Interpretazione geometrica del cubo di un binomio

Del cubo di un binomio

Gabriele ha curato l’interpretazione geometrica. Con SketchUp. Ha realizzato il video

La prof, meno brava di Gabri, ha invece realizzato la costruzione con Geogebra 3D

Un binomio ... al cubo!

E ancora un altro prodotto notevole.
Abbiamo visto il quadrato di un binomio. Ora vediamo come si sviluppa un binomio alla terza (potenza), cioè al cubo, cioè il
cubo di un binomio.

Al solito ci aiuta la geometria per comprendere meglio. Se il binomio è elevato al cubo, geometricamente può essere interpretato come il volume di un cubo che ha spigolo lungo:
(a + b)
Osservate:

Sotto la figura vedete la formula risolutiva. Che così si spiega... (Clic sull'immagine per aprire l'applet GeoGebra, ma prima leggete qui)
Il cubo di spigolo (a + b), ha volume V=(a + b)³
Ma, vediamo in figura, il cubo risulta scomponibile in 8 solidi (uno di essi, a destra in basso, resta completamente "sul retro" della figura) e precisamente:
2 cubi: uno di spigolo a, quindi di volume a³ (sinistra in alto, retro)
_____ uno di spigolo b, quindi di volume b³ (destra in basso, davanti)
6 parallelepipedi: tre di dimensioni a, a, b quindi volume a²b (sinistra in basso sul retro, destra in alto sul retro e sinistra in alto, davanti)
_______________ tre di dimensioni a, b, b quindi volume ab² (sinistra in basso, davanti, destra in alto, davanti e destra in basso, retro)
La somma dei volumi dei 2 cubi e dei 6 parallelepipedi è il volume del cubo.
Che dunque possiamo scrivere: V= a³+ 3a²b + 3ab²+ b³
e perciò la formula del cubo di un binomio:
(a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³


Al prossimo post vedremo come si esegue una qualsiasi potenza del binomio: (a + b)
Tranquilli, non con figure geometriche ancora più complesse!

Ritroveremo una nostra conoscenza ... sorpresina!:-)

[Aggiornamento] Inspiegabilmente, l'applet geogebra contenente la rotazione del cubo ha smesso di funzionare correttamente e ho dovuto rimuoverlo. Nell'attesa di una nuova (eventuale) costruzione, segnalo la seguente, splendida animazione. Clic!

sommacubidoppio.swf (application/x-shockwave-flash Object) via kwout

Altro prodotto notevole: somma per differenza

Ancora un prodotto notevole:
prodotto della somma di due monomi per la loro differenza
Stavolta scoprirete con geogebra come moltiplicare, con scorciatoia, un binomio somma di monomi per un binomio, differenza degli stessi monomi. I due binomi differiscono cioè solo per un segno!
Es generale: (a + b) * (a - b)
Secondo la normale moltiplicazione di binomio per binomio: ..... bé, ormai sapete.
Ma qui abbiamo a che fare con un prodotto notevole!
Andate a lavorare sul foglio di geogebra ...
questa figura:

si trasformerà in questa:

Sulla seconda immagine già vedete un rettangolo R, di dimensioni (a + b) e (a - b). La prima immagine invece... cliccateci su e andate a scoprire!
Potete muovere i punti B, B' per variare le dimensioni del quadrato giallo e del quadrato più grande oppure del rettangolo. Osservate i testi dinamici per la verifica.
Si può scaricare il file .ggb

La geometria ... dell'algebra_2

Dopo questo...
vedete come la geometria può aiutarci a capire meglio perché:
(a + b)² non è uguale a: a² + b² 
clic sulla figura per andare a scoprire un prodotto fra binomi ... particolare, cioè non più qualsiasi.
Esistono dei prodotti fra polinomi più famosi di altri. Sono infatti chiamati prodotti notevoli. Sono da conoscere, per riuscire bene nella prosecuzione dei vostri percorsi, praticamente a memoria! Non prima però di averli compresi.
Quello che andrete a scoprire si chiama: quadrato di un binomio.
 Sul foglio geogebra rispondete alle domande mettendo il segno di spunta in corrispondenza delle risposte corrette.
Se l'applet non dovesse visualizzarsi correttamente, scaricate il file .ggb

Buona scoperta ... e dimostrazione!

E' opportuna una piccola integrazione.
Vi siete resi conto del perché sia utile conoscere i prodotti notevoli? Perché ho detto che in pratica sono da sapere a memoria?
Considerate:
(a + b)² dovremmo scrivere:
(a + b) * (a + b)eseguendo come un prodotto di due monomi qualsiasi:
(a + b) * (a + b) = a² + ab + ba (ab) + b² (distribuisco i due termini del primo fattore ai due termini del secondo)
riducendo i due termini simili:
(a + b) * (a + b) = a² + 2ab + b² quindi:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Conviene o no conoscere il "quadrato di un binomio"?
Naturalmente a e b possono essere due monomi qualsiasi, positivi, negativi, coefficiente intero oppure frazione.
Quindi ... dirò di più! :-)
 Quadrato di un binomio calcolo (attenzione: segno, coefficiente numerico e parte letterale!):
1) il quadrato del primo termine
2) il doppio prodotto del primo termine per il secondo
3) il quadrato del secondo termine 
Consiglio per il doppio prodotto:
- eseguo il prodotto dei segni (e scrivo!)
- eseguo il prodotto dei coefficienti numerici e lo raddoppio (se sono frazioni semplifico, moltiplico i due numeratori e raddoppio)
- eseguo il prodotto della parte letterale.

La geometria ... dell'algebra

Ragazzi,
geometria e algebra sono "imparentate"!
E' possibile infatti interpretare geometricamente i calcoli algebrici. Ci aiuta anche a comprenderli meglio.
E non è un'idea nuova! Nell'antica Grecia (Euclide, Erone), si studiava un'algebra geometrica nella quale ragionamenti e risultati dell'algebra venivano interpretati geometricamente.
Cominciamo con qualche esempio.
1) Prodotto di un monomio per un polinomio, che poi non è altro che
la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione (in algebra intendendo somma algebrica).
La proprietà viene espressa algebricamente:
(a + b + c) * d = ad + bd + cd
Osservate

Il rettangolo maggiore ha come base un segmento di lunghezza a + b + c e come altezza un segmento di lunghezza d
L'area di questo rettangolo:
A = (a + b + c) * d
Ma anche, suddividendo il rettangolo in tre parti:
A = ad + bd + cd
Perciò, è geometricamente giustificato:
(a + b + c) * d = ad + bd + cd

2) Il prodotto di due binomi (valido anche per prodotto di due polinomi)
Algebricamente:
(a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd (distribuisco tutti i termini del primo fattore a tutti i termini del secondo)
Osservate ora:

Il rettangolo maggiore ha i lati lunghi a + b e c + d
L'area di questo rettangolo:
A = (a + b) * (c + d)
ma anche, suddividendo il rettangolo in quattro parti
A = ac + ad + bc + bd
Dunque, anche qui geometricamente giustificato il risultato algebrico della moltiplicazione

(a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd
Se non lo avete già fatto, clic sulle immagini per vedere i geogebra