Sia interno che esterno!

Ragazzi,

vi propongo (o proporrò ... ) una divertente costruzione.

Ricordate i nostri giochi topologici? Ebbene, la costruzione-esperimento che vado a proporvi ha qualcosa a che fare...

Per realizzarla vi servono (immagini da Internet):

Esecuzione:

1) Ritagliate una striscia di carta, lunga quanto il foglio e larga 6 quadretti, e chiamate i vertici come indicato:

2) Ora adoperate la striscia per fare un anello, ma prima di incollare i vertici fate un mezzo giro (tenendola per le estremità fate una torsione di 180°) in modo da far combaciare il vertice A con A’ e il vertice B con B’, poi incollate. Dovrete ottenere un anello simile a questo

Quella che avete costruito è una particolare superficie che non ha una faccia interna né una esterna e si chiama anello o nastro di Möbius, dal nome del matematico tedesco August Ferdinand Möbius, che nel 1858 si divertì a elaborarlo e lo utilizzò anche per incuriosire gli stessi colleghi matematici.

- Osservate ora un anello “normale”, cilindrico (costruitelo), e uno di Möbius e scoprite le sue particolarità.

- Esaminate un anello cilindrico

  - ha due bordi, uno inferiore e uno superiore; infatti per percorrerli entrambi con un dito dovete staccarlo da uno dei due bordi:

- ha due facce, una interna e una esterna; infatti per colorarle entrambe dovete staccare la matita da una delle due facce.

- Esaminate ora l’anello di Möbius

- ha un solo bordo; infatti se seguite il bordo con un dito potete percorrerlo tutto senza mai fermarvi e staccarlo;

- ha una sola faccia; infatti se colorate la sua superficie potete ricoprirla tutta senza mai attraversare il bordo per andare da una parte all’altra.

     Ma ancora un’altra curiosità che potete scoprire tagliando il nastro.

Tracciate una linea  a metà della sua larghezza (3 quadretti), tagliate il nastro lungo la linea: ottenete un unico nastro che non è più di Möbius!

- Costruite un altro nastro di Möbius

Tracciate una linea a un terzo della sua larghezza (2 quadretti); tagliate lungo la linea. Ottenete due nastri intrecciati: sono entrambi nastri di Möbius ?

    Vi suggerisco dei link per saperne di più...

QUI potete confrontare la costruzione e trovate anche dell’altro.

Da QUESTA PAGINA (leggetela!) sarete condotti a visualizzare delle bellissime animazioni.

Non perdetevi questa

Animazioni che potrete anche scaricare, QUI. Leggete bene in fondo alla pagina, può essere necessario scaricare un file da copiare sul vostro computer nella cartella Windows (fatevi aiutare, non combinate guai!)

Altre Immagini dalle animazioni:

 

E, ma sì, perché no. Guardatevi pure questo!

Buon divertimento!

Come fece Eulero …

Maria Chiara, Bachisio, Letizia e Gabriele,

ci raccontano l’attività sul gioco topologico e le conclusioni a cui sono giunti dopo ampia discussione in classe!

“Come fece Eulero” – titola Letizia.

“E’ incominciato tutto così – dice Maria Chiara, :-) - : la professoressa ha pubblicato un articolo sul blog dove ci proponeva di disegnare delle figure senza mai staccare la matita dal foglio e senza mai passare due volte nello stesso punto. Come prima impressione sembrava un esercizio molto facile. Ma provando con i disegni ci siamo accorti che sotto c’era qualche imbroglio perché non tutte le figure si potevano fare. Pensando e scervellandoci la soluzione non veniva …”

… Bisognava capire il perché e qui viene il bello! E’ necessario trovare una regola che permette di capire subito quali di queste forme si possono disegnare e quali no altrimenti sarebbe troppo complicato.

L’insegnante ci ha dato un aiutino: provare a evidenziare i punti dove si incontrano le linee.

Questo ha richiesto un po’ più di concentrazione che ha portato alla formulazione di alcune ipotesi:

1) abbiamo contato il numero di punti (vertici - per usare il linguaggio di Eulero) di ogni forma ipotizzando che le forme possibili ne avessero un numero ben preciso;

2) abbiamo contato il numero di linee (spigoli) di ogni forma supponendo che ci fosse un numero di linee stabilito.

Queste due ipotesi non hanno trovato riscontro, così ci siamo dovuti impegnare … molto!!! La soluzione doveva essere qualche altra…

La prof ci sollecita: se abbiamo segnato i punti di incontro delle linee, qualcosa dovrà pure dire…

E a un certo punto Letizia: “si devono contare quante linee si incontrano?”

E sì, c’eravamo! Ma non era finita!

3) Abbiamo contato il numero di linee che si incontrano in ogni punto scoprendo che in ogni punto si incontrano un numero di linee pari oppure dispari. Poi,

abbiamo riportato in una tabella le osservazioni su ogni figura, indicando le figure con delle lettere e, ci ha consigliato la prof,

separando per ogni figura il numero di punti in cui si incontra un numero di linee dispari oppure un numero di linee pari:

Figure	a	b	c	d	e	f
Numero di punti dove si incontra un n° di linee pari	4	1	4	2	5	6
Numero di punti dove si incontra un n° di linee dispari	6	4	2	2	0	0
Figure possibili	no	no	si	si	si	si

 E ora.. tutti a osservare la tabella …

Gabriele propone: il numero dei vertici in cui si incontrano spigoli in numero pari deve essere maggiore del numero dei vertici in cui si incontrano spigoli in numero dispari.

Maggiore… non basta. La prof ci fa disegnare un’altra figura dove questa regola non è valida.

Dopo varie riflessioni Gabri arriva a concludere che:

*il numero di “vertici dispari” deve essere o 2 o non ce ne devono essere*.

Solo con questa regola è possibile disegnare una figura senza mai staccare la matita dal foglio e senza ripassare nelle stesse linee.

Scopri la formula di Eulero!

Ragazzi,
Vi ricordo l’impegno di un’altra scoperta: la “regola” che permette di disegnare delle figure senza mai sollevare la matita dal foglio e…

Siete a buon punto: avete già verificato che a volte le figure si possono costruire, altre volte no, rispettando le condizioni!

In “Gioco topologico” vi ho detto anche che avremmo conosciuto una formula, la formula di Eulero, che in qualche modo potrebbe aiutarvi nel gioco topologico!

Intanto: Eulero?  Questo nome non vi è nuovo vero? Sì, è proprio l’Eulero dei diagrammi di Eulero-Venn, che utilizziamo per rappresentare graficamente gli Insiemi!
Leonhard Euler, italianizzato in Eulero, è il matematico svizzero vissuto nel ‘700, il cui nome è legato a “una lista impressionante di formule, teoremi, metodi, criteri, relazioni, equazioni...” !
Non studiò solo matematica, ma anche astronomia, biologia e tecnologia…
Per conoscerlo meglio andate a leggere
I "signori" Eulero e Venn
e anche
Ancora un omaggio a Eulero

Nel campo della matematica Eulero aveva un sacco di idee!  Tra le altre cose, disegnava dei punti che congiungeva con delle linee. E facendolo si mise a pensare a un possibile legame tra il numero di spigoli e il numero di vertici nelle diverse figure.

Eulero chiamava spigoli le linee e vertici i punti in cui si incrociano le linee. Indicava anche come regioni le parti di piano racchiuse dalle figure e quelle fuori da esse.
E trovò il legame tra vertici, spigoli e regioni! Contando il numero di vertici, il numero di spigoli e il numero delle regioni (dentro e fuori dalle figure, ricordate!) verificò che il risultato dell’operazione:
n° Vertici - n° Spigoli + n° Regioni
che, essendo un matematico, indicò con i simboli:
V – S + R
è sempre uguale a ….
andrete a scoprirlo!

Oggi, quasi 300 anni più tardi, la formula di Eulero, è una formula importante, usata tra l’altro in topologia. Per l’appunto!

La quantità: V-S+R viene detta anche “Caratteristica di Eulero” e la formula fu formulata anche per i poliedri, i solidi geometrici, e perfino per altre superfici come la sfera, ecc…

E ora, a scoprire la “caratteristica di Eulero” !

Clic sull’immagine per aprire l’applet GeoGebra. Stavolta utilizzerete anche il foglio di calcolo. E’ disponibile anche in Geogebra, lo sapevate?
Buon divertimento! :-)

Gioco topologico

Ragazzi (di prima),

Avvio qui un’attività ricreativa che realizzeremo poi tutti insieme. Intanto chi legge può cominciare …

Siete capaci di disegnare questa figura senza mai sollevare la matita dalla carta e senza mai ripassare su una delle linee?

 

 

 

 

E, quest’altra?

Riuscite a disegnarla senza alzare la matita dal foglio e senza ripassare su alcuna delle linee?

Quando avrete trovato la soluzione, provate voi a inventare delle figure.

Da disegnare sempre senza mai sollevare la matita e senza ripassare su nessuna delle linee.

Ecco qualche altra proposta: alcune di queste figure non si possono disegnare senza mai alzare la matita. Quali sono?

Questo è un gioco topologico: ha a che fare con spigoli e angoli. Cioè con il modo in cui si congiungono dei punti con delle linee, come si fa con una formula, la formula di Eulero, che conosceremo meglio in un altro post.

Avete dunque un piccolo suggerimento: evidenziate i punti che congiungono le linee (tutte le linee, rette e curve) o in cui le linee si incontrano e provate a individuare qualche differenza, o caratteristica …  Potete schematizzare i risultati in una tabella:

figura	qui il disegno o denominazione (a, b,…)	disegno o …
caratteristica	?	?
può essere disegnata senza …. (SI’ o NO)

Attività da “Ce li hai i numeri?” Editoriale scienza

Topologia: significa letteralmente studio dei luoghi (dal greco τοπος (topos), luogo, e λογος (logos), studio).

È anch’essa una branca della matematica. La topologia generale (o topologia degli insiemi di punti) definisce e studia alcune proprietà utili degli spazi e delle mappe, come la loro connessione, la continuità …

Intanto potete anche cominciare  a leggere e a giocare con Case, pozzi, strade, ponti... !

Case, pozzi, strade, ponti...

Direttamente da Splash ragazzi
(ragazzi, provate a sfidare in questo problema gli alunni della scuola primaria di maestra Renata!)
Vi ricordate quando lo scorso anno vi ho proposto il problema delle case e dei pozzi?

Dovevate cercare di collegare con delle strade ciascuna casa a ciascuno dei tre pozzi senza che le strade si intersecassero fra loro.

È stata dura! Infatti non ci siete proprio riusciti. Qualcuno di voi ci ha riprovato anche quest'anno.

Attenzione, vi propongo un altro quesito (famoso): il problema dei sette ponti di Königsberg.

È un problema ispirato da una città che un tempo si chiamava Königsberg. Ora è chiamata Kaliningrad e si trova in Russia.

Guardate la mappa:

Continuate a leggere cliccando sull'immagine.
Grazie Renata!:-)