domenica 22 marzo 2015

Sarà mica matematica 34

Per chi non avesse ancora visto,

perché qualcuno che ha visto c’è e ha tentato anche qualche soluzione!

Segnalo il nuovo

Sarà mica matematica 34 del prof Davide.

Un bel quesito aritmetico-algebrico, di quelli che piacciono tanto a me (ma anche a voi, sì), quelli che ci avviano a ... generalizzare. Matematicamente parlando, si intende!

Poi uno a cavallo tra l'aritmetica e la geometria, come dice lo stesso prof Davide. L’immagine è questa

Cliccateci sopra e saprete tutto!

Buoni giochi! Mi aspetto cose eh?? Sorriso

Grazie al prof. Davide.

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mercoledì 18 marzo 2015

Due a settimana..._11, le soluzioni

Pubblico le soluzioni del

Due a settimana..._11

Il quesito 1, la struttura a gradini...

ha creato inizialmente qualche perplessità tanto da rendersi necessario il fatidico aiutino. Più che altro l’aiuto è stato sfruttato in seconda, chi in terza aveva incontrato iniziali problemi ha preferito non cogliere (coloro che hanno dato la risposta, avevano intuito da soli il ragionamento corretto). Forse stavolta è venuta a mancare la giusta concentrazione, stage in Inghilterra in vista... Forse! Oppure stavolta si è solo aggiunta della deconcentrazione?

In ogni modo...

Ho dovuto invitare all’osservazione della struttura dall’alto in basso, tenendo conto dei numeri. Ho detto anche che si poteva osservare bene la forma di quella struttura e...

Sì, piano piano sono tornati alla memoria storielle e numeri triangolari! [Segnalo un post-relazione dei ragazzi di qualche anno fa:

Attività sui numeri triangolari e somma consecutivi

Raga, leggete, scrivevano più di voi! Sorriso]

Andiamo per ordine. Per la classe seconda hanno risolto: Alessia, Gian Franco, Miriam, Antonella, Giuseppe P., Elisa.

Alessia scrive:

ho sommato i quadrati della struttura a 4 scalini ottenendo 10 quadrati, facendo questa operazione mi sono ricordata (grazie alle dritte della professoressa) le coppie di 5 per arrivare al totale dei quadrati: 4+1, 2+3. [in verità Alessia alla prof, in privato, ci mettiamo anche fuori della porta dell’aula in qualche caso Sorriso, continuava a rispondere solo: il totale è 10. – Ok, quindi nella struttura a 20 gradini? E mi risponde come dice sotto ... disorientandomi!]

Per quella a 20 scalini ho fatto 1+19, 2+18 ecc... e facendo questo ho ottenuto 10 coppie da 20 + una da 10 e mi sono anche ricordata la "storiella di Gauss". Poi sono arrivata alla formula generale per scoprire quanti quadrati ci sono nelle figure a scalini. Sempre grazie alle dritte, ho considerato tanti esempi, sommando numeri da 1 a un numero pari per facilitarmi:

da 1 a 4 ci sono 10 quadratini: 2 coppie da 5, 2x5
da 1 a 6 ci sono 21 quadratini: 3 coppie da 7, 3x7
da 1 a 8 ci sono 4 coppie da 9, 4x9, 36 quadratini
da 1 a 10 ci sono 5 coppie da 11, 5x11, 55 quadratini

Si forma sempre un numero di coppie che è la metà del numero da 1 a ... n [la metà di n], e la somma di ogni coppia è il numero n +1. Ecco la formula generale:

da 1 a n ci sono (n/2) * (n+1) quadratini.

Quindi da 1 a 20 ci sono (20/2) * (20+1) = 10*21= 210 quadratini

Area= 0,9 cmq * 210 = 189 cmq

Gian Franco invece ha sfruttato il secondo aiuto, la forma... :

Dopo aver osservato la forma della figura come ci aveva consigliato la prof, ho notato che la figura sembrava un triangolo. Poi siccome in ogni scalino c'erano i numeri in successione ho pensato di sommarli e ottenevo i numeri triangolari, cioè la somma dei numeri naturali in successione. Li ho sommati fino a 20 e quindi ho ottenuto il numero di tutti i quadrati. Poi la mia curiosità è stata attratta da quel: "trovare una formula generale". Allora ho cominciato a sfogliare tra i vecchi appunti dei numeri triangolari e  a consultare un po' su internet e ho trovato la formula:     

n (n+1)/2

e allora per i 20 gradini: 20 (20+1)/2 = 10 x 21 =210 quadratini in tutto.

Si fa n (n+1) perché avvicinando a un triangolo un triangolo uguale, si ottiene un rettangolo di lati n e n+1 e poi si fa diviso due per trovare i quadrati del triangolo, come fare bxh/2:

es. image

Infine ho fatto 9 cmq/10 per trovare la misura dell’area di ogni quadrato che ho moltiplicato per 210 per trovare l’area della struttura a 20 scalini ottenendo 189 cmq.

Miriam, Antonella, Elisa e Giuseppe sommano tutti i numeri naturali in successione dall'1 al 20 (1+2+3+4+5+.....+20=) ottenendo 210. Ecc...  Antonella in verità considera anche i numeri triangolari descrivendo la costruzione di un rettangolo e considerando la metà. Ma avrebbe fatto prima a costruirlo! Sorriso

Per la classe terza risolvono: Bachisio, Pierluigi, Pietro P., Manuel e Gabriele G.

Bachisio afferma che la scala gli ricorda i numeri triangolari e la somma di Gauss, schemi e disegni di triangoli sono riportati su foglietto... No, deve sprecarsi un po’ ad usare il digitale! Arriva anche alla formula generale (che forse ha controllato da qualche parte ma, bene uguale!).

Pierluigi descrive (in maniera non troppo lineare) la costruzione di un rettangolo sul triangolo e quindi divide per 2, ecc.

Pietro e Manuel sommano i numeri naturali da 1 a 20.

Gabriele, eh Gabriele costruisce proprio la struttura a 20 gradini, anche se, per sommare più agevolmente i quadrati che la compongono, ricorre alla sua scomposizione in forme triangolari e quadrate.

Quesito 2

La soluzione è duplice. I voti ottenuti dai cinque candidati potevano essere nell’ordine: 12 - 8 - 7 - 5 – 4. Oppure 12 - 9 - 6 -5- 4. La soluzione richiesta, il secondo posto, poteva essere dunque 8 oppure 9.

Per la seconda, danno entrambe le risposte: Alessia, Miriam, Gian Franco. Una risposta, Antonella e Giuseppe.

Più o meno tutti hanno:

sottratto da 36 voti i 12 e i 4 cioè 36-16=20. Poi hanno cercato di trovare tre numeri minori di 12 e maggiori di 4 tutti diversi e hanno trovato due soluzioni che sono: 5,7,8 e 5,6,9. Quindi le possibilità del punteggio del secondo classificato sono 2: 9 e 8.

Per la terza, risolvono con due soluzioni: Bachisio, Manuel, Pietro P., Gabriele G. Una soluzione è data da Pierluigi e Marco. 

Mi pare di essere giunta alla fine!  Segnalate se ho scordato qualcosa o qualcuno.

Solite lodi a chi ha lavorato, bravi! E ora vado a leggere le risposte dei ragazzi del prof Davide, che ha pubblicato ma non ho ancora letto.

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sabato 28 febbraio 2015

Due a settimana..._11

Nuovi giochi arrivano...

I due quesiti sono i seguenti

Quesito 1, geometrico (?)

L’area della struttura in figura, a quattro scalini (è una struttura sul piano), formata da quadratini tutti di egual misura, è di 9 $cm^2$.
Quanti $cm^2$ misura l’area di una struttura a venti scalini, formata da quadratini della stessa dimensione di quelli in figura?

image

Capito il perché di quel punto interrogativo accanto alla scritta geometrico? E’ vero che di aree si occupa la geometria, ma a me il quesito non pare proprio geometrico. O no? Mi spiace un po’ ma per stavolta trascuriamo la geometria seria!

Ehm, voi non avrete mica intenzione di disegnare la struttura a 20 scalini, vero? Non serve questo, anzi direi che è richiesto un altro ragionamento, anzi proprio un ragionamento (la costruzione dei venti scalini non lo sarebbe!)

Se poi riusciste a generalizzare il ragionamento, quindi scoprendo una formula, sareste ancor più bravi.

Quesito 2

In una classe si sono svolte le elezioni per nominare il capoclasse. I voti espressi sono stati complessivamente 36. Hanno ricevuto voti cinque candidati: il più votato ne ha ricevuti 12, quello meno votato ne ha ricevuti 4 e non ci sono due candidati con lo stesso numero di voti. Quanti voti ha ottenuto il candidato che si è piazzato al secondo posto?

Anche questa soluzione, ovviamente, è da spiegare.

E’ tutto qui! Sorriso

Buoni giochi a tutti.

Oh, la scadenza: domenica 15 marzo 2015. Davvero troppo tempo!

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giovedì 26 febbraio 2015

Sarà mica matematica 33, le nostre soluzioni

Ecco le nostre soluzioni del bellissimo

Sarà mica matematica 33 del prof Davide.

La Piazza Grande di Palmanova ci ha dato una bella occasione, in seconda, per scoprire le proprietà dell’esagono regolare che ancora non avevamo visto.

I solutori del quesito si sono dati da fare per lavorare sull’esagono ed essere poi in grado di rispondere correttamente. Hanno fatto molto da soli, lodi lodi, anche se non è mancato un piccolo aiuto da parte della nostra insegnante di sostegno... che me li coccola! Sorriso Ma sì, ma sì, bene...

La spiegazione completa non è arrivata proprio da tutti ma va bene così. Per stavolta!

Bene, andiamo alle soluzioni e ai solutori.

Quesito 1, la Piazza appunto

Per la classe seconda risolvono: Alessia, Elisa, Gianfranco, Antonella, Giuseppe P., Arianna

Tutti arrivano alla corretta soluzione mediante questa figura (la costruzione è di Gian Franco, ho nascosto per ora un elemento...):

image

Affermano, sintetizzo le risposte, che:

le diagonali dell'esagono, che sono tre, si incontrano in uno stesso punto che è equidistante dai vertici. Le tre diagonali dividono l'esagono in 6 triangoli equilateri. Quindi i due percorsi sono uguali perché: quello arancione è formato da due lati (uno di un triangolo, uno di un altro triangolo) più metà di un altro lato, il percorso blu è formato da due lati dell'esagono (che sono anche le basi di due triangoli) più metà di un altro lato.  Essendo i triangoli tutti equilateri, di conseguenza i due percorsi sono uguali.

Sì, va bene, ma la prof ha chiesto anche di dimostrare perché quei triangoli sono equilateri. Come facciamo ad esserne sicuri?

Le risposte complete sono arrivate da Gian Franco e Alessia. Alessia scrive per la dimostrazione:

l'esagono è diviso in 6 triangoli equilateri-equiangoli perché: l'angolo centrale di 360° è diviso in 6 parti dalle diagonali che si incontrano [nel centro della circonferenza circoscritta]. Ogni angolo misura 60°.

Siccome i triangoli sono isosceli perché due lati sono raggi della circonferenza circoscritta, i due angoli alla base sono congruenti e misurano ciascuno: (180° - 60°) : 2= 60°. Quindi i triangoli sono equiangoli e perciò equilateri.

Noto ora che Alessietta non ha inviato immagini, sfruttiamo quella di GianFranco (mostro ora la circonferenza circoscritta):

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Gian Franco scrive:

Gli angoli interni dell’esagono regolare sono di 120°. Se dell'esagono traccio le diagonali (che equivalgono alle bisettrici) divido il poligono in 6 triangoli uguali, formati da due raggi della circonferenza circoscritta e un lato dell'esagono. I triangoli sono equilateri. Però di questo non sono sicuro allora devo dimostrarlo. Quindi ho pensato che siccome le bisettrici dividono l'angolo a metà, due angoli di ogni triangolo sono congruenti e misurano ciascuno 60° [sono gli angoli alla base del triangolo isoscele: due lati sono congruenti perché raggi della circonferenza circoscritta]. Qui ho pensato a come poteva essere l'altro angolo e siccome la somma degli angoli di tutti i triangoli del mondo è di 180° [Sorriso], togliendo da questo i due 60° ottenevo nuovamente 60°. Questo significa che il triangolo è equiangolo e quindi anche equilatero.

La figura che mostra la spiegazione di Gian Franco dovrebbe essere questa:

image

Bene. Ora i solutori della classe terza: Manuel, Bachisio, Pierluigi, Gabriele G., Pietro P.

La spiegazione completa, con dimostrazione riguardante i triangoli equilateri, è fornita solo da Bachisio e Pietro.

La dimostrazione è simile a quella di Alessia, Pietro lavora solo sull’angolo al centro di 180° (la costruzione originale è di Manuel, ho aggiunto l’angolo al centro e la circonferenza): i percorsi sono uguali perché abbiamo dei triangoli equilateri. Però resta da stabilire perché sono equilateri: perché se tracciassimo la circonferenza circoscritta all'esagono vedremo che due lati sono uguali, quindi abbiamo dei triangoli isosceli, poi dividiamo l'angolo al centro in tre angoli uguali. Avendo anche gli altri due uguali capisco che sono equilateri. [più sintetici di così....]

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Passiamo al Quesito 2, coltivazioni e matematica, dice Alessia Sorriso

Risolvono per la seconda: Alessia, Elisa, Gianfranco, Antonella, Giuseppe P., Arianna, Miriam.

Il prof Davide ha piantato 9 zucchine, 18 melanzane, 36 pomodori, 54 fagioli.

Spiegano bene tutti e si sono aiutati con uno schemino tipo questo:

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Lo schema è di Miriam e copio incollo la sua spiegazione, bella chiara, ci dice passo a passo...

Ho lavorato aiutandomi con degli stuzzicadenti, seguendo passo passo ciò che mi diceva il problema.
Esso diceva che "Per ogni seme di zucchina ne ho piantati due di melanzane". Perciò ho posizionato sul tavolo uno stuzzicadenti rappresentante il seme della zucchina e sotto due stuzzicadenti che rappresentavano i semi delle melanzane.
Fino a quel momento avevo 3 semi.
Poi il problema mi diceva che "Per ogni seme di melanzana
ne piantati due di pomodoro", quindi, sotto ogni seme di melanzana ho posizionato  2 stuzzicadenti che rappresentavano i due semi di pomodoro.
Quindi avevo 7 semi.
Ho continuato a leggere il problema, l'ultimo dato che mi forniva il problema era che "Per decidere quanti fagioli seminare ho contato i semi di melanzane e pomodori, sommati, e ne ho piantati altrettanti di fagioli", quindi, siccome i semi di melanzane e pomodori sommati sono 6 (2 melanzane + 4 pomodori) ho piantato 6 semi di fagioli, 3 sotto i due di pomodori, e i 3 restanti sotto gli altri 2 di pomodori.
Avevo 13 semi.
Sapevo che per trovare quei tredici semi ero partita da un solo seme di zucchina, però in totale c'erano 117  semi.
Per sapere quante volte si erano "ripetuti" quei 13 semi ho fatto 117 : 13 = 9
Poi ho moltiplicato per 9 i semi di partenza delle diverse varietà, quindi:
1 seme di zucchina x 9 = 9 semi di zucchine
2 semi di melanzane x 9 = 18 semi di melanzane
4 semi di pomodori x 9 = 36 semi di pomodoro
6 semi di fagiolo  x 9 = 54 semi di fagiolo
infatti, 9 + 18 + 36 + 54 = 117.

Gian Franco arriva a mostrare l’orto completo del prof Davide! Sorriso

Copio incollo spiegazione e immagine dal suo foglio di Excel

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Per la terza rispondono: Manuel, Bachisio, Pierluigi, Gabriele G., Pietro P.

E, loro sono in terza! Sono stati bravi, devo dirlo. Non abbiamo ancora fatto le equazioni ma, ispirati dai monomi, dicono, hanno impostato, quasi tutti correttamente, un’equazione risolutiva del problema:

indico i semi di zucchina con la x, i semi di melanzana sono il doppio dei semi di zucchina quindi 2x;
i semi di pomodori sono il doppio dei semi di melanzana quindi il quadruplo di quelli di zucchina cioè 4x;
i semi di fagioli sono la somma dei semi di melanzana e pomodoro quindi 6x;

117= x + 2x + 4x + 6x
117= 13x
x= 117/13 = 9 semi di zucchina

9*2=18 (semi di melanzana)
18*2=36 (semi di pomodoro)
18+36=54 (semi di fagioli)
9+18+36+54=117

Bene, bene. Eh, dico così: ovviamente, per chi ha lavorato! Sempre pochi, ahimè. Ma sanno tutti bene che ognuno si assume le proprie responsabilità!

E mi pare di non aver scordato niente...

Grazie, come sempre, stavolta ancora di più, al prof Davide!

Domani pomeriggio dovrebbero essere qui i nuovi quesiti Sorriso

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