E ancora un altro prodotto notevole.
Abbiamo visto il quadrato di un binomio. Ora vediamo come si sviluppa un binomio alla terza (potenza), cioè al cubo, cioè il
cubo di un binomio.
Al solito ci aiuta la geometria per comprendere meglio. Se il binomio è elevato al cubo, geometricamente può essere interpretato come il volume di un cubo che ha spigolo lungo:
(a + b)
Osservate:
Sotto la figura vedete la formula risolutiva. Che così si spiega... (Clic sull'immagine per aprire l'applet GeoGebra, ma prima leggete qui)
Il cubo di spigolo (a + b), ha volume V=(a + b)³
Ma, vediamo in figura, il cubo risulta scomponibile in 8 solidi (uno di essi, a destra in basso, resta completamente "sul retro" della figura) e precisamente:
2 cubi: uno di spigolo a, quindi di volume a³ (sinistra in alto, retro)
_____ uno di spigolo b, quindi di volume b³ (destra in basso, davanti)
6 parallelepipedi: tre di dimensioni a, a, b quindi volume a²b (sinistra in basso sul retro, destra in alto sul retro e sinistra in alto, davanti)
_______________ tre di dimensioni a, b, b quindi volume ab² (sinistra in basso, davanti, destra in alto, davanti e destra in basso, retro)
La somma dei volumi dei 2 cubi e dei 6 parallelepipedi è il volume del cubo.
Che dunque possiamo scrivere: V= a³+ 3a²b + 3ab²+ b³
e perciò la formula del cubo di un binomio:
(a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³
Al prossimo post vedremo come si esegue una qualsiasi potenza del binomio: (a + b)
Tranquilli, non con figure geometriche ancora più complesse!
Il cubo di spigolo (a + b), ha volume V=(a + b)³
Ma, vediamo in figura, il cubo risulta scomponibile in 8 solidi (uno di essi, a destra in basso, resta completamente "sul retro" della figura) e precisamente:
2 cubi: uno di spigolo a, quindi di volume a³ (sinistra in alto, retro)
_____ uno di spigolo b, quindi di volume b³ (destra in basso, davanti)
6 parallelepipedi: tre di dimensioni a, a, b quindi volume a²b (sinistra in basso sul retro, destra in alto sul retro e sinistra in alto, davanti)
_______________ tre di dimensioni a, b, b quindi volume ab² (sinistra in basso, davanti, destra in alto, davanti e destra in basso, retro)
La somma dei volumi dei 2 cubi e dei 6 parallelepipedi è il volume del cubo.
Che dunque possiamo scrivere: V= a³+ 3a²b + 3ab²+ b³
e perciò la formula del cubo di un binomio:
(a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³
Al prossimo post vedremo come si esegue una qualsiasi potenza del binomio: (a + b)
Tranquilli, non con figure geometriche ancora più complesse!
Ritroveremo una nostra conoscenza ... sorpresina!:-)
[Aggiornamento] Inspiegabilmente, l'applet geogebra contenente la rotazione del cubo ha smesso di funzionare correttamente e ho dovuto rimuoverlo. Nell'attesa di una nuova (eventuale) costruzione, segnalo la seguente, splendida animazione. Clic!
[Aggiornamento] Inspiegabilmente, l'applet geogebra contenente la rotazione del cubo ha smesso di funzionare correttamente e ho dovuto rimuoverlo. Nell'attesa di una nuova (eventuale) costruzione, segnalo la seguente, splendida animazione. Clic!
Post
Ecco... ehm... scusa se invado clandestinamente lo spazio di questo post che non ho ancora letto... (non rispedirmi in Libia, pero').
RispondiEliminaCi sarebbe un post che forse ti interessa sul mio blog.
Ciaociao
Bellissimo! Specialmente l'animazione con GeoGebra, mi devi spiegare come si realizza!
RispondiEliminaComplimenti.
Daniele
http://lnx.sinapsi.org/wordpress/
Daniele,
RispondiEliminail cubo è realizzato in assonometria cavaliera a 45°. per la rotazione ho collegato un punto della retta contenente lo spigolo del cubo a un punto dell'arco.
Puoi scaricare il .ggb dalla mia cartella (giovanna) su geogebra wiki. subito sotto la tua... mi pare
grazie...:-)
Complimenti.
RispondiEliminaBuona notte
Vale
grazie, PL
RispondiEliminabuon giorno:-)
buona fine settimana!
Per una migliore visualizzazione del cubo del binomio è necessario far corrispondere a superfici uguali colore uguale.
RispondiEliminaNella rappresentazione grafica del cubo del binomio esso presenta numero sei facce corrispondenti ad altrettanti quadrati il cui lato geometricamente è rappresentato dal segmento a+b
Pertanto ogni faccia del cubo è equivalente al quadrato del binomio a+b.
Difatti colorando come anzi detto a superfici uguali colori uguali avremo per ogni faccia del cubo un colore corrispondente alla superficie a-2( da intendere a al quadrato) per esempio colore giallo.
Della superficie B2(intendersi b al quadrato) per esempio colore rosso e numero due superfici equivalenti alla superfice ab( numero due superfici) esempio colore verde.
Ogni faccia del cubo avrà un rosso, un giallo e due verdi.
Altra considerazione ogni faccia del cubo è equivalente al quadrato del binomio a+b .
Costruendo un quadrato il cui lato è dato dall'ipotenusa del triangolo rettangolo di lato a e b all'interno del quadrato a+b si può da esso dimostrare il teorema di Pitagora partendo dal quadrato del binomio.
Non ho a disposizione il programma per rappresentarlo ma resto a disposizione per ulteriori chiarimenti.
Gennaro
grazie Gennaro,
RispondiEliminaper l'approfondimento!