Su radici quadrate, insieme Irrazionali, Reali ...

Segnalazione per la II!

Cari ragazzi,

mica posso non pensarvi, eheh ... ! E allora:

da QUESTO POST, dove ho già raccolto i richiami all’argomento,

terapia (di rinforzo): un link al giorno!

Ripasso insiemi numerici

“Le gaie colpiscono ancora!”

Così mi scrivono nell’oggetto della loro mail, Letizia, Maria Chiara ...+ Erica e naturalmente Silvia la secchiona (io copio-incollo, Silvia non esiste da noi in terza, è un loro gioco – chissà cosa vogliono non ammettere ... ?)

Insomma, mi inviano la cronaca della lezione di ieri.

Un nuovo inizio … e ripasso.

Eccola giunta alla nostra classe, la prof Arcadu, tutta pimpante ed euforica, nella sua mente il progetto sullo svolgimento della lezione.

Infatti non vedeva l’ora di presentare il nuovo argomento di matematica.

Ci dice: "Oggi si comincia a operare con i numeri relativi!" E poi:

“Ricordate vero? L'insieme dei numeri relativi, perché si chiamano relativi?" [mai l'avesse fatto, NdP, nota della prof!]

Noi ricordavamo i numeri relativi, introdotti con le sottrazioni non fattibili in N: quelli con il segno + e –. Però: perché si chiamano relativi??? Tutti zitti!

La prof ci ha detto: "oggi fuori ci sono 10 gradi di temperatura", e ci ha chiesto se avessimo qualcosa da contestare, così noi le abbiamo chiesto [non così immediatamente, NdP]: "- 10° o +10° gradi? ".

La sua risposta è stata "oh cari ragazzi è proprio quello che volevo sentirvi dire, allora il valore del numero dipende dal segno che lo precede, è relativo al segno!"

In seguito abbiamo ricordato i vari insiemi recitando [leggendo insieme, allegra … confusione, ahimè! NdP] alcune poesie citate dalla prof durante l’estate facendo riferimento al Prof. Popinga:

L'insieme N: quello dei numeri naturali, è sottoinsieme di Q

L’insieme N

Numeri naturali son quegli enti
che contiamo sulle dita,
senza di lor la nostra vita
sarebbe assi più complicat.
Sol più tardi è stato aggiunto
quel pallin che è lo zero:
per gli antichi era mistero
una cifra valente nient.

Insieme Q: dei numeri razionali (abbiamo anche detto che il numero razionale è un intera classe di equivalenza ovvero un insieme di frazioni equivalenti a una data primitiva, è un quoziente fra due interi, incontrato nelle divisioni non fattibili in N)

L’insieme Q

E’ l’insiem dei razionali,
con la virgola o le frazioni:
corrispondon alle divisioni
tra numeratore e denominator.
Diversamente dai naturali,
non si contan sulle dita:
si rischierebbe persin la vita
a far frazioni delle falang.

Insieme I: dei numeri irrazionali ovvero le radici di numeri non quadrati perfetti e i quozienti fra 2 grandezze incommensurabili (quelle che non hanno sottomultipli in comune, nemmeno l’1) es, Pi greco…

Insieme R (dei numeri reali, quelli che esistono, perché ci sono anche i numeri immaginari!): esso è dato da Q ∪ I=R, include tutti gli insiemi precedentemente elencati. Ma l'insieme Q include l'insieme Z, nel quale abbiamo operato oggi.

Siamo stati in grado di dire, dopo l‘esempio iniziale della prof, che l’insieme Z è l’insieme dei numeri interi relativi quindi Z = Z⁺ ∪ Z^- ovvero l’unione dei numeri interi relativi, positivi e negativi.

L’insieme Z

E’ l’insiem dei relativi
che sono numeri con il segno:
una trovata di vero ingegno;
senza segno è ‘l valore assolut.
Sol con essi si può fare
ogni tipo di sottrazione:
era proprio contraddizione
togliere sette da cinque dit.

Ecco la rappresentazione dei numeri Reali con il diagramma di Eulero Venn:

Insieme dei numeri Reali relativi include I⁺ e Q⁺ , I^-   e Q^- L’insieme Z⁺ è sottoinsieme di Q⁺ e Z^- di Q^- ,  Z⁺ coincide con N.

La prof ha pensato poi di farci ripassare la

Rappresentazione dei numeri Reali sulla retta

Ha fatto disegnare a tutti sul quaderno una semiretta nella quale abbiamo inserito i numeri naturali ricordandoci che ad ogni numero naturale corrisponde un punto della semiretta ma non è altrettanto vero il contrario, dire che ad ogni punto della semiretta corrisponde un numero naturale.

Per poter avere anche i numeri negativi dovevamo far diventare quella semiretta una retta.

Ora dovevamo riempire di numeri i punti tra due numeri naturali. Abbiamo inserito i numeri razionali, per esempio 3/2:

l'unità, da zero a 1, la dividiamo in 2 parti e ne prendiamo 3, per quanto questa possa essere una spiegazione infantile e banale considerate le nostre conoscenze, ci è stata molto d’aiuto!

Uff… !!!!!!!!!!: neanche con i numeri razionali siamo riusciti a occupare tutti i punti della retta. Cosi abbiamo collocato i numeri irrazionali rispolverando così i lavori precedentemente pubblicati sul blog come il lavoro di Gabriele che ci è stato utile per inserire le radici quadrate:

E, I numeri Reali assoluti sulla semiretta numerica

Naturalmente a sinistra dello zero posizionavamo i negativi, sia razionali che irrazionali. Ora con tutti i Reali, Q ∪ I, abbiamo occupato tutti i punti della retta, come ci aveva anticipato la prof quando eravamo all’inizio del nostro percorso, in prima media.

E finalmente ci siamo dedicati alle prime operazioni in Z: la prima scoperta è stata che in Z si perde un po' la distinzione delle operazioni in: addizione e sottrazione. Si tratta di "fare un bilancio": tra negativi e positivi, come tra debito e credito, soldi che ho in tasca e soldi che devo! Si parla di somme algebriche.

FINE

by, le alunne “croce e delizia”

Brave, delizie! (oh, per esservi dedicate di Sabato pomeriggio, eh eh...)

Raga, da leggere:

I numeri e l’essenza della matematica

Su radici quadrate, insieme Irrazionali, insieme Reali ...

In evidenza

per i ragazzi della seconda.

Un bel po’ di materiali, attività, Excel, Geogebra ...  A voi la scelta!

Un ampliamento dell'insieme Q+. Una nuova operazione: l'estrazione di radice

Come si riconosce un quadrato perfetto, Funzione R...

La II alle prese con i quadrati perfetti.

Radici quadrate approssimate.Insieme I dei numeri ...

L'algoritmo dell'estrazione di radice quadrata

La chiocciola delle radici quadrate

I numeri Reali assoluti sulla semiretta numerica

La radice quadrata di 2 non può essere un numero r...

Operiamo ancora con le radici quadrate. Il radican...

Calcolo di radici quadrate con radicando decimale....

Spirale degli irrazionali o di Teodoro e ...

Buona consultazione

I numeri e l’essenza della matematica

Ragazzi, ... tutti!

Per la III un utile ripensamento, una sintesi del viaggio tra gli insiemi numerici, scoperti nel corso dei tre anni di scuola media. Vi ritroverete: cito diverse delle vostre attività su questo blog!

Per la I: anche voi, in parte, vi ritroverete. Per il resto, consideratela pure una lettura propedeutica! :-) So che ci sono dei curiosi... benissimo!

La “storia” che segue è scritta da Emma Castelnuovo ma, per altro, noi possiamo dire di aver sempre lavorato, spesso citandola, o anche no, sotto la sua ala protettiva. (Ci piace dire così!)

  - È bello ripensare al cammino percorso per riflettere sui problemi che, a poco a poco, ci hanno condotto ad ampliare gli insiemi numerici e a introdurre nuovi simboli, nuovi numeri; simboli e numeri che sembra abbiano imposto la loro esistenza.

   È bello perché è un rievocare il faticoso cammino dell’umanità attraverso le successive estensioni del numero; e non è solo di matematica che si parlerà ma è, piuttosto, di una “storia sociale” del numero.

   Riflettiamo. Pochi numeri sono necessari agli uomini se essi si dedicano alla pastorizia o alla coltivazione di qualche pianta da frutto 0 di qualche legume: pochi numeri, perché anche il commercio si svolge attraverso lo scambio di prodotti. Cosi vivevano, con pochi numeri, i popoli primitivi; cosi vivono, con pochi numeri, delle popolazioni tuttora esistenti e che abitano in qualche regione dell’interno dell’Africa, dell’America Latina, dell’Australia.

   Ma poi gli uomini impararono l’utilità di questi simboli che per noi sono ormai  “il pane quotidiano”. Impararono a fare, con i numeri naturali, le quattro operazioni, ma... subito si accorsero che non sempre le potevano eseguire.

   Eppure, molte volte era necessario avere una risposta: «quale parte di pane spetta — ci si chiedeva - ad ogni persona se ci sono 3 pani da dividere fra 5 persone?». Problema pratico, questo, che esige una soluzione.

   È per risolvere appunto problemi di questo tipo, per dare una risposta all’operazione di divisione: 

x = 3 : 5

che si impose l’introduzione di nuovi numeri.

   Non era possibile che gli uomini si trincerassero entro “le mura” che recingevano i numeri naturali, anche se era comodo lavorare in quel piccolo mondo. Furono sfondate le mura dell’insieme dei naturali per sfociare in un mondo di simboli che permettevano di eseguire sempre la divisione: erano i numeri frazionari. Ai numeri frazionari, insieme ai naturali, si diede il nome di numeri razionali, nome che esprime il fatto che era «ragionevole» introdurli.

   Ma anche il mondo dei razionali non bastava per risolvere un altro problema di carattere pratico: “di quale lunghezza si deve costruire il lato di un quadrato se si vuole che il recinto raccolga un’area di 20 metri quadrati?”. La radice quadrata di 20 non è né un numero naturale né un numero frazionario.

   L’operazione

$x\,=\, \sqrt{ 20 }$

non  trova dunque risposta nell’insieme dei razionali.

   Allora gli uomini sfondarono anche la cinta del mondo dei razionali e si trovarono in un mondo nuovo, nell’insieme dei numeri irrazionali; un termine, “irrazionale”, che ci fa capire come tutto un dramma sia stato suscitato dalla scoperta di questi numeri non esprimibili razionalmente: un dramma che si svolse nell’antica Grecia, al tempo di Pitagora, nel 500 a.C.

   Ma i secoli scorrono e quella che prima era considerata come «una verità scandalosa», cioè l'esistenza di questi strani numeri, venne poi considerata  come una cosa naturale, più che ragionevole, e gli uomini sorrisero pensando ai “drammi” dei loro antenati. Gli uomini considerarono questi numeri come aventi lo stesso diritto di vita dei razionali e, quasi per affermare con una sola parola questa parità di legge, questa effettiva esistenza, diedero a tutti i numeri, razionali e irrazionali, il nome di numeri reali.

   Meno naturale era l’introduzione dei numeri negativi. Questa volta ci si trova davanti a una estensione degli insiemi numerici che non è certo venuta spontanea al pensiero “dell’uomo della strada”, ma che è dovuta al matematico: e la cosa più emozionante è che questo matematico viveva nel 2000 a.C.! Ma, per molti secoli, questi nuovi simboli non entrarono nella società, e anche i matematici stentarono a “vederli” come numeri tanto che li chiamarono “quantità assurde”, quasi a voler sottolineare l'assurdità di averle introdotte.

   Poi, gli uomini pensarono che, in fondo, il valore di un numero è, molte volte, relativo ad un’altra indicazione: come esprimere, per esempio, in modo breve se i 3 chilometri che devo percorrere sono verso est o verso ovest? Come scrivere in maniera concisa se la temperatura di questa notte era di 4 gradi sopra zero o di 4 gradi sotto zero? Premettiamo un segno, il + o il -, ai numeri, e non ci saranno più incertezze. Il valore di un numero è relativo al segno. II termine di numeri relativi era il più espressivo: cosi furono chiamati.

   E, d’improvviso, ogni insieme numerico già considerato si vide “riflesso” nel campo negativo: si ebbero cosi i numeri razionali positivi e negativi, e i numeri irrazionali positivi e negativi. Si ebbe insomma l’insieme reale positivo e, per simmetrizzazione, l’insieme reale negativo.

   Con questi numeri — ci si chiede — possiamo veramente eseguire tutte le operazioni? Possiamo finalmente lavorare in pace, sicuri che ogni operazione troverà la sua risposta?

   Riflettiamo:

$\sqrt{ 4 }\,=\,+2 \,\,perché\,\, (+ 2)^2\, =\, 4$

e anche:

$\sqrt{ 4 }\,=\,-2 \,\,perché\,\, (-2)^2\, =\, 4; $

ma, quale soluzione avrà l’equazione

$x\,=\, \sqrt{ -4} \,?$

x non può essere uguale a — 2 perché sappiamo che (— 2)² = + 4.

   No, l’insieme dei numeri reali non è chiuso rispetto a tutte le operazioni! Si deve ancora, in questa immensa cinta di mura, operare una breccia!

   Ma, trovare la  $\sqrt{ -4}$  non rifletteva certo una questione di carattere pratico; ed è certo che la soluzione di questo problema non poteva venire dall’uomo della strada. Anche questa volta la risposta fu data dai matematici.

   Nuovi numeri furono introdotti in un’epoca relativamente recente, nel 1500, dagli algebristi italiani, dei numeri che sembrarono ancor più irragionevoli degli irrazionali, ancora più assurdi dei relativi, tanto che furono chiamati “quantità silvestri”, “quantità false”, “numeri immaginari”. Quest’ultimo nome è ancora rimasto, ma gli uomini di oggi sorridono di quelle che apparivano ai loro antenati delle strane fantasie matematiche.

   Questi numeri immaginari, li imparerete a conoscere nel corso degli studi successivi, e apprenderete che oggi dei numeri così astratti intervengono anche nella risoluzione di molti problemi tecnici. 

Da La Matematica – Numeri B, Emma Castelnuovo - La Nuova Italia Ed.

E infine, o monelli di terza, ehmm ... senza parole!

E/o anche

Radici quadrate approssimate.Insieme I dei numeri irrazionali. Insieme R dei numeri reali assoluti.

Alessandra, Irene e Laura descrivono la procedura per il calcolo approssimato delle radici quadrate di numeri non quadrati perfetti....

In Excel la formula per l'estrazione di radice quadrata ci calcola la radice di un numero non quadrato perfetto.
Noi abbiamo provato a calcolare queste radici. Abbiamo approfondito il tema dell’approssimazione, che significa che devo trovare il numero che, per eccesso o per difetto, elevato alla seconda, si avvicini di più al radicando.
Abbiamo considerato per es. la radice quadrata del numero 2.
2 non è quadrato perfetto, la radice di 2 non è esatta ma approssimata, cioè ci si può avvicinare il più possibile al risultato, che però non sarà mai esatto.
Ricordiamo che si può approssimare:
• a meno di un’unità;
• a meno di un decimo;
• a meno di un centesimo;
• a meno di un millesimo…e così via.
Più cifre decimali si considerano, migliore è l'approssimazione.
Per prima cosa troviamo tra quali 2 numeri interi è compresa la radice di 2.
Essa è compresa tra 1 e 2 perché 1^2=1, che è più piccolo di 2 e 2^2=4, che è più grande di 2.
In questo caso se diciamo che la radice di 2 è uguale a 1, per difetto, oppure, per eccesso, che è uguale a 2, facciamo un’approssimazione “grossolana”.
Cerchiamo le approssimazioni migliori facendo dei tentativi: eleviamo alla seconda numeri decimali, dapprima con una cifra, poi con due, tre cifre decimali ecc...
Abbiamo fatto i tentativi usando Excel. Questa è l'immagine:

Nel file approssimazioni.xls, si capisce come abbiamo proceduto!

Il nuovo insieme I, dei numeri irrazionali.

Tutti i nostri tentativi e il calcolo delle radici quadrate con Excel, ci dimostrano che anche continuando con un numero grandissimo di cifre decimali, non si ottiene mai la radice esatta.
Quindi le radici quadrate di numeri non quadrati perfetti sono dei numeri decimali, illimitati e non sono periodici! Non periodici, quindi non si possono rappresentare sotto forma di frazione.
Abbiamo così scoperto un nuovo insieme: l'insieme dei numeri irrazionali. Si indica con I.
L'insieme dei numeri Irrazionali con l'insieme dei Razionali, Q, costituiscono l'insieme R dei numeri Reali (noi abbiamo considerato per ora solo i Reali senza tener conto del segno: si dice numeri reali assoluti).
I numeri reali costituiscono l'insieme unione di I e Q:

Rappresentazione con il diagramma di Eulero Venn (in Q è incluso N, insieme dei naturali)

Ale, Irene, Laura II A

(Il file .xls da scaricare è quello di Alessandra,
il lavoro è stato realizzato correttamente anche da Irene e Nicola)

Ancora un lavoro in Excel, radq.xls, che esemplifica l'uso delle formule per il calcolo delle radici e riporta qualche particolare sulle approssimazioni...