venerdì 10 aprile 2015

Due a settimana..._12

Pronti con i nuovi quesiti!

Direi facili, spero siate d’accordo.

Quesito 1, geometrico

L’area di ognuno dei piccoli triangoli equilateri della figura è $1 cm^2$. Qual è l’area, in $cm^2$, della parte colorata?

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Quesito 2, sembra geometrico ma è aritmetico

In figura vedete 3 dadi identici accostati. Dovete calcolare la somma dei punti che stanno sulle facce che combaciano con qualche altra faccia. Ricordate che la somma dei punti sulle facce opposte di un dado è sempre 7.

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Le risposte, sempre bene ricordarlo, vanno argomentate!

Buone soluzioni a tutti.

Scadenza: chi consegna su foglietti ha tempo fino a venerdì 24 aprile 2015, perché poi viene il 25 aprile, Anniversario della Liberazione, ed è vacanza. Coloro che inviano le soluzioni via e mail possono farlo anche il 25.

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venerdì 3 aprile 2015

Sarà mica matematica 34, le nostre soluzioni

Ecco le nostre soluzioni del

Sarà mica matematica 34 del prof Davide.

Quesito 1, somma di numeri consecutivi

Come accennato nel post di presentazione dei quesiti, mi aspettavo cose ...

Poiché in classe, in entrambe le classi, è già capitato di generalizzare per esprimere numeri consecutivi, precedenti, quadrati, ecc... Purtroppo non sempre si riesce a utilizzare informazioni. Forse perché si chiedeva di sommare e allora... si è resa necessaria qualche tiratina d’orecchie, diciamo così.

Hanno risposto per la classe seconda: Antonella, Alessia, Gian Franco, Miriam, Elisa.

Quasi tutti hanno provato in un primo momento a sommare tre numeri consecutivi a piacere e notato che la somma è sempre divisibile per 3. Anzi qualcuno dice che il risultato è sempre uguale al numero centrale moltiplicato x 3.

Certo, certo, è così. Poi lo dimostreremo con la formula trovata da voi  ... dopo la sollecitazione a considerare con attenzione i numeri consecutivi e esprimerli generalizzando!

Infatti, sintetizzando le varie risposte, siete arrivati a dire:

ho preso diversi casi di tre numeri consecutivi (un consecutivo di un numero si ottiene aggiungendo 1 al numero stesso. Detto in modo generico i numeri sarebbero n, n+1, n+2, n+3...ecc...) ad esempio: 10 11 12; 34 35 36; 41 42 43.

Allora provo a generalizzare, cioè sostituisco il primo addendo con la lettera "n", quindi ho:

n+(n+1)+(n+2)

è la formula generale per sommare tre numeri consecutivi. Ma poi, guardandola meglio in faccia [Sorriso] ho fatto un aggiustamento che la rendeva più fluida e semplice:

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Dopo ho fatto la prova per sicurezza con un numero qualsiasi e funzionava!

La formula funziona anche se c'è lo zero perché se si ipotizza che lo zero sia n è come fare 0+1+2 oppure 3*0+3: ottengo sempre 3.

Per trovare la formula del calcolo di 4 numeri consecutivi ragiono come per la precedente ma la formula risulta così:

n+(n+1)+(n+2)+(n+3)= 4n+6

perché prima sommo le "n" (n+n+n+n=4n) poi sommo i numeri specifici (1+2+3=6).

Queste due formule sono valide se è presente lo zero tra gli addendi e anche se gli addendi sono numeri negativi.

Ahah, ma mica dimostrate che siano valide per i numeri negativi. Sì, qualcuno somma, e anche correttamente, dei numeri negativi consecutivi:

(-5)+(-4)+(-3) = –12;       (-6)+(-5)+(-4)+(-3) = –18

ma non dimostra come le formule siano valide. Ma, va bene su, siete in seconda!

Ora invece dimostriamo perché la somma di tre numeri consecutivi sia un multiplo di 3. Osservate la formula trovata:

3n+3

Non è il triplo di un numero a cui si aggiunge ancora 3? Perciò non può che essere un multiplo di 3.

E poi, perché tale somma è sempre uguale al numero centrale moltiplicato x 3 ?

3n+3 possiamo anche scriverlo così:

3 *(n+1)

Sarebbe come sfruttare la proprietà distributiva al contrario, no? Se dobbiamo eseguire 3*(n+1), applicando la distributiva otteniamo: 3n +3. Ok?

Ma nella sequenza di tre consecutivi qualsiasi, (n-1) non è il numero centrale? Ecco: 3*(n+1) è il numero centrale moltiplicato per 3!

Passiamo ai solutori, sempre in numero inferiore, della classe terza. Ebbene sì, l’assenza di voglia di fare è sempre più dichiarata. Ok, va bene tutto, costringere non è piacevole né utile e poi si può fino a un certo punto. Seppure con l’intervento dei genitori. Ma se non nasce qualcosa dentro, se non si prova una qualche spinta, se non si prova alcun piacere a mettersi in gioco, se, se ... lavorare solo per costrizione non porta a nessuna crescita. Fate voi!

Il quesito è risolto da: Manuel, Pietro P. e Gabriele G.

Loro ovviamente, basta un minimo di volontà, se la cavano meglio con l’astrazione e con il calcolo con i relativi.

Manuel scrive:

La formula per rappresentare la somma di tre numeri consecutivi è:

n+n+1+n+2=3n+3.

Ho indicato con n un numero naturale qualsiasi e di conseguenza ho indicato con n+1 il consecutivo e con n+2 il secondo numero consecutivo.

Se i numeri sono negativi questa formula vale lo stesso per esempio:
-4-3-2=-9; applicando la formula: -4*3 +3=-12+3= -9

Questa formula vale anche per lo 0, per esempio:
0+1+2=3;  3*0+3=0+3=3.

La formula per rappresentare 4 numeri consecutivi è:

n+n+1+n+2+n+3= 4n+6.

Gabriele scrive:

dopo aver fatto alcuni tentativi ho capito che la somma di tre numeri consecutivi qualsiasi è sempre divisibile per tre, perché è come moltiplicare lo stesso numero per 3 e aggiungere 3, come riportato nell’esempio:

  2 + 3 + 4 =
=2 +(2+1)+(2+2)=
=2+2+2+1+2=
=2*3+3

Che generalizzata sarebbe
  a +(a+1)+(a+2) =
=a + a + a + 1 + 2=
=3a+3

E basta.

Pietro:

la formula è: a+(a+1)+(a+2)=3a+3
a è un numero qualsiasi, a+1 è il successivo, a+2 il successivo di a+1.

Per i numeri negativi: se a=-2,  a+1=-1 e a+2=0
la somma sarà: (-2)+(-1)+0=-3
applichiamo la formula:  -2*3+3=-6+3=-3

Per sommare quattro numeri consecutivi: a+(a+1)+(a+2)+(a+3)=4a+6

Quesito 2, somma di numeri ai vertici di un cubo...

Risolvono per la seconda: Antonella, Alessia, Gian Franco, Miriam, Elisa, Erika e Mattia.

La soluzione è la seguente:

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Altre soluzioni, disponendo i numeri in vertici diversi, sono equivalenti.

Copio la spiegazione di Gian Franco che è la più completa.

Prima di tutto mi sono scritto i numeri da 0 a 7 che a mano a mano ho segnato, e i numeri primi che potevo ottenere sommando i numeri dati. Ho pensato di iniziare posizionando lo 0 in un casella qualunque. A questo ho collegato tutti i numeri dispari tranne l'1 perché 0+1=1 non è un numero primo. Tra il 5 e il 3 c'era un vertice vuoto quindi lì ho posizionato il 2 che non potevo collegare al sette.
Poi ho guardato i numeri che mi erano rimasti, ho preso l'1 e l'ho posizionato sopra il 2,
- la soluzione di Gian Franco è questa:

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il 4 l'ho posizionato sopra il 3 e il 6 l'ho posizionato sopra il 5. Questi ultimi passaggi li ho fatti naturalmente in modo tale
da formare numeri primi.

Ho così ottenuto più numeri primi uguali, questo era scontato perché il numero primo più alto che si può ottenere è il 13, cioè la somma dei numeri più grandi a disposizione (6+7), poi da 0 a 13 ci sono 6 numeri primi e gli spigoli del cubo sono 12, quindi era impossibile che ci fosse un numero primo per ogni spigolo.

Per la terza risolvono... niente di meno che: Pietro P. e Bachisio in maniera esatta. Pietro al secondo tentativo perché, come Manuel e Gabriele G., che invece non si sono presi la briga di un secondo tentativo, direi che aveva letto le indicazioni a dir poco sbrigativamente!

Le spiegazioni di Pietro e Bachisio... ah, il loro italiano è piuttosto faticoso da leggere. Rinuncio! Sorriso

Bene, mi pare di aver concluso. Bravo a coloro che si sono impegnati, buon per loro!

Grazie come sempre al prof Davide.

I prossimi giochi, finite le vacanze pasquali.

Buona Pasqua a tutti!

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domenica 22 marzo 2015

Sarà mica matematica 34

Per chi non avesse ancora visto,

perché qualcuno che ha visto c’è e ha tentato anche qualche soluzione!

Segnalo il nuovo

Sarà mica matematica 34 del prof Davide.

Un bel quesito aritmetico-algebrico, di quelli che piacciono tanto a me (ma anche a voi, sì), quelli che ci avviano a ... generalizzare. Matematicamente parlando, si intende!

Poi uno a cavallo tra l'aritmetica e la geometria, come dice lo stesso prof Davide. L’immagine è questa

Cliccateci sopra e saprete tutto!

Buoni giochi! Mi aspetto cose eh?? Sorriso

Grazie al prof. Davide.

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mercoledì 18 marzo 2015

Due a settimana..._11, le soluzioni

Pubblico le soluzioni del

Due a settimana..._11

Il quesito 1, la struttura a gradini...

ha creato inizialmente qualche perplessità tanto da rendersi necessario il fatidico aiutino. Più che altro l’aiuto è stato sfruttato in seconda, chi in terza aveva incontrato iniziali problemi ha preferito non cogliere (coloro che hanno dato la risposta, avevano intuito da soli il ragionamento corretto). Forse stavolta è venuta a mancare la giusta concentrazione, stage in Inghilterra in vista... Forse! Oppure stavolta si è solo aggiunta della deconcentrazione?

In ogni modo...

Ho dovuto invitare all’osservazione della struttura dall’alto in basso, tenendo conto dei numeri. Ho detto anche che si poteva osservare bene la forma di quella struttura e...

Sì, piano piano sono tornati alla memoria storielle e numeri triangolari! [Segnalo un post-relazione dei ragazzi di qualche anno fa:

Attività sui numeri triangolari e somma consecutivi

Raga, leggete, scrivevano più di voi! Sorriso]

Andiamo per ordine. Per la classe seconda hanno risolto: Alessia, Gian Franco, Miriam, Antonella, Giuseppe P., Elisa.

Alessia scrive:

ho sommato i quadrati della struttura a 4 scalini ottenendo 10 quadrati, facendo questa operazione mi sono ricordata (grazie alle dritte della professoressa) le coppie di 5 per arrivare al totale dei quadrati: 4+1, 2+3. [in verità Alessia alla prof, in privato, ci mettiamo anche fuori della porta dell’aula in qualche caso Sorriso, continuava a rispondere solo: il totale è 10. – Ok, quindi nella struttura a 20 gradini? E mi risponde come dice sotto ... disorientandomi!]

Per quella a 20 scalini ho fatto 1+19, 2+18 ecc... e facendo questo ho ottenuto 10 coppie da 20 + una da 10 e mi sono anche ricordata la "storiella di Gauss". Poi sono arrivata alla formula generale per scoprire quanti quadrati ci sono nelle figure a scalini. Sempre grazie alle dritte, ho considerato tanti esempi, sommando numeri da 1 a un numero pari per facilitarmi:

da 1 a 4 ci sono 10 quadratini: 2 coppie da 5, 2x5
da 1 a 6 ci sono 21 quadratini: 3 coppie da 7, 3x7
da 1 a 8 ci sono 4 coppie da 9, 4x9, 36 quadratini
da 1 a 10 ci sono 5 coppie da 11, 5x11, 55 quadratini

Si forma sempre un numero di coppie che è la metà del numero da 1 a ... n [la metà di n], e la somma di ogni coppia è il numero n +1. Ecco la formula generale:

da 1 a n ci sono (n/2) * (n+1) quadratini.

Quindi da 1 a 20 ci sono (20/2) * (20+1) = 10*21= 210 quadratini

Area= 0,9 cmq * 210 = 189 cmq

Gian Franco invece ha sfruttato il secondo aiuto, la forma... :

Dopo aver osservato la forma della figura come ci aveva consigliato la prof, ho notato che la figura sembrava un triangolo. Poi siccome in ogni scalino c'erano i numeri in successione ho pensato di sommarli e ottenevo i numeri triangolari, cioè la somma dei numeri naturali in successione. Li ho sommati fino a 20 e quindi ho ottenuto il numero di tutti i quadrati. Poi la mia curiosità è stata attratta da quel: "trovare una formula generale". Allora ho cominciato a sfogliare tra i vecchi appunti dei numeri triangolari e  a consultare un po' su internet e ho trovato la formula:     

n (n+1)/2

e allora per i 20 gradini: 20 (20+1)/2 = 10 x 21 =210 quadratini in tutto.

Si fa n (n+1) perché avvicinando a un triangolo un triangolo uguale, si ottiene un rettangolo di lati n e n+1 e poi si fa diviso due per trovare i quadrati del triangolo, come fare bxh/2:

es. image

Infine ho fatto 9 cmq/10 per trovare la misura dell’area di ogni quadrato che ho moltiplicato per 210 per trovare l’area della struttura a 20 scalini ottenendo 189 cmq.

Miriam, Antonella, Elisa e Giuseppe sommano tutti i numeri naturali in successione dall'1 al 20 (1+2+3+4+5+.....+20=) ottenendo 210. Ecc...  Antonella in verità considera anche i numeri triangolari descrivendo la costruzione di un rettangolo e considerando la metà. Ma avrebbe fatto prima a costruirlo! Sorriso

Per la classe terza risolvono: Bachisio, Pierluigi, Pietro P., Manuel e Gabriele G.

Bachisio afferma che la scala gli ricorda i numeri triangolari e la somma di Gauss, schemi e disegni di triangoli sono riportati su foglietto... No, deve sprecarsi un po’ ad usare il digitale! Arriva anche alla formula generale (che forse ha controllato da qualche parte ma, bene uguale!).

Pierluigi descrive (in maniera non troppo lineare) la costruzione di un rettangolo sul triangolo e quindi divide per 2, ecc.

Pietro e Manuel sommano i numeri naturali da 1 a 20.

Gabriele, eh Gabriele costruisce proprio la struttura a 20 gradini, anche se, per sommare più agevolmente i quadrati che la compongono, ricorre alla sua scomposizione in forme triangolari e quadrate.

Quesito 2

La soluzione è duplice. I voti ottenuti dai cinque candidati potevano essere nell’ordine: 12 - 8 - 7 - 5 – 4. Oppure 12 - 9 - 6 -5- 4. La soluzione richiesta, il secondo posto, poteva essere dunque 8 oppure 9.

Per la seconda, danno entrambe le risposte: Alessia, Miriam, Gian Franco. Una risposta, Antonella e Giuseppe.

Più o meno tutti hanno:

sottratto da 36 voti i 12 e i 4 cioè 36-16=20. Poi hanno cercato di trovare tre numeri minori di 12 e maggiori di 4 tutti diversi e hanno trovato due soluzioni che sono: 5,7,8 e 5,6,9. Quindi le possibilità del punteggio del secondo classificato sono 2: 9 e 8.

Per la terza, risolvono con due soluzioni: Bachisio, Manuel, Pietro P., Gabriele G. Una soluzione è data da Pierluigi e Marco. 

Mi pare di essere giunta alla fine!  Segnalate se ho scordato qualcosa o qualcuno.

Solite lodi a chi ha lavorato, bravi! E ora vado a leggere le risposte dei ragazzi del prof Davide, che ha pubblicato ma non ho ancora letto.

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