I numeri e l’essenza della matematica

Ragazzi, ... tutti!

Per la III un utile ripensamento, una sintesi del viaggio tra gli insiemi numerici, scoperti nel corso dei tre anni di scuola media. Vi ritroverete: cito diverse delle vostre attività su questo blog!

Per la I: anche voi, in parte, vi ritroverete. Per il resto, consideratela pure una lettura propedeutica! :-) So che ci sono dei curiosi... benissimo!

La “storia” che segue è scritta da Emma Castelnuovo ma, per altro, noi possiamo dire di aver sempre lavorato, spesso citandola, o anche no, sotto la sua ala protettiva. (Ci piace dire così!)

  - È bello ripensare al cammino percorso per riflettere sui problemi che, a poco a poco, ci hanno condotto ad ampliare gli insiemi numerici e a introdurre nuovi simboli, nuovi numeri; simboli e numeri che sembra abbiano imposto la loro esistenza.

   È bello perché è un rievocare il faticoso cammino dell’umanità attraverso le successive estensioni del numero; e non è solo di matematica che si parlerà ma è, piuttosto, di una “storia sociale” del numero.

   Riflettiamo. Pochi numeri sono necessari agli uomini se essi si dedicano alla pastorizia o alla coltivazione di qualche pianta da frutto 0 di qualche legume: pochi numeri, perché anche il commercio si svolge attraverso lo scambio di prodotti. Cosi vivevano, con pochi numeri, i popoli primitivi; cosi vivono, con pochi numeri, delle popolazioni tuttora esistenti e che abitano in qualche regione dell’interno dell’Africa, dell’America Latina, dell’Australia.

   Ma poi gli uomini impararono l’utilità di questi simboli che per noi sono ormai  “il pane quotidiano”. Impararono a fare, con i numeri naturali, le quattro operazioni, ma... subito si accorsero che non sempre le potevano eseguire.

   Eppure, molte volte era necessario avere una risposta: «quale parte di pane spetta — ci si chiedeva - ad ogni persona se ci sono 3 pani da dividere fra 5 persone?». Problema pratico, questo, che esige una soluzione.

   È per risolvere appunto problemi di questo tipo, per dare una risposta all’operazione di divisione: 

x = 3 : 5

che si impose l’introduzione di nuovi numeri.

   Non era possibile che gli uomini si trincerassero entro “le mura” che recingevano i numeri naturali, anche se era comodo lavorare in quel piccolo mondo. Furono sfondate le mura dell’insieme dei naturali per sfociare in un mondo di simboli che permettevano di eseguire sempre la divisione: erano i numeri frazionari. Ai numeri frazionari, insieme ai naturali, si diede il nome di numeri razionali, nome che esprime il fatto che era «ragionevole» introdurli.

   Ma anche il mondo dei razionali non bastava per risolvere un altro problema di carattere pratico: “di quale lunghezza si deve costruire il lato di un quadrato se si vuole che il recinto raccolga un’area di 20 metri quadrati?”. La radice quadrata di 20 non è né un numero naturale né un numero frazionario.

   L’operazione

$x\,=\, \sqrt{ 20 }$

non  trova dunque risposta nell’insieme dei razionali.

   Allora gli uomini sfondarono anche la cinta del mondo dei razionali e si trovarono in un mondo nuovo, nell’insieme dei numeri irrazionali; un termine, “irrazionale”, che ci fa capire come tutto un dramma sia stato suscitato dalla scoperta di questi numeri non esprimibili razionalmente: un dramma che si svolse nell’antica Grecia, al tempo di Pitagora, nel 500 a.C.

   Ma i secoli scorrono e quella che prima era considerata come «una verità scandalosa», cioè l'esistenza di questi strani numeri, venne poi considerata  come una cosa naturale, più che ragionevole, e gli uomini sorrisero pensando ai “drammi” dei loro antenati. Gli uomini considerarono questi numeri come aventi lo stesso diritto di vita dei razionali e, quasi per affermare con una sola parola questa parità di legge, questa effettiva esistenza, diedero a tutti i numeri, razionali e irrazionali, il nome di numeri reali.

   Meno naturale era l’introduzione dei numeri negativi. Questa volta ci si trova davanti a una estensione degli insiemi numerici che non è certo venuta spontanea al pensiero “dell’uomo della strada”, ma che è dovuta al matematico: e la cosa più emozionante è che questo matematico viveva nel 2000 a.C.! Ma, per molti secoli, questi nuovi simboli non entrarono nella società, e anche i matematici stentarono a “vederli” come numeri tanto che li chiamarono “quantità assurde”, quasi a voler sottolineare l'assurdità di averle introdotte.

   Poi, gli uomini pensarono che, in fondo, il valore di un numero è, molte volte, relativo ad un’altra indicazione: come esprimere, per esempio, in modo breve se i 3 chilometri che devo percorrere sono verso est o verso ovest? Come scrivere in maniera concisa se la temperatura di questa notte era di 4 gradi sopra zero o di 4 gradi sotto zero? Premettiamo un segno, il + o il -, ai numeri, e non ci saranno più incertezze. Il valore di un numero è relativo al segno. II termine di numeri relativi era il più espressivo: cosi furono chiamati.

   E, d’improvviso, ogni insieme numerico già considerato si vide “riflesso” nel campo negativo: si ebbero cosi i numeri razionali positivi e negativi, e i numeri irrazionali positivi e negativi. Si ebbe insomma l’insieme reale positivo e, per simmetrizzazione, l’insieme reale negativo.

   Con questi numeri — ci si chiede — possiamo veramente eseguire tutte le operazioni? Possiamo finalmente lavorare in pace, sicuri che ogni operazione troverà la sua risposta?

   Riflettiamo:

$\sqrt{ 4 }\,=\,+2 \,\,perché\,\, (+ 2)^2\, =\, 4$

e anche:

$\sqrt{ 4 }\,=\,-2 \,\,perché\,\, (-2)^2\, =\, 4; $

ma, quale soluzione avrà l’equazione

$x\,=\, \sqrt{ -4} \,?$

x non può essere uguale a — 2 perché sappiamo che (— 2)² = + 4.

   No, l’insieme dei numeri reali non è chiuso rispetto a tutte le operazioni! Si deve ancora, in questa immensa cinta di mura, operare una breccia!

   Ma, trovare la  $\sqrt{ -4}$  non rifletteva certo una questione di carattere pratico; ed è certo che la soluzione di questo problema non poteva venire dall’uomo della strada. Anche questa volta la risposta fu data dai matematici.

   Nuovi numeri furono introdotti in un’epoca relativamente recente, nel 1500, dagli algebristi italiani, dei numeri che sembrarono ancor più irragionevoli degli irrazionali, ancora più assurdi dei relativi, tanto che furono chiamati “quantità silvestri”, “quantità false”, “numeri immaginari”. Quest’ultimo nome è ancora rimasto, ma gli uomini di oggi sorridono di quelle che apparivano ai loro antenati delle strane fantasie matematiche.

   Questi numeri immaginari, li imparerete a conoscere nel corso degli studi successivi, e apprenderete che oggi dei numeri così astratti intervengono anche nella risoluzione di molti problemi tecnici. 

Da La Matematica – Numeri B, Emma Castelnuovo - La Nuova Italia Ed.

E infine, o monelli di terza, ehmm ... senza parole!

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