Carnevale della matematica_15

IL Carnevale della Matematica è arrivato alla 15^a edizione: dai Rudi Matematici.

Blog | Rudi Matematici via kwout

Proprietà della traslazione e della rotazione

Continuiamo la nostra attività sui movimenti nel piano.
Abbiamo visto delle proprietà comuni alla traslazione e alla rotazione: avvengono nello stesso piano nel quale giace l'oggetto e sono movimenti rigidi che conservano invariate forma e dimensioni dell'oggetto (le figure ottenute con i due movimenti sono congruenti), traslazione e rotazione sono trasformazioni geometriche definite isometrie.
Ora studiamo le proprietà che distintamente caratterizzano le due trasformazioni.
Come al solito utilizziamo GeoGebra, cominciamo con la traslazione.
Clic sulla figura per aprire l'applet e ... scoprire!:

E la rotazione:

Ragazzi, vi segnalo Inserimento di un vettore tra due punti e traslazione con i vettori, un video della maestra Renata che vi sarà di grande aiuto per comprendere meglio la traslazione. Anzi direi che sarebbe da vedere prima!
Attenzione, sulla pagina troverete più di un video, tutti interessanti, dovreste vederli... : quello che ci interessa nel caso specifico è il terzo, insomma basta leggere :-)

Ripasso on line

Ragazzi, da UbiMath, vi segnalo degli esercizi da svolgere on line.
Clic per un'esercitazione sull'equivalenza di figure piane. Avrete anche il riscontro sulle vostre risposte con il punteggio ottenuto..
Es:

Brava vero? :-))
Ehi, troverete dei quesiti più interessanti!

Il cristallo Omega

Ancora C. Pickover ... !
Il cristallo Omega
" Il dottor Oz indica un affascinante insieme di scatole di grandezze a decrescere. "Dorothy, questo è il cristallo Omega" (la figura è mia. Con GeoGebra!)

Il cristallo Omega

Dorothy si avvicina di qualche passo al cristallo Omega. "Notevole!", afferma mentre esamina la struttura. Le scatole piccole sono così minute che ci vorrebbe un microscopio per vederle. "Se solo avessi una lente d'ingrandimento."
"Non importa. Voglio chiederti altro sulle scatole. I lati decrescono in un'interessante successione." Il dottor Oz tira fuori pezzo di carta con la seguente successione:

$1+ \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 } } + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 3 } } + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 4 } }+ \frac{ 1 }{ \sqrt{ 5} } + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 6} } + ... + \frac{ 1 }{ \sqrt{ n } }+ ... $

E consegna a Dorothy la carta. "Il bordo della prima scatola in alto è lungo un piede. La scatola successiva ha un bordo lungo un piede diviso per la radice quadrata di due, e quella successiva ancora ha un bordo lungo un piede diviso per la radice quadrata di tre, e così via. Questa serie diverge, o diventa sempre più grande, il che significa che il cristallo Omega è una struttura di lunghezza infinita! Se vuoi dipingere le faccette di un cristallo Omega, hai bisogno di una quantità di pittura infinita."
Alcuni dignitari - originari della costellazione di Vergine - in visita sulla Terra si avvicinano al dottor Oz e a Dorothy. L'addome e il torace dei dignitari trasuda un fluido che profuma come rose in una tiepida mattinata primaverile.
Il dottor Oz accenna un inchino e poi continua. "Fatto stupefacente, anche se la lunghezza è infinita, il volume del cristallo Omega è finito! Qual è il volume? Se capace di rispondermi entro due settimane, ti darò come premio il cristallo Omega, oggetto di grande valore. In caso contrario, lo farò a pezzi, il che susciterà una guerra transgalattica di proporzioni inimmaginabili."
Uno dei dignitari geme e quindi evapora.
Dorothy si volta verso il dottor Oz e chiede, "Dici sul serio?"
"Non proprio." Sussurra il dottor Oz. Ma mi piace usare un linguaggio altisonante per impressionare i nostri ospiti. Ma adesso, al lavoro!"

I volumi dei cubi che formano il cristallo Omega sono parte di questa serie:

$1+ \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2 } } + \frac{ 1 }{ 3 \sqrt{ 3 } } + \frac{ 1 }{4 \sqrt{4} }+ \frac{ 1 }{ 5 \sqrt{ 5 } } + \frac{ 1 }{ 6 \sqrt{ 6 } } +...+ \frac{ 1 }{ n \sqrt{ n } } +... $

Ad esempio, se usiamo come unità di misura i piedi, la prima scatola avrebbe un volume di un piede cubico e la scatola successiva avrebbe un volume di 0,35 piedi cubici circa. Questa serie converge. Il volume totale del cristallo Omega è dunque finito ma la superficie è infinita! Ovviamente, in realtà un oggetto infinito come questo non può essere costruito perché le scatole alla fine diventerebbero più piccole di un atomo; questo rimane comunque uno splendido esempio di un'ampia classe di oggetti matematici che hanno volumi finiti ma superfici infinite. [...]
... Quelli tra voi veramente bravi in matematica possono notare che la serie converge alla funzione zeta di Riemann, ζ(3/2). "

Il magico * 9 *

E ancora da L'Elmo Della Mente di Ennio Peres - Sfide matematiche.
Si gioca con i numeri: mica abbiamo scoperto tutto della numerazione in base 10!

Il magico 9

Modalità di esecuzione
1. Scrivi il numero 9 su un foglio, senza mostrarlo al pubblico; ripiegalo e inseriscilo in una busta.
2. Fornisci ai tuoi spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri):
__a) pensate a un numero intero composto da due sole cifre (ad esempio: 85);
__b) eseguite la somma di queste due cifre (85 ---> 8+5=13);
__c) sottraete il risultato così ottenuto dal numero scelto prima (85-13=72);
__d) se come risultato avrete ottenuto un numero composto da una sola cifra, fermatevi qui; altrimenti, eseguite la somma delle sue cifre (72 ---> 7+2=9).
3. A questo punto, chiedi che, al tuo via, ogni spettatore dichiari ad alta voce, insieme agli altri, il risultato che ha ottenuto.
4. Dai il via e, con un certo stupore, tutti gli spettatori diranno in coro: * 9 *.
5. Apri la busta contenente la tua previsione e metti in evidenza che avevi previsto esattamente il risultato che sarebbe stato ottenuto, nonostante avessi lasciato libero ogni spettatore di scegliere il numero che preferiva.

Eh, ragazzi? Magico 9!
Bisogna sapere che:
la differenza fra qualsiasi numero intero n e la somma delle sue cifre è sempre uguale a un multiplo di nove, indipendentemente dal numero di cifre da cui è composto n.
Provate!
Eppoi, come sappiamo, la somma delle cifre di un multiplo di 9 è sempre uguale a 9. (Un numero è divisibile per 9 quando ....)
Non è difficile dimostrare la proprietà.
Occorre scrivere in forma polinomiale (ehi, la ricordate? Se no, ripasso!) il numero a base 10. [attenzione, al link trovate la forma polinomiale di numeri a base diversa da 10].
Dalla scrittura polinomiale, qualche passaggio matematico (per es. considerando un numero di due cifre) ci porta a dire che:
n - (a+b) = 9*a (a e b sono le cifre che compongono il numero, a la cifre delle decine)
Ok, vedremo i passaggi ... in terza! :-)
Ah, una cosa: la somma delle cifre di un numero è detta radice numerica. Più precisamente: si sommano le cifre di un dato numero e si ripete la stessa operazione sui risultati via via ottenuti, finché non rimane una sola cifra. Questo risultato viene detto radice numerica.

Movimenti nel piano

Ragazzi, ricordate i pesciolini nell'acquario ...cartesiano?
Ah, se non li ricordate ... perché non li avete visti :-(
dovete fare il clic e andare a vedere.
E comunque,
guardiamoci questi due

Lo sapete che il pesciolino azzurro non è altro che quello rosso che nuotando ... ha cambiato colore?[perché i nostri pesciolini sono cangianti! :-) ]
Nel post, quello su cui siete andati a vedere, avevo accennato alla geometria delle trasformazioni. Dovremo occuparcene, come vi ho detto, in maniera da fare ordine...
Già conosciamo (un po'), trasformazioni che non deformano in alcun modo le figure, cioè che fanno ottenere delle figure congruenti a quella iniziale, figure che si sovrappongono punto per punto, combaciano... Lo abbiamo visto tante volte ruotando degli oggetti, es la squadretta, per cambiare la posizione di angoli ..., oppure osservando delle figure o delle tabelle o parti di tabelle che si guardano allo specchio ..., e abbiamo detto che si tratta di movimenti rigidi.
Il nostro pesciolino nuota in un mare che, in matematica, chiamiamo piano cartesiano.
Cominciamo dunque a conosce meglio i movimenti nel piano (in quello cartesiano in particolare, in un secondo momento, )
E, a proposito di movimento, non potendo stare ferma, ho preparato delle animazioni!:-)
Cliccate: osservate che il triangolo T si muove, scorrendo sul righello. Il movimento è chiamato traslazione.

La traslazione avviene nel piano stesso nel quale giace il triangolo T. E' una proprietà specifica della traslazione.
Ora un altro movimento. Il triangolo è fissato alla lancetta delle ore di un orologio. La lancetta ruota ...

La rotazione, come la traslazione, avviene nel piano stesso nel quale giace il triangolo T.
Infine, un altro movimento rigido: nell'animazione vedrete la figura F che si trasforma in quella F', mediante un ribaltamento.

Il movimento di ribaltamento avviene fuori dal piano in cui giace la figura F (apri il palmo di una mano: per sovrapporlo al palmo dell'altra devi eseguire un ribaltamento, movimento fuori dal piano che contiene la prima mano)

Ora, mettiamo giusto un po' d'ordine, curando un po' la terminologia specifica:

1) Movimento rigido: traslazione, rotazione e ribaltamento;
le figure ottenute mediante questi movimenti si sovrappongono perfettamente, punto per punto, alla figura di partenza; esse sono congruenti. Le due figure congruenti mantengono quindi invariate ogni lunghezza, l'ampiezza degli angoli, l'estensione nel piano (area). Si dicono perciò isometriche (dal greco, di uguale misura - iso, ricordate, isoscele...- ).
La traslazione, la rotazione e il ribaltamento sono delle trasformazioni geometriche definite isometrie.
2) La traslazione e la rotazione avvengono nel piano nel quale giace la figura iniziale: sono detti movimenti diretti; le figure ottenute con questi due movimenti si dicono direttamente congruenti (o direttamente isometriche)
3) Il ribaltamento è un movimento inverso: richiede di uscire dal piano in cui giace la figura iniziale.; le figure ottenute per ribaltamento sono dette inversamente congruenti (o inversamente isometriche).
E... vi sarete accorti che il ribaltamento lo abbiamo già conosciuto con il nome di simmetria (figure che combaciano, si guardano allo specchio...) Ma è una particolare simmetria... su queste dobbiamo indagare più a fondo!
Per il momento fate qualche esercizietto:
a) Osserva le tre figure

__ __

In quale figura osservi:
- Una traslazione? .........................................
- Una rotazione? ..........................................
- Un ribaltamento? ......................................
Quale dei tre movimenti non è avvenuto nel piano nel quale giace la bandierina alla sinistra? ...............
Infine va', due schede da ingrandire e stampare, per sapere ...

e per saper fare

Testo di riferimento per l'argomento e le attività: Matematicamente - Ed scolastiche B. Mondadori da cui sono tratte schede e immagini.

Schede ripasso: calcolo con frazioni

Il calcolo con le frazioni, meglio dire con i numeri razionali, è anch'esso una "chiave di ricerca" frequente. Ma, ragazzi di II, direi proprio: vale anche per voi!:-)
Si possono rivedere le spiegazioni nel link indicato, QUI, QUI e QUI.
Propongo delle schede di esercizi direttamente da un "libro delle vacanze" - Il capitello edizioni (che suggerisco, ripassare divertendosi!)
Ingrandire le immagini e stampare

Addizione e sottrazione

E un divertente Colora spazi

In una prossima scheda, l'elevamento a potenza.

Per esercitarsi con il calcolo con le frazioni, aggiungo un'altra segnalazione. Clic sulla figura, si può scaricare il file Excel dal sito di Daniel Mentrard

E' possibile controllare le soluzioni degli esercizi.
Sarebbe possibile! Come si legge, il file è in lingua francese (le cifre e i simboli delle operazioni... come i nostri, eh! :-)) e sono utilizzate le formule di Excel per il calcolo del Massimo Comune Divisore e del minimo comune multiplo, appunto in lingua francese.
- Per il MCD, la formula in francese è: =PGCD(num1; num2)
PGCD sta per: plus grand commun diviseur (il più grande divisore comune)
- Per il mcm: =PPCM(num1;num2)
PPCM sta per: plus petit commun multiple (il più piccolo multiplo comune)
Come vedete le denominazioni in francese ci aiutano perfino ... a non equivocare!
Che vi dico di solito? O meglio, cosa succede a volte con quel "mcm", quel termine "minimo" all'inizio? quante volte ci fa "sparare" il più piccolo dei numeri dati? Mentre stiamo cercando un multiplo! :-) Dunque, in francese: le plus petit commun multiple!
Ah, per verificare le soluzioni nel file segnalato:
nella colonna Solutions se cliccate su Afficher appaiono nelle celle dei simboli cancelletto, poiché il nostro Excel in italiano non riconosce le funzioni.
Clic sulla cella e nella barra della formula sostituire la scritta PGCD con MCD e
e la scritta PPCM con mcm.
Poi premere il tasto F9 per aggiornare i dati.