lunedì 13 febbraio 2017

Sarà mica matematica 43

È pronto da sabato!

Sarei curiosa di sapere se qualcuno ha visto prima di questa segnalazione. Oh, ma a volte è successo, sì!

Bene, il

Sarà mica 43

è proprio bello! Come sempre del resto.

4-3 quesiti che ci aiutano a pensare, qualcuno ci aiuta a rafforzare…

Prendo qualche bella immagine, fra le mie preferite Smile

eeh? Intuite? Su, intuite!

E poi, che bel dipinto:

Una delle Compenetrazioni iridescenti di un famoso pittore. Vi spiega il prof. Che ovviamente, ne fa oggetto di un quesito.

Non vi resta che andare a saperne di più! L’avrete notato, potete fare tre clic, cioè, uno a piacere!

Oh, io ancora richiamo all’attenzione! Sottolineo, ribadisco, leggete bene, osservate per poter comprendere, per elaborare le soluzioni.

Ovviamente, curate le spiegazioni, curate il linguaggio! Smile

Buone soluzioni a tutti.

Grazie, prof. Davide!

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domenica 5 febbraio 2017

Due a settimana …_18, le soluzioni

Ecco le soluzioni del

Due a settimana …_18

Quesito 1 - a, relazioni tra serie numeriche

Beh sì, estremamente semplice per invogliare tutti. Hanno risolto,

per la classe prima: Ludovica, Margherita, Antonio, Stefano P., Gabriella, Stefano B., Sofia, Andrea, Giorgia.

Per la classe seconda: Yuri, Davide, Nicol, Elena, Andrea, Sara, Maria, Paola, Marta C., Luca, Aurora, Roberta, Antonio, Valentina.

Inutile citare le singole risposte, possono così sintetizzarsi (dalle risposte più complete):

la relazione che lega la prima fila alla seconda è la differenza di 5.
Ma per trovare i due numeri mancanti non è sufficiente, dato che possono essere numeri qualsiasi [che abbiano per differenza 5]. Si nota la regolarità tra le due file: c'è sempre una differenza di 2 unità in ordine decrescente, quindi i numeri mancanti sono: 24 e 19.

Quesito 1 – b, relazione numerica appena più impegnativa:

Solutori per la classe prima: Ludovica, risultato corretto, spiegazione non troppo corretta, Sofia, Gabriella, Stefano B., Antonio, Stefano P., Andrea e Fabio.

Per la classe seconda: Yuri, Davide, Maria, Paola, Marta C., Luca, Roberta, Antonio, Valentina, Andrea, Elena.

La relazione come dire, più canonica, trovata dalla maggior parte dei solutori è la seguente (dalla risposta più sintetica):

La differenza tra il primo e il terzo numero di ogni terna, moltiplicata per 2 da il numero centrale, quindi il numero che completa la terza terna è 16.

Tralascio i vari “ho fatto: 20-14 e poi ho moltiplicato per 2, ecc …”

Paola invece, così ragiona:

Il numero mancante è 16 perché nella prima terna faccio: 20 - 12 = 8;   8 + 6 (cioè 12/2) = 14, nella seconda faccio 12 - 4 = 8;   8 + 2 (cioè 4/2) = 10. Quindi: il primo numero meno il secondo più la metà del secondo = il terzo numero. Nella terza terna mancava il 16 perché facendo 22 - 16 = 6;  6 + 8 (cioè 16/2) = 14.

E Andrea, così (ma direi che bara un po’ … !):

ho notato che in ogni terna la somma delle differenze è 16. Nella prima faccio: 20-12=8, 20-14=6 e 14-12=2; 8+6+2=16; nella seconda terna faccio 12-4=8, 12-10=2 e 10-4=6; 8+2+6 = 16; nella terza terna posso fare solo 22-14=8, quindi devo trovare un numero che sottratto al 22 dia 6 e che se gli viene sottratto 14 dia 2 e questo numero è 16. [a rigor di regolarità l’ultima sottrazione dovrebbe essere 14-16. Facciamo che Andrea considera il valore assoluto! Smile]

Quesito 2 – a, i triangoli …simili, a precisa distanza

Il quesito ha dato da pensare più di quanto prevedessi. Vero è che non si legge con attenzione, non si bada ai “connettivi logici”. E sì, la prof ha dovuto in più di un caso ricordare che due proposizioni legate dal connettivo e per corrispondere complessivamente a verità, devono verificarsi cioè essere vere entrambe. Cioè, entrambe le circostanze devono verificarsi! Già, queste cose abbiamo avuto modo di sottolinearle, in seconda ovviamente più che in prima, eppure l’indicazione: “in modo che ciascuno dei suoi lati sia parallelo ad un lato del triangolo iniziale e sia esattamente a 1 cm di distanza da esso” è stata quasi sempre disattesa nella seconda parte. Si dovrà insistere sulla logica, certo…

Ma veniamo ai solutori e alle soluzioni.

Per la classe prima

Stefano P., trova 5 soluzioni, disegni un po’…. insomma!

image triangolo all’interno

imagetriangolo all’esterno

e poi invia foto, di costruzioni meno curate…

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E secondo me non ha approfondito!

Gabriella trova le soluzioni:

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E poi non fa opportuno sforzo…

Antonio invia la foto di tre disegni…

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Stefano B. :

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Come sopra, uno sforzo in più no!

Ludovica trova una soluzione, disegno … insomma

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e si avvicina con altre due. Orribile la seconda foto! Smile

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Fabio, insomma i disegni…

imageimageimagee ancora come sopra….

Per la classe seconda

Beh, godiamoci il lavoro di Roberta, la quale oltre a trovare tutte le soluzioni, realizza le precise costruzioni su Geogebra. Si può visualizzare l’applet al clic sull’immagine. Roberta dice:

Maurizio può disegnare il nuovo triangolo richiesto in 8 modi diversi.
Per trovare tutti i triangoli (presenti nel file GeoGebra) mi sono servita della similitudine dei triangoli, quindi triangoli ingranditi o rimpiccioliti ma con angoli corrispondenti congruenti e lati in proporzione.

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Paola. Con il numero di disegni e le posizioni ci siamo, con le costruzioni un po’ meno…

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Andrea. Come Paola

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Maria, come Paola e Andrea..

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Non si sprecano:

Davide:

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Luca:

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Antonio, non completo e disegni insomma!

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Marta C.

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E, pubblico/non pubblico l’orribile foto di Aurora? Sia!

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Quesito 2 – b  triangoli...

I solutori della seconda: Andrea, Paola, Yuri, Luca, Aurora, Elena, Marta C., Roberta, Antonio, Maria.

In sintesi, dalle risposte meglio espresse, la soluzione:

image(la costruzione è di Roberta)

L'ampiezza dell'angolo ABE è 40°: i triangoli ABC e CDE sono equilateri e congruenti e anche gli angoli sono uguali cioè di 60°; osservando la figura noto un altro triangolo, il triangolo BCE che ha un angolo formato dalla somma di 80°(angolo già citato nel testo) e 60°(angolo di un triangolo equilatero), quindi un angolo ottuso: 60° + 80° = 140°. Il triangolo BCE è isoscele, perché ha come lati uguali un lato di ogni triangolo equilatero congruente. Perciò gli angoli alla base di BCE sono uguali e hanno ampiezza di 20°: (180°-140°)/2. Quindi per trovare la misura dell'ampiezza dell'angolo ABE: 60° - 20° = 40°.

Bene, anche stavolta mi pare di aver concluso! Avvertitemi se qualcosa o qualcuno ho scordato… Ma in tempi regolamentari, non dopo un mese! Winking smile

Solito BRAVO a chi ha lavorato, e anche a chi ha tentato …

Il prossimo appuntamento sarà come sempre, dal prof Davide.

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martedì 17 gennaio 2017

Due a settimana …_18

E intanto

“ ... volteggiando la neve cade.
Danza la falda bianca ...”
[da poesia Ada Negri]

Oggi è proprio tanta e ancora nevica. E c’è bufera. Voi non so se riuscite a stare a casa! Per quando ci siete …

ecco i nuovi quesiti.

Il primo, numerico, si presenta in due varianti, eseguirete quello che vi è più congeniale. Ovviamente, nessuno vieta di eseguirli entrambi. Anzi … ma non è il caso che io dica di più! (ai miei giovini - sono certa che gli alunni del prof Davide risolveranno entrambi. Quindi, gara sia! Smile)

I quesiti geometrici sono due. Anche in questo caso, il primo è rivolto a tutti, il secondo è destinato senz’altro ai ragazzi della seconda (o terza del prof Davide). Per la prima, forse è ancora troppo presto.

Dunque:

Quesito 1 - a, relazioni tra serie di numeri

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Vedete che ciascun numero della prima riga è associato a uno della seconda riga. Trovate la relazione che li lega e rispondete alla domanda: quali sono i due numeri mancanti in ciascuna riga? Attenzione, oltre alla relazione trovata c’è da osservare bene le due sequenze.

Quesito 1 – b

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Qui avete tre terne distinte, sui rettangoli in verticale. Qual è il numero che completa la terza terna? Occorre analizzare le prime due e scoprire la relazione esatta.

Quesito 2 – a, geometrico

Maurizio ha disegnato un triangolo equilatero ABC di lato 5 cm come mostrato nella figura sotto. Il suo insegnante gli chiede di disegnare un secondo triangolo, in modo che ciascuno dei suoi lati sia parallelo ad un lato del triangolo iniziale e sia esattamente a 1 cm di distanza da esso. In quanti modi diversi Maurizio può disegnare il nuovo triangolo richiesto? Naturalmente dovete disegnarli, meglio se realizzate le costruzioni con Geogebra. Chi ne è capace!

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Quesito 2 – b, ancora triangoli …

Osservate con attenzione la figura

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I triangoli ABC e CDE sono equilateri e congruenti. Se l’angolo AĈE misura 80°, quanti gradi misura l’angolo ABE? [non riesco proprio, neppure in linguaggio LaTex –so il codice ma non va…-, a ottenere l’accento circonflesso sulla B].

Aiutino, non aiutino? Ok, aiutino: triangoli, triangoli, … Sì, sì, è un aiuto!

Insomma, stavolta ce n’è per tutti. Ripeto, ognuno eseguirà quanto può, l’importante è dimostrare la buona volontà necessaria. E con questa si superano molti ostacoli!

Ribadisco: attenzione nella lettura delle indicazioni e motivazione (chiara!) delle risposte.

Buone soluzioni a tutti!

Scadenza: alla mezzanotte del 31 gennaio 2017

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lunedì 16 gennaio 2017

Sarà mica matematica 42, le nostre soluzioni

Beh, voi i pupazzi li avete fatti? Io sì! Eh eh… non è vero, la foto non è mia. È comunque una realizzazione di ragazzini del nostro paese…

Bene, sicuramente giocate sulla neve, io preparo il post-soluzioni del

Sarà mica matematica natalizio

Sarà stato il clima vacanziero, sarà stato … altro, in più di un’occasione ho dovuto rispondere alle e mail: “sei pregato di leggere attentamente le indicazioni del prof!”. Tant’è, per il

Quesito 1

qualcuno, e della prima e della seconda, si è sbizzarrito con risposte complicatissime, per altro errate. Diagonali di quadrati con sotteso, inconsapevolmente da parte di chi “ha cercato” o si è fatto aiutare, teorema di Pitagora, calcoli di circonferenze, ecc. Oh, il lato positivo, aver “cercato”, consideriamolo pure, sì, ci si documenta anche, per trovare soluzioni! Tuttavia, stavolta bastava un po’ più di attenzione nella lettura e soprattutto nell’osservazione della simpatica immagine animata del prof Davide

Ed ecco le soluzioni e i solutori.

Per la classe prima:

Stefano P.:

leggendo le istruzioni del prof. Davide e guardando il mappamondo, ho capito che se Babbo Natale percorre 42 Km dal Polo Nord verso Sud e poi gira verso Est, percorrendo altri 42 Km, la distanza dal punto di partenza è sempre 42 Km. Questo perché se si sposta in orizzontale la sua distanza dal Polo Nord rimane sempre la stessa. –Bisognerebbe rendere più esplicito il perché…

Margherita: la risposta è corretta ma la spiegazione proprio no!

Ho fatto il primo quesito e secondo me potrebbe essere 42 km. Perché il percorso che babbo natale percorre forma metà quadrato, quindi ogni lato è uguale..... E poi Marghe non risponde più alla mia obbiezione!

Andrea: Babbo Natale è lontano dal polo nord 42 km, perché scende verticalmente a sud e poi vira orizzontalmente verso est di conseguenza la distanza resta comunque 42 km - Come per Stefano…

Antonio:

Secondo me Babbo Natale è distante 42 km, perché la distanza è la stessa, visto che ha percorso 42 km verso Sud e altri 42 verso Est, formando un triangolo equilatero.

- Un triangolo equilatero, perché?

Ho pensato al triangolo equilatero perché va in orizzontale e per questo motivo la distanza è uguale da qualsiasi punto lui si trova. – E sia! Smile

Fabio invia lo schema:

CatturaFabio

Mi dice che ha finto di disegnare il triangolo sul mappamondo.

Stefano B:

Babbo Natale è lontano dal Polo Nord 42 km perché se ha percorso 42 km da Nord verso Sud e altri 42 km da Sud verso Est, allora da Est verso Nord ci saranno ancora 42 km. [come sopra…]

Ludovica: (buona l’ultima risposta! – su foglietto, corredata da schemino con meridiani e paralleli)

Santa Claus scende per un meridiano e svolta per un parallelo. Se giriamo restando fermi su un parallelo, la distanza tra il parallelo e il polo Nord è la medesima, in questo caso 42 km.

Gabriella invia l’immagine, senza parole. Sorvoliamo (per ora!) sulla scala di riduzione non proprio rispettata …

image

Infine, mi ritrovo una risposta su foglietto senza nome (sarà poi della prima?):

La distanza di Babbo Natale dal polo Nord è di 42 km. Ho risolto grazie alle parole del prof Davide, cioè tutte le distanze sono uguali. [boh, ha detto così il prof??]

Per la classe seconda:

Marta C:

Babbo Natale si sposta lungo meridiani e paralleli. Non forma proprio un triangolo, perché non siamo sul piano che avrebbe 2 dimensioni, ma sulla terra che ne ha 3. [Su una superficie sferica, che comunque ha due dimensioni…]

image(anche qui la scala…)

Davide: dà una sua interpretazione. Beh, trascura diversi parametri …. dovremo chiarire! Smile

il quesito ci dice che babbo natale è sceso verso sud di 42 km e a est di altri 42, però la terra gira in senso orario [antiorario!] ossia verso est e percorrendo i 42 km ti ritrovi sul punto dove eri partito x il viaggio in oriente. Quindi si è allontanato dal polo nord di 42 km.

Paola:

Siccome babbo Natale partendo da nord ha fatto 42 km li farà anche per tornarci perché la terra è tonda e quindi da tutte le parti si arriva a nord. [ommioddiooo!]

Andrea:

Babbo Natale scende di 42 km, siccome il polo nord è al centro la distanza è di 42 km da qualsiasi punto. [un altro… categorico! Questi ragazzi devono imparare ad esprimersi con chiarezza!]

Martina:

partendo dal polo nord, scendendo verso sud seguendo un meridiano, e percorrendo una distanza di 42 km verso est, essendo la terra sferica e quindi dovendo ripercorrere un altro meridiano, per tornare al polo nord ripercorrerà sempre 42 km [Il soggetto, chi??]

Roberta:

Babbo Natale è distante dal Polo Nord 42 km. Se dalla partenza percorre 42 km verso sud, non importa quanti km percorre in orizzontale, la distanza dalla partenza sarà sempre la stessa perché Babbo Natale fa una sola virata verso est e si muove in orizzontale. Gira intorno al Polo Nord ma non si allontana.

Yuri:

è come se Babbo Natale si muovesse lungo un meridiano dal polo nord verso sud, di 42 km. Poi continua spostandosi di 42 km verso est seguendo il parallelo. Rimane sempre al 42esimo km di un diverso meridiano, quindi per tornare al polo nord, percorrerà nuovamente 42 km.

Luca: arricchisce di particolari…

Babbo Natale nell’immagine del Prof. Davide è seduto al Polo Nord mentre la terra ruota. La mia soluzione si basa su questo: al polo Nord la rotazione della terra è nulla, 42 Km è una distanza piccolissima rispetto alle dimensioni della terra; quindi ho pensato che se la slitta percorre 42 km, le distanze sono segmenti (non archi di circonferenza). Quindi se percorre 42 km partendo dal punto A seguendo un meridiano fino al punto B, poi vira a est seguendo un parallelo per 42 km e arriva a C (questo parallelo è l’unica circonferenza che passa per la distanza di 42 km), unendo C ad A (la distanza CA si trova su un altro meridiano) ottengo un triangolo equilatero. Perciò Babbo Natale che ha raggiunto C si trova a una distanza di 42 km dal polo Nord.

Antonio:

Babbo Natale dista 42 km. Immagino di descrivere il percorso usando il compasso: punto l’ago sul polo nord (punto A) e traccio 42 km verso sud fino al punto B poi punto l’ago sul punto B e traccio altri 42 km verso est fino al punto C. Quindi, siccome sto descrivendo una circonferenza, la distanza tra A e C sarà 42 km perché tutti i punti sono equidistanti ….

Maria:

la risposta è 42 km perché dal polo Babbo natale si è allontanato 42 km verso sud; i successivi 42 km si è mosso in orizzontale quindi non si è allontanato.

Sara infine, mi fornisce risposta su foglietto. Si appella al fatto che la terra è rotonda …. Smile

Quesito 2

Anche per questo secondo ho dovuto richiamare all’attenzione!

Soluzioni per la classe prima

Ludovica. Mi invia più soluzioni, alcune solo descritte, senza immagini. Non posso dire che spieghi benissimo i sui ragionamenti, come d’altra parte hanno fatto quasi tutti.

image

Poi trova:

nell' ultima fila ho posizionato i numeri  22- 3 - 1- 8. Ho sommato 22+3=25 -  3+1=4 - 8+1=9. Successivamente ho addizionato 25+4=29 -  9+4=13 . Infine ho eseguito 29+13= 42

e anche :

ho posizionato nella quarta fila i numeri 21- 3- 2 - 6. Ho addizionato 21+3=24- 3+2=5 - 2+6=8. Successivamente ho sommato 24+5=29 e 5+8=13. Ho, infine, eseguito 29+13 = 42

Margherita: con il numero 25 nell’ultima fila ha 3 varianti, ne mostro una. Spiegazioni, scrive solo di aver sommato… come Ludovica. [e comunque, ribadisco le avvertenze per i futuri quesiti, fatte in classe, in entrambe!]

imageimage

Stefano P.:

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Scrive:

partendo dall'alto mi sono reso conto che il 2 e l'1 non possono essere usati nella seconda e terza riga, perché non possono essere scomposti con dei numeri ripetuti più volte, per esempio: 1 = 0 + 1 e 2 = 1 + 1 oppure 2 + 0. Quindi li ho messi nell'ultima riga e il numero più grande che ho ottenuto in questa riga è il 27.

Andrea:

image senza parole!

Antonio:

imageneppure Antonio spiega un criterio… “Ho seguito i consigli scritti nel quesito dove mi consigliavano di mettere nella prima fila un numero uguale o superiore a 20 …”

Fabio mi invia solo una soluzion(cina) con numeri inferiori a 20 alla base dell’albero…

Gabriella:

imageimage

con altre due soluzioni con il numero 20 alla base.

Sofia:

image Neppure Sofia spiega un criterio.

Il foglietto anonimo di cui sopra… riporta due soluzioni con un 21 e un 25 alla base dell’albero.

Per la classe seconda:

Roberta:

imageUna seconda soluzione, ancora con il max di 23! Criteri: a quanto pare ritengono un criterio affermare di “aver messo il 23 alla base, ecccc…”

Paola, catturo la sua e mail:

image

Andrea, le sue 6 soluzioni:

image

Scrive:

ho trovato 6 soluzioni(con almeno 20 in una pallina di sotto), bisogna andare dall'8 in poi, quindi 8,9,10,11 ecc., e ci sono 14 soluzioni ma io ho messo solo quelle che hanno in una pallina di sotto almeno 20. (non si è sentito di superare il 25? Smile)

Marta C., oh, riporta un bel 29

image

E poi delle altre:

imagema senza parole!!!

Elisa,

imagescorda il 42 sulla stella… ma vabbeh!

Martina:

imageOvviamente, senza parole!

 

Nicol, ci prova ma ripete dei numeri… e non ci riprova!

Yuri:

imageIl suo max sforzo! E scrive:

Ho trovato il risultato seguendo le regole del prof. Davide (non come avevo fatto prima :-) [e questo fa capire…]), ho cercato i numeri più alti possibili.

Davide: descrive solo una soluzione con il 20 alla base!

Maria:

imageper la spiegazione lo devo ammettere, l'ho fatta per tentativi…”  Evviva la sincerità! Smile

Luca:

image

Direi che è il solo ad aver espresso un criterio. Seppure…. beh a lui sono serviti i divisori!

Ho considerato i divisori del numero 42 che sono {42; 21;14;7;6;3;2;1}. Quindi ho costruito insiemi di numeri naturali nello schema ad albero di natale che comprendono  7,14,21 nell’ultima fila di palline. Poi ho escluso il 7 e il 14 perché minori di 20. Dalle soluzioni che comprendono il 21 ho ragionato con soluzioni che via via includono numeri maggiori fino ad arrivare al numero 26. La mia soluzione migliore ha il numero 26 nell’ultima fila di palline come riportato nell’allegato.

Antonio: nonostante gli inviti ad un’attenta lettura delle indicazioni… evidentemente non si concentra troppo. Direi così!

Sara mi consegna due soluzioni su foglio con i numeri 25 e 26 alla base. Dice di aver cominciato dal basso usando un numero maggiore di 20 affiancando numeri abbastanza bassi per non ottenere poi un risultato finale maggiore di 42.

Quesito 3

Per la prima

Margherita:

image

Stefano B:

image Numero inferiore di alberelli completi!

Fabio:

image

Gabriella:

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Stefano P:

Oh, povero… : Professoressa, ho provato tante volte a risolvere il terzo quesito ma c'è sempre una tessera che non combacia. Le mando qualche esempio … Sì, mi manda vari esempi e ben mi evidenzia “nel caso la prof non trovi…” - Ma sì, Ste’ , hai fatto benissimo ad evidenziare Smile 

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Ludovica mi fornisce il suo collage su carta, i disegni fatti da lei. Ma in compenso scrive l’ordine di accostamento delle tessere secondo le immagini fornite dal prof. Davide: 7-1-9-8-2-4-3-6-5 (sarà tutto corretto? i suoi colori sono piuttosto sbiaditi!)

Sofia:

image Bah! Smile

Per la seconda:

Roberta:

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Paola:

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Andrea, sfocato…! Smile

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E poi, Marta C., Martina, Davide e Luca inviano gli accostamenti 3x3 come i precedenti.

Invece,

Elisa:

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Elena:

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Yuri, la sua migliore è:

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Antonio:

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Sara, la sua migliore…

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Infine Marta D., che mi fornisce collage su foglio, ma non la soluzione ottimale.

Mi pare di aver concluso!

Che dire: ovviamente apprezzo coloro che hanno lavorato o coloro che hanno tentato, e un Bravo lo intascano! Tuttavia, lo devo dire, permettetemi: a me l’impegno, dovrei rivolgermi soprattutto ai ragazzi della seconda, ma anche qualcuno della prima trascura, fa meno di quanto potrebbe …

è parso *non del tutto soddisfacente*. Aggiungo soltanto: è tempo di mettersi a lavorare sul serio! E voi già sapete…… Smile

Come sempre Grazie al prof Davide che anche stavolta, allegramente, ci ha invitato a pensare!

Oh, a brevissimo qui i nuovi quesiti!

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