giovedì 5 luglio 2007

Magica matematica

A proposito di rapporti e proporzioni,
come resistere alla tentazione di parlare di un noto rapporto "magico"?
Il rapporto aureo, la Sezione Aurea, il numero d'Oro, la "proporzione divina"
Un rapporto che ci dimostra le forti relazioni tra "Armonia", "Bellezza" e "Matematica".

"La Geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l' altro è la Sezione Aurea di un segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d' oro; il secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello". Johannes Kepler [1571-1630]

Scopriamo la magia della matematica, la magia dei numeri!

Sin dai tempi più antichi, dagli egiziani ai più moderni frattali, esiste una proporzione divina (o sezione aurea) che è stata presa in considerazione per ottenere una dimensione armonica delle cose. Dalla geometria all'architettura, dalla pittura alla musica, fino alla natura del creato possiamo osservare come tale rappresentazione corrisponda ad un rapporto che è stato definito pari a 1,618... (numero d'oro)*

La pianta del Partenone di Atene è un rettangolo con lati di dimensioni tali che la lunghezza sia pari alla radice di 5 volte la larghezza, mentre nell'architrave in facciata il rettangolo aureo è ripetuto più volte.

Anche nella progettazione della Cattedrale di Notre Dame a Parigi e del Palazzo dell'ONU a New York sono state utilizzate le proporzioni del rettangolo aureo.

Nelle arti del passato, in molte opere di Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, Bernardino Luini, Sandro Botticelli, si ricorreva spesso alla sezione aurea (la divina proportione), considerata quasi la chiave mistica dell'armonia nelle arti e nelle scienze.

Anche nella musica, Beethoven, nelle "33 variazioni sopra un valzer di Dabelli" suddivise la sua composizione in parti corrispondenti ai numeri di Fibonacci*, il cui rapporto corrisponde al numero d'oro.

Negli oggetti quotidiani, possiamo trovare alcuni esempi di sezione aurea: dalle schede telefoniche alle carte di credito e bancomat, dalle carte SIM dei cellulari alle musicassette. Sono tutti rettangoli aurei con un rapporto tra base ed altezza pari a 1,618.

Per quanto riguarda il corpo umano troviamo misurandolo, il fatidico rapporto aureo: altezza totale/altezza da terra dell'ombelico; lunghezza braccio/avambraccio; lunghezza gamba dall'anca/gamba dal ginocchio; nel rapporto tra falange, falangina e falangetta delle dita; tra le diverse sezioni della colonna vertebrale ...
La sezione aurea in natura

* Il numero d'oro "phi"
Dietro l'idea di armonia e di perfezione, nella natura come nell'arte, si nasconde un numero il cui valore non è esprimibile in cifre decimali se non in forma approssimata: 1,618034... Si tratta infatti di un celebre numero irrazionale: il numero d'oro, che all'inizio del secolo scorso, il matematico americano Mark Barr propose di indicare con la lettera greca "phi", dall'iniziale di Fidia, il grande scultore greco che lo ebbe sempre presente nel realizzare le sue sculture e nella costruzione del Partenone di Atene.
Il suo valore esatto è:
Un metodo per ottenerlo servendoci di una calcolatrice, è partire da 1, ed estrarre la radice quadrata secondo questo schema:

Ripetendo la stessa operazione n volte, otterremo un numero molto vicino al numero d'oro (dopo l'undicesima radice si ottiene 1,618034). Tra le numerose proprietà del numero aureo, il "phi" è l'unico numero positivo che mantiene le stesse cifre decimali anche nel proprio reciproco, Infatti 1/1,618034 = 0,618034.....
Il rapporto 1:1,618.. è stato, sin dai tempi più antichi, preso in considerazione per costruire opere la cui armonia é dettata dalla "divina proporzione" tanto da nominarla Sezione aurea.
Su QUESTA PAGINA potete scaricare la costruzione della sezione aurea realizzata con Geogebra (per i miei alunni: l'occasione per scaricare il programma)

[Aggiornamento - 02/01/2010] Segnalo anche qui

Il manoscritto di Milano del «De Divina Proportione»

ne parlo QUI


* I numeri di Fibonacci
Il numero "magico" trova ulteriori conferme anche nella matematica dei numeri arabi ...
Quei numeri su cui aveva studiato un altro Leonardo, detto Fibonacci, che nel 1202 presentò una sequenza numerica destinata a diventare famosissima:



1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ecc...

Sulla serie di Fibonacci qui non vi dico di più. Scopriamola con EXCEL

Intimamente legata ai numeri di Fibonacci è la spirale logaritmica, a dimostrazione degli esempi sulla sezione aurea in natura.


ciao! :-)
P.S. nello scrivere questo post il mio pensiero è andato a Caterina D.

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8 commenti:

  1. Non è mai stato studiato a scuola la concezione della «sezione aurea» in relazione a delle interessanti implicazioni facendo uso della trigonometria e poi della geometria analitica. L'inverso di 1,618033989 come si sa è 0,618033988..., ma subentrando la trigonometria si trova un angolo particolare dalle notevoli proprietà. Naturalmente lo si può chiamare «angolo aureo», anch'esso phi. Così avremo che phi = arcsen 0,618033988... = 38,17270763...° (gradi sessaggesimali). Quali le accennate peculiarità di quest'angolo? Che le funzioni trigonometriche del relativo coseno e tangente sono uguali fra loro. Infatti cos 38,17270763...° = 0,786151377... e tang 38,17270763...° = 0,786151377...Sorprendente vero? Ma c'è dell'altro se ci occupiamo della cosa servendoci della geometria analitica. Per esempio facendo intersecare un determinato cerchio con una parabola come segue. Parabola canonica: coordinate fuoco (p/2,0); direttrice x = -p/2 . 2). Cerchio: raggio r = p/2; coordinate centro (0,0) coincidente col vertice dell'origine parabola con l'asse X. 3). Se P è il punto d'intersezione della parabola col cerchio, F il fuoco della parabola e Q la proiezione di P sull'asse x, l'angolo QPF è quello che risulta, dal calcolo, pari a 38,1727076...°, l'«angolo aureo» phi, appunto. Detto questo le meraviglie non finiscono qui perché se l'intersezione di un determinato cerchio con la parabola appropriata, come già visto, porta all'«angolo aureo», altre intersezioni di coniche portano allo stesso scopo. Così può essere facendo intersecare la parabola, prima considerata di coordinate fuoco (p/2,0) e direttrice (x = –p/2), con una ellisse di coordinate centro (0,0), segmenti a = p e b = p/2, per dar luogo, appunto, ad un'ascissa, y = 0,786151138..., che è, poi, il valore della tangente dell'«angolo aureo» in questione.
    Gaetano Barbella Il geometra pensiero in rete

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  2. Gentile Geom. Barbella,
    (decisamente riduttivo "geometra"!ho appena dato uno sguardo al suo sito...)
    Le sono molto grata per il suo interessantissimo intervento.
    E' vero che certi aspetti della matematica, forse i più coinvolgenti, spesso si trascurano nei programmi scolastici.
    In rete avevo già visto qualcosa sull'angolo aureo, probabilmente anche qualche suo articolo... ma la ringrazio per l'ampliamento che qui ci ripropone.
    Come "legge" io insegno in una scuola media, tale approfondimento non è alla portata dei miei ragazzi, ma rileggerò tuttavia insieme a loro il suo intervento a testimonianza dell'arricchimento che può offrire la comunicazione in rete!
    Naturalmente mi riprometto di visitare a fondo il suo sito, i suoi studi... ho intravisto cose davvero interessanti!
    E non me le perdo :-)
    Per cui,
    Grazie infinite!
    un cordialissimo saluto,
    giovanna arcadu

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  3. Gentile Prof.ssa Arcadu,
    crede proprio che per Dante, quel «geometra che tutto s'affige» fosse una veste “riduttiva” onde sottomettersi al mistero di Dio? O era invece un suo “intimo” modo per trattenere la forte “brace” che ardeva in lui? La stessa degli occhi di «bragia», appunto, di quell'emblematico traghettatore infero. Io dico che era “Sfinge” nel Poeta che giocava la sua carta vincente a modo suo consueto, servendosi dei numeri. Nessuno ha mai pensato al gioco, nel considerare la chiave in quei tre numeri, “cinquecento diece e cinque» ove si cela il suo «Signore dei signori» a dominare con «scettro di ferro». Ma occorre avere la mente di un bambino per arrivare a tanto («Quì ci vuole una mente che abbia saggezza» viene detto dall'angelo a Giovanni dell'Apocalisse pieno di sgomento). Prima d'altro va considerata la Commedia di Dante come un insieme di versi senza fare alcuna distinzione di raggruppamenti di cantiche, tanto meno di luoghi d'espiazione o di piacere, lasciando, però, invariato l'ordine iniziale. La prima lezione è che si è tutti uguali davanti a Dio, compreso il Paradiso, il Purgatorio e l'Inferno! Ciò premesso si prosegue in questo modo: Primo: «cinquecento» starebbe per il verso 500 che corrisponde al seguente verso 86 del IV canto dell'Inferno: «Mira colui con quella spada in mano»; secondo: «cinquecento diece» starebbe per il verso 510 che corrisponde al seguente verso 96 dello stesso canto precedente: «che sovra li altri com'aquila vola»; terzo, infine: «cinquecento diece e cinque» starebbe per il verso 5105 che corrisponde al verso 116 del III canto del Purgatorio che è: «de l'onor di Cicilia e d'Aragona». Ora tirando le somme, se questo è il messaggio “veltrico” che Dante ha voluto, veramente, rilasciare cripticamente ai posteri, certo, resta ancora velato. Tuttavia, occorre immaginare che «il messo di Dio», non abbia una comune «spada in mano», così come è stata sempre intesa quale strumento di morte. Può essere invece una prodigiosa leva come quella della ragione, per esempio, giacché si vuole un Dante squisitamente “geometra”. Il passo è breve per individuare chi la brandeggia, uno di statura ciclopica, proprio in stretta relazione alla parola «Cicilia» riconosciuta come Sicilia, il siracusano Archimede famoso per il suo motto: «Datemi una leva e smoverò la terra». In questa chiave, risulta chiara l'allusione alla «mente» (Par. XXXIII, 139), la cui leva argomentata, la ragione, è disponibile a tutti gli uomini senza distinzioni, in chi più e in altri meno. Ecco ora ho fatto la parte del «dimonio» scompigliando la sua mente e quella dei suoi scolari che non vi aspettate la mia versione della «sezione aurea» dell'opera del Sommo Poeta. Ma in cambio le ho aperte quasi per “competere con un'altra di ordine superiore, «dove si puote ciò che si vuole». Grazie per la stima che ripone in me, ma dopo tutto questo parlare è ancora disposta a tanto? Mi auguro di sì, perché essa è ricambiata.
    Cordialità, Gaetano Barbella

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  4. Ma,...Geometra!
    ...eccome no! :-)
    L'ho letta molto volentieri invece.
    Affascinanti argomentazioni!
    La mia formazione di base è stata quella "classica", per cui non mi è difficile seguirla.
    ... e continuerò a leggerla sul suo sito! [già visto: Il geometra della Divina Commedia e cinquecento diece e cinque]
    Una miniera!
    grazie.
    ancora cordialmente
    giovanna arcadu

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  5. ciao giovanna, arrivo qui da un tuo commento sul blog di Traffyk ed è un piacere scoprire questo interessantissimo post sulla sezione aurea.
    Mi interesso dell'argomento da un pò di tempo per i miei studi sul webdesign. Più precisamente sono interessato alla progettazione di interfaccie per siti web e applicazioni multimediali armoniche e quindi proporzionate. Continuerò a seguirti, ti auguro buon lavoro

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  6. ciao Flash,
    ti ringrazio e mi fa piacere che abbia trovato un argomento interessante. Come vedi si tratta di un blog didattico per la scuola media, per cui direi molto "dedicato". Fortunatamente la "magia" della matematica offre spunti di interesse comune a ragazzi e adulti! Io debbo "tagliare" sopra ai miei alunni, nel rispetto della loro età....
    I commenti a questo post mi hanno dato, hai visto, occasione di approfondimenti...
    grazie ancora.
    Ho visto il tuo blog, ti occupi di cose interessanti, bravissimo! Sottoscrivo il feed. e ti leggerò. (magari mi potrà succedere di doverti chiedere delle info, chissà!)
    a presto;-)
    giovanna

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  7. Egregi Signori,
    mi sono imbattuto in questo interessentissimo blog solo per caso e devo dire che potrebbe essere un ottimo strumento di supporto alla didattica per le scuole medie. Vorrei segnalare solo una inesattezza riguardo al rapporto aureo che, pur essendo un numero irrazionale come le è pi greco, non è tuttavia un numero trascendente.Si tratta invece di un irrazionale appartenente all'altra sottofamiglia degli irrazionali, quella degli irrazionali algebrici (in quanto è radice del polinomio a coefficienti interi x^2-x-1 ). Se volessimo accomunare pi greco con un altro irrazionale della stessa famiglia potremmo far ricorso al numero di Nepero, la celeberrima base dei logaritmi naturali, che questo irrazionale trascendente.
    Cordiali Saluti

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  8. Gentile anonimo!
    Devo ringraziarla per l'osservazione, per aver rilevato l'inesattezza!
    Che so, ho scritto il post ormai tempo fa...:
    inesatte informazioni?
    utilizzo del termine in accezione un tantino "poetica" ? :-)
    Grazie comunque!

    RispondiElimina

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