lunedì 25 aprile 2016

Sarà mica matematica 40

Ragazzi?

Non so se qualcuno ha già visto. O vi siete presi la pausa-festa? Domani si comincia a lavorare eh?

Il prof Davide ha pubblicato il bellissimo ultimo Sarà mica di quest’anno.

Due bei quesiti: uno di essi vi farà scoprire altre curiosità sui numeri. Noi conosciamo, oltre quelli figurati, triangolari, quadrati, ecc., quelli felici, quelli amici, ne dovremmo conoscere degli altri. Il prof Davide ci presenta in questi giochi, i numeri che si raccontano. Cioè raccontano sé stessi, quindi sono auto……. ? Chi indovina?

Ok, in ogni caso scoprirete di che si tratta.

E a proposito di numeri figurati-poligonali, quelli triangolari sono i protagonisti dell’altro quesito. Vediamo di non fare brutte figure, intesi?? Smile Leggete tutto con attenzione. E il prof vi aiuta con tanto di link. Anche al nostro blog, lo ringraziamo!

Ma via, clic sull’immagine per andare a scoprire tutto

 Buone soluzioni a tutti.

Grazie al prof Davide.

Stampa il post

lunedì 18 aprile 2016

Due a settimana …_16, le soluzioni

Infine, le soluzioni del

Due a settimana …_16

Infine, quasi! Si tratta delle penultime soluzioni dei giochi per quest’anno scolastico. E’ invece il nostro ultimo Due a settimana…, l’ultima puntata Sarà … mica matematica. E sarà pure il numero 40, complimenti al prof Davide!

Ma andiamo con le soluzioni.

Quesito 1, il 2016° numero

Solutori e soluzioni per la classe prima:

Andrea, essenziale come sempre:

il duemilasedicesimo numero è l'89 perché è l'ottavo, poi il sedicesimo, il ventiquattresimo ecc. quindi devo solo sapere se 2016 è multiplo di 8 e lo è secondo 252.

Roberta, invia tutto il lavoro che la porta alla soluzione:

2016
2^2 + 0^2 + 1^2 + 6^2 = 41
4^2 + 1^2 = 17
1^2 + 7^2 = 50
5^2 + 0^2 = 25
2^2 + 5^2 = 29
2^2 + 9^2 = 85
8^2 + 5^2 = 89
8^2 + 9^2 = 145
1^2 + 4^2 + 5^2 = 42
4^2 + 2^2 = 20
2^2 + 0^2 = 4
4^2 = 16
1^2 + 6^2 = 37
3^2 + 7^2 = 58
...

Arrivata a questo punto ho capito che, dal numero 89 in poi, le somme si ripetevano all'infinito, quindi ho verificato scomponendo un altro po' di numeri.

Poi ho fatto -> 2016° numero : 8 (numeri che si ripetono) = 252 n° volte che si ripete la successione di numeri (sempre uguali), quindi la successione si ripete un numero intero di volte.

Ho considerato che dagli otto numeri che si ripetono devo sottrarre 7, i numeri della serie che non si ripetono. Quindi il 2016° numero è 89.

Paola:

Il 2016° numero è l'89 perché si ripete ogni 8 volte, quindi si ripete per i multipli di 8, e il 2016 è un multiplo di 8 perché 2016/8 = 252.

Davide:

Dopo aver trovato che 89, 145 , 42 , 20 , 4, 16, 37 e 58 si ripetono all'infinito, ho riflettuto e ho capito che il 2016° numero è 89 perché è 8° numero della serie e 2016:8=252.

Antonio:

ho iniziato continuando la serie. Mi sono ritrovato 2 volte l'89 e quindi la serie continuerà all'infinito così: 89,145,42,20,4,16,37,58,89... Deduco che il 2016 numero è 89 perchè ogni 8 numeri c'è l'89 quindi l'800esimo numero sarà l'89, il1600esimo numero sarà l'89, il2000esimo numero sarà 89 e il 2016esimo numero sarà 89. – Va beh, ma perché stare a eseguire una divisione? – dice Antonio! Smile

Elena:

Guardando bene la successione ho visto che questa successione assomiglia ai numeri felici [e brava. Li avevamo visti QUI. Il 2016 non lo è, vero Elena?]. Dopo essermene accorta ho continuato:

2^2+5^2=29
2^2+9^2=85
8^2+5^2=89
8^2+9^2=145
1^2+4^2+5^2=42
4^2+2^2=20
2^2+0^2=4
4^2=16
1^2+6^2=37
3^2+7^2=58
5^2+8^2=89

Ho visto che il n° 89 si ripete, il 2016° numero è 89 [Ma Elena proprio non riesce a spiegare il perché Smile]

Sara:

Ho continuato la successione finché ho notato che l'89 si ripete all'ottavo numero, quindi il 2016esimo numero è 89 perché ho fatto 2016:8=252, ogni 8 numeri c'è l'89.

Yuri: mi consegna la soluzione su foglietto e io NON trascrivo! SmileLa sua risposta è comunque esatta e buono il ragionamento.

Marta C.:

Continuando la successione, ho notato che ogni 8 numeri la successione si ripete. Perciò ho fatto 2016/8=252. Quindi il 2016[esimo] numero sarà 89.

Solutori e soluzioni per la classe terza:

Alessia: dopo astrusi ragionamenti, riesce a concludere semplicemente!

Il 2016esimo numero è 89.

Per trovarlo ho diviso 2016 per il numero di serie dove appare per la prima volta l'89, ovvero 8, ottenendo così 252 che significa che l'ottavo numero, ovvero 89, si ripete 252 volte per raggiungere il 2016esimo numero.

GianFranco: oh, ma questi di terza mi diventano complicati, anche Gianfri arzigogolava, poi finalmente:

Riflettendo un po’ ho pensato che siccome il numero che si ripete nella serie è 89, l'ottavo il numero della serie, e si ripete ogni otto numeri, non dovevo sottrarre niente perché non aveva senso [per l’appunto! Ma anche perché giungevate a conclusioni errate] allora ho diviso direttamente il 2016 per 8 trovando 252, cioè il numero di volte che l'89 si ripete per arrivare al 2016esimo che è appunto 89.

Miriam:

per trovare la soluzione, con il solito metodo, mi sono calcolata un po’ di numeri:
primo numero: 2016
secondo numero: 41
terzo numero: 17
quarto numero: 50
quinto numero: 250
sesto numero: 29
settimo numero: 85
....
continuando, ho notato che dall'ottavo numero parte una serie di 8 numeri (in quest'ordine: 89; 145; 42: 20; 4; 16; 37; 58) che si ripetono all'infinito...
perciò, per trovare il 2016esimo numero, ho diviso 2016 per 8, ottenendo il numero di volte che la sequenza si ripete, pari a 252. Da questo ho potuto dedurre che il 2016esimo numero è 89.

Antonella:

Il duemilasedicesimo numero sarà 89. Ho trovato questo risultato continuando la serie fino a trovare il numero 89 una seconda volta, facendo quindi 2016:8 (perche l'89 è nell'ottava posizione nella serie)= 252 ovvero quante volte si ripete l'89.

Elisa:

ho continuato la serie fino ad un certo punto e ho notato che partendo dall'ottavo numero della serie, che è 89, i numeri si ripetono. Mi chiedeva quale fosse il 2016° numero quindi ho fatto 2016:8=252 che è il numero di volte che 89 si ripete, quindi il 2016° numero è 89.

Giuseppe P:

Continuando la serie ho notato che ogni 8 numeri compariva l’89.
2016:8=252
Quindi 2016 è un multiplo di 8 e dunque il 2016° numero sarà 89.

Soluzioni Quesito 2, la stella

Per la prima:

Andrea e Paola inviano due soluzioni

Questa la costruzione (di Paola) su geogebra per la prima soluzione

image

Paola scrive:

L'area della stella è di 350 mm^2. Ho considerato il triangolo ABE e ho calcolato l'area (6*6/2=18) [Paola calcola in unità-quadrettatura], poi ho calcolato l'area del triangolo ABG (6*2/2=6). Quindi l'area di AGBE è: 18-6=12. Poi ho calcolato l'area di JMN e di LKO (che sono equivalenti) =(2*1/2)*2=2. Per trovare AGBOKLEMJN faccio 2+12=14. Ma siccome i quadratini sono di 25 mm^2 faccio 14*25=350mm^2.

Andrea invece:

L'area della stella è 350mm^2 perché:

ABE [modifico io il nome dei vertici dei poligoni…] è uguale a 450mm^2 perché ogni lato del quadrato è 30 mm;
all'area del triangolo tolgo 150mm^2 che è l'area di AGB e aggiungiamo 50mm^2 che è la somma delle aree dei due triangoli JMN e LKO. Quindi: 450mm^2-150mm^2+50mm^2=350mm^2

La seconda loro soluzione, costruzione sempre di Paola, eh, cura di più!

image

Paola dice:

Ho calcolato prima l'area del quadrato(ABCD): 6*5 mm (lato del quadratino)= 30 mm, lato del quadrato. 30*30 = 900 mm^2.
Poi ho calcolato l'area del triangolo AJN: 4*5 mm = 20, base del triangolo, 1,5*5 mm = 7,5 mm, altezza. 20*7,5/2 = 75 mm^2.
Il triangolo BKO è equivalente quindi area= 75 mm^2 e somma 150 mm^2.
Dopo ho trovato l'area del trapezio CEJM: 2*5 mm = 10 mm, base minore, 3*5 mm = 15 mm, base maggiore, 10 mm l’altezza. (Base minore + base maggiore)*altezza/2 = (15 + 10)*10/2 = 125 mm^2.
Il trapezio DEKL è equivalente, quindi faccio direttamente CEJM*2 = 125*2 = 250mm^2.
L’area del triangolo ABG è: 30 mm * 10 mm/2= 150 mm^2.
Infine per trovare l'area della stella: 900 mm^2 - (150 mm^2 + 250 mm^2 + 150 mm^2) = 900mm^2-550mm^2 = 350 mm^2.

Andrea:

Lato di ogni quadratino: 5mm.

AJN e BKO sono uguali, quindi con la stessa area, io so la base e l'altezza, la base è 20mm e l'altezza di 7,5mm, quindi faccio 20*7,5/2=75mm^2 ma visto che i triangoli sono due la raddoppio e diventa 150mm^2.
CEJM e DEKL sono due trapezi rettangoli con la stessa area, per trovarla devo fare (base maggiore + base minore)* altezza /2 quindi (10+15)* 10/2= 125 che devo moltiplicare *2 visto che i trapezi sono due.
ABG ha un'area di 150mm^2, la trovo facendo: base= 30mm^2* altezza= 10/ 2= 150mm^2, quindi l'area della stella è 350mm^2 visto che 900mm^2 (area del quadrato) – (150mm^2+250mm^2+ 150mm^2)= 350mm^2.

Roberta. La sua costruzione:

image

Il suo ragionamento:

image

E a proposito di ragionamenti complessi! Voglio mostrare la prima soluzione di Roberta: risparmiando la descrizione, ecco la sua costruzione, direi abbastanza esplicativa:

image

Beh, un lavoraccio, come non riconoscerlo. In pratica Robi trova l’equivalenza della stella con 1/3 del quadrato sommato all’area del rettangolo ottenuto alla destra della costruzione.

Antonio:

considerando i quadratini la cui superficie è 25 mm², i lati sono di 5 mm. Ho diviso il quadrato in zone che potevo calcolare facilmente e sono:
A=triangolo scaleno
B=triangolo scaleno
C=quadrato
C1=triangolo rettangolo
D=quadrato
D1=triangolo rettangolo
E=triangolo isoscele.

imageimage

Yuri, soluzione come quella di Antonio, la sua coloratissima costruzione:

image

Sara: soluzione Antonio – Yuri, fa qualche errore sulle misure, che poi corregge ma non corregge le aree relative!

Elena: soluzione seconda soluzione Paola-Andrea, con trapezi e triangoli esterni alla stella.

Marta C: e va bene pubblico la sua non chiara, né mai chiarita soluzione!

Eseguo: 25mmq*36quadrati=900mmq, poi: 25mmq*22quadrati=550mmq
Infine 900-550=350mmq=superficie stella.

Come Marta individui i 22 quadrati esterni alla stella si aggiunge ai problemi irrisolti della matematica!

E questo vale anche per Davide:

… trovo l’area di tutti i quadratini bianchi figura bianca per figura bianca. Trovo la somma di tutti i quadratini: 4+2+4+1+2+2+2+2+1+2=22

Alla mia richiesta di chiarimenti:

Provo a spiegarglielo meglio: allora, io riesco a formare i 22 quadratini prendendo i terzi o i quarti di quadratino e formandolo intero (me lo spiega meglio ma io continuo a non capire, sigh! Ed è lui che ci rinuncia, ri-sigh!)

Elisa invia la soluzione, simil Antonio-Yuri, con risultato corretto ma con qualche errore nelle misure…

Per la terza, i solutori:

GianFranco: soluzione 2 Andrea-Paola

Alessia: idem

Antonella: idem

Elisa: idem

Giuseppe P.: idem, ma allega una bella costruzione:

image

Miriam: sua costruzione:

image

Bene, mi pare di aver detto tutto!

Come sempre Bravo a chi ha lavorato bene, a chi ha lavorato meno bene, e anche a chi ha provato ma non è riuscito.

Il prossimo, ripeto, ultimo appuntamento per quest’anno, dal Prof Davide.

Stampa il post

mercoledì 30 marzo 2016

Due a settimana …_16

Ebbene, ripreso il lavoro scolastico,

è tempo di tornare anche ai nostri giochi.

Anche stavolta i quesiti sono solo due.

Quesito 1, numerico

2016, 41, 17, 50,

Carlina scrive “2016” su una lavagna.
Questo è il primo numero di una serie.
Ogni numero della serie è la somma del quadrato delle cifre che compongono il numero precedente (in scrittura decimale).
Il secondo numero sarà “41”, dato che 2² + 0²+ 1² + 6² = 41.
Il terzo numero sarà “17”, dato che 4² + 1² = 17.
Il quarto sarà “50” poiché 1² + 7² = 50.
Il quinto numero sarà “25”, dato che 5² + 0² = 25.
Quale sarà il 2016° numero?

Ehi, avrete mica intenzione di continuare la serie fino al 2016° numero?!

Una cosa però dovete farla: continuare la serie … per un bel po’. Fino a quando? Fino a che, attenti ai risultati, non noterete… qualcosa! Ecco, di più non dico!

Quesito 2, ancora aree…

La figura sotto rappresenta una stella a cinque punte disegnata su una quadrettatura regolare 6×6. La superficie di ogni quadratino della quadrettatura è di 25 mm² (attenzione, millimetri quadrati).

image

Esprimi, sempre in millimetri quadrati, la superficie della stella.

Facile ma dovete fare attenzione alle unità di misura!

Dai Campionati internazionali di giochi matematici

Buone soluzioni a tutti!

Ah, la scadenza. Avete tempo fino al, sono buona, 15 aprile 2016

Stampa il post

domenica 20 marzo 2016

Sarà mica matematica 39, le nostre soluzioni

Ecco le nostre soluzioni del

Sarà mica matematica 39

Quesito 1

Ha presentato qualche difficoltà per i ragazzi della prima, alla richiesta da parte della prof. di un ragionamento che non fosse quello numerico e/o per tentativi. 

Riporto lo schema del quesito:

image  E’ richiesto il valore dei tre simboli

Per la classe prima, solutori e soluzioni:

Yuri, bella soluzione!:

Il quadrato misura 34, il triangolo 23 ed infine il cerchio 12.

Osservando le somme si può notare  che:

la somma tra cerchio e triangolo è 35 ed ha 11 unità in meno della somma tra quadrato e cerchio che invece è 46.
Quindi significa che il quadrato ha 11 unità in più del triangolo, visto che il cerchio è figura comune alle due somme, quindi è per forza il quadrato a fare la differenza.

Altre 11 unità differenziano le due somme quadrato + cerchio = 46  e triangolo + quadrato = 57. Ciò vuol dire anche qui che il triangolo ha 11 unità in più del cerchio perché essendo il quadrato figura comune, è necessariamente il triangolo a fare la differenza e quindi ad avere 11 unità in più del cerchio.

Premesso questo procedo così:

Dalla somma 35 unità [cerchio + triangolo] sottraggo la differenza tra le due figure [11] e ottengo 24; dopodiché divido per 2 e ottengo 12. Aggiungo a una parte da 12 le 11 unità che mi portano alla misura del triangolo, 23; le 12 dodici unità rimanenti sono quelle del cerchio.

Il resto è facile da capire: il quadrato che ha 11 in più del triangolo sarà 34.

Valentina, buona l’intuizione, non riesce tuttavia a spiegare il suo ragionamento:

Le soluzioni sono: cerchio= 12, triangolo= 23, quadrato= 34

quindi:

12+23= 35
34+12= 46
23+34= 57

Ho ragionato notando che tra i risultati delle addizioni c'era una differenza di 11 e tra il primo e il terzo una differenza di 22. Ho pensato quindi che anche gli addendi avessero bisogno di avere una differenza di 11 o di un suo multiplo (22) [perché?]
Quindi ho cercato di mettere come addendi quelli che hanno una differenza di 11 o di un suo multiplo, come 22. [quindi per tentativi?]

Elena, anche Elena intuisce ma si perde nella spiegazione…

Ecco i valori: cerchio= 12, triangolo= 23, quadrato= 34

Li ho trovati osservando: tra 35 e 46 c'è 11 di differenza e anche tra 46 e 57 la differenza è 11. Nelle prime 2 operazioni c'è il cerchio in comune quindi la differenza tra il triangolo e il quadrato è di 11. Perciò se io scopro il valore del triangolo aggiungendo 11 trovo il quadrato oppure se scopro il valore del quadrato e tolgo 11 ho il triangolo.
[Come scopre non lo spiega, quindi per tentativi? Suppongo di sì!]. Poi noto anche che tra le ultime 2 operazioni in comune c'è il quadrato quindi è scontato che il cerchio e il triangolo abbiano 11 di differenza. [Già!]

Maria, soluzione prettamente numerica

Quadrato: 34
Cerchio: 12
Triangolo: 23
Procedimento:
ho"guardato in faccia" le figure e i numeri e ho notato che nelle operazioni dove c'era il triangolo (la n°1 e la n°3) il risultato era dispari, nell'unica operazione dove non c'era il triangolo il risultato era pari ed era composta dal cerchio e dal quadrato, quindi ho supposto che il triangolo rappresentava un numero dispari e il cerchio un numero pari.
Ho scomposto il 35 nei vari numeri che addizionati possono dare 35: ho scomposto il cinque e ho trovato questa situazione:
?2
?3
a questo punto dovevo trovare le decine e l’ovvia soluzione era  20+10. A questo punto ho capito che il cerchio era 12, numero pari, e il triangolo era 23 e infatti 23+12=35
Dopo di che ho sottratto da 46 (il risultato della seconda addizione) il 12, 46-12=34; quindi 34 era il quadrato.
Infine 34+23=57: a questo punto ero sicura di aver scoperto il valore delle figure geometriche.

Marta C. (afferma di essere stata aiutata dalla mamma. Sì, sono molto sinceri!)

Sommo le tre somme cioè 35+46+57=138, 138 è uguale a 2 quadrati+2 triangoli+2 cerchi.
Se io divido 138 per 2 ottengo 1 quadrato+1 triangolo+1 cerchio=69.
Dato che 57 (quadrato+triangolo)+cerchio=69, cerchio=69-57=12, quindi proseguo così: triangolo=35-12, quadrato=57-23=34.

Paola e Andrea (anche loro dicono di essere stati aiutati dai genitori)

Nelle somme si nota che c'è la differenza di 11, quindi anche tra i simboli c'è differenza di 11 [questo si dovrebbe chiarire meglio]. La somma 57 è data da: 11 + triangolo + triangolo = 11 + triangolo*2 [ancora, occorrerebbe spiegare]. Quindi il triangolo è 57 - 11/2 = 23. Se trovo un simbolo trovo di conseguenza tutti gli altri: cerchio = 35 – 23 oppure 23 - 11 = 12; quadrato = 46 – 12 oppure 22 + 12 oppure 57 – 23 oppure 11 + 23 = 34.

Roberta, stavolta si perde nel chiarire il suo pensiero, trova per tentativi i risultati che rispettino le somme, poi…

schema con risultati:

image

Spiegazione:

ho notato che tra una somma e l'altra ci sono 11 unità di differenza, quindi ho fatto: 35-11=24 e dato che ci sono 2 addendi uguali (il cerchio) → 24/2=12 (cerchio). [Non è chiaro però, perché 35 –11? I due addendi uguali sarebbero inoltre nella somma 35+46] A questo punto: 35-12=23 (triangolo) e 46-12=34 (quadrato). Infine 23+34=57  conferma i risultati ottenuti.

Antonio, buona soluzione, riporta lo schema

image

ho provato a ragionare così:
A (cerchio), B (quadrato), C(triangolo):

ho immaginato che le figure siano segmenti: ho unito il segmento A + C=35 al il segmento B + A = 46, ottengo 81. Nella somma 81, mi ritrovo due segmenti A,  un segmento B e un segmento C. Siccome mi serve trovare il segmento A devo sottrarre il segmento B + C=57; 81-57=24, che sarebbero 2 segmenti A, siccome me ne serve uno eseguo 24:2=12. 
C (triangolo) ho sottratto 35-12=23. 
B (quadrato) ho sottratto 46-12=34.

Bene, Antonio, anche se i segmenti si indicano con la lettera minuscola!

Elisa, trova per tentativi i valori dei tre simboli e fa una considerazione:

ci sono andata per tentativi, una volta trovati i numeri 12, 23, 34 mi sono accorta che se sommo:
12 con 11 mi da 23
23 con 11 mi da 34
se poi prendo i risultati delle somme delle figure geometriche, mi accorgo che si distanziano anche loro di 11.

Luca, gioca con i numeri, io la dichiaro soluzione non bella!

Prendo in considerazione il primo dato, la somma delle due figure cerchio + triangolo = 35 che è formata da 3 e 5 [dalle cifre 3 e 5] .
il 3 lo scompongo 1+2 e così faccio anche per il 5, lo scompongo 2+3. I due addendi saranno, il primo 12 e il secondo 23 quindi il cerchio misurerà 12 mentre il triangolo misurerà 23. 
Per le altre figure stavolta dalle somme sottraggo la misura che già conosco e ottengo la misura mancante quindi ricapitolando :
La misura del triangolo è 23, quella del cerchio 12 e quella del quadrato 34.

Per la classe terza, solutori e soluzioni. Direi positivo, i (soliti pochi) solutori intuiscono la soluzione di equazioni e sistemi [stiamo, in questi giorni, per formalizzare il tutto…]

Alessia, illustra e spiega:

imageimage

138 è perciò la somma di due triangoli, due quadrati e due cerchi.

Ora da 138 tolgo il doppio della somma del quadrato e del cerchio :
138-(46*2)= 138-92 = 46.
Il risultato, ovvero 46, è la somma di due triangoli, quindi per trovare un triangolo divido per 2, ottenendo così 23.
Per trovare il cerchio sottraggo 23, il triangolo, da 35 e il risultato è 12.
Per trovare il quadrato posso sottrarre da 57 il triangolo, ovvero 23, e il risultato è 34. Oppure sottrarre da 46 il cerchio, ovvero 12 e ottengo sempre 34.

Gian Franco

Prima di tutto osservando bene le figure e le loro somme ho pensato di addizionare tutte le somme numeriche quindi 35+46+57= 138. 138 quindi è la somma di due triangoli, due quadrati e due cerchi, così ho pensato di dividerli per due ottenendo un triangolo, un quadrato e un cerchio (138/2=69). A questo punto da 69 ho sottratto ogni somma che già conoscevo [cosa costa chiarire con gli esempi?
69-46 (quadrato +cerchio)=23, il triangolo, ecc] ottenendo una differenza uguale alla figura mancante nelle somme e trovando quindi il valore di ogni figura, ovvero: triangolo=23, quadrato=34, cerchio=12.

Giuseppe P. Giu’ risolve elaborando i dati-somma, beh per lui troppo facile! Smile Ma bravo, ha lavorato in completa autonomia!

secondo me, il numero rappresentato con il triangolo è il 23; quello indicato con il cerchio è il numero 12 e quello raffigurato con il quadrato è il 34 perchè questi tre valori confermano i dati: la somma del quadrato più il cerchio è 46, quella del triangolo più il quadrato è 57, e infine la somma del cerchio più il triangolo è 35.

Ho notato anche che la differenza tra il cerchio e il triangolo è di 11, come pure quella tra il triangolo e il quadrato e anche la differenza tra le loro somme è di 11.

Miriam

Per risolvere il quesito ho lavorato in questo modo:

Ho addizionato 35, 46 e 57, ottenendo 138 e quindi due cerchi, due triangoli e due quadrati.
Poi ho diviso la somma per due ottenendo 69 e quindi un solo cerchio, un solo triangolo e un solo quadrato.
Poi, per scoprire il valore del quadrato, ho sottratto da 69, la somma del cerchio e triangolo, che è 35, ottenendo 34.
Ho fatto lo stesso per le altre due incognite: per scoprire il valore del triangolo ho fatto 69 - 46 (quadrato + cerchio), ottenendo 23, per quanto riguarda il cerchio ho fatto 69 - 57 (triangolo + quadrato), ottenendo 12.

Ricapitolando:
quadrato= 34
triangolo= 23
cerchio= 12
Poi per verificare, ho eseguito le somme cerchio-triangolo, quadrato-cerchio, triangolo-quadrato, attribuendo alle figure il loro valore.
Quindi:
12 + 23 = 35
34 + 12 = 46
23 + 34 = 57

Antonella:

Inizialmente ho sommato le tre somme ovvero 35+46+57=138 e ho diviso questo numero per due perche ogni figura si ripeteva due volte. 138:2=69.
Infine essendo le somme date, le misure di due figure, ne mancava una terza che scoprivo sottraendo dalla somma delle tre figure quella delle due figure. Ho fatto quindi: 69-35=34: è la misura del quadrato, poi 69-46=23: è la misura del triangolo e 69-57=12, la misura del cerchio.

Quesito 2

Per la classe prima

Valentina:

per poter risolvere il quesito mi sono servita di geogebra per orientarmi meglio

image

Nell'immagine riportata qua sopra c'è la formula per trovare la metà della freccia.
Osservandola bene ho capito che devo dividere la figura arancione in due parti in modo da ottenere due triangoli ottusangoli. 
Per trovare l'area del triangolo è necessaria la base e l'altezza. EF, la base, misura 1 cm perché corrisponde a metà del lato del quadrato che misura 2 cm, l’altezza del triangolo misura 1 cm perché corrisponde a EC che è la metà del lato BC. 
A= b*h/2= 1cm*1cm/2= 0.5 cm². Il tutto lo moltiplicheremo per 2, dato che manca l'altra metà della figura e quindi sarà 0.5*2 = 1 cm² ossia ¼ del quadrato.

Yuri:

La risposta del quesito 2 è 1 cm²

Sono arrivato alla soluzione calcolando l'area del triangolo ADE e sottraendo da essa l'area del triangolo ADF procedendo in questa maniera:

sapendo che il quadrato ABCD ha il lato di 2cm, vedendo che la porzione arancione è contenuta all'interno del triangolo ADE, dove E è il punto medio del lato BC, da qui vedo che l'altezza del triangolo misura cm 2, come il lato del quadrato. L'area del triangolo ADE sarà di 2 cm² ( base 2cm x altezza 2cm /2) quindi (2x2/2). Per trovare l'area della freccia arancione, dobbiamo togliere dal triangolo ADE l'area del triangolo ADF che calcoleremo sapendo che F è il punto di intersezione tra le diagonali del quadrato e quindi misurerà la metà del lato del quadrato. Perciò l'altezza del triangolo ADF misurerà 1cm, da qui si può calcolare la sua area avendo la misura della base che sappiamo è di 2cm. Quindi base 2cm  x  altezza 1cm / 2 otteniamo 1 cm²= area di ADF.

Ora dall'area di ADE tolgo l' area di ADF e ottengo l' area della porzione arancione ossia 2-1=1 cm²

Yuri risolve anche per via diretta, cioè calcolando l’area della freccia per somma di aree di triangoli ottusangoli, come Valentina.

Sara: Come Yuri, prima soluzione, ma omette la spiegazione sulle dimensioni dei triangoli.

Elena:

Calcolo l'area del quadrato sapendo che ogni lato misura 2cm quindi l•l=2•2=4 cm²; calcolo l'area del triangolo DAF: b•h:2=2•1:2=1 cm²; poi calcolo l'area del triangolo AEB b•h:2=2•1:2=1 cm². Questo triangolo è uguale al triangolo EDC. Quindi dall'area del quadrato (4 cm²) tolgo l'area dei tre triangoli (3 cm² totali). Il risultato è 1 quindi la freccia ha area 1 cm².

Antonio: soluzione per somma di aree triangoli ottusangoli.

Luca: soluzione-Elena

Andrea: prima soluzione-Yuri, così come Paola.

Roberta: due soluzioni come Yuri: per somma aree triangoli ottusangoli e per differenza aree triangoli ADE e ADF.

Marta C.: soluzione-Elena, così come Michele

Elisa: si è fatta aiutare, ma non può aver capito quella spiegazione! Smile

Infine Aurora. Non dovrei accettare la soluzione perché alla richiesta di spiegazioni non risponde, tuttavia… santa pazienza! Ritaglio immagine dal suo lavoro su geogebra:

image 

No, proprio non ci vuole spiegare la sua intuizione-deduzione! Che non sia proprio semplicissima? Smile

[Aggiornamento]

Non abbiamo mica lasciato perdere! La soluzione di Aurora, non spiegata, ci incuriosiva e, in classe, tutti insieme, l’abbiamo ripresa in mano.

In verità Aurora ci ha mostrato come era arrivata alla sua conclusione: il “suo” punto E era libero, non lo ha individuato con Punto medio di segmento, ma creato al centro del segmento CD utilizzando la griglia. Essendo dunque un punto mobile, lei lo trascinava fino a farlo coincidere con il vertice D del quadrato. La freccia arancio dunque andava a formare il suo bel triangolo fucsia!

Non convincendoci troppo la dimostrazione, siamo andati alla ricerca di un’altra concentrandoci sull’equiscomponibilità. Come scomporre la freccia e ricomporla in maniera da ottenere il triangolo fucsia? Diversi i tentativi, infine la soluzione arriva da Roberta. Che si impegna a scriverla chiaramente per l’integrazione del post. Mi invia costruzione e spiegazione che vado a copincollare!

image

Per dimostrare che la freccia corrisponde ad 1\4 del quadrato ABCD innanzitutto ho costruito la figura proposta. Per 1\4 del quadrato io ho preso in considerazione il triangolo ECD.
Ho diviso la freccia in due triangoli ottusangoli con un segmento, EF, poi ho tracciato un altro segmento congruente a BC passante per E formando così quattro triangoli congruenti a due a due: AJE = EHD, JFE = EFH.
[Il simbolo di congruenza è ≅]
Ho preso in considerazione 1\2 di freccia, EFD. EHD rimane dove si trova, mentre ruoto EFH di 180° in senso antiorario [centro di rotazione il punto H], ho riempito così 1\8 di ABCD: EGD. Dovrei aver finito qui perchè se fino ad ora ho utilizzato solo metà freccia e ho trovato 1\8 di ABCD = 1\2 di 1\4 di ABCD, è ovvio che l'altro 1\2 di ECD corrisponde all'altra metà della freccia, ma per essere sicura ho preferito dimostrare. Ho ruotato di 180° in senso antiorario AJE [centro di rotazione il punto E] e ho traslato JFE con vettore EG.

Brava Robi, bravi tutti!

Anche Andrea e Paola hanno inviato le costruzioni.

Andrea:

image- ho ritoccato i colori per evidenziare i movimenti -

Paola

image- Paola evidenzia le trasformazioni geometriche con archi e vettore ma ho ritoccato anche i suoi colori -

Per la classe terza

Alessia: due soluzioni: per somma aree triangoli ottusangoli e per differenza area quadrato-aree triangoli ADF, ECD e EBA.

Beh, per il secondo metodo lavora tanto su geogebra anche per scrivere formule, riconosciamoglielo!

imageimage

Spiega così:

Per trovare l'area della parte colorata devo togliere, dall'area del quadrato, la somma delle aree del triangolo DAF e dei due triangoli rettangoli equivalenti (DCE e EBA).
L'area del triangolo DAF corrisponde a 1/4 dell'area del quadrato  [(l²/2)/2=l²/4]
[ci sarebbe un’altra spiegazione ….!]. L'area dei due triangoli rettangoli è uguale all'area di un rettangolo che ha la base il doppio dell'altezza, perciò si calcola: l*l/2=l²/2
Adesso posso dire che l'area della parte bianca equivale ai 3/4 dell'area del quadrato, perchè
(provo a lasciare il La Tex, spero sia ancora leggibile sul blog, per tutti i lettori):
$\frac{l^2}{4}+\frac{l^2}{2}=\frac{l^2+2l^2}{4}=\frac{3}{4}l^2$
quindi l'area della parte arancione è uguale a 1/4 dell'area del quadrato.

Per ciò che concerne il perimetro – freccia, scrive in formule:

image

Faccio notare che (spontaneamente Smile) ha pure “raccolto a fattore comune”. Ma sì, ho sollecitato ma lo hanno saputo fare …!

E spiega:

Il perimetro è composto dai lati DE, EA, DF e FA.
I lati DF e FA sono uguali e sommati formano la diagonale del quadrato, che si calcola con il prodotto del lato per la radice quadrata di 2.
Noto anche che i lati DE e EA sono uguali e sono anche le ipotenuse dei due triangoli rettangoli DCE e EBA e si calcolano calcolando il doppio della radice quadrata della somma dei quadrati dei cateti.

Elisa: soluzione per somma aree triangoli ottusangoli ma non calcola il perimetro-freccia. Proprio come Miriam.

Gian Franco:

Ho pensato di dividere la freccia arancione a metà per ottenere due triangoli ottusangoli. La base e l'altezza misurano la metà del lato del quadrato, l'altezza perché è parallela e uguale a metà lato, e la base perché segnata dal punto d'incontro delle diagonali, quindi anche con quello degli assi e infatti anche essa è lunga metà lato. Dopo di che ho trovato l'area del triangolo cioè 1*1/2=0,5 cm^2 che ho raddoppiato perché era la metà della freccia completa, ottenendo un'area complessiva di 1 cm^2.

Trova anche il perimetro della freccia (come Alessia) ma non scrive le formule con i simboli “copiabili” per cui non riporto. Conclude comunque:

ecco il raccoglimento a fattor comune del perimetro, quindi la proprietà distributiva "al contrario": 2*(rad5+rad2)

Antonella:

Trova l’area per somma aree triangoli ottusangoli e il perimetro:

Per il perimetro invece ho usato il teorema di Pitagora per calcolare il segmento AE (radice quadrata di AB^2+EB^2=radice di (2^2+1^2) = radice di (4+1)=radice di 5); ho moltiplicato il risultato per 2: 2(radice di 5). Per trovare invece i segmenti DF-FA: l x radice di 2 (perche DF è metá diagonale ed essendo uguale al segmento AF, insieme formano la diagonale del quadrato=2 x (radice di 2)). Ma come ci ha chiesto lei in classe, il perimetro della freccia si può raccogliere a fattor comune = 2(rad.2+rad. 5)

Come sempre, mi pare di aver detto tutto!

Bravo, ancora come sempre, a chi ha lavorato, e bravo a chi ha tentato ma non è riuscito.

Grazie al prof Davide che anche stavolta ci ha dato buoni spunti di riflessione e utilissimi per sviluppare nuovi concetti.

A presto qui (sono un po’ indecisa sulla data… concorderò con il prof Davide) per i nuovi quesiti!

Stampa il post