La funzione O() in Excel e l'Unione fra insiemi

Anche la funzione O(), come la E(), controlla due o più condizioni...

La funzione O() traduce in Excel il connettivo logico o (vel latino)
Appartiene sempre alla categoria delle funzioni logiche.
La sua sintassi è:

O(logico1;logico2;...)
Logico1;logico2;... sono da 1 a 30 condizioni da verificare che possono avere valore VERO o FALSO.
Restituisce VERO se uno o più argomenti hanno valore VERO e restituisce FALSO se tutti gli argomenti hanno valore FALSO.

Ricordiamo l'operazione di unione di insiemi.
Dati un certo numero di insiemi, i cui elementi soddisfano particolari condizioni, un elemento appartiene alla loro unione se soddisfa almeno una delle condizioni di uno degli insiemi.
O anche:
L'unione di due insiemi A e B è l'insieme degli elementi che appartengono o ad A o a B.

In Excel la funzione O() ci aiuta dunque a sapere se un certo elemento appartiene o no all'unione di insiemi dati. Infatti controlla due o più condizioni (argomenti logici) e restituisce il valore VERO se almeno una condizione è vera, FALSO se tutte le condizioni sono false.
Per capire meglio come usare la funzione, supponiamo di avere 2 insiemi:
A: {1; 2,7; 3; 4,5; 5} L'insieme A contiene i numeri minori di 6.
B: {8,2; 8,5; 9; 10; 11;....} L'insieme B contiene i numeri maggiori di 8.

Vogliamo sapere se la frazione 15/4 (è un numero) appartiene a uno dei due insiemi e quindi alla loro unione.
In una cella, es. in B3, di un foglio di lavoro digitiamo la formula (immissione manuale delle formule):
=O(15/4<6;15/4>8) premiamo il tasto Invio
La formula restituisce il risultato: VERO
La frazione 15/4 soddisfa una delle condizioni: è un numero minore di 6, non è un numero maggiore di 8, quindi appartiene a uno degli insiemi, e perciò alla loro unione.

Adesso riproviamo con la frazione 15/2. Digitiamo la formula:
=O(15/2<6;15/2>8) premiamo Invio
Il risultato restituito è: FALSO
La frazione 15/2 non è minore di 6 e non è maggiore di 8, non soddisfa alcuna delle due condizioni, non appartiene a nessuno dei due insiemi, quindi è FALSO che appartenga all'unione dei due insiemi.

Se dovessimo immettere la funzione dal menu Inserisci --> Funzione (vedi SE()),
osserviamo la finestra Argomenti funzione (per il primo nostro esempio):
Nella casella Logico1 digitiamo: 15/4<6>
Nella casella Logico2 digitiamo: 15/4>8

Osserviamo che:

• appena si inserisce un argomento compare la scritta VERO o FALSO sulla destra della casella
• il risultato finale è VERO

Ho integrato il file esempi funzione E() con esempi funzione O().

alla prox :-)

La funzione E() in Excel e l'Intersezione fra insiemi

In prima abbiamo appena cominciato a parlare di Insiemi...
e fra poco ci occuperemo di operazioni con gli insiemi.

Qui sul blog abbiamo già del materiale: Operazioni con insiemi 1 e 2
(consigliata a tutti la lettura di tali post: facilita la comprensione della funzione E(), che traduce in Excel il connettivo logico e).

La funzione E() è ancora una funzione appartenente alla categoria Logiche, come la funzione SE() di cui si è parlato e come la funzione O() descritta in questo post.
Sintassi
E(logico1;logico2; ...)
Logico1; logico2; ... sono da 1 a 30 condizioni da verificare che possono avere valore VERO o FALSO.
Restituisce VERO se tutti gli argomenti hanno valore VERO e restituisce FALSO se uno o più argomenti hanno valore FALSO.

Ricordiamo l'operazione di intersezione di insiemi.
Dati un certo numero di insiemi, i cui elementi soddisfano particolari condizioni, un elemento appartiene alla loro intersezione se soddisfa le condizioni comuni a tutti gli insiemi.
O anche:
L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B.

In Excel la funzione E() ci aiuta a sapere se un certo elemento appartiene o no all'intersezione di insiemi. Infatti controlla due o più condizioni (argomenti logici) e restituisce il valore VERO solo se tutte le condizioni sono vere, FALSO se almeno una condizione è falsa.
Per capire meglio come usare la funzione, supponiamo di avere 2 insiemi:
A: {1; 2,7; 3; 4,5; 5} L'insieme A contiene i numeri minori di 6.
B: {3,8; 4; 5; 6,2; 7; 8;....} L'insieme B contiene i numeri maggiori di 3.
Vogliamo sapere se la frazione 15/4 (è un numero) appartiene a entrambi gli insiemi e quindi alla loro intersezione.
In una cella, es. in B3, di un foglio di lavoro digitiamo la formula (immissione manuale delle formule):
=E(15/4<6;15/4>3) premiamo il tasto Invio
La formula restituisce il risultato: VERO
La frazione 15/4 soddisfa entrambe le condizioni: è un numero minore di 6 e è un numero maggiore di 3, quindi appartiene a entrambi gli insiemi, e perciò alla loro intersezione.

Adesso riproviamo con la frazione 15/2. Digitiamo la formula:
=E(15/2<6;15/2>3) premiamo Invio
Il risultato restituito è: FALSO
La frazione 15/2 è maggiore di 3 ma non è minore di 6, non soddisfa alla prima condizione, quindi è FALSO che appartenga all'intersezione dei due insiemi.

Se dovessimo immettere la funzione dal menu Inserisci --> Funzione (vedi SE()),
osserviamo la finestra Argomenti funzione (per il secondo nostro esempio):
Nella casella Logico1 digitiamo: 15/2<6>

Nella casella Logico2 digitiamo: 15/2>3

Osserviamo che:

• appena si inserisce un argomento compare la scritta VERO o FALSO sulla destra della casella
• il risultato finale è FALSO

Ho preparato un file da scaricare (su cui ci si può esercitare): Esempi funzione E()

alla prox!:-)

Operatori Booleani

Ragazzi,
l'argomento trattato in questo post sarà oggetto delle nostre attività, un po' più avanti...
Segnalo ora un lavoro in Excel in seguito a qualche richiesta giuntami.
Nella trattazione dell'argomento noi procederemo per piccoli passi, utilizzeremo concetti e informazioni un po' come "strumento" per aiutarci nella riflessione, nel ragionamento, nello sviluppo delle capacità logiche... Insomma, un sostegno per l'apprendimento, per l'elaborazione di concetti. E' fondamentalmente un metodo: "fermati e pensa"!

Operatori Booleani

L'esempio in Excel (SCARICA QUI l'allegato), interattivo,

riporta le tavole di verità che definiscono le espressioni logiche ottenute combinando variabili (ad es. le proposizioni), mediante gli operatori logici
AND OR XOR.
Le tavole di verità sono tabelle matematiche utilizzate come principale rappresentazione di una funzione booleana, e nella logica per determinare se, attribuiti i valori di verità alle proposizioni che la compongono, una determinata proposizione è VERA o FALSA.
AND OR XOR sono operatori dell'algebra booleana, il sistema logico sviluppato dal matematico inglese George Boole (1815-64).
La logica booleana consiste di tre operatori logici di base:

1. OR
2. AND
3. NOT

Una variabile logica (o booleana) è una variable che può assumere solo uno di due valori (valori di verità):
VERO - simboli alternativi: true, 1, ON, SI (YES)
FALSO - simboli alternativi: false, 0, OFF, NO

Le espressioni booleane assumono una particolare importanza per quanto riguarda il calcolo proposizionale.
La logica proposizionale è un linguaggio formale la cui sintassi è basata fondamentalmente su proposizioni elementari e su connettivi logici che "legano" tali proposizioni e che restituiscono il valore di verità della proposizione composta, in base al valore di verità delle proposizioni "connesse".
I principali connettivi logici sono:

1. NOT Negazione ¬
2. AND Congiunzione ^ (et latino)
3. OR Disgiunzione, o inclusivo v (vel latino)
4. XOR o esclusivo (aut latino)

L'operatore OR (v). Considerando due variabili A e B:
A or B: combina i valori di verità A e B in modo che il risultato sia vero solo se almeno una variabile, fra A e B, è VERA. Nell'insiemistica corrisponde all'operazione di Unione.
L'operatore AND (^)
A and B: combina i valori di A e B in modo che il risultato sia vero solo se sono VERE sia A sia B. Nell'insiemistica corrisponde all'operazione di Intersezione.
L'operatore NOT (¬)
not A: restituisce VERO se A è FALSO e viceversa. Nell'insiemistica corrisponde al Complemento Assoluto. Una concatenazione di NOT è semplificabile con un solo NOT in caso di dispari ripetizioni o con nessuno nel caso di pari.
L'operatore XOR (aut)
A xor B: combina i valori di A e B in modo che il risultato sia vero solo se una sola variabile, fra A e B, è VERA.
NOT ha precedenza più alta di AND e OR:
¬A ^ ¬B v ¬C equivale a (¬A)^(¬B)v(¬C)
AND ha precedenza più alta di OR
A^BvC equivale a (A^B)vC

Gli operatori dell'algebra booleana possono essere rappresentati in vari modi.
Le diverse simbologie sono scelte in base al campo in cui si lavora.
I matematici usano spesso il simbolo + per l'OR, e x per l'AND, in quanto per alcuni versi questi operatori lavorano in modo analogo alla somma e alla moltiplicazione. La negazione NOT viene rappresentata spesso da una linea disegnata sopra l'argomento della negazione, cioè dell'espressione che deve essere negata.
Nella progettazione di circuiti elettronici, vengono utilizzati anche gli operatori brevi NAND (AND negato), NOR (OR negato) e XNOR (XOR negato); questi operatori, come XOR, sono delle combinazioni dei tre operatori base e quindi non costituiscono un arricchimento della specie di strutture, vengono usati solo per rendere la notazione più semplice.

ciao!:-)

Operazioni con gli insiemi 2

Ragazzi,

Parliamo ora dell'operazione di

unione fra insiemi

Consideriamo ancora due insiemi A e B.

Per elencazione: A={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} e B={2; 4; 6; 8; 10}

Mediante il diagramma di Eulero-Venn

Per caratteristica, cioè individuando la proprietà comune a tutti gli elementi.
L'insieme A costituito dai numeri naturali, zero escluso, minori di 8.
In simboli: A={x/x è un numero naturale maggiore di zero e minore di 8} – sapete già come si legge: A è l'insieme formato dagli elementi x tali che (la sbarretta"/") x è un numero naturale maggiore di zero e minore di 8.
L'insieme B costituito dai numeri pari minori o uguali a 10.
In simboli: B={x/x è un numero pari minore o uguale a 10} - che leggiamo: B è l'insieme formato dagli elementi x tali che x è un numero pari minore o uguale a 10

Dati questi due insiemi possiamo costruirne un terzo, prendendo tutti gli elementi che appartengono almeno a uno dei due insiemi.

Per elencazione otteniamo in questo caso l'insieme C={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 10}

Gli elementi dell'insieme C compaiono almeno in uno dei due insiemi A e B.

Sono certa che volete fare qualche osservazione!

Eh sì, gli elementi presenti sia in A sia in B vanno inseriti nell'insieme C una sola volta!

Lo sapevamo no? Per quanto riguarda un insieme ci interessa solamente sapere se un certo elemento appartiene o non appartiene all'insieme.

Abbiamo eseguito l'operazione di unione fra i due insiemi.

L'insieme C è l'insieme unione

L'operazione di unione si indica con il simbolo

Scriveremo:

e leggeremo: insieme C uguale A unione B

L'unione di due insiemi A e B è l'insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A o a B o a entrambi.


E la rappresentazione grafica dell'insieme unione mediante il diagramma di Venn?

A questo punto penso non troviate grosse difficoltà!

Soffermiamoci tuttavia su qualche particolare.

Possono presentarsi tre casi

1) Gli insiemi hanno elementi comuni.

Il diagramma di Venn per l'insieme unione sarà:

2) Un insieme è sottoinsieme dell'altro.

L'insieme unione sarà così rappresentato:

3) I due insiemi sono disgiunti.

La rappresentazione sarà:

E ancora, in che modo l'insieme unione può essere definito per caratteristica?

Sappiamo che:
gli elementi dell'insieme unione devono appartenere o ad A o a B oppure ad entrambi.
La caratteristica dell'insieme unione sarà perciò almeno una delle due caratteristiche degli insiemi A e B.
Nel nostro esempio: gli elementi dell'insieme A unione B "sono ………" o "sono ………….."

In simboli:



E' la congiunzione "o" che connette (lega) le due caratteristiche, le due proprietà.

Anche la congiunzione "o" è uno dei connettivi logici.

ciao:-)

Operazioni con gli insiemi 1

Cari ragazzi della ex-I A,

abbiamo parlato delle operazioni con gli insiemi e, ricorderete, vi avevo mostrato un lavoro in Excel, ancora in costruzione.
Ho completato quel lavoro e voglio ora condividerlo sul nostro blog.

Dobbiamo presentare ai compagni della nuova I A le due operazioni con gli insiemi: intersezione e unione fra insiemi. Naturalmente, facciamo in modo da ... non dirgli proprio tutto. Se no, che gusto c'è, non è così? :-)

Ipotizziamo dunque la nostra lezione (questa sarà naturalmente preceduta dalla presentazione della teoria degli insiemi, dalla simbologia propria....), e parliamo dapprima della

operazione di intersezione

Con gli insiemi, come con i numeri, è possibile eseguire delle operazioni. Possono cioè essere combinati fra di loro, per formare altri insiemi, così come combinando fra loro i numeri mediante operazioni, per es l'addizione o la moltiplicazione, otteniamo altri numeri.

Consideriamo due insiemi, A e B

Per elencazione: A ={a; e; i; o; u} e B={a; u; b; c; s}

Mediante il diagramma di Eulero-Venn

Per caratteristica, cioè individuando la proprietà comune a tutti gli elementi:
L'insieme A costituito dalle vocali dell'alfabeto italiano. In simboli:
A={x/x è una vocale dell'alfabeto italiano} - che si legge: A è l'insieme formato dagli elementi x tali che (la sbarretta"/") x è una vocale dell'alfabeto italiano.
L'insieme B costituito da elementi che sono lettere dell'alfabeto italiano. In simboli:
B={x/x è una lettera dell'alfabeto italiano} - che leggiamo: B è l'insieme formato dagli elementi x tali che x è una lettera dell'alfabeto italiano.

Dati questi due insiemi possiamo costruirne un terzo, prendendo i loro elementi comuni.

Per elencazione otteniamo in questo caso l'insieme C={a; u}

Come possiamo rappresentare l'insieme C, graficamente, mediante il diagramma di Venn?
Oh forse è ancora presto...
Devo dirvi che abbiamo in questo modo eseguito l'operazione di intersezione fra i due insiemi.
Come per le operazioni con i numeri, anche per quelle con gli insiemi si usano dei simboli specifici.
L'intersezione si indica con il simbolo
Scriveremo:

e leggeremo: insieme C uguale A intersezione B

L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B.

Nel nostro esempio, abbiamo l'insieme intersezione

Ora è più facile rispondere alla domanda sulla rappresentazione grafica.
Formulo ancora più chiaramente la domanda: come possiamo rappresentare graficamente l'operazione di intersezione? (già vi vedo... tante mani alzate e... "posso venire alla lavagna?")

Ma, per i più riservati oppure ... un po' distratti :-) : fate attenzione al termine "intersezione". Viene da intersecare che è una parola composta e a sua volta deriva dal latino "inter" che vuol dire "fra" e da "secare" che significa "tagliare". Dunque: tagliare fra loro (i diagrammi degli insiemi...).

Ma siii, ora è chiaro ... !

Può succedere che gli insiemi A e B non abbiano elementi comuni. In questo caso, come sarà l'insieme interzezione?
Ma sì, lo sapete...
Sarà un insieme privo di elementi! E, l'insieme privo di elementi ha un nome...
E no, mica lo dico io! Posso ricordarvi al più che ... ha pure un simbolo! (ehi? mani alzate mi raccomando ... tutti devono avere la possibilità di rispondere).

Aggiungiamo che quando gli insiemi A e B non hanno elementi comuni, cioè sono tali che la loro intersezione è un insieme [...], vengono detti insiemi disgiunti.

Dobbiamo ancora vedere in che modo l'insieme intersezione fra A ={a; e; i; o; u} e B={a; u; b; c; s} può essere definito per caratteristica.

Già! In che modo???

Sappiamo che:
gli elementi dell'insieme intersezione devono essere comuni ad A e B;
devono appartenere sia ad A sia a B.
Ciò significa che devono possedere contemporaneamente le caratteristiche dell'insieme A e di quello B!
Dunque, dobbiamo costruire la frase che esprime la caratteristica di avere ...due caratteristiche!
Sù, facciamolo: gli elementi dell'insieme A intersezione B "sono .............." e "sono ...................."
E' la congiunzione "e" che connette (lega) le due caratteristiche, le due proprietà.

Un piccolo approfondimento
La congiunzione "e" è uno dei connettivi logici, a cui dedicheremo delle altre lezioni.
Per il momento accontentiamoci di sapere che la logica studia le proposizioni (le frasi) espresse in una forma tale da poter dire in maniera inequivocabile se esse sono VERE oppure FALSE. Non sono considerate dalla logica frasi del tipo: "domani sarò a Roma". E' una frase probabile! Oppure: "come stai?" E' una frase interrogativa. O ancora: "per favore, portami il libro". Esprime una richiesta. Di queste frasi non si può dire se siano VERE oppure FALSE.

Per il momento è tutto, al prox post per l'unione tra insiemi!

QUI potete scaricare il file .xls sulle operazioni con insiemi. Per qualsiasi richiesta o segnalazione potete scrivere un commento. Grazie!

ciao :-)