giovedì 31 dicembre 2009

…e Buon Anno con … calendario Maya con geogebra!

Un caloroso G r a z i e  e un augurio di

un buonissimo 2010 a tutti i nostri lettori

Stavolta è il nostro Gabriele a regalarci per la fine dell’anno,

il Calendario Maya.

Lo ha voluto realizzare con Geogebra coinvolgendo anche il suo babbo! Evvai, geogebra cattura anche i genitori! … ah, come mi fa piacere! :-)

Gabri mi invia il lavoro, con presentazione, foto e …

CALENDARIO   MAYA foto 2

Recentemente la prof. ci ha proposto sul blog una lettura propedeutica che racconta come fin da tantissimi anni fa gli uomini si dovettero organizzare a conoscere e a misurare il tempo.
I babilonesi “costruirono” (5000 a.c.) i primi calendari basandosi sul fatto che una stella si “sposta” nel cielo e dopo un certo periodo torna ad occupare la stessa posizione.  La “costruzione “ di un calendario presupponeva comunque la conoscenza della geometria e della matematica..
Un altro popolo vissuto nell'America centrale, i Maya (1800 a.C. – 1530 d.C.)
[la foto è di Gabri],costruirono il loro calendario dimostrando profonde conoscenze astronomiche, geometriche e matematiche. 
Il calendario maya è un calendario molo elaborato, basato su più cicli di natura diversa:
il ciclo tzolkin (calendario religioso) che aveva una durata di 260 giorni;
Il ciclo haab  (calendario civile legato al ciclo delle stagioni) che aveva una durata di 360 giorni +5;
il lungo computo che era una numerazione progressiva  dei giorni del calendario religioso (260) e di quello civile (365) .
260 x 365= 18980  (circa 52 anni).
Per i maya costituiva una scadenza importante, si temeva sempre il rischio della fine del mondo.
 Lo tzolkin: calendario religioso basato su due cicli più brevi, uno di 13 giorni e l'altro di 20.
La combinazione di questi due cicli formava un ciclo unico di 260 giorni .
(13 x 20 = 260 ).
Ogni giorno entrambi i cicli avanzavano di uno seguendo  il primo una sequenza numerata da 1 a 13, il secondo seguendo una sequenza di nomi (20)
AHAU, IMIX, IK, AKBAL,  KAN, CHICCHAN ,CIMI,  MANIK, LAMAT, MULUC, OC, CHUEN,  EB, BEN, IX, MEN, CIB, CABAN,  ETZNAB ,CAUNAC.
L'insieme dei numeri da uno  a tredici  quindi si combinava  con  l'insieme dei 20 nomi (in modo molto simile al prodotto cartesiano che abbiamo visto a scuola).
1 AHAU,
2 IMIX
3 IK
4 AKBAL
5 KAN
6 CHICCHAN
7 CIMI
8 MANIK
9 LAMAT
10 MULUC
11 OC
12 CHUEN
13  EB
a questo punto la numerazione ricomincia da 1 ma abbinandosi al nome successivo BEN .
Quindi  per avere di nuovo la combinazione  1 AHAU devono passare 260 giorni.
La successione dei giorni avveniva  a seconda della posizione che occupavano nel ciclo di 13 giorni, la sequenza era dunque:

1  8  2  9  3  10  4  11  5  12  6  13  7 .

Il ciclo Haab era invece un calendario civile, legato alle stagioni, era composto da 18 mesi di 20 giorni ciascuno. I 18 mesi si chiamavano:
POP, UO, ZIP, ZOTZ, TZEC, XUL, YAXKIN, MOL, CHEN, YAX, ZAC, CEH, MAC,  KANKIN, MAUAN, PAX, KAYAB, CUMKU.
Però, 18 x 20 è uguale a 360 giorni, quindi per arrivare a 365 i maya aggiungevano 5 giorni, chiamati uayeb, considerati giorni particolarmente sfortunati.
I giorni del mese erano numerati da 0 a 19, infatti i maya conoscevano lo 0 probabilmente prima che venisse scoperto in India.
Le date del ciclo HAAB e del ciclo TZOLKIN  tornavano a corrispondere tra di loro ogni 52 cicli HAAB, pari a 72 cicli TZOLKIN.

IL LUNGO COMPUTO.
Per misurare il tempo però occorreva un terzo sistema di datazione costituito dai seguenti elementi:

kin

= 1 giorno

unial

= 20 kin

= 20 giorni

tun

= 18 unial

=18 x 20 giorni

= 360 giorni

katun

= 20 tun

= 20 x 360 giorni

= 7200 giorni

Baktun

= 20 katun

= 20 x 7200 giorni

= 144000 giorni

La data era rappresentata quindi da 5 elementi, ad esempio:
                                                                        7.9.14.12.18
In questo esempio la data stava a significare :
7 baktun , 9 katun, 14 tun, 12 unial e 18 kin.
La lettura va fatta da sinistra verso destra, per cui elaborando tale data si ottiene:
18+
12 x 20 = 240+
14 x (18 x 20) = 5040+
9 x (20 x 18x20) = 64800+
7 x (20 x 20 x 18x20) = 1008000 =
1078098
La data presa come esempio corrisponde al giorno n° 1078098 dall’inizio del conteggio.
Anche se non vi è certezza, la data di partenza  dovrebbe essere  il 13 agosto
3114 a.c.
Quindi la data conclusiva del ciclo  corrispondente  a 13.0.0.0.0 dovrebbe cadere il 21 dicembre 2012.

Ed ecco l’applet geogebra. Clic sull’immaginecalendMaya

E lo schema del ciclo tzolkin tzolkin

Infine, Gabri condivide un ricordo del suo viaggio in Messico e ci racconta di

CHICHENIZA (o Chichén Itzá)ChichenItza

E’ un importante sito archeologico dove si trova anche una piramide molto particolare e molto bella costruita in onore di una divinità, Kezalcoat (o Quetzalcoatl).
Questo tempio, considerato una delle sette meraviglie del mondo, ci fa capire quanto i Maya conoscessero l’astronomia, la geometria  e la matematica.
Su ogni lato della piramide si trova un scalinata di 91 gradini, mentre nella parte superiore si trova una piattaforma.
I 91 gradini moltiplicati per 4 lati danno 364 (+ 1) quindi 365 giorni, come i kines dell’anno Maya.
Durante gli equinozi di primavera e d'autunno alle 3 del pomeriggio la luce solare forma nella scalinata sul lato nord, sette triangoli isosceli di luce e di ombra, che costituiscono il corpo di un serpente strisciante (Kukulkan, nome Maya di Kezalcoat). Di questo effetto noi abbiamo visto il video.

Bravo Gabri! Grazie anche a babbo:-)

Buon 2010 a tutti!

Ps: Gabri, con il tuo lavoro “festeggiamo” anche il nostro 600° post :-) :-)

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mercoledì 30 dicembre 2009

… e un’attività tutta manuale!

Sì, ragazzi…

non solo PC.

Eccovi una scheda di lavoro per utilizzare carta, matita, righello e compasso!

Uno sguardo all’immagine (attenzione, è solo una porzione dell’attività), scaricate e stampate Dimezzare gli angoli.pdf

dimezza angoli

da Triangoli – In matematica, Scienza e Natura di Catherine Sheldrick Ross

altro prezioso volumetto che suggerisco vivamente!

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Per esercitarsi…

Ragazzi di I,

Se avete voglia di esercitarvi, on line oppure scaricando delle schede di lavoro, nell’esecuzione di espressioni con i numeri naturali e nella risoluzione di problemi(ni),

una segnalazione per voi.

Come vedete in figura, trovate delle pagine guida di teoria, dei test propedeutici, esercizi guidati, esercizi per mettersi alla prova ed anche di …preparazione alla verifica scritta! (Questi sono solo su espressioni e problemi, voi naturalmente ricordate che dovete conoscere la struttura e proprietà in N delle quattro operazioni) 

Clic sulla figura

http://www.pianetascuola.it/risorse/media/secondaria_primo/matematica/matematica_interattiva/classe1/unit2.htm

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lunedì 28 dicembre 2009

Le forme della natura e … ancora Frattali

Ragazzi,

osservate

bellissima immagine vero? In Rete potete trovarne tante simili…

si tratta di un Frattale. Cosa sono i frattali?

Ne ho già parlato sul blog e vi indicherò sotto…

Se ne parla anche su “Ce li hai i numeri?”- Scopri la matematica che c’è in te,  che in questi giorni ho più volte citato.

Ehi, lo leggo per voi! Béh, per la verità anche per me perché è un bellissimo testo di matematica creativa e ricreativa. Vi sono descritte tante interessanti e divertenti attività: siamo tutti matematici! Insomma, voi dovete farvelo regalare per … la Befana ormai (ché siete stati buoni!)

Parliamo di forme che esistono in natura: paesaggi, alberi, coste, laghi, stelle … Come le descriviamo normalmente, anzi qual è il modo migliore per descriverle?

Usiamo termini come linea, cerchio, triangolo. Per esempio, chiamiamo linea costiera il confine tra spiaggia e mare. Diciamo che il lago è rotondo come un cerchio, che l’albero di Natale ha una forma triangolare… o anche, osservate questa bella foto.

Diremmo che l’albero ha una forma ovale o di un’ellisse.

Dunque per descrive la natura utilizziamo le forme studiate dai matematici nella geometria.

Ma se osserviamo da vicino un albero distinguiamo rami e foglie, e la descrizione ha la forma di ellisse o di triangolo non è più troppo precisa! In natura le cose sono per lo più spigolose e spezzate. Non corrispondono alle linee rette e alle forme geometriche perfette della normale geometria.

Le forme spezzate, dai matematici sono chiamate frattali.

Andate a leggere:

Il Triangolo di Sierpinski. Frattali.

Per i più curiosi ci sono anche dei link interessanti.

E anche QUESTO dove troverete altri link!

Vista l’autosomiglianza dei frattali? Una parte della felce è simile a tutta la felce stessa, ovvero è una copia in piccolo della foglia completa… E, il fiocco di neve?

Si può fare in modo che un computer disegni dei frattali, per esempio l'insieme di Mandelbrot dell’immagine qui sotto, disegnato da un computer che ha calcolato e ricalcolato una formula matematica

(potete riconoscervi la curva Cardioide!!)

Il frattale della figura si chiama così dal nome del matematico che lo scoprì nel 198o, Benoit Mandelbrot.

Ma anche voi potete disegnare dei frattali.

Poco più di cent'anni fa il matematico tedesco Georg Cantor si mise a studiare le forme spezzate. Certo sembra un po' folle fare a pezzetti una linea come fece lui! Ma la sua figura, chiamata Insieme di Cantor, è alla base della matematica che si occupa dei frattali.

Cantor partì da un segmento, che suddivise in tre parte uguali. Poi tolse quello centrale. Gli restavano due segmenti. Li divise entrambi in tre parti uguali, e poi tolse la parte centrale di entrambi.InsCantor

Nella fase 2 erano rimasti quattro segmenti. Cantor li divise tutti in tre parti uguali, e poi, nella fase 3, tolse le parti centrali di tutti e quattro i segmenti. E così via, e così via. 

Continua a disegnare tu. Ti servono carta, matita, righello e una buona dose di pazienza. Quanti segmenti ti rimangono dopo le fasi 4, 5 e 6?
L’idea di Cantor era che il segmento potesse essere suddiviso fino a un numero infinito di punti. E questi costituiscono un frattale.

Un matematico svedese creò un altro famoso frattale all'inizio del '900. Il matematico si chiamava Helge von Koch.

Perciò il frattale di cui vi ho parlato nel primo post segnalato, si chiama curva di Koch. Ricontrollate l’animazione e seguite l’algoritmo della costruzione. Coraggio, costruite una bella curva di Koch!

Helge von Koch aveva immaginato di suddividere il segmento un numero infinito di volte. In questo modo si trasforma in una curva infinitamente lunga che viene spezzata in ogni punto: un frattale.

La curva di von Koch è un modello matematico, che fornisce un'immagine abbastanza accurata, del tratto di costa svedese compreso tra Söderhamn e Valdemarsvik. Potrebbe anche essere il profilo di una catena montuosa o di un banco di corallo.

SEMPRE PIÙ PRECISI... curvakock (immagine – e testo in grigio - da “Ce li hai i numeri?”)
Ma quanto è lungo, in realtà, il tratto di costa tra Söderhamn e Valdemarsvik?

Un metodo per misurarne la lunghezza è servirsi di un atlante. Appoggiamo un pezzo di spago seguendo il contorno della linea costiera da Söderhamn a Valdemarsvik e misuriamo la lunghezza dello spago. Con l'aiuto della scala della cartina calcoliamo poi la lunghezza del tratto di costa.

Un altro metodo è camminare lungo la costa con un metro rigido (poveraccio quello che l'ha pensata!). In questo caso vengono misurati tutti i piccoli promontori e le piccole baie. Tutte le sporgenze della spiaggia rientrano nel calcolo, e il tratto di costa risulta molto più lungo rispetto al calcolo con l'atlante.

Se invece fosse una formica a misurare il tratto di costa, ogni granello di sabbia e ogni minima rientranza influenzerebbe il risultato.

La lunghezza aumenta man mano che si intensifica la precisione della misurazione, apparentemente senza alcun limite.  Varia con il variare dell’unità di misura.

In questi casi, a volte, può essere pratico utilizzare un modello matematico. Per esempio un frattale come la curva di von Koch.

Realizzeremo l’attività “FAI COSI’”  del testo!

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sabato 26 dicembre 2009

Un gioco un gioco: Chi arriva prima a 20 (o a 100)

Ragazzi,

è un vecchio gioco matematico da fare in due. gioco20

Il primo che inizia deve dire 1 o 2 .

Poi, a turno, si dice un numero aggiungendo  sempre 1 o 2 al numero precedente.

Vince il primo che dice 20.

  • Fai cominciare il tuo compagno. Mettiamo che dica 2
  • Forse tu sceglierai di aggiungere 2. Dunque dirai 4.
  • Il tuo amico sceglie di aggiungere 1, quindi dice 5.
  • Magari anche tu aumenti di 1, e dici 6.
  • Il tuo amico aggiunge 2, e dice 8.
  • Continuate in questo modo. Il primo di voi due che dice 20 ha vinto.

Esiste un trucco, qualche cosa che ti viene in mente per vincere? Alcuni numeri sono numeri chiave. Per esempio, qual è il penultimo numero che devi dire per poter vincere? 

Hecaton

Una variante è arrivare per primi a 100. Questo gioco si chiama hecaton.

  • Il tuo amico comincia dicendo un numero qualsiasi compreso tra 1 e 10, ma non può superare il 10;
  • tu aggiungi un numero non superiore al 10;
  • poi tocca al tuo amico aggiungere un numero non superiore al 10;
  • ora è di nuovo il tuo turno di aggiungere un numero non superiore al 10;
  • continuate ad alternarvi. Il primo che dice 100 ha vinto.

Quali numeri sono numeri chiave? Per esempio, qual è il penultimo numero che devi dire per vincere? Prova un po’. Puoi anche inventare una tua variante del gioco.

Da “Ce li hai i numeri?”- Ed. Scienza

buon gioco:-)

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giovedì 24 dicembre 2009

Buon Natale con … Fanno la fantasia volare …

Buon Natale, Buone feste

a tutti i nostri lettori.
 
Ragazzi (e per tutti i ragazzi),

come promesso, la storia delle renne di Babbo Natale!

Già vi ho detto: un post carinissimo di Skip! - Che è una maestra e scrive magistralmente delle cose belle belle sul suo blog!

Le ho chiesto di poter dedicare a voi questo suo articolo.

Fanno la fantasia volare, nella magica notte di Natale.

http://www.skipblog.it/2009/12/19/fanno-la-fantasia-volare-nella-magica-notte-di-natale/

Un pezzetto della filastrocca:

“Non solo fanno la slitta volare
e in ciel galoppano senza cadere.
Ogni renna ha il suo compito speciale
per saper dove i doni portare

Cometa chiede a ciascuna stella
dov’è questa casa o dov’è quella.
Fulmine guarda di qui e di là
Per sapere se la neve verrà.

Donnola … ….

Continuate a leggere facendo clic sull’immagine o sul link che sta sotto. E poi la storia di Comet, Dancer, Dasher, Prancer, Vixen, Donder, Blitzen, Cupid !

Grazie maestra Skip! :-) Ancora Buon Natale a te!

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mercoledì 23 dicembre 2009

Naum Gabo

Ragazzi,

vi ho promesso qualche attività divertente per le vacanze? ….:-)

Naum Gabo è il nome di un artista. Nacque in Russia nel 1890, ma si trasferì poi negli Stati Uniti e visse lì fino alla morte, nel 1977.

Gabo creava sculture tirando dei fili attraverso dei fori in diverse cornici, ottenendo in questo modo splendide curve e disegni. Ma il suo era anche un modo di creare un ordine.

 

 

 

 

 

 

 

                                                 Naum Gabo  Linear Construction No. 2 1970-71

E’ facile creare degli schemi simili ai suoi su un foglio, tracciando due linee rette su cui si segna e si numera ogni centimetro.

Possiamo cominciare disegnando due linee o segmenti paralleli. Su entrambi i segmenti segniamo ogni centimetro, arrivando fino a 10. Poi colleghiamo tra loro i numeri che, sommati, danno 10. Naum_00

0 + 10 = 10
1 + 9 = 10
2 + 8 = 10
3 + 7 =10
4 + 6 = 10
e così via.

Tutti i segmenti che collegano i numeri si incontrano in un punto.

Un modo alternativo di combinare coppie additive, no? [metto il link (clic sull’immagine) all’applet geogebra anche se si tratta di una facile costruzione. Potete comunque muovere il punto grigio O, le parallele si avvicinano…. ]

Ma cosa succede se invece partiamo da due linee di numeri inclinate in direzioni diverse?

Osservate l’immagine. Possiamo scegliere di collegare tra loro i numeri che, sommati danno 13.Naum_01 (ho dovuto indicare i punti, numerati)

1 + 12 = 13
2 + 11 = 13
3 + 10 = 13
4 + 9 = 13
e così via.

Che bella curva è venuta fuori! E questo nonostante tutte le linee tracciate siano rette.

 

Osservate l’immagine con una diversa inclinazione delle retteNaum_02 E ancora, creando l’immagine simmetricaNaum_04 

E, posso ottenere un cuoricino…Naum_03

OppureNaum_05 Insomma, vedete che ci si può sbizzarrire!

Clic sull’ultima immagine per visualizzare l’applet geogebra. Trovate le indicazioni per intervenire sulla costruzione.

Ma voi potreste essere molto più creativi! Sù, costruire!!!

Ma anche su un foglio:

- Disegna due linee. segna e numera ogni centimetro con l’aiuto di un righello. Collega i numeri, per esempio quelli che sommati danno il risultato 17.

IMG- Puoi anche fare dei triangoli o dei quadrati e scoprire altri modi di collegare i  numeri. Puoi anche lavorare in formato gigante su dei grandi fogli di carta!

 

L’attività è tratta da: “Ce li hai i numeri?” - “Scopri la matematica che c’è in te!” – Editoriale Scienza – Traduzione di Laura Cangemi.

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lunedì 21 dicembre 2009

Angoli complementari e angoli supplementari

Ragazzi,

continuo a pubblicare le nostre attività sugli angoli. Vi darò precise indicazioni su come procedere nel lavoro.

Con le due attività seguenti, geogebra, scoprirete gli angoli complementari e gli angoli supplementari. Eseguirete anche qualche esercizio.

Clic su immagine per lanciare l’applet sugli angoli complementaricomplementari

E ancora clic per l’applet sugli angoli supplementarisupplementariLavorate bene! :-)

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venerdì 18 dicembre 2009

La bici dalle ruote quadrate e la catenaria.

Ragazzi,

Osservate un po’ …

http://lnx.sinapsi.org/wordpress/2009/12/15/pedalare-con-una-bici-dalle-ruote-quadrate/?utm_source=feedburner&utm_medium=feed&utm_campaign=Feed%3A+LosmosiDelleIdee+%28L%27Osmosi+delle+Idee%29&utm_content=Google+Reader

Pedalare con una bici dalle ruote quadrate | Osmosi delle Idee

Si tratta di un recente articolo pubblicato dal Prof. Daniele che raccomando di andare a leggere (clic sull’immagine). Trovate anche un bel video che mostra un divertente giro in bici … dalle ruote quadrate!

Come ci dice il prof. Daniele, bisogna pedalare su una strada molto particolare. Ogni gobba della carreggiata è in realtà una curva speciale chiamata “catenaria”.

E ... ho commentato subito con il prof Daniele: perché non realizzare con geogebra il giro in bici?

Ebbene, la curiosità era tanta e … detto-fatto!

Clic sull’immagine (guai a voi se dite che è brutto il telaio della bici!:-)  Osservate,  il baricentro del quadrato si muove lungo la stessa linea.

 

ruotequadrate_catenaria

Ora però qualche notizia sulla curva matematica che permette alle ruote quadrate di rotolare senza intoppi.

La catenaria

La catenaria è una curva associata, anche se impropriamente alla parabola.

La parabola è una curva molto comune. Galileo, ad esempio, era riuscito a dimostrare che la traiettoria di un proiettile, in assenza di resistenza dell’aria, è una parabola.

Galileo inoltre, nel 1638, aveva osservato che una fune oppure una catenella flessibile, sospesa con i due estremi a due punti posti alla medesima altezza, si dispone secondo una curva dalla forma di parabola. Ma era in errore.

Un matematico tedesco, Jungius, dimostrò infatti nel 1669, che la curva non era una parabola; ma fu  Huygens, insieme a Leibniz e Jean Bernoulli, che in risposta a una sfida posta da Jacques Bernoulli, dimostrò nel 1690-91 che tale curva, battezzata da Huygens catenaria, era una curva diversa. Per i matematici, non algebrica.

La sua equazione è:

$y\,=\, \frac{ a }{2 } * (e^ \frac{ x }{a } + e^ -\frac{x }{a})$

L’immagine della catenaria per diversi valori del parametro a. Clic per aprire l’appletcatenaria00

La catenaria diventa parabola se la fune o catena sospesa alle estremità sostiene dei pesi distribuiti uniformemente, come può essere il caso di un ponte sospesocatenaria01

La catenaria è la forma assunta da una catena appesa ai suoi estremi: il suo peso è uniforme per lunghezza d’arco. Nei ponti sospesi invece, alla catena sono appesi tiranti che sostengono  il piano del ponte: il peso è uniforme per unità orizzontale di lunghezza, e la curva risultante è una parabola.

[fonte: Le curve Celebri –L. Cresci]

La catenaria, a parità di lunghezza, è meno appuntita della parabola.

La velaria
Dopo la soluzione del problema della catenaria, Jacques Bernoulli studia la curva di profilo della superficie di una vela rettangolare gonfiata dal vento, (trascurando la gravità).
Chiama questa curva velaria, ma, cercando di determinarne l’equazione insieme al fratello Jean, giunge alla conclusione che in realtà la velaria è una catenaria.

La catenaria come luogo geometrico

Clic, spiegazioni sull’appletcatenaria02

Link:

image image

grazie al prof. Daniele per l’idea. E il divertimento!:-)

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giovedì 17 dicembre 2009

Esercitazione_Regolarità nelle tabelle dell’addizione e della moltiplicazione

I ragazzi hanno realizzato

le tabelle dell’addizione e della moltiplicazione, mostrando una particolare regolarità.

Qualcuno ha lavorato su Excel, altri sul quaderno, ma hanno commesso degli errori. Da correggere! La regolarità è visualizzata nelle immagini. Letizia spiega anche…

Letizia Letizia_tab_regolarità

Il file di Letizia si può scaricare Q U I

Gabriele

Gabri_tab

Q U I il file di Gabri. Ha inserito nei commenti le proprietà della moltiplicazione.

Bene, Letizia e Gabriele!

- Gabri, renditi conto che il fucsia non viene proprio bene nelle immagini! Abbiamo detto: da preferire i colori tenui.

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Esercitazione_somma angoli interni triangolo


Gabriele ha realizzato l’esercitazione proposta Q U I
Ecco l’immagine, clic per aprire l’applet

Gabri_ang_interni_tr


Bene, Gabri!

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lunedì 14 dicembre 2009

Coppie additive nel piano cartesiano

Ragazzi,

Abbiamo visto come le operazioni aritmetiche possono essere rappresentate mediante la composizione di coppie ordinate di numeri, che rappresentano i termini dell’operazione stessa.

Nel caso dell’addizione chiamiamo più precisamente coppie additive le coppie di numeri (addendi) che componiamo secondo un preciso procedimento,  per ottenere il risultato (somma).

Con Excel possiamo rappresentare graficamente, sul Piano Cartesiano, le coppie additive dei numeri, per semplicità nell’intervallo da 0 a 10.

Osservate (leggete!) l’immagine del foglio di lavoroCoppie additive Letto attentamente?

I punti ottenuti nel grafico, si trovano tutti su una stessa retta!

Come dire: coppie di numeri che addizionati danno come risultato sempre il medesimo numero, danno origine ad un grafico che è una retta!

Insomma… l’aritmetica che si sposa con la geometria!

Quello dell’immagine è un foglio di esempio.

Nel file che andrete a scaricare troverete un secondo foglio, Esercizio, dove sceglierete voi il numero di cui rappresentare tutte le coppie additive.

Clic  Q U I  per scaricare il file Coppie additive nel piano cartesiano.xls

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Misura segmenti e angoli!

Ragazzi,

andate a … misurare su due applet GeoGebra realizzate da un prof di Mate di una scuola media di Mentana (RM)

Sulla prima misurate segmenti. Clic:misurasegmenti

Sulla seconda, angoli:misura_angoli Carine vero?

Grazie, prof Amedeo:-)

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domenica 13 dicembre 2009

Create fiocchi di neve!

Ragazzi, tutti!:-)

E non dite che non vi propongo relax! Uno un po’ natalizio? O a proposito di neve …

Potete divertirvi a creare on line bellissimi fiocchi e cristalli di neve personalizzati.

Ogni puntino che vedete nel paesaggio dell’immagine è un fiocco di neve creato da un internauta (navigatore della Rete!), che potete ingrandire avvicinandovi con il mouse. Si può anche stampare cliccando su print.

Create il vostro fiocco cliccando su Create, al centro, sotto il paesaggio. Tracciate sul foglio bianco delle linee o ritagli casuali, vedrete l’anteprima subito visibile sulla sinistra. Che belle simmetrie eh???

Una volta completato cliccate su done (solo il nome!) e potete vedere “nevicare” anche il vostro fiocco!

buon divertimento!

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sabato 12 dicembre 2009

Nuovi esercizionline_primaA

O belli,

che oggi avete lavorato bene con la geometria :-)

per le prox lezioni di aritmetica, Paperino vi aspetta per esercitarvi!

Clic su immagine, nuovi i primi due esercizi –vedi data!-Test_II_ThatQuiz… nevica eh? :-):-)

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venerdì 11 dicembre 2009

Somma degli angoli interni di un triangolo. Dal triangolo degenere a …

Ragazzi,

Non preoccupatevi se vi sembra che io corra un pochino, diciamo che mi porto avanti con il lavoro, noi faremo tutto con calma. Nel frattempo, so che più di uno di voi curiosa … e non è male!:-)

In questo post indaghiamo sulla somma degli angoli – interni - di un triangolo.

1a attività:

- Disegnate su un foglio un triangolo qualsiasi, ciascuno di voi può anche disegnarne più di uno, di forma diversa.

- Indicate con il simbolo e con il nome ciascuno dei tre angoli del triangolo (o di ciascun triangolo). Potete anche denominarli come i vertici del triangolo (angolo A, angolo B, angolo C)

- Ritagliate i tre angoli, non  ha importanza il punto di “taglio” sul triangolo, né il “contorno” del taglio (potete anche ritagliare a mano) purché otteniate i tre angoli ben distinti.

- Accostate ora i tre angoli riunendoli in un unico vertice, cioè vertice angolo A, vertice angolo B e vertice angolo C devono congiungersi, incontrarsi in un unico punto.

- Osservate bene: riconoscete l’angolo formato dai tre angoli dei vostri triangoli? Ovvero:

- Qual è la somma degli angoli dei triangoli su cui avete lavorato?

Osservazioni e commenti …

2a attività:

Una scheda di lavoro Geogebra, da eseguire on line (eventualmente fornirò il file a chi non riesce a lavorare da casa), già proposta sul blog.

Ho modificato l’applet, ripropongo dunque il link.  Sarete guidati passo a passo nelle fasi di una costruzione che vi porterà a ottenere un risultato simile (personalizzate!) a quello in figura. Clic su di essa!image

3a attività (dal testo La Matematica/la GeometriaEmma Castelnuovo):

Costruite un dispositivo mobile.

Su una tavoletta di dimensioni scelte a piacere piantate due chiodi A e B;

attorno ai chiodi passate un elastico;

con uno spago fissato nel suo punto di mezzo, tirate un ramo dell’elastico, in direzione perpendicolare alla congiungente i chiodi, l’altro ramo dell’elastico.

Si ottengono così tanti triangoli isosceli di base AB, fissa, e di vertice C variabile.

Questi triangoli hanno tutti la stessa base mentre l’altezza relativa alla base varia al variare della forza con cui è tirato l’elastico.

Studiamo gli angoli di questi triangoli al variare dell’altezza.

Immaginiamo di partire dal triangolo più grande che si può realizzare sulla tavoletta e di allentare a poco a poco lo spago:

osserverete che l’angolo al vertice C diventa sempre più grande, mentre gli angoli alla base A e B diventano sempre più piccoli.

Se dunque due angoli di un triangolo diminuiscono, il terzo aumenta; e viceversa.

Esiste perciò una relazione fra i i tre angoli del triangolo.

Quale sia questa relazione si può comprendere considerando i casi “limite”, cioè:

a) il caso in cui il punto C va a cadere sulla base

b) il caso in cui lo stesso punto C si allontana indefinitamente dalla base.

Il primo caso potete verificarlo con la vostra tavoletta: man mano che il vertice C si avvicina alla base, gli angoli A e B tendono a 0° (tendono a zero) mentre quello al vertice C tende a un angolo piatto; la somma degli angoli tende perciò a un angolo piatto.

Per il secondo caso immaginate col pensiero che la distanza del vertice C dalla base aumenti all’infinito: gli angoli alla base, A e B, tendono ad angoli retti, mentre l’angolo al vertice C tende a 0° (tende a zero); anche in questo caso, dunque, la somma degli angoli tende a un angolo piatto.

E ora…

l’esperienza della tavoletta riportata su geogebra.

Ah.. devo spiegare la seconda parte del titolo del post: “Dal triangolo degenere a…”

Sappiate che è chiamato degenere un triangolo avente un angolo di 180° e gli altri due angoli di ampiezza . E’ il primo dei casi limite visti sopra. Un lato misura quanto la somma degli altri due: graficamente, il triangolo risulta essere un segmento.  Così:

triangolo degenere

Si può considerare come "triangolo degenere" anche il triangolo del secondo caso limite, quello con il vertice C che sta "all'infinito".

In questo caso si parla piuttosto di triangolo ideale, ha un vertice all'infinito e gli altri due vertici hanno angoli retti: il triangolo risulta essere una striscia di lunghezza infinita.

Osservate tutto questo nell’animazione con geogebra, da cui è tratta l’immagine sopra. CLIC_QUI!

Ragazzi:

c’è anche un’altra simpatica attività sulla somma degli angoli di un triangolo.

Ce la ricorda nel suo articolo gemellino di questo, il prof. Popinga, ormai anche vostro amico. Andate a leggere, c’è anche l’illustrazione!

grazie Pop:-)

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giovedì 10 dicembre 2009

Angoli consecutivi e angoli adiacenti

Ragazzi,

dico niente. Andate a scoprire! Ma nel vero senso, io mica spiego!:-)

Ehm… raccomando, indovinate vero? Piccolo sforzo per un … buon italiano!

Clic su immagineAngoli_consecutivi_adiacentiBuon lavoro!

promemoria: non ci possiamo perdere (non per modo di dire ma ci aiutano proprio!) i lavori sugli angoli di Maestra Renata:

image                                  image

image                                 image

… io mi sono molto divertita con angolino! :-))

grazie Mae’!

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lunedì 7 dicembre 2009

La misura degli angoli

Ragazzi,

sapete che per misurare una grandezza occorre riferirsi ad una unità di misura.

Per misurare le lunghezze ad esempio, si assume come unità di misura il metro oppure i suoi multipli (es.km) e sottomultipli (es. cm). L’unità di misura può anche essere scelta a piacere ma per intendersi occorrerà che tutti si riferiscano alla stessa unità di misura (ricordate no, la nostra cattedra è lunga “8 penne”: ma mamma non è detto che si faccia l’idea giusta! ecc…)

Occorre inoltre uno strumento, nel nostro esempio il metro o il decametro o doppio decametro da geometra, che permetta di effettuare le misure.

Anche per misurare gli angoli si è fissata l’unità di misura e costruito uno strumento. Oh sì, lo sapete, l’angolo si misura in gradi e con il goniometro!

Ma quanto è “ampio” il grado ? Avete una precisa idea?

Intanto immaginate le lancette di un orologio: immaginate che la lancetta delle ore resti ferma per tutta la durata di un’ora, mentre l’altra ruoti fino a tornare a coincidere con la prima; essa avrà descritto un angolo giro.

Dividiamo l’angolo giro in 360 angolini uguali. Ciascuno di questi angolini si chiama grado (1°) e si assume come unità di misura degli angoli.

$1°\,=\, \frac{ 1 }{360 } \,di\,angolo\,giro$

Vi sembra un po’ difficile suddividere l’angolo giro in 360 parti? … vedrete fra un po’! :-)

Sull’applet Geogebra visualizzerete i multipli del grado, frazioni di angolo giro, angoli particolari, che conoscete già certo, ma che occorrerà sempre riconoscere! Ed anche … il grado! Sì sì, l’angolino, la 360esima parte dell’angolo giro.

Attenzione! Non sottovalutate l’ampiezza dell’angolino di 1°: pensate ai gradi di latitudine o di longitudine, le coordinate geografiche che identificano un preciso punto della superficie terrestre. Indispensabili nelle strade del cielo e del mare! Per i percorsi degli aerei, delle navi…

Avete idea di quale distanza può percorrere un aereo spostandosi di un solo grado di latitudine? Per percorrere un grado di latitudine un aereo deve viaggiare per circa 55 minuti, circa un’ora quindi. E’ il tragitto Alghero – Roma: 1h (un’ora) di volo!:-)

Ora, clic su immagine

Angolo_grado

PS: Ragazzi, seguite cosa aggiunge il prof Popinga nel suo commento, che riporto qui:

Anche se poco alla volta, le semirette che delimitano il grado si allontanano sempre di più man mano che ci allontaniamo dal vertice.

Alle distanze astronomiche il nostro piccolo grado è fin troppo grande per descrivere la distanza tra due oggetti.

C'è bisogno allora di suddividerlo ulteriormente nei suoi sottomultipli.

Una delle unità di misura più usate per le distanze di oggetti posti fuori dal nostro sistema solare è il parsec (parallasse-secondo), che si basa proprio sul secondo, cioè un grado diviso 3600!

E non diciamo più che il grado è troppo piccolo!

Grazie Pop!:)

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Ancora convessi-concavi!

Ragazzi di prima,

Maestra Renata vi regala un applet per divertirvi ancora a colorare angoli concavi e convessi e… angoli convessi e concavi!:-)

Dico così perché bastano due mosse per alternare i colori ai due angoli!

Seguite le indicazioni sull’applet. Clic su immagine!ang_concavo_conv

Maestra Rena’ sei troppo brava! … gentile poi…. :) g r a z i e !!

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Addizione e sottrazione nell’insieme N

Relazionano Letizia e Gabriele.

In questi giorni abbiamo analizzato le caratteristiche delle operazioni nell’insieme N; vuol dire studiare cosa succede quando facciamo delle operazioni usando solo i numeri naturali.

Abbiamo iniziato dall’operazione più elementare: l’addizione.

In questa lezione abbiamo dovuto chiarire bene che procedimento bisogna usare per risolverne una e, per riuscire a spiegarlo come si deve, abbiamo immaginato di insegnarlo a dei bambini che sanno contare ma non conoscono i termini “addizionare”, “sommare” e ”aggiungere”.

In che cosa consiste l’addizione? La risposta è la seguente: l’addizione è quella operazione che ci permette di associare due numeri per arrivare a un terzo; questo è possibile se dal primo numero dato, contiamo tante unità quante me ne chiede il secondo fino ad arrivare alla nostra meta: il risultato. In poche parole l’addizione consiste nel contare per raggiungere il nostro terzo numero, il risultato.

L’operazione interessata ha delle caratteristiche, cinque per la precisione:

• è interna a N; questo perché eseguendo un'operazione con due numeri naturali il risultato sarà sempre un elemento di N. Si può anche dire che N è un insieme chiuso per l' addizione;

• possiede un elemento neutro: lo zero, perché se si trova all’interno dell’addizione sotto forma di addendo, non influenza il risultato (es. 5 + 0 + 3 = 8; 5 + 3 = 8);

• è commutativa, perché cambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia (25 + 34 = 59;   34 + 25 = 59);

• è associativa, perché avendo tre o più addendi posso associare dei numeri fra di loro nella maniera che mi viene più comoda. Uno scopo? Fare i calcoli più velocemente e facilmente.

Una specie di conseguenza della proprietà associativa è la proprietà dissociativa che dice: sostituendo a un addendo due numeri più piccoli la cui somma è pari al primo, il risultato non cambia. Es 15+20=35 : 10+5+20=35.

operazione diretta, perché per arrivare al risultato vado dritto, come su una retta senza tornare indietro, cosa che non accade con la sottrazione. E poi forse anche perché è l' operazione più semplice che esista, cioè quella che tutti facciamo con facilità anche quando dobbiamo sottrarre; (es. 20 – 2, diciamo subito 18, a mente facciamo 18 + 2!).

Abbiamo imparato che le operazioni si rappresentano anche in un modo un po’ diverso:

( 36 , 64 )  + (freccetta sotto il più)   100 che è:  36 + 64 = 100             

Sappiate che la coppia 36 e 64 si chiama coppia ordinata.

Ora sentite questa: la sottrazione possiamo dire che è un diverso modo di rappresentare un'addizione!  Cioè l’addizione possiamo scriverla in tre modi diversi!

Esempio: 15 + 5 = 20,

possiamo scrivere:  20 – 5 = 15  o ancora  20 – 15 = 5

Quindi, dato che con l’addizione si va avanti sulla linea dei numeri (dal 15 al 20), e con la sottrazione si fa il contrario, la sottrazione è l’operazione contraria all’addizione perciò è

l’operazione inversa dell’addizione.

Infatti, qual è il procedimento per la sottrazione? Il seguente:

la sottrazione è quell’operazione che ci permette di associare due numeri per arrivare a un terzo: prendo il sottraendo e la differenza, ovvero il risultato, e li sommo fra di loro per ottenere il minuendo.   

Letizia e Gabri: non vi siete dilungati troppo sulla sottrazione … ma bravi, va’!:-)

Altra nota: in tanti, Letizia, Gabri, Giovanni, Maria Chiara,  …, hanno realizzato con Excel (Bachisio sul quaderno) le tabelle dell’addizione e della sottrazione (altri solo quella dell’addizione!). E però: senza alcun commento! E no, no: lavoro da completare! :-)

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domenica 6 dicembre 2009

Attività Angolo_01

Nell’ambito dell’attività

proposta su questo post

chiedevo ai ragazzi  … (leggi in figura)Angolo_lezione2_attività

Gabriele ha operato nel modo seguente (gli strumenti utilizzati sono indicati nell’immagine dal simbolo del cursore):

Con lo strumento Segmento di data lunghezza da un punto ha costruito su ciascun vertice dei due angoli due segmenti di determinata lunghezza (es:1).

La procedura posiziona orizzontalmente il segmento costruito, per cui Gabri ha dovuto ruotare manualmente i due segmenti per posizionarli sui lati degli angoli.

Con lo strumento Distanza o lunghezza, ha misurato la distanza tra i due estremi dei segmenti posti sui lati degli angoli.

Le distanze erano uguali per entrambi gli angoli, ma…

per poterle ottenere perfettamente uguali, ha dovuto prestare molta attenzione, spostare più volte, gli estremi dei segmenti sui lati …

In classe non abbiamo ancora discusso il lavoro di Gabri.

In verità ho appena fatto in tempo, si smantellava…,  a far notare, per ora solo a Gabri che essendo troppo curioso, non ha voluto aspettare …

che:

per ottenere la posizione dei due estremi dei segmenti perfettamente identica sui lati di entrambi gli angoli, avrebbe potuto utilizzare lo strumento Circonferenza dati centro e raggio e segnare poi l’intersezione di due oggetti.

Dunque, o belli, ecco l’aiuto per … fare! :-)

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venerdì 4 dicembre 2009

Rette e angoli

Giovanotti(ni). Di prima!

Ecco ancora un lavoretto.  Sempre dopo …

Ehmm, fatto apposta a dare il test prima di questo! :-)

Ormai chi non ha fatto il test legge prima questo post. Invito comunque a sfidare se stessi prima di studiare … qui! Clic su figura!Angolo_lezione3

Buono studio!

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Nuovi esercizionline_prima

Ragazzi,

Nella vostra classe virtuale trovate tre nuovi test:

Calcolo_00, Calcolo_01 e Rette e angoli.

Per il calcolo (in N) suggerisco  l’ordine di esecuzione Calcolo_00, Calcolo_01. Fra calcoli e angoli scegliete voi.

Raccomandazione per il test sugli angoli: OSSERVATE ATTENTAMENTE, E RIFLETTETE SUL PRIMO ESERCIZIO!  Sono certa che risponderete correttamente. Vi guiderà per le successive risposte! 

Attenzione: nella casella della risposta dovete immettere SOLO il numero senza l’unità di misura. Es: 50 e NON 50°

Clic sulla figuraTest_I_ThatQuizBuona esecuzione:-)

Per i lettori eventualmente interessati, test su Rette e angoli.

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giovedì 3 dicembre 2009

L’angolo_01

Ragazzi,

Avanti con la conoscenza degli angoli… (dopo questa).

Clic sull’immagineAngolo_lezione2 Buon lavoro! :-)

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