Le forme della natura e … ancora Frattali

Ragazzi,

osservate

bellissima immagine vero? In Rete potete trovarne tante simili…

si tratta di un Frattale. Cosa sono i frattali?

Ne ho già parlato sul blog e vi indicherò sotto…

Se ne parla anche su “Ce li hai i numeri?”- Scopri la matematica che c’è in te,  che in questi giorni ho più volte citato.

Ehi, lo leggo per voi! Béh, per la verità anche per me perché è un bellissimo testo di matematica creativa e ricreativa. Vi sono descritte tante interessanti e divertenti attività: siamo tutti matematici! Insomma, voi dovete farvelo regalare per … la Befana ormai (ché siete stati buoni!)

Parliamo di forme che esistono in natura: paesaggi, alberi, coste, laghi, stelle … Come le descriviamo normalmente, anzi qual è il modo migliore per descriverle?

Usiamo termini come linea, cerchio, triangolo. Per esempio, chiamiamo linea costiera il confine tra spiaggia e mare. Diciamo che il lago è rotondo come un cerchio, che l’albero di Natale ha una forma triangolare… o anche, osservate questa bella foto.

Diremmo che l’albero ha una forma ovale o di un’ellisse.

Dunque per descrive la natura utilizziamo le forme studiate dai matematici nella geometria.

Ma se osserviamo da vicino un albero distinguiamo rami e foglie, e la descrizione ha la forma di ellisse o di triangolo non è più troppo precisa! In natura le cose sono per lo più spigolose e spezzate. Non corrispondono alle linee rette e alle forme geometriche perfette della normale geometria.

Le forme spezzate, dai matematici sono chiamate frattali.

Andate a leggere:

Il Triangolo di Sierpinski. Frattali.

Per i più curiosi ci sono anche dei link interessanti.

E anche QUESTO dove troverete altri link!

Vista l’autosomiglianza dei frattali? Una parte della felce è simile a tutta la felce stessa, ovvero è una copia in piccolo della foglia completa… E, il fiocco di neve?

Si può fare in modo che un computer disegni dei frattali, per esempio l'insieme di Mandelbrot dell’immagine qui sotto, disegnato da un computer che ha calcolato e ricalcolato una formula matematica

(potete riconoscervi la curva Cardioide!!)

Il frattale della figura si chiama così dal nome del matematico che lo scoprì nel 198o, Benoit Mandelbrot.

Ma anche voi potete disegnare dei frattali.

Poco più di cent'anni fa il matematico tedesco Georg Cantor si mise a studiare le forme spezzate. Certo sembra un po' folle fare a pezzetti una linea come fece lui! Ma la sua figura, chiamata Insieme di Cantor, è alla base della matematica che si occupa dei frattali.

Cantor partì da un segmento, che suddivise in tre parte uguali. Poi tolse quello centrale. Gli restavano due segmenti. Li divise entrambi in tre parti uguali, e poi tolse la parte centrale di entrambi.

Nella fase 2 erano rimasti quattro segmenti. Cantor li divise tutti in tre parti uguali, e poi, nella fase 3, tolse le parti centrali di tutti e quattro i segmenti. E così via, e così via. 

Continua a disegnare tu. Ti servono carta, matita, righello e una buona dose di pazienza. Quanti segmenti ti rimangono dopo le fasi 4, 5 e 6?
L’idea di Cantor era che il segmento potesse essere suddiviso fino a un numero infinito di punti. E questi costituiscono un frattale.

Un matematico svedese creò un altro famoso frattale all'inizio del '900. Il matematico si chiamava Helge von Koch.

Perciò il frattale di cui vi ho parlato nel primo post segnalato, si chiama curva di Koch. Ricontrollate l’animazione e seguite l’algoritmo della costruzione. Coraggio, costruite una bella curva di Koch!

Helge von Koch aveva immaginato di suddividere il segmento un numero infinito di volte. In questo modo si trasforma in una curva infinitamente lunga che viene spezzata in ogni punto: un frattale.

La curva di von Koch è un modello matematico, che fornisce un'immagine abbastanza accurata, del tratto di costa svedese compreso tra Söderhamn e Valdemarsvik. Potrebbe anche essere il profilo di una catena montuosa o di un banco di corallo.

SEMPRE PIÙ PRECISI... (immagine – e testo in grigio - da “Ce li hai i numeri?”)
Ma quanto è lungo, in realtà, il tratto di costa tra Söderhamn e Valdemarsvik?

Un metodo per misurarne la lunghezza è servirsi di un atlante. Appoggiamo un pezzo di spago seguendo il contorno della linea costiera da Söderhamn a Valdemarsvik e misuriamo la lunghezza dello spago. Con l'aiuto della scala della cartina calcoliamo poi la lunghezza del tratto di costa.

Un altro metodo è camminare lungo la costa con un metro rigido (poveraccio quello che l'ha pensata!). In questo caso vengono misurati tutti i piccoli promontori e le piccole baie. Tutte le sporgenze della spiaggia rientrano nel calcolo, e il tratto di costa risulta molto più lungo rispetto al calcolo con l'atlante.

Se invece fosse una formica a misurare il tratto di costa, ogni granello di sabbia e ogni minima rientranza influenzerebbe il risultato.

La lunghezza aumenta man mano che si intensifica la precisione della misurazione, apparentemente senza alcun limite.  Varia con il variare dell’unità di misura.

In questi casi, a volte, può essere pratico utilizzare un modello matematico. Per esempio un frattale come la curva di von Koch.

Realizzeremo l’attività “FAI COSI’”  del testo!

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