lunedì 8 febbraio 2016

Due a settimana..._15

Eccoli, pronti i nuovi quesiti!

Partiamo da una robina facilissima, il

Quesito 1

Osservate la figura

image

Vedete sei circonferenze dello stesso raggio disposte all’interno di un rettangolo grande, tangenti fra loro e tangenti ai lati del rettangolo. [Voi della prima, si capisce tangenti? Non abbiamo ancora avuto occasione mi pare… Tangente viene dal latino tangere che vuol dire toccare. In questo caso, lo vedete, le circonferenze si toccano fra loro e con i lati del rettangolo. Per ora basta questo]. Torniamo alla figura:

i vertici del rettangolo piccolo sono situati ciascuno nel centro di una circonferenza. Il perimetro del rettangolo piccolo misura 60 cm. Quanti centimetri misura il perimetro di quello grande?

Quesito 2, numerico

Quale delle seguenti proposizioni è falsa per la somma S di quattro interi positivi dispari consecutivi qualsiasi?

  1. S è pari
  2. S può essere multiplo di 16
  3. S non è mai un quadrato perfetto
  4. S può essere un cubo perfetto
  5. S è sempre maggiore o uguale a 16

Cos’è un quadrato perfetto lo sapete, un cubo perfetto… lo intuite!Smile  Ma sì, sapete cos’è il cubo di un numero: il prodotto di tre numeri interi uguali, cioè un numero elevato alla terza potenza. es: 8, 27, 64, …

Per ogni affermazione potete fare degli esempi, ma cercate anche di generalizzare. Suggerisco: magari ricordate che un numero dispari qualsiasi si può scrivere nella forma 2n ± 1 (più o meno 1). Stavolta vi conviene indicare il primo numero dispari solo con n. Il consecutivo sarà …?

Quesito 3, ancora geometria

Figura:

image 

I due quadrati ABCD e EFGH sono uguali.
La parte colorata ha area 1 u². Qual è l’area del quadrato ABCD?

Non allarmatevi, aiutino: osservate bene, una parte dell’area colorata è contenuta nel quadrato. Ragionate sulla parte che sta fuori!

Buoni ragionamenti a tutti!

La scadenza: martedì 23 febbraio 2016

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domenica 7 febbraio 2016

Sarà mica matematica 38, le nostre soluzioni

Ed ecco le nostre soluzioni del

Sarà mica matematica n° 38

Che dire? Qualcuno batte la fiacca, qualcuno trova difficoltà, qualcuno comunque ci prova, qualcuno trova le soluzioni ma non le spiega… insomma di tutto un po’. Anche il numero di solutori è un po’!

Quesito 1, le date di nascita

Per la classe prima risolvono: Yuri, Andrea, Marta C. (per tentativi trova due date ma non la terza), Elena (che non spiega), Paola, Roberta (per tentativi), Aurora (come Marta C.), Antonio, Sara (che non spiega), Luca.

Per la terza: Antonella e Gian Franco, Alessia, Giuseppe P.

Le risposte più complete ed esaurienti sono simili a quella di Giuseppe P., che copio-incollo:

Secondo me Paolone è nato nel 1958, ho proceduto svolgendo la seguente operazione: 116:2=58. Ho considerato il 1900, ho dovuto calcolare la differenza tra 2016 e 1900= 116. Poi dividerla per due perchè l'età deve corrispondere alle ultime 2 cifre dell'anno di nascita.

Paolino ha 8 anni, ho tratto questa conclusione prendendo in considerazione gli anni 2000, 2016-2000= 16:2=8. Paolino è nato nel 2008.

Seguendo lo stesso ragionamento, la persona denominata Io [e sì, “Io” è stato da alcuni identificato con il prof Davide, altri hanno avuto qualche dubbio, chissà perché… Mah, io non voglio dirlo! Che abbiano fatto paragoni??Winking smileQualcuno, non volendosi sbilanciare, ha scritto anche “età di io: ha 47 anni ed è nato nel 1969Smile] avrà la stessa coincidenza nel 2038, quando avrà 69 anni, essendo nato nel 1969.  2038- 1900= 138;  138: 2= 69. 

Quesito 2, i marmi dei mosaici

Per la classe prima i solutori: Andrea, Yuri, Paola, Roberta, Aurora (che somma le aree utilizzando la costruzione su Geogebra), Davide (realizza la costruzione corretta su Geogebra ma fa dei ragionamenti complicatissimi e non riporta il risultato finale corretto), Antonio, Marta C., Roberta, Sara, Luca.

Per la terza: Antonella e Gian Franco, Alessia, Giuseppe P., Elisa, Miriam.

Cominciamo con una delle costruzioni realizzate con Geogebra, questa è di Roberta:

image Dato il perimetro del quadrato complessivo, di 16 cm, si chiedeva l'area della superfice in marmo bianco.

Roberta, come altri, spiega così:

 L’area del marmo bianco è di 12 cm².

Faccio innanzitutto 16/4=4 cm e ottengo la misura di un lato del quadrato grande.
Poi: 4/2=2 cm e ottengo la misura di un lato del quadrato medio.
Quindi: 2*2=4 cm² e ottengo l'area di un quadrato medio bianco.
Moltiplico per 2 perché i quadrati medi sono due: 4cm²*2=8 cm² e ottengo l'area dei quadrati medi bianchi.
A questo punto ho osservato attentamente la figura e con le parti rosse, dei triangoli, ho formato due figure identiche corrispondenti al quadrato piccolo bianco:

image

Questo significa che un quadrato piccolo bianco corrisponde alla metà di un quadrato medio.
Quindi ho fatto 4cm²/2=2 cm² e ottengo l'area di un quadrato bianco piccolo, ma i quadrati piccoli sono 2 quindi 2cm²*2=4 cm²
[E tanto valeva…!]
Infine ho fatto 8 cm²+4 cm²=12 cm²

Di Paola mi è piaciuta la spiegazione del perché i quadrati piccoli sono equivalenti alla metà dei medi:

Perché se ruoto di 180 gradi un triangolo di marmo rosso combacia perfettamente con 1/4 di un quadrato minore di marmo bianco. [li ha ruotati tutti e quattro e colorato in bianco i triangoli corrispondenti nelle rotazioni]

image I punti con etichetta sono i centri di rotazione.

Altri:

dividono il quadrato medio in 8 triangoli rettangoli uguali e ne “prendono” la metà, ovvero 4, che quindi equivalgono alla metà del quadrato medio.

Altri ancora:

considero il lato di un triangolino=1 cm; area di un triangolino: 0.5 cmq; 0,5*4=2 cmq=area di 4 triangolini= area di uno dei quadrati piccoli.

Infine, la domanda aggiuntiva per secondini e terzini: quali le dimensioni minime della lastra bianca iniziale intera da cui sono stati ricavati i pezzi bianchi?

La risposta è stata data solamente da Alessia e dai cuginetti Lella (che sarebbe Antonella) e Gianfri (che sarebbe Gian Franco)

Alessia invia la costruzione:

image

Lascia intuire a me che ha trovato il lato dei quadrati piccoli pari a √2 cm.

I cuginetti dicono:

Se il lato dei triangolini rossi che sono rettangoli isosceli, è di 1 cm, secondo il teorema di Pitagora il lato del quadrato piccolo è uguale a √2 cm quindi:

la lastra bianca iniziale è formata dai 4 quadrati bianchi di dimensioni 2 cm e √2 cm che uniti formano un rettangolo (aggiungendo il pezzo tratteggiato) delle seguenti dimensioni:

image

E bravi Alessia e cuginetti! – Visto che sono stati gli unici.

Quesito 3 le spirali nei mosaici

Il prof Davide ha ricostruito un particolare su Geogebra

E la domanda: Se il lato del quadrato misura 10 cm, qual è la lunghezza complessiva delle linee nere della spirale?

Per la classe prima risolvono: Paola, Roberta, Yuri, Aurora (spiega ma non riporta la lunghezza totale della spirale), Antonio, Elena, Sara, Andrea, Luca.

Per la terza: Antonella e Gian Franco, Arianna, Alessia, Giuseppe P., Miriam.

Diverse le risposte del tipo:

La lunghezza complessiva delle 2 linee nere della spirale è di 60 cm. Ogni linea nera è composta da 2 parti che misurano 7.5 cm ciascuna e altre 3 parti da 5 cm. La lunghezza di una delle linee nere della spirale è di 30 cm: (7.5x2) + (3x5)= 30 cm. 30x2= 60 cm.

Qualcuno scrive:

la spirale comprende:
i 3/4 di ogni lato cioè 3/4 di 10 cm=7.5 cm, che si ripetono sui 4 lati, quindi: 7.5×4 =30 cm;
attraversa l’interno del quadrato con 1/2 del lato per 6 volte, cioè 5×6=30 cm.

La lunghezza complessiva della spirale è perciò di 60 cm.

Più originale la soluzione di Antonio (non precisissime le costruzioni):

trasforma la spirale iniziale

image

in questa:

image

Trasporto le due linee che passano al centro del quadrato, tagliate a metà, sui lati del quadrato per averli interi, quindi ho 4 lati da 10 cm: 10x4 = 40 cm. Rimangono 4 linee all’interno da 5 cm ciascuna: 5x4 = 20 cm. La lunghezza totale è: 40 cm + 20 cm = 60 cm.

Ho concluso, se scordo qualcuno mi si faccia notare.

Grazie come sempre al prof Davide,

Bravo a chi ha lavorato e anche a chi ci ha provato.

Oh, i nuovi quesiti spettano a me! Smile

Qualcosa è già pronto, pubblicherò appena completo. A prestissimo!

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domenica 17 gennaio 2016

Sarà mica matematica 38

Il prof Davide

ha postato! - Ormai dite così voi primini Smile

Sono i nuovi giochi del

Sarà mica matematica 38

Divertenti e interessanti come al solito. E tanta bellezza!

Vi mostro solo un’immagine, che è un collage di foto di mosaici di una famosa basilica della città di Ravenna (voi trovate gli intrusi! Smile)

Che dite? Meravigliosa geometria!!

Mi pare sufficiente per tuffarsi a curiosare: Cliiic!

Buone soluzioni e

grazie prof Davide!

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lunedì 11 gennaio 2016

Due a settimana..._14, le soluzioni

Ed ecco le soluzioni

dei giochi per le vacanze di Natale. Sono trascorse ben tre settimane, non vi ho trovati in piena forma nelle risposte. Non tutti almeno. Molti di voi, in più di un quesito, hanno dovuto ri-tentare! Sarà proprio perché sono trascorse ben tre settimane? Troppe!? E il clima natalizio non si confà ai giochi matematici? Ma pure a tanto altro… non si confà, eh eh.

Quesito 1 treni, fermate e…

Per la classe prima risolvono: Roberta, Maria, Valentina, Andrea, Paola, Elisa, Yuri, Aurora, Marta C., Antonio, Marta D., Sara, Luca, Margherita. Martina, che può aver lavorato con Sara, ma non si è ben capito, non ha comunque corretto il risultato errato.

Per la terza: Antonella, Alessia, Miriam, Gian Franco, Elisa, Giuseppe P.

Le risposte sono tutte abbastanza simili, in sintesi:

ho calcolato inizialmente la metà di 114 quindi 57. Ho diviso questo numero per la differenza dei passeggeri in uscita dal treno e quelli in entrata ad ogni fermata, quindi per 7. Il numero più vicino alla metà di 114 che sia divisibile per 7 è il 56. Quindi 56:7=8. Dopo 8 fermate il numero dei passeggeri rimasti è il più vicino possibile alla metà di quello iniziale.

In alternativa, è stato trovato il numero che moltiplicato per 7 si avvicina di più a 57.

Qualche solutore della prima, forse volendo dedicare più tempo Smile, dopo aver diviso per 2 il 114, ha eseguito delle sottrazioni successive da 114: 114-13+6=107; 107-13+6=100; etc … fino ad arrivare a 58. Lo ha fatto per 8 volte, infatti: da tutto ciò deduco che dopo 8 fermate il numero di passeggeri rimasti è il più vicino possibile alla metà dei passeggeri iniziali.

[Oh, abbiamo già avuto occasione, giusto in questi giorni, di verificare che la divisione può considerarsi una sottrazione ripetuta di sottraendi uguali. Ho invitato a richiamare alla mente certe risposte ai quesiti e, sì, ho visto qualcuno annuire … ]

Quesito 2 il triangolo 4 volte più grande

Ebbene, il 4 volte più grande ha dato il suo bel daffare! Sono state date due differenti risposte.

Alcuni solutori, indistintamente, e della prima e della terza, hanno interpretato come 4 volte più grande l’area del triangolo.

Altri invece hanno interpretato, correttamente, come 4 volte più grandi i lati del triangolo.

Evidentemente solo in pochi hanno letto con attenzione la mia considerazione sul quesito. Tuttavia ho deciso di prendere per buone entrambe le interpretazioni poiché la sola formulazione del problema, richiedendo il triangolo 4 volte più grande, poteva pure dare luogo all’equivoco.

Ma pongo a tutti la domanda: se la richiesta fosse stata la costruzione di un triangolo 3 volte più grande, sareste riusciti a triplicare l’area utilizzando come “piastrella” il triangolo dato (ma anche uno diverso)? 

Eh, non posso negare di aver provato una certa delusione da parte dei (pochi) solutori della classe terza: solo di recente si era parlato di similitudini e omotetie! Il n° di volte più grande era stato considerato nei suoi diversi aspetti: lati, perimetri, aree… E sia, come si diceva sopra, la concentrazione durante le vacanze era carente.

Veniamo alle soluzioni e i solutori.

Per la prima: Roberta, Paola, Elisa, Andrea, Aurora, Luca, Marta C. Yuri, Sara e Martina (che inviano separatamente la stessa risposta, affermano anche di aver fatto tutto su geogebra, ma non presentano alcuna costruzione. Neppure su invito a …), Antonio invia la risposta senza alcuna spiegazione. E non va bene!

 Roberta, Paola e Aurora hanno moltiplicato per 4 le misure dei lati del triangolo.

Roberta dice:

Sì, è possibile costruire un triangolo 4 volte più grande di quello dato. Io ho utilizzato in tutto 16 triangoli.
Per ottenere questo risultato innanzitutto ho riflettuto attentamente  sul consiglio datoci dalla prof. e mi è tornato in in mente un esercizio che avevamo trovato sul libro
[Si tratta di un esercizio sulla variazione del prodotto al variare dei fattori in una moltiplicazione, della quale sul testo avevamo commentato l’interpretazione geometrica]

Con un ragionamento alquanto complicato, Roberta pasticcia in un primo momento con la costruzione su Geogebra, tracciando in maniera imprecisa l’altezza del triangolo di partenza [ma si può ben scusare, il triangolo è ottusangolo e ancora in prima non abbiamo parlato di altezze. In compenso, sollecitata via e mail a scoprire, ha imparato a costruire le altezze!]

Scrive successivamente:

Se quadruplichiamo la base [e anche gli altri lati], quadruplica anche l’altezza del triangolo. Quindi la formula per calcolare l’area sarà: 4*b*4*h/2. Semplifico la formula utilizzando la proprietà commutativa: 4*4*b*h/2.
Quindi la formula finale è: 16*b*h/2
Una volta eseguito questo ragionamento ho costruito la figura per accertarmi del risultato.

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Paola scrive:

il n° di triangoli che ho dovuto usare per formare un triangolo 4 volte più grande del triangolo principale sono 16. Su geogebra ho prima costruito un triangolo con un lato da 4, uno da 3 e uno da 6, poi ho costruito un triangolo con un lato da 16, uno da 12 e uno da 24 (cioè 4 volte più grande). Dopo ho posizionato il triangolo minore in un punto del triangolo maggiore e ne ho copiato e incollato degli altri. Da lì ho capito che erano 16.

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Aurora:

ho riprodotto il triangolo poi ho moltiplicato le sue misure *4. Per vedere quanti triangoli mi servono per piastrellare ho ruotato [manualmente?] i triangoli più piccoli in modo che combaciassero. Quando ho finito ho contato i triangoli e sono 16

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Elisa e Andrea propongono le due soluzioni.

La prima dice: usando 3 triangoli uguali ho trovato un triangolo 4 volte piu grande, ho usato 3 triangoli, il quarto triangolo (cioe quello al centro) lo ricavo accostando i 3 triangoli

image Smile

Poi aggiunge: dopo aver letto di nuovo la domanda ho pensato di moltiplicare per quattro i lati e ho scoperto che al suo interno ci sono sedici triangoli.

image

Andrea dice di aver pensato ad entrambe le soluzioni e invia le due costruzioni:

image [non è proprio il triangolo dato, ma va bene…]image

Luca, Marta C. e Yuri quadruplicano l’area, Sara e Martina e Antonio i lati ma non spiegano...

Comunque: e bravi i primini!

Per la terza, i solutori: Alessia, Antonella, Gian Franco, Miriam, Giuseppe P.

Sarà forse più pigra la terza? Chissà… pure tenuto conto del numero inferiore di alunni. Ah!

Alessia, Gian Franco e Antonella quadruplicano in un primo momento l’area e, solo dopo osservazione della prof., aggiustano il tiro e pensano all’omotetia di rapporto 4.

Gian Franco invia la costruzione con l’omotetia e, sullo sfondo, la visualizzazione dei 16 triangoli ottenuti con una serie di traslazioni e rotazioni (ma la costruzione è piuttosto contorta).

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Miriam e Giuseppe risolvono quadruplicando l’area.

Giuseppe scrive:

Secondo me la regola alla quale si fa riferimento è quella della similitudine.

Il rapporto tra le aree del primo e del secondo triangolo è di 1/4 (rapporto similitudine tra le aree ) e quindi il rapporto di similitudine dei lati è 1/2 , secondo la regola che afferma che il rapporto fra le aree di due poligoni simili è uguale al quadrato del rapporto di similitudine . Abbiamo affiancato a quello dato altri 3 triangoli uguali come si può vedere nell'immagine sotto

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Giuseppe, e tutti: ripensate all’osservazione di cui sopra….

Quesito 3 i cubi colorati “bene” quando:
La faccia rossa opposta alla gialla;
• La faccia blu opposta alla arancione;
• La faccia verde opposta alla celeste.

Risolvono per la prima: Roberta, Maria, Valentina, Andrea, Paola, Elisa, Yuri, Aurora, Marta C., Antonio, Marta D., Sara e Martina Luca, Margherita.

Per la terza: Antonella, Alessia, Miriam, Gian Franco, Elisa, Giuseppe P.

Qualche solutore della prima risponde correttamente alla prima domanda ma non alla seconda. Anche qualcuno dei solutori terzini, inciampa nella seconda domanda!

Le soluzioni sono simili, in sintesi:

i cubi colorati bene secondo i fratellini sono l'1 e il 5 perché hanno rispettivamente la faccia blu opposta all'arancione e così via…

Ripiegando i 5 cubi [i 5 sviluppi!] quelli uguali sono il primo e il quinto dato che erano stati colorati bene (secondo i fratellini)

image             image

Io penso che nessuno abbia ripiegato sviluppi. Male!

Anche stavolta mi pare ci sia tutto. Osservazioni eventuali, ma soprattutto, approfondimenti e discussioni in classe. Uhm, ehm!

Non mi resta che confidare in migliori performances per i prossimi giochi che troveremo dal prof. Davide.

E, in ogni caso, bravo a chi ha lavorato! Smile

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