Un binomio ... al cubo!

E ancora un altro prodotto notevole.
Abbiamo visto il quadrato di un binomio. Ora vediamo come si sviluppa un binomio alla terza (potenza), cioè al cubo, cioè il
cubo di un binomio.
Al solito ci aiuta la geometria per comprendere meglio. Se il binomio è elevato al cubo, geometricamente può essere interpretato come il volume di un cubo che ha spigolo lungo:
(a + b)
Osservate:

Sotto la figura vedete la formula risolutiva. Che così si spiega...
Il cubo di spigolo (a + b), ha volume V=(a + b)³
Ma, vediamo in figura, il cubo risulta scomponibile in 8 solidi (uno di essi, a destra in basso, resta completamente "sul retro" della figura) e precisamente:
2 cubi: uno di spigolo a, quindi di volume a³ (sinistra in alto, retro)
_____ uno di spigolo b, quindi di volume b³ (destra in basso, davanti)
6 parallelepipedi: tre di dimensioni a, a, b quindi volume a²b (sinistra in basso sul retro, destra in alto sul retro e sinistra in alto, davanti)
_______________ tre di dimensioni a, b, b quindi volume ab² (sinistra in basso, davanti, destra in alto, davanti e destra in basso, retro)
La somma dei volumi dei 2 cubi e dei 6 parallelepipedi è il volume del cubo.
Che dunque possiamo scrivere: V= a³+ 3a²b + 3ab²+ b³
e perciò la formula del cubo di un binomio:
(a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³
Clic per vedere il geogebra
Cliccate ora su quest'altra per ruotare il cubo

Al prossimo post vedremo come si esegue una qualsiasi potenza del binomio: (a + b)
Tranquilli, non con figure geometriche ancora più complesse!
Ritroveremo una nostra conoscenza ... sorpresina!:-)

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