altra, si aggiunge una riga e una colonna di quadrati. Continuando così, si troverà una griglia di 120 quadrati?
E una griglia di 240 quadrati? Spiegate il vostro ragionamento.

3) Altezze (Chastellain, Jaquet, 2001)
Ophélie era alta 83 cm a 2 anni e 1,66 m a 16 anni.
Puoi dire quanto è alta Ophélie oggi, che compie 32 anni?
E quanto era alta a 1 anno, 4 anni, 8 anni?

4) Decorazioni
Un pittore ha dipinto quattro figure diverse su un muro. Ha utilizzato dei barattoli di colore della stessa grandezza:
18 barattoli di rosso per una figura,
21 barattoli di blu per un’altra figura,
27 barattoli di giallo per un’altra figura ancora e
alcuni barattoli di nero per la figura che resta.
Alla fine del suo lavoro, tutti i barattoli erano vuoti.
- Indicate il colore di ogni figura.
- Quanti barattoli di colore nero ha utilizzato?
Spiegate come avete trovato la risposta.

Devo ancora proporli alla classe...

Le proporzioni, la proporzionalità. Applicazioni.

La risoluzione di problemi nei quali interviene la proporzionalità
è spesso soggetta a errori caratteristici, confusioni, false piste. L'applicazione cosciente delle proprietà della linearità a partire dall'intuizione, richiede più di una riflessione...
Da una ricerca in rete riporto alcune attività da proporre in classe, che possono aiutare a far emergere difficoltà ed errori caratteristici.

1) Il puzzle (Brousseau, 1981)
L'insegnante propone agli allievi, suddivisi in gruppi di 4, la situazione seguente:
"A partire dal puzzle rappresentato in figura ogni allievo di ciascun gruppo riceve uno dei quattro pezzi. Poiché ogni gruppo dovrà ottenere un ingrandimento del puzzle,
- ogni allievo di ciascun gruppo ha il compito di fare un ingrandimento del proprio pezzo in modo da poter ricostruire l'intero puzzle ingrandito,
- il lato che misura 4 cm deve misurarne 6 sul puzzle ingrandito.
Naturalmente in ogni gruppo sarà necessario accordarsi sul metodo da seguire."

Si tratta di una situazione che fa venire alla luce la concezione (additiva) erronea del tipo:
Bisogna aggiungere 2 cm a ciascun lato per fare l'ingrandimento richiesto.
Per arrivare alla realizzazione concreta, è necessario rinunciare alla concezione additiva (erronea) della situazione (Grugnetti, 1996).

Ho proposto tale situazione in III. I ragazzi descrivono l'attività, il metodo seguito e le soluzioni a cui sono giunti.
Scrive Alessandra per il gruppo A:
La prof. ci ha disposto in gruppi da quattro, nei quali ogni componente aveva un compito ben preciso. Dopo averci dato la libertà di scegliere il nostro compito, la professoressa ci ha fornito un foglio su cui c’era scritto l’esercizio.
Il mio compito era supportare nei calcoli i membri del gruppo, qualora ci fosse stato bisogno; Irene aveva il compito di coordinare le proposte ed era la portavoce al momento di relazionare agli altri i risultati; Silvia doveva fornire al gruppo gli strumenti necessari per svolgere il lavoro (ad es. riga, forbici, colla…); Daniele doveva moderare il tono di voce dei componenti.
Dovevamo riportare la figura ingrandita, sapendo che il lato del trapezio B che misurava 4 cm diventa di 6 cm.
Daniele in un primo momento ha proposto: siccome il lato di 4 cm diventa di 6 cm, allora anche gli altri bisogna farli aumentare di 2 cm. Ma avevamo intuito che in questo problema bisognava usare le proporzioni, e io gli ho fatto notare che così non si rispettava il rapporto di 4:6. Irene era d'accordo con me.
Quindi abbiamo deciso che per calcolare le nuove misure di tutti i lati andava applicata la proporzione:
4 : 6 = misura (conosciuta) figura: misura (incognita) figura ingrandita.
Es: 4 : 6 = 5 : x
Abbiamo eseguito i seguenti passaggi:
• applicato la proprietà fondamentale, la quale prevede che il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi;
• quindi diviso il prodotto dei medi per l’estremo conosciuto, e trovata l’incognita x.
Abbiamo utilizzato questo procedimento per scoprire i lati incogniti delle altre figure.

La prof ci aveva dato un altro incarico, stavolta comune a tutti: alla fine dell'attività dovevamo fare l'autovalutazione e la valutazione del compito svolto dai nostri compagni.
Alla prof è piaciuto come abbiamo svolto quest'ultimo incarico. Abbiamo detto la verità, per es:
"Daniele doveva intervenire per moderare i toni del gruppo, ma eravamo noi a dover intervenire a volte su di lui!"

Ale

Laura per il gruppo B (riporto la procedura seguita dal gruppo):
Per ingrandire la figura abbiamo bisogno delle proporzioni. La prima osservazione è stata fatta da Emanuele che ha detto: 4 cm sono diventati 6 cm; bisogna sommare a 4 la sua metà. Si può applicare lo stesso ragionamento a tutti i lati da ingrandire.
Ci è sembrato che il suo ragionamento filasse e quindi abbiamo provato a scrivere una proporzione per un lato, per es. il lato da 5 cm:
[(1/2 * 5) + 5] : [(1/2 * 4) + 4] = 5 : 4
[2,5 + 5] : [2 + 4] = 5 : 4
7,5 : 6 = 5 : 4
Questi numeri sono in proporzione: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, 6*5 = 7,5*4
Quindi il lato da 5 cm diventa di 7,5 cm.
Abbiamo impostato la stessa proporzione per calcolare le misure di tutti i lati ingranditi.
Verificavamo sempre l'esattezza delle proporzioni. I rapporti erano uguali e la proprietà fondamentale era rispettata.
Per quanto riguarda la valutazione e autovalutazione... noi siamo stati "poco obiettivi"! (ha detto la prof! :-))

Laura

Nicola per il gruppo C (metodo seguito):
Delia ha detto dapprima: forse dobbiamo aumentare di 2 cm ogni lato... Ma ho fatto notare che bisognava rispettare il rapporto 4 : 6. Allora Delia si è corretta: il quadrato ingrandito è in rapporto di 3 : 2 rispetto all'altro!
Quindi per scoprire tutti i lati richiesti bisognava applicare per ogni lato il rapporto 3 : 2.
Abbiamo applicato l'operatore 3/2 a ciascuna misura originale:
Es.:
3/2 * 5 = 7,5
il lato da 5 cm diventa di 7,5 cm,
3/2 * 7 = 10,5
il lato da 7 cm diventa 10,5 cm
e così per gli altri lati.
Noi abbiamo consegnato per primi la nostra relazione e siamo stati abbastanza giusti nel giudicarci...

Nico

[Matematica nella storia] Le prime teorie sulle proporzioni

La teoria delle proporzioni ha radici molto profonde....
Già i Babilonesi utilizzavano proporzioni per risolvere i problemi. È però da attribuire ai Pitagorici lo sviluppo di una vera e propria teoria delle proporzioni, viste da questi filosofi-matematici come relazioni puramente numeriche, mentre più tardi vennero interpretate come relazioni tra grandezze geometriche.
Pitagora visse nel VI secolo a.C. in Grecia, ma conobbe i matematici babilonesi, dai quali apprese, ad esempio, l'uso delle proporzioni.
I Pitagorici consideravano il «numero» come base di ogni cosa: ogni numero aveva un significato e influiva sulla vita delle persone, un po' come i segni zodiacali per gli astrologi.

La scuola pitagorica continuò la sua attività ancora per diversi secoli: la caratteristica di questa scuola fu la netta distinzione tra
• lo studio della teoria dei numeri in sé e per sé a cui i Pitagorici si dedicavano con passione, quasi con fanatismo, e
• lo studio delle tecniche di calcolo, che veniva chiamato logistica e di cui essi non si occuparono minimamente.

La «numerologia» è una tradizione che incuriosisce e interessa ancora oggi molte persone.
Per matematici che tenevano in tanta considerazione il numero, la proporzione, che offriva un'immagine così ricca di regolarità, era certamente molto intrigante.
Infatti, partendo da tre relazioni fondamentali, che Pitagora aveva appreso nel corso dei suoi viaggi in Mesopotamia, la scuola pitagorica si dedicò allo studio delle proporzioni fino a costruire un complesso armonico e coerente.

Le tre specie di proporzioni, che costituivano il fondamento delle teorie dei Pitagorici, possono essere così descritte, usando l'attuale linguaggio matematico.

1. PROPORZIONE ARITMETICA
4 numeri a, b, c, d sono in proporzione aritmetica quando
b + c = a + d
ossia quando la somma dei medi è uguale a quella degli estremi.

2. PROPORZIONE GEOMETRICA
4 numeri a, b, c, d sono in proporzione geometrica quando
a * d = b * c
ossia quando il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi.

3. PROPORZIONE ARMONICA
4 numeri a, b, c, d sono in proporzione armonica quando
1/b + 1/c = 1/a + 1/d
ossia quando i loro reciproci sono in proporzione aritmetica.

Sulla base di queste tre proporzioni, la scuola pitagorica elaborò un sistema di dieci uguaglianze (dieci è il numero perfetto secondo i pitagorici), ognuna delle quali esprime una relazione fra tre numeri, a, b e c, quando b è un medio proporzionale tra a e c (proporzione continua).

Le dieci uguaglianze sono le seguenti:

1) a-b=b-c (proporzione aritmetica)
2) a:b=b:c (proporzione geometrica)
3) a:c=(a-b):(b-c) (proporzione armonica)
4) a:c=(b-c):(a-b) (proporzione subcontraria)
5) b:c=(b-c):(a-b)
6) a:b=(b-c):(a-b)
7) a:c=(a-c):(b-c)
8) a:c=(a-c):(a-b)
9) b:c=(a-c):(b-c)
10) b:c=(a-c):(a-b)

Nella proporzione aritmetica la relazione è di tipo quantitativo perché un estremo ha sul medio "la stessa eccedenza che il medio ha rispetto all’altro estremo."
Al contrario nella proporzione geometrica la relazione fra i termini è di natura qualitativa, poiché è "una relazione di rapporti."
Diversa da entrambe la proporzione armonica, che stabilisce l’uguaglianza del rapporto degli estremi e di quello fra la differenza dei termini più grandi e la differenza dei termini più piccoli, come esprime la formula citata.
Tale proporzione è detta armonica perché su di essa si basano i rapporti fra le corde degli strumenti musicali, rapporti che danno luogo a suoni determinati.

Alle tre proporzioni, aritmetica, geometrica e armonica, corrispondono, rispettivamente, la medietà (o media) aritmetica,
semisomma degli estremi
$b = \frac{(a+c)}{ 2}$

la medietà geometrica,
radice quadrata del prodotto degli estremi:
$b= \sqrt{ ac } $

e la medietà armonica,
quoziente ottenuto dal doppio prodotto degli estremi e dalla loro somma:
$b = \frac{2ac}{(a+c)}$

Questa interpretazione trovava appunto delle incoraggianti conferme nello studio della musica; infatti considerando i due toni che definiscono l'intervallo di ottava (do grave e do acuto) come termini estremi a e c di una proporzione, risulta che, essendo essi in rapporto di 1/2, la loro media aritmetica
è b = (2+1)/2 = 3/2
mentre la loro media armonica è
b = 2(2*1)/(2+1) = 4/3.
L'intervallo di quinta è quindi la media aritmetica tra due toni distanti di un’ottava, mentre quello di quarta ne è la media armonica.
Quanto alla proporzione geometrica, essa mette in relazione le due medie, essendo
2 : 4/3 = 3/2 : 1.

"In proporzione... Che sproporzione! ..."

Ragazzi, nella vita di tutti i giorni si fa riferimento alle proporzioni, non sempre in termini rigorosamente matematici.
Leggete con attenzione i due esempi che seguono e poi rispondete ai quesiti.

In proporzione...
Una signora che cerca casa per il suo figliolo, si lamenta: "Certo che l'affitto di un appartamento piccolo è, in proporzione, più alto dell'affitto di un appartamento grande!"
Cosa intende dire?
Spiegatelo cercando di essere precisi:
- individuate le grandezze in gioco,
- costruite i due rapporti e metteteli a confronto ( › , ‹ , =)

Che sproporzione! Ma non c'è proporzione!
Nelle frasi che seguono si fa riferimento alla proporzione, ma si parla di un solo rapporto.
- Tutto questo cibo è sproporzionato rispetto al mio appetito
- Questa sedia antica è molto bella, ma la sua altezza è sproporzionata rispetto al tavolo.
- Questo frigorifero è molto piccolo per voi che siete in tanti. Non c'è proporzione!
In realtà c'è sempre un altro rapporto a cui si pensa per un confronto, altrimenti non si parlerebbe di proporzione.
- Per ogni caso indicate di quale rapporto si tratta.
- Costruite, per ogni frase, i due "rapporti" della proporzione e metteteli a confronto ( › , ‹ , =).

Ad es. per la prima frase:
quantità di cibo : livello di appetito › quantità di cibo usuale : livello di appetito usuale

In generale quando ci si esprime mediante una frase del tipo precedente si fa riferimento a un rapporto teorico: cercate di spiegare come nasce nella nostra mente una frase di quel tipo.

[Matematica nella storia] L'accademia di Platone e Eudosso di Cnido

Il concetto di rapporto...
Nel IV secolo a.C. ad Atene, un momento d'oro della civiltà greca, la scuola più importante era l'Accademia di Platone.
Platone (428/427-348/347 a.C.) era un «leader» degli intellettuali dell'epoca, e godeva grande fama anche da un punto di vista pedagogico, pertanto la sua Scuola era frequentata dalla migliore gioventù della città.
Sulla porta della scuola era scritto: Non entri nessuno che sia ignorante in Geometria.
La geometria era una delle cosiddette sette arti liberali: la geometria, l'aritmetica, la musica, l'astronomia, la grammatica, la retorica e la dialettica, il cui insegnamento costituiva allora, ed è stato per molti secoli, la base dell'educazione scolastica.
Platone in prima persona si occupò di matematica solo marginalmente, ma lasciò sicuramente una forte impronta culturale. A lui si deve infatti il consolidamento della netta distinzione, di scuola pitagorica, tra:
• aritmetica: studio della teoria dei numeri in quanto aventi una propria essenza e dignità, studio adatto a elevare la mente su un piano di ragionamento astratto
e
• logistica: studio delle regole di calcolo, studio adatto a chi si occupa di affari o di guerra, a chi doveva operare su oggetti concreti, fossero uomini o anfore d'olio, a chi doveva sommare, moltiplicare o suddividere.

Un'analoga suddivisione egli prevedeva per la geometria.
Dalla scuola di Atene uscirono pertanto importanti matematici con l'impronta platonica del privilegio assoluto della matematica teorica su quella applicativa.
Questo portò sicuramente a un ampliamento delle conoscenze e alla costruzione di importanti impianti teorici, ma lasciò campo libero ad esempio agli indiani e agli arabi per quanto riguarda l'aspetto certamente pratico ma fondamentale della scrittura dei numeri.

Il concetto di rapporto, per il legame che crea tra due numeri, era sicuramente molto interessante per i teorici della scuola di Atene, ma rimase sempre piuttosto indefinito in sé e per sé.
Maggiori attenzioni ebbe l'uguaglianza di due rapporti, cioè la proporzione.
Chi si dedicò in modo particolare a questi studi e ne ricavò le osservazioni più durevoli fu Eudosso di Cnido (408 - 355 a.C.), che per un certo periodo fu allievo di Platone in persona.

Prima degli studi di Eudosso per i matematici greci era difficile accettare l'esistenza di un rapporto che non si presentasse come il rapporto tra un numero intero e un altro numero intero. In questo modo, ad esempio, non era possibile considerare il rapporto tra 1 e √2 (la lunghezza del lato del quadrato, considerata come unità, e la sua diagonale).
Eudosso diede invece una rivoluzionaria definizione di rapporto perché permetteva di prendere in considerazione qualunque tipo di numero.
Si dice che due grandezze sono in rapporto tra loro quando si può trovare un multiplo dell'una che superi l'altra. Questa affermazione è generalmente nota come «Assioma di Archimede», ma è lo stesso Archimede che ne attribuisce la paternità a Eudosso.

Osservate che questa definizione elimina molte complicazioni dovute alla presenza dello 0, in quanto lo esclude come numero che possa far parte di un rapporto. Infatti nessun multiplo dello 0 può essere maggiore di un altro qualunque numero diverso da 0.

Esercizi per i ragazzi:
1) Avendo letto il testo precedente, avrete letto la differenza fra aritmetica e logistica.
Esaminate i seguenti casi e indicate per ogni situazione se ci si occupa di aritmetica o di logistica:
- il calcolo di quanto spenderò oggi per la spesa;
- lo studio delle proprietà delle operazioni;
- l'applicazione della proprietà invariantiva della divisione per semplificare i calcoli;
- il calcolo dello sconto che mi è stato fatto quando ho acquistato la bicicletta;
- lo studio delle operazioni interne agli insiemi N, Q, R.

2) Dopo aver riletto la definizione di rapporto data da Eudosso, applicatela alle seguenti coppie ordinate di numeri:
(7; 30) (12; 50) (36; 9) (42; 14)

Magica matematica

A proposito di rapporti e proporzioni,
come resistere alla tentazione di parlare di un noto rapporto "magico"?
Il rapporto aureo, la Sezione Aurea, il numero d'Oro, la "proporzione divina"
Un rapporto che ci dimostra le forti relazioni tra "Armonia", "Bellezza" e "Matematica".

"La Geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l' altro è la Sezione Aurea di un segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d' oro; il secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello". Johannes Kepler [1571-1630]

Scopriamo la magia della matematica, la magia dei numeri!

Sin dai tempi più antichi, dagli egiziani ai più moderni frattali, esiste una proporzione divina (o sezione aurea) che è stata presa in considerazione per ottenere una dimensione armonica delle cose. Dalla geometria all'architettura, dalla pittura alla musica, fino alla natura del creato possiamo osservare come tale rappresentazione corrisponda ad un rapporto che è stato definito pari a 1,618... (numero d'oro)*

La pianta del Partenone di Atene è un rettangolo con lati di dimensioni tali che la lunghezza sia pari alla radice di 5 volte la larghezza, mentre nell'architrave in facciata il rettangolo aureo è ripetuto più volte.

Anche nella progettazione della Cattedrale di Notre Dame a Parigi e del Palazzo dell'ONU a New York sono state utilizzate le proporzioni del rettangolo aureo.

Nelle arti del passato, in molte opere di Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, Bernardino Luini, Sandro Botticelli, si ricorreva spesso alla sezione aurea (la divina proportione), considerata quasi la chiave mistica dell'armonia nelle arti e nelle scienze.

Anche nella musica, Beethoven, nelle "33 variazioni sopra un valzer di Dabelli" suddivise la sua composizione in parti corrispondenti ai numeri di Fibonacci*, il cui rapporto corrisponde al numero d'oro.

Negli oggetti quotidiani, possiamo trovare alcuni esempi di sezione aurea: dalle schede telefoniche alle carte di credito e bancomat, dalle carte SIM dei cellulari alle musicassette. Sono tutti rettangoli aurei con un rapporto tra base ed altezza pari a 1,618.

Per quanto riguarda il corpo umano troviamo misurandolo, il fatidico rapporto aureo: altezza totale/altezza da terra dell'ombelico; lunghezza braccio/avambraccio; lunghezza gamba dall'anca/gamba dal ginocchio; nel rapporto tra falange, falangina e falangetta delle dita; tra le diverse sezioni della colonna vertebrale ...

La sezione aurea in natura

* Il numero d'oro "phi"

Dietro l'idea di armonia e di perfezione, nella natura come nell'arte, si nasconde un numero il cui valore non è esprimibile in cifre decimali se non in forma approssimata: 1,618034... Si tratta infatti di un celebre numero irrazionale: il numero d'oro, che all'inizio del secolo scorso, il matematico americano Mark Barr propose di indicare con la lettera greca "phi", dall'iniziale di Fidia, il grande scultore greco che lo ebbe sempre presente nel realizzare le sue sculture e nella costruzione del Partenone di Atene.

Il suo valore esatto è:

Un metodo per ottenerlo servendoci di una calcolatrice, è partire da 1, ed estrarre la radice quadrata secondo questo schema:

Ripetendo la stessa operazione n volte, otterremo un numero molto vicino al numero d'oro (dopo l'undicesima radice si ottiene 1,618034). Tra le numerose proprietà del numero aureo, il "phi" è l'unico numero positivo che mantiene le stesse cifre decimali anche nel proprio reciproco, Infatti 1/1,618034 = 0,618034.....

Il rapporto 1:1,618.. è stato, sin dai tempi più antichi, preso in considerazione per costruire opere la cui armonia é dettata dalla "divina proporzione" tanto da nominarla Sezione aurea.

Su QUESTA PAGINA potete scaricare la costruzione della sezione aurea realizzata con Geogebra (per i miei alunni: l'occasione per scaricare il programma)

[Aggiornamento - 02/01/2010] Segnalo anche qui

Il manoscritto di Milano del «De Divina Proportione»

ne parlo QUI

* I numeri di Fibonacci
Il numero "magico" trova ulteriori conferme anche nella matematica dei numeri arabi ...

Quei numeri su cui aveva studiato un altro Leonardo, detto Fibonacci, che nel 1202 presentò una sequenza numerica destinata a diventare famosissima:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ecc...

Sulla serie di Fibonacci qui non vi dico di più. Scopriamola con EXCEL

Intimamente legata ai numeri di Fibonacci è la spirale logaritmica, a dimostrazione degli esempi sulla sezione aurea in natura.

ciao! :-)

P.S. nello scrivere questo post il mio pensiero è andato a Caterina D.

Le proporzioni

In Excel
QUI si può scaricare un lavoro sulle proporzioni. Ci si può esercitare nella risoluzione di proporzioni e nell'applicazione delle loro proprietà.
Per eventuali richieste di chiarimenti o segnalazioni di qualsiasi genere, potete lasciare un commento.

ciao!

La foto ... consapevolezza e padronanza di concetti.

Ciao ragazzi,
mi sembra interessante integrare l'articolo La Foto di Giuseppina, per ribadire ancora qualche concetto che nello svolgimento dell'attività si è rivelato (forse inaspettatamente) un po' difficile da interiorizzare!
Il lavoro ci è servito a consolidare abilità specifiche, a sviluppare capacità di utilizzare le stesse in situazioni reali (competenze --> la vita).
Riepiloghiamo i risultati positivi:

• corretto utilizzo dei concetti di rapporto, proporzione, riduzione in scala, proporzionalità;
• consapevolezza della necessità di un riferimento concreto nella foto (oggetto da poter misurare realmente).

E le difficoltà incontrate:

• errata interpretazione delle proprietà dei rapporti e della legge di proporzionalità;
• scorretta impostazione di proporzioni;
• scarsa consapevolezza nel distinguere le funzioni di tipo empirico da quelle matematiche.

Avete faticato un po' nell'intuire la necessità di un riferimento ad un oggetto presente nella foto, tuttora esistente, quindi la necessità del rapporto di riduzione in scala.

E' stato utile ripensare ad un'attività da voi svolta con l'insegnante di Ed. Tecnica: realizzazione della pianta della classe. Avete misurato la cattedra, il banco ecc… "nella realtà", poi ridotto in scala tutti gli oggetti secondo il rapporto indicato dall'insegnante.
Abbiamo considerato che il vostro foglio da disegno, nel nostro problema, non era altro che ... la foto! E quindi il problema diventa: "dal disegno, come "tornare" alle misure reali?" Naturalmente sapevate farlo usando il rapporto di riduzione indicatovi dall'insegnante. Nel nostro problema non si conosce però il fattore di riduzione. Ma... Giuseppina ha pensato di misurare l'altezza del muretto nella foto e nella realtà...!
E poi, vi siete resi conto: in molti di voi c'è stata la tendenza a considerare l'altezza variabile in maniera proporzionale all'età.
E' bastato ricordarvi che abbiamo studiato le funzioni empiriche… ed ecco allora: "Aaaah! L'altezza non cresce in maniera direttamente proporzionale agli anni!" E anche: "Non si può calcolare con una formula matematica, a tavolino!" Già...! :-)
E infine qualcuno di voi ha proposto la soluzione, rapportando le differenze di altezze e le differenze di anni...: problema più complesso ma, ottima questa occasione!
Abbiamo ribadito il concetto di rapporto come quoziente, come frazione, quindi esso gode della proprietà invariantiva della divisione. Abbiamo ancora esaminato semplici casi di proporzionalità diretta...
Se si ha la proporzione: 6:2=12:4 il 6 e il 2 diventano rispettivamente 12 e 4 moltiplicandoli per lo stesso valore e non aggiungendo o togliendo da essi lo stesso valore! "Stiamo crescendo: dobbiamo superare il più immediato ragionamento additivo per passare a quello moltiplicativo!"
Infine... occhio alla matematica nella realtà! ;-)

prof. Arcadu

La foto

Saluto e ringrazio tutte le persone che stanno visitando il nostro blog. Io sono Giuseppina, della III A, e vi voglio trasmettere un'esperienza: come usare la matematica per risolvere problemi quotidiani.

Un giorno la nostra prof. di matematica, la prof Arcadu (che ha creato questo blog x noi alunni) è entrata in classe raggiante e ha detto: vi propongo un'attività che potremmo intitolare: "mettiamoci alla prova!"

Il nostro sguardo interrogativo e incuriosito …

E la prof ha continuato: nel corso dei nostri studi abbiamo imparato diverse cose, ci siamo esercitati, fatte verifiche orali e scritte, a volte positive a volte meno… E' interessante verificare se abbiamo acquisito anche degli strumenti rigorosi e non approssimativi per affrontare un problema quotidiano.

Per esempio: sapreste calcolare la vostra altezza all'età di 5 anni, servendovi di una vostra foto di quel periodo?

Compito: per la prossima lezione procurarsi la foto!"

II lezione.

Molti di noi portano la propria foto. Per semplificare il lavoro, la prof ci invita a sceglierne una sola sulla quale svolgere l'indagine. Ci piace molto la foto di Danilo a 5 anni scattata sulla neve di fronte al muretto di una piscina della pineta!

Cominciamo a proporre, a turno, le nostre soluzioni. La prof raccoglie alla lavagna i diversi interventi e ci chiede di non commentare per ora le soluzioni proposte. Qualche compagna prende appunti e registra ogni cosa!

Prima proposta:

"Misuro l'altezza del muretto della piscina nella foto, vado alla pineta e misuro "dal vero" l'altezza del muretto, per sapere di quanto hanno ridotto in scala nella foto. Poi divido la misura del muretto nella realtà per quella nella foto. Misuro anche l'altezza di Danilo nella foto e la moltiplico per il risultato della divisione precedente".

Seconda proposta: "Misuro l'altezza del bambino nella foto, l'altezza di Danilo oggi, considero gli anni trascorsi, poi con la proporzione: (anni-oggi):(anni-foto)=(h-oggi):(h-foto), calcolo l'altezza di Danilo nella foto che è l'unico temine che non conosco.

Altre proposte sono simili a questa, si considerano sempre gli anni trascorsi…Qualche nostro compagno propone di utilizzare due foto: quella che abbiamo e una foto attuale. Misurare le altezze nelle due foto, misurare l'altezza di Danilo oggi e poi dalla proporzione: (h-oggi):(h-foto-oggi)=(h-5anni):(h-foto-5anni), si può calcolare h-5anni.

Alcuni di noi dicono di non sapere come fare e non si esprimono.

Francesca, che interviene quasi per ultima, dice di essersi convinta che la prima soluzione proposta le sembra giusta.

Vi dico che la prima soluzione era la mia. Ehehe..!

Ormai è finita l'ora e la prof ci assegna il compito per la prox: provare a verificare sperimentalmente e con il calcolo o solo con il calcolo, le ipotesi proposte.

III lezione: discutiamo le proposte…. Non tutti abbiamo eseguito il compito. Seguiamo l'ordine degli appunti registrati e commentiamo tutte le ipotesi. Verifichiamo con i calcoli che molte soluzioni non sono corrette.

Non vorrei dirvi il risultato finale! Chiedo ai miei coetanei che ci leggono: come avreste risolto questo enigma? Mi piacerebbe molto leggere altre soluzioni del problema. Se volete, potete lasciare un commento, scrivendo la vostra risoluzione anche se sbagliata. Perché dovete sapere che "gli errori servono a tutti per migliorare….." dice la prof!

ciao,

by Giuseppina