Decimale periodico n/7

Ragazzi,

riporto qui la curiosità di cui vi ho parlato, sul numero periodico semplice generato dalle frazioni con denominatore 7.

Abbiamo trovato il numero periodico generato da 1/7 :

Quando si è ripresentato il resto di 1 abbiamo trovato il periodo: 142857 142857 142857 142857 .... di sei cifre.

Il periodo non poteva essere più lungo di sei cifre: infatti, abbiamo ragionato, la divisione per 7, escludendo lo zero  se il divisore è un multiplo di 7, può avere solo sei resti: 1, 2, 3, 4, 5, 6. (Se ho resto 7 o maggiore... so che ho sbagliato la divisione: ci stava qualche volta in più!)

Ora: per calcolare il periodico generato da 2/7,  basta osservare che il calcolo comincia con un resto 2:

2:7 = 0 con resto 2

Il lavoro l'abbiamo già fatto per la divisione 1:7; ci limitiamo a prendere il risultato dal punto in cui compare il resto 2, e a scrivere la risposta come 0,285714... periodico.

Possiamo chiamare questa ricorrenza, proprietà del nastro trasportatore, pensando al dispositivo sui cui girano i bagagli usciti nella sala arrivi di un aeroporto. Dovunque ci fermiamo, ci passano davanti gli stessi oggetti.

Per trovare il periodico generato da 3/7, basta fermarsi nel punto in cui compare il resto 3 e osservare il ciclo che si ripresenta come 0,428571....

Ribadiamo: ci sono soltanto sei possibili resti: 1, 2, 3, 4, 5, 6, e ciascuno di essi compare una sola volta. E osservate bene la proprietà del nastro trasportatore del numero 142.857:

142.857 x 1 = 142.857
142.857 x 2 = 285.714
142.857 x 3 = 428.571
142.857 x 4 = 571.428
142.857 x 5 = 714.285
142.857 x 6 = 857.142

Non vi sembra curioso?

A questo punto, osservate:

142.857 x 7 = 999.999

Quando si calcola la sesta cifra decimale del rapporto 1/7 il resto è 1. Ciò significa che la divisione di 1.000.000 per 7 ha resto 1, e quindi 7 sta esattamente in 999.999, 142.857 volte.

La frazione 1/7 e il suo valore decimale ci dicono una cosa sugli interi: 7 è un divisore esatto del numero che si scrive come sei 9!

.... C'è una regolarità che sussiste anche per altre frazioni?

La curiosità è tratta dal libro:

 Il Curioso Dei Numeri (già!) - Stranezze matematiche, controversie scientifiche, divagazioni da 1 a 9 di Andrew Hodges  

Frazioni, generatrici di numeri (razionali).

Approfondiamo la conoscenza dell'insieme Q+
Alessandra, Delia, Irene, Laura e Nicola hanno raccolto il loro lavoro in questo articolo.

Insieme Q+ dei numeri Razionali positivi
(numero razionale: quoziente fra due interi)

Conosciamo le frazioni sia come operatori su grandezze che come numeri perché sappiamo che una frazione è il quoziente esatto fra due numeri naturali. Es 3:5 = 3/5
Poi sappiamo che un'intera classe di equivalenza di frazioni è un numero razionale.
[L'insieme di tutte le classi di equivalenza costituisce l'insieme Q]
Ora impariamo a conoscere i vari tipi di numeri razionali prendendo in considerazione il quoziente generato da una frazione. Dividendo il numeratore per il denominatore possiamo ottenere:

Tutti insieme formano i numeri razionali.

E' facile capire che le frazioni apparenti generano i numeri naturali, infatti apparentemente sono frazioni ma in realtà sono numeri interi perché il numeratore è multiplo del denominatore.
Le altre frazioni, proprie e improprie, generano quozienti decimali.
I numeri decimali limitati dopo la virgola hanno un numero di cifre limitato o finito e sono dei quozienti esatti perché la disione tra numeratore e denominatore da resto 0 (zero), anche se abbiamo dovuto continuarla...
Essi si ottengono dalle frazioni decimali, in altre parole quelle con il denominatore 10, 100, 1000, ... oppure dalle frazioni che possono diventare decimali.
Spieghiamo come:
Il 10, 100, 1000.... hanno, come fattori primi solo i numeri 2 e 5 o loro potenze.
Se un numero scomposto in fattori primi ha solo il 2 o una sua potenza o solo il 5 o una sua potenza oppure entrambi, allora può diventare 10, 100, 1000, moltiplicandolo per 2 o per 5 o loro potenze. Es:
il numero 8: è la terza potenza di 2, 2^3. Il più vicino all'8, fra 10, 100, 1000... è il 1000, che è uguale a 2^3*5^3. Quindi 8 moltiplicato per 5^3 diventa 1000.
Una frazione (primitiva sempre!) che ha denominatore 8 può essere trasformata in una frazione decimale.
Allora:
si può capire al volo se una frazione genera un numero decimale limitato o illimitato.
Per esempio: 3/20.
Bisogna puntare l’attenzione sul denominatore, scomporlo in fattori primi e vedere se ha i “numeri chiave” che sono il 2 ed il 5. In questo caso il denominatore è 20 = 2^2 * 5
Il quoziente 3:20 è un numero decimale limitato.
Attenzione: non ci devono essere fattori estranei. Se ci sono altri numeri oltre al 2 o al 5 non si potrebbe trasformare il denominatore in 10, 100, 1000, .... I numeri chiave possono esserci entrambi oppure solo uno dei due (o solo il 2 o solo il 5).

I numeri decimali illimitati invece, sono quei quozienti che si ottengono da divisioni che non potranno mai dare resto zero. Quindi i numeri decimali illimitati non sono dei quozienti esatti. Hanno un numero infinito di cifre dopo la virgola.
Però attenzione: sono periodici.
Periodici vuol dire che ci sono una i più cifre che si ripetono all'infinito dopo la virgola. La cifra o il gruppo di cifre che si ripete si chiama periodo e si indica con un segmentino sopra, es: o,363636... si scrive 0,36 e sopra il 36 un segmentino, una lineetta.
I numeri illimitati periodici si ottengono da frazioni che non sono decimali e non trasformabili in frazioni decimali.
Come prevedere i quozienti (cioè senza fare la divisione)?
Ancora puntiamo l'attenzione sul denominatore.
Se il denominatore scomposto in fattori primi contiene fattori estranei al 2 e al 5, allora la frazione genererà un decimale illimitato periodico.
Ma si possono avere due casi:
1) il denominatore contiene come fattori primi, il 2, o il 5, entrambi e uno o più fattori estranei: il quoziente generato è un illimitato periodico misto.
Il numero illimitato periodico misto ha una o più cifre, dopo la virgola, che non si ripetono prima del periodo. Questa cifra o cifre, costituiscono l'antiperiodo.
2) Il denominatore contiene solo fattori estranei al 2 e al 5, cioè non contiene il 2 o il 5: il quoziente generato è un illimitato periodico semplice. Il periodo si ripete subito dopo la virgola.
Non ci si può confondere:
misto= un misto, "estranei" con "numeri chiave"
semplice= solo "estranei"

Dobbiamo ancora conoscere il procedimento inverso: come passare da un numero decimale alla sua frazione generatrice. Ve ne parleremo più avanti....

Alessandra, Delia, Irene,
Laura e Nicola
II A

Bravi ragazzi!
Ricordo che è possibile scaricare la presentazione sull'insieme Q+ e il file .xls, già segnalati in questo post.