I numeri triangolari

Ragazzi,

precisamente Rita, Beatrice, Stefano,

eh lo so, scordavo la vostra relazione... Eccola, pardon!

- Sintesi delle vostre due, Rita-Bea e Stefano

Dopo i numeri quadrati (somma dei dispari in successione)

e quelli rettangolari (somma dei numeri pari in successione),

nell’ultima attività ricreativa fra i numeri figurati abbiamo scoperto i numeri triangolari:

Stavolta abbiamo fatto la somma dei primi numeri naturali in successione. Così:

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

e così via.

Abbiamo trasformato la somma in puntini disposti per creare un triangolo

E così via …

Poi siamo andati dalla prof e ha detto che andava bene, ma per trovare la regola generale [qual è la somma di tot, n, numeri naturali] era meglio se li trasformavamo in triangoli rettangoli:

Anche in questo caso abbiamo pensato all’area del triangolo (b*h/2) ma abbiamo dovuto completare le figure. Il triangolo è la metà di un rettangolo e quindi:

                                                                   

Così è nata la formula per la somma di n numeri naturali:

n*(n+1) /2.

Attività sui numeri triangolari e somma consecutivi

I ragazzi di II raccontano le attività sui numeri triangolari, rettangolari e sulla somma di numeri consecutivi.
Riporto le loro relazioni ... da quaderni! (clic sulle immagini per leggere)
Sara:

Gimmi:

Saverio:

Maria:

Laura:

Anna Laura mi ha dato il lavoro su "pennino" per cui posso copincollare.
Parla anche lei dei numeri triangolari...
"… dopo la prof ci chiede: “secondo voi esistono i numeri rettangolari?”
E noi:”si” e la prof ci chiede di dimostrarglielo partendo dalle figure triangolari. Proviamo in tutti i modi poi scopriamo che a quelle figure triangolari ne dovevamo aggiungere un’altra uguale solo al contrario.
Es:

Parlando ancora dei numeri triangolari, la prof ci fa notare che essi non sono altro che la somma dei numeri naturali consecutivi.
Scrive alla lavagna la serie di numeri naturali in ordine da 1 a 10:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
e ci fa questa domanda:”come fate a fare la somma dei numeri naturali da 1 a 10 senza fare 1 + 2 + 3 e così via?”
Io spontaneamente senza quasi pensarci dico:”fai 1+9; 2+8 ecc” la prof dice che è quasi giusta ma potevo cambiare una piccola cosa ... e Giovanni Andrea dice:”fai 1 + 10; 9 + 2 …“
Notiamo che la somma: 1 + 10, 9 + 2, 8 + 3 cioè andando da un estremo all’altro è sempre uguale.
E la prof entusiasta (!) ci dice: ”questo giochino di contare da un estremo all’altro l’aveva fatto un bambino a 5 anni tanti anni fa…” e ci racconta la storia di Gauss, un grande matematico, la storia che tra l’altro è anche sul blog….
E poi ci chiede:”riuscite a trovare una formula per calcolare la somma dei numeri naturali in sequenza?”
Ebbene ci siamo riusciti aiutati o per meglio dire guidati dalla prof.
Allora, abbiamo notato che la somma era sempre 11 (degli estremi da 1 a10) quindi iniziamo così: (1 + n) * …
n rappresenta la quantità di numeri che voglio sommare.
Dallo schema alla lavagna:

abbiamo contato quanti 11 c’erano, ce n’erano 5 cioè proprio la metà dei numeri che volevamo contare quindi ora la formula diventa: (1+n) * ½ di n.
Questa formula serve per calcolare la somma dei numeri naturali partendo da 1.
Poi la prof ci chiede se, volendo sommare partendo da un numero diverso da 1, la formula rimarrebbe invariata.
Fa questo schema:

e Sara dice di sì perché si stanno sempre sommando gli estremi e quindi la formula se partiamo da un numero diverso da 1 sarà così: (a1 + an ) * …
a1 è il primo numero an è l'ultimo.
La somma degli estremi è 11; si ottiene per 3 volte, metà dei numeri che stiamo sommando. Quindi: 11* 3
Ma dovevamo trovare la formula generale per sapere quanti numeri si stanno sommando.
Abbiamo fatto tanti esempi e alla fine abbiamo capito che si fa:
(an - a1+1)
Quindi la formula diventa:
(a1 + an) * ½ * (an – a1 + 1)
Questa formula serve per calcolare la somma dei numeri naturali anche senza partire da 1.