I "signori" Eulero e Venn

Per rappresentare graficamente gli insiemi

usiamo i diagrammi di Eulero-Venn.

Forse vi sarete chiesti chi erano questi signori, o questo signore di nome Eulero e di cognome Venn.
In realtà questi signori non solo erano due, ma non si sono mai conosciuti, essendo vissuti a più di un secolo di distanza l'uno dall'altro.

Leonhard Euler (ricorre quest’anno il trecentesimo anniversario della sua nascita), nome spesso italianizzato in Eulero, era svizzero e fu professore di fisica e di matematica nelle più importanti Accademie d'Europa dell'epoca: Berlino e San Pietroburgo. Lo si ritiene il più grande scienziato del '700. Fu matematico, fisico, astronomo e filosofo, contribuì allo sviluppo della matematica per quanto riguarda l'aritmetica, la geometria e l'algebra.

In particolare diede seguito alle intuizioni che Leibnitz (filosofo e matematico del '600) aveva avuto in merito alla rappresentazione di ragionamenti mediante simboli, schemi, rappresentazioni grafiche.
Abbiamo testimonianza dell'uso dei «cerchi di Eulero» in una sua opera di divulgazione scientifica: Lettere a una principessa tedesca. Si tratta di 234 lettere scritte, tra il 1768 e il 1772, alla figlia del marchese di Brandeburgo, all'epoca la più importante regione della Germania settentrionale.

A Eulero era stata affidata l'educazione scientifica della signorina ed egli utilizzò i suoi «cerchi» per spiegarle dei modi di ragionare.

Vediamo di che si tratta.
Eulero rappresenta alcune affermazioni mediante cerchi e le relazioni tra le affermazioni risultano rappresentate dalla posizione reciproca dei cerchi.
Potete intuire queste idee osservando gli esempi

1. Tutti i rettili sono vertebrati
2. Tutte le lucertole sono rettili
   
   
   
   

Se si rappresentano i vertebrati con un cerchio, i rettili saranno un cerchio che sta dentro quello dei vertebrati.
Le lucertole saranno, a loro volta, un cerchio che sta dentro ai rettili.

Dallo schema dei «cerchi di Eulero» si possono osservare immediatamente le posizioni reciproche dei cerchi che rappresentano le relazioni tra le affermazioni e si può ricavare una nuova affermazione: che tutte le lucertole sono vertebrati.
Vediamo un'altra situazione.

1. Tutti i rettili sono vertebrati
2. Tutte le lucertole sono animali con quattro zampe

Questa volta il cerchio delle lucertole sta dentro un cerchio (quello degli animali a quattro zampe), che non è il cerchio già rappresentato.
L'affermazione riguardante le lucertole sarà quindi rappresentata da due cerchi separati dai precedenti.
L'osservazione dello schema ci dice che non possiamo ricavare alcuna nuova affermazione.

II matematico e logico inglese John Venn visse molto tempo dopo Eulero, morì infatti nel 1923 a 89 anni.
Egli lavorò sulla logica matematica e precisò meglio sia la relazione tra i «cerchi» e le affermazioni che questi potevano rappresentare, sia il possibile uso di queste rappresentazioni.

Oggi noi usiamo non dei cerchi, ma delle figure meno regolari, che però hanno in comune con i cerchi la fondamentale caratteristica di essere delle linee chiuse, che separano un «interno» da un «esterno». In questo modo si possono rappresentare gli insiemi distinguendo bene gli elementi che appartengono all'insieme, che sono rappresentati dall'«interno» da quelli che non vi appartengono, che sono rappresentati dall'«esterno».

E ora, volete mettervi alla prova? Un esercizio facile facile!
Osservate il diagramma di Eulero Venn e indicate se le affermazioni che seguono sono
VERE o FALSE

Tutti i gatti sono mammiferi V F
Tutti i felini sono mammiferi V F
Tutti i vertebrati sono gatti V F
Tutti i mammiferi sono gatti V F
Tutti i mammiferi sono vertebrati V F

ciao

alla prox! :-)

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