Lunule quadrabili (e non)

Ragazzi,

il post è da leggere solo dopo aver letto

Le lunule di Ippocrate

E, tanto più, l’attività da eseguire dopo aver visto l’applet. Clic su img.

Riprendiamo ora l'estensione del Teorema di Pitagora a figure curvilinee, considerando stavolta un triangolo rettangolo isoscele:

Il semicerchio costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei semicerchi costruiti sui cateti.

“Una volta disegnata la figura precedente, a Ippocrate [di Chio (5° sec. a.C.)] venne il lampo di genio di raddoppiarla”

Ottenendo la figura:

Figura che possiamo vedere essere costituita da:

- un cerchio grande e quattro lunule

- oppure un quadrato e quattro semicerchi piccoli

Per l’estensione del Teorema di Pitagora vista sopra, chiediamoci:

in  che rapporto stanno il semicerchio grande e un semicerchio piccolo?

Dunque:

il cerchio grande a quanti semicerchi piccoli è equivalente?

E perciò possiamo concludere:

Io ho illustrato, voi dovete commentare-descrivere la conclusione!

“Ippocrate si accorse così che la figura curvilinea formata dalle quattro lunule è quadrabile”

Lunule quadrabili sono quelle lunule la cui superficie equivale a quella di un certo poligono regolare. [Ciascuna lunula sul lato del quadrato a quale poligono equivale?]

Una volta quadrate le lunule costruite sui lati di un quadrato, si può provare a fare la stessa cosa con quelle costruite sui lati di un esagono regolare. In tal caso il diametro del cerchio circoscritto è doppio del lato dell’esagono.

Si ottiene questa figura:

Anche questa figura può essere vista in due modi. Per tutte le osservazioni e le conclusioni stavolta andate ad aprire l’applet (clic su figura) o scaricate il file Geogebra sei_lunule.ggb ed eseguite l’attività.

“Questa volta, Ippocrate si accorse dunque che se la figura curvilinea formata dalle sei lunule fosse quadrabile [ragazzi, è quadrabile o no, secondo voi?], lo sarebbe anche il cerchio. Risultato solo ipotetico. Ma i Greci pensarono che, se erano quadrabili le lunule su un quadrato, non si capiva perché non avrebbero dovuto esserlo anche quelle su un esagono. E si lanciarono a cercare di risolvere il problema, che divenne noto come quadratura del cerchio.

Tentando di risolverlo, Ippocrate riuscì a quadrare altri due tipi di lunule, oltre a quelle costruite sui quadrati. A sua volta, nel 1771 Leonhard Euler [Eulero] ne quadrò altri due. E nel 1934 e 1947, rispettivamente, Nikolai Chebotarev e Arkadiy Dorodnov dimostrarono che questi cinque tipi di lunule sono gli unici quadrabili”

[Da altra fonte: “Non si sa se questi 5 tipi esauriscano o no la classe delle lunule quadrabili elementarmente. Tuttavia nel 1903 E. Landau  ha dimostrato che i tipi di lunule quadrabili con mezzi elementari non sono infiniti.” ]

Le lunule nell’arte

Il rosone centrale della cattedrale di Losanna progettato dall’architetto francese di inizio Duecento, Villard de Honnecourt e il foglio 42 del suo Libro di ritrattistica o Album.

Da P. Odifreddi - C’È SPAZIO PER TUTTI – Il grande racconto della geometria

Il problema della quadratura del cerchio attrasse l’attenzione di molte persone, in ogni tempo e luogo.

Plutarco (c. 46-120 d.C.) nel libro ”Sull’esilio” scrive: ”Non esiste posto che possa togliere la felicità all’uomo, e neppure la sua virtù ed intelligenza. Anassagora, infatti, scrisse sulla quadratura del cerchio mentre era rinchiuso in prigione”.

La popolarità del problema è provata da queste righe degli ”Uccelli” di Aristofane (c. 446-386 a.C., gli ”Uccelli”: 414 a.C.):

Segnalo anche

Il problema della quadratura del cerchio

Neve e problema con sistemi!

Ragaa?

E voi, siete stati in pineta? Se no, stateci! e inviatemi le foto!

Maa, per non rischiare ruggine ... mentale, darsi da fare. Anche!

Un bel problemino (è per la III)

La piramide e i numeri consecutivi

Nella piramide in figura, l’altezza (a), ciascun lato del quadrato di base (b) e ciascuno degli spigoli laterali (c), devono essere numeri interi consecutivi. In altri termini: b = a+1; c = b+1

Calcolare la terna di numeri a, b e c.

Dal libro: Giochi per la mente, Fabio Ciuffoli

Sull’applet GeoGebra la guida alla risoluzione.

Rettangolo trasformato in un quadrato di area uguale

Cari III,

ecco il secondo problema dal Sulbasutra di Baudhayana di cui abbiamo parlato stamane e avviato ...

Sì, forse era un tantino più complesso del primo e perciò la soluzione promessa.

Trasformare un rettangolo in un quadrato di area uguale.

Il risultato, secondo il Sulbasutra di Baudhayana, è quello mostrato in figura.

ABCD è il rettangolo di partenza, il quadrato richiesto è JSTR.

La dimostrazione dell’equivalenza delle due figure deriva dal Teorema di Pitagora.

Sull’applet seguite i passi della costruzione. Per visualizzarli agite sul pulsante “inizio” e selezionate Mostra/Nascondi oggetto dalla barra degli strumenti. Alla fine fate clic sullo strumento Muovi per nascondere nuovamente gli oggetti e concentrarvi ancora sulla costruzione. Clic su img

Geometria con la LIM

E’ sempre cosa da me graditissima

ricevere in regalo un libro. Se poi il regalo arriva da una cara amica che stimo e, ma sì lo dico, mi stima, il gradimento è doppio. Anzi, io voglio dire, elevato a potenza !

Libro da condividere con i lettori del blog: per la didattica! E non solo con la Lim, lo dico da subito, e non solo per la scuola primaria!

    Il prezioso regalo appena ricevuto dalla mia carissima amica Renata Rosso (la nostra Maestra Renata)

Grazie Renata!

Geometria con la LIM nella scuola primaria

Giorgio Bolondi, Aurelia Orlandoni, Francesca Storai

In collaborazione con Irene Ferrari, Renata Rosso, Eva Pigliapoco, Ivan Sciapeconi.

Centro Studi Erickson 

Collana: CLIM - Classe Interattiva Multimediale

Dalla quarta di copertina:

La collana CLIM (Classe Interattiva Multimediale) mette a disposizione degli insegnanti della scuola primaria e della secondaria di primo grado gli studi e gli strumenti più aggiornati sulla didattica con la LIM e, più in generale, con le nuove tecnologie.
L’obiettivo è di far acquisire le competenze teoriche e pratiche per introdurre in aula i dispositivi didattici digitali — primo fra tutti la Lavagna Interattiva Multimediale — attraverso la presentazione di alcuni percorsi di insegnamento e delle modalità corrette per allestire e gestire i materiali inclusi in ogni volume della serie (italiano, storia, scienze, ecc.).

In particolare in questa proposta i docenti troveranno le riflessioni di esperti di applicazioni delle nuove tecnologie nell’area disciplinare della matematica e

tre moduli didattici per l’insegnamento della geometria per la scuola primaria.

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In questo volume
• Introduzione all’utilizzo della LIM nel curricolo di geometria
• Geometria con le nuove tecnologie: cosa cambia
• Metodi, strumenti e risorse didattiche per l’apprendimento della geometria con la LIM
La LIM in classe: percorsi di insegnamento/apprendimento
Esplorazione, costruzione e trasformazione di poligoni a cura di Irene Ferrari
Costruzione di figure con «GeoGebra» a cura di Renata Rosso
Calcolo delle superfici piane a cura di Eva Pigliapoco, Ivan Sciapeconi.

Come ho detto, ho ricevuto il libro appena da qualche ora. E, i percorsi di insegnamento/apprendimento sono le prime pagine sfogliate.

Il titolo del libro recita “nella scuola primaria”. Io tengo a sottolinearne l’utilità per la secondaria di primo grado! 

Si tratta di didattica, di buone prassi didattiche. Precisati  Tematiche, Finalità e Obiettivi di Apprendimento, Metodologie, Funzione della Lim, ciascun percorso è corredato dalle Fasi delle attività e diverse Schede operative di lavoro.

Non mancano riferimenti all’utilizzo di materiali concreti, da manipolare (quanto ancora è necessario nella secondaria di primo grado il ricorso al concreto, la manipolazione!),  all’utilizzo di riga e compasso per le costruzioni geometriche. Aggiungo: trovo i riferimenti alla didattica della grande Emma Castelnuovo.

Non solo Lim, dunque. Ma, software didattici sì! Geogebra, il nostro Geogebra: maestra Renata egregiamente ne presenta caratteristiche, utilizzi e contributi nella didattica. Per una didattica costruttiva, un uso critico e creativo delle tecnologie a supporto della didattica, che può portare a modificare le metodologie educative, a incidere sugli stili di apprendimento ... Anche Renata sottolinea l’adoperare le mani prima di usare il software. E, ragazzi, se avete letto fin qui, a me imbarazza un po’ ma sono certa che a voi no e ne sarete ben felici: maestra Renata nel suo contributo cita il nostro blog, i vostri lavori e qualche esempio di attività condotte in collaborazione. Grazie, Renata. Ti dobbiamo tanto... !

La geometria dei Sulbasutra

In seconda

stiamo per parlare di Teorema di Pitagora. So che qualcuno ha già sbirciato sul blog e, può darsi abbia già visto che la conoscenza di questo teorema può essere attestata in molte tradizioni matematiche antiche.

E i Sulbasutra?

Sono alcune “appendici”, note come Vedanga, dei principali Veda, i testi sacri dell’induismo [da Indù (chi abita oltre l'Indo). Religione dell'India...].

I Vedanga sono suddivisi in sei rami di conoscenza:
1) fonetica, la scienza dell’articolazione e della pronuncia,
2) grammatica,
3) etimologia,
4) metrica (chandah), l’arte della prosodia dal greco pros, "verso" e odè, "canto"),
5) astronomia e
6) regole per riti e cerimonie (kalpa).

Negli ultimi due Vedanga si trovano le fonti più importanti della matematica del periodo vedico. La testimonianza è generalmente in forma di Sutra, un modo di scrivere particolare che tende alla massima brevità e spesso utilizza uno stile poetico per catturare l’essenza di un argomento o di un risultato (possiamo definirli aforismi della saggezza indiana).

Una gran parte del sapere veniva resa più facilmente memorizzabile cercando di evitare il più possibile l’uso dei verbi e componendo nomi molto lunghi. La condensazione nei Sutra era anche una strada per integrare la scarsità di materiale scrittorio (che serve per scrivere. Interessante per voi ragazzi, questa pagina).

 I Sulbasutra contenevano le istruzioni per la costruzione e la misurazione degli altari destinati ai sacrifici rituali. Il termine in origine significava “regole per condurre riti sacrificali", ma in seguito la parola sulba si riferì al tratto di fune usato per la misurazione degli altari. Buona parte di quello che sappiamo della geometria vedica proviene da questi sutra.

Clic per ingrandire l’immagine

Altare sacrificale vedico a forma di falco

LA GEOMETRIA DEI SULBASUTRA

La geometria dei Sulbasutra (riportati in forma scritta fra l'800 e il 600 a. C.) scaturì dall'esigenza di assicurare una rigida conformità dell’orientamento, della forma e dell’area degli altari alle prescrizioni stabilite dalle scritture vediche.

Questa precisione era estremamente importante per l’efficacia del rituale come lo era la pronuncia meticolosa dei canti vedici (o mantra).

I tre aspetti della geometria dei Sulbasutra:
1. le conclusioni geometriche e i teoremi esplicitamente enunciati;
2. le procedure per costruire altari di forme diverse;
3. gli strumenti algoritmici contenuti nei punti (1) e (2).

L'enunciato più importante della prima categoria è il teorema di Pitagora per un triangolo rettangolo.

L'enunciazione attuale del teorema di Pitagora, espressa in termini di lati e diagonali di quadrati e rettangoli, si trova nei Sulbasutra di Baudhayana, Apastamba e Katyayana. La versione di Baudhayana dice:

La fune che viene tesa attraverso la diagonale di un quadrato produce un’area di dimensione doppia rispetto al quadrato originale.

I tre Sulbasutra forniscono una proposizione più generale:

La fune [tesa per la lunghezza] della diagonale di un rettangolo forma un’[area] pari alla somma di quella formata dal lato verticale e da quello orizzontale.

Ed ecco un esempio che illustra il modo in cui questa proposizione veniva applicata al disegno e alla costruzione di un particolare tipo di altare.

Nell’immagine sotto, il progetto della base dell’altare mahavedi (un altare “cimitero” sul quale veniva offerta una bevanda inebriante chiamata soma come sacrificio agli dei). Se si voleva che il sacrificio desse frutti questa base doveva essere costruita adottando dimensioni precise.

Nel Sulbasutra di Apastamba venivano date tutte le istruzioni per la costruzione dell’altare: con l’aiuto di una fune ...

Voi trovate, in notazione moderna, i passi della costruzione, sull’applet GeoGebra. Clic su img.

Le istruzioni portano ad individuare dei triangoli rettangoli con i lati aventi misure espresse da “terne pitagoriche” intere (vedete meglio sull’applet).

AX = XD = 12 pada
BY = YC = 15 pada
XP = 5 pada
PR = 23 pada
RQ = 7 pada
QY= 1 pada
XY = 36 pada

Come si vede, doveva essere un trapezio isoscele ABCD in cui AD e BC erano 24 e 30 pada (letteralmente “piedi”). L’altezza del trapezio (cioè la distanza tra i punti di mezzo X e Y di AD e BC) doveva essere esattamente 36 pada.

Oltre alle terne pitagoriche intere, per costruire triangoli rettangoli venivano anche utilizzate due frazioni conseguenti: $ 2\frac{1}{2},  \; 6, \;  6\frac{1}{2} \; e \; 7\frac{1}{2}, \; 10, \; 12\frac{1}{2} $

Inoltre la costruzione di alcuni altari comportava l’uso di terne come: $1, \; 1, \; \sqrt{2}; \; \;  5\sqrt{3}, \; 12\sqrt{3}, \;13\sqrt{3}; \;  \;15\sqrt{2}, \;36\sqrt{2}, \;39\sqrt{2} $ Questi numeri scaturivano probabilmente da necessità rituali che imponevano costruzioni di altari le cui aree erano multipli integrali o frazioni di aree di altri altari della stessa forma. Per es. si arrivava alle dimensioni di un altare soutramani (a base triangolare con i lati $5\sqrt{3}, \; 12\sqrt{3}, \;13\sqrt{3}$, cominciando con un triangolo 5, 12, 13, con un’unità di misura che era la purusha (quasi 2,5 metri, oppure l’altezza di un uomo con le braccia sollevate).

I Sulbasutra erano prima di tutto manuali di istruzione per costruzioni geometriche: quadrati, rettangoli, trapezi e cerchi che dovevano conformarsi a dimensioni e aree stabilite. Qualsiasi inesattezza avrebbe invalidato rituali e sacrifici!

Ecco un esempio su cui potete, voi ragazzi, provare a cimentarvi (è facile, servitevi dell’aiuto, poi, onestiii!, mi direte se siete riusciti....): 

Fonte: C’era una volta un numero – La vera storia della matematica – George Gheverghese J. - Il Saggiatore

Decimale periodico n/7

Ragazzi,

riporto qui la curiosità di cui vi ho parlato, sul numero periodico semplice generato dalle frazioni con denominatore 7.

Abbiamo trovato il numero periodico generato da 1/7 :

Quando si è ripresentato il resto di 1 abbiamo trovato il periodo: 142857 142857 142857 142857 .... di sei cifre.

Il periodo non poteva essere più lungo di sei cifre: infatti, abbiamo ragionato, la divisione per 7, escludendo lo zero  se il divisore è un multiplo di 7, può avere solo sei resti: 1, 2, 3, 4, 5, 6. (Se ho resto 7 o maggiore... so che ho sbagliato la divisione: ci stava qualche volta in più!)

Ora: per calcolare il periodico generato da 2/7,  basta osservare che il calcolo comincia con un resto 2:

2:7 = 0 con resto 2

Il lavoro l'abbiamo già fatto per la divisione 1:7; ci limitiamo a prendere il risultato dal punto in cui compare il resto 2, e a scrivere la risposta come 0,285714... periodico.

Possiamo chiamare questa ricorrenza, proprietà del nastro trasportatore, pensando al dispositivo sui cui girano i bagagli usciti nella sala arrivi di un aeroporto. Dovunque ci fermiamo, ci passano davanti gli stessi oggetti.

Per trovare il periodico generato da 3/7, basta fermarsi nel punto in cui compare il resto 3 e osservare il ciclo che si ripresenta come 0,428571....

Ribadiamo: ci sono soltanto sei possibili resti: 1, 2, 3, 4, 5, 6, e ciascuno di essi compare una sola volta. E osservate bene la proprietà del nastro trasportatore del numero 142.857:

142.857 x 1 = 142.857
142.857 x 2 = 285.714
142.857 x 3 = 428.571
142.857 x 4 = 571.428
142.857 x 5 = 714.285
142.857 x 6 = 857.142

Non vi sembra curioso?

A questo punto, osservate:

142.857 x 7 = 999.999

Quando si calcola la sesta cifra decimale del rapporto 1/7 il resto è 1. Ciò significa che la divisione di 1.000.000 per 7 ha resto 1, e quindi 7 sta esattamente in 999.999, 142.857 volte.

La frazione 1/7 e il suo valore decimale ci dicono una cosa sugli interi: 7 è un divisore esatto del numero che si scrive come sei 9!

.... C'è una regolarità che sussiste anche per altre frazioni?

La curiosità è tratta dal libro:

 Il Curioso Dei Numeri (già!) - Stranezze matematiche, controversie scientifiche, divagazioni da 1 a 9 di Andrew Hodges  

Tre cose – di Fra’ Pacioli!

 Dopo questo

un altro gioco da

E’ il problema 18: tre cose

Sempre dalla traduzione del testo originale in italiano moderno

Uno dà 3 cose diverse a tre persone in modo che ciascuna ne abbia una, sai dire chi ha una cosa e chi l’altra, supponendo che siano stati dati loro un ducato, un carlino e un sestino?

Questa è meglio tradurla ulteriormente.

Intanto: ducati, carlini e sestini sono delle monete dei primi anni del secolo XVI, che circolavano nel regno di Napoli. Il ducato era d'oro, il carlino, d'argento e il sestino, di rame. Il loro valore era dunque diverso.

Noi facciamo il gioco con monete da 20, 10 e 5 centesimi. Devi giocare almeno con quattro amici o familiari.

Fai distribuire le tre monete da uno degli amici agli altri tre giocatori, una per ciascuno. Tu NON sai chi ha una moneta e chi l’altra. Indovinerai chi ha l’una e chi l’altra!

Fra’ Luca Pacioli chiede che l’amico distributore sappia multiplichare!

Aggiungo io che deve stare attento ai numeri che tu assegni ai giocatori tenendo bene a mente il valore della moneta distribuita a ciascun giocatore.

Come si fa:

tu assegni un numero a ciascun giocatore: al primo il n° 1, al secondo il 2, al terzo il n° 3.

Chiedi poi all’amico distributore:

• di moltiplicare per 2 il numero assegnato al giocatore che ha la moneta di valore maggiore
• di moltiplicare per 9 il numero assegnato al giocatore che ha la moneta di valore intermedio
• di moltiplicare per 10 il numero di chi ha la terza moneta, quella di minor valore
• di sommare i prodotti ottenuti

Deve quindi:

• sottrarre questa somma dal n° 60
• dividere per 8 la differenza ottenuta

Il quoziente della divisione sarà il numero associato al giocatore che ha la moneta di valore maggiore!

Il resto della divisione sarà il numero associato al giocatore che ha la moneta di valore intermedio!

Il terzo giocatore avrà naturalmente il terzo numero e la moneta di valore minore.

Ti sembra complicato? Ma no. Facciamo un esempio.

Supponi (tu NON lo sai) che:

il giocatore a cui hai assegnato il n° 1 abbia la moneta da 10 cent
il giocatore cui hai assegnato il 2 abbia la moneta da 20 cent
quello cui hai assegnato il n° 3 avrà la moneta da 5 cent

Il tuo amico:

moltiplicherà per 2 il n° 2 perché ‘associato a’ 20 cent (val. maggiore): 2*2 = 4

moltiplicherà per 9 il n° 1 perché ‘associato a’ 10 cent: 9*1 = 9

moltiplicherà per 10 il n° 3 perché ‘associato a’ 5 cent: 3*10 = 30

Ora sommerà i prodotti: 4 + 9 + 30 = 43

Eseguirà la sottrazione: 60 – 43 = 17

Dividerà per 8 la differenza: 17 : 8 = 2 con il resto di 1

Ecco: il giocatore con il n° 2 (il quoziente intero) ha i 20 cent!
il giocatore con il n° 1 (il resto della divisione) ha i 10 cent!
Il terzo giocatore, ovvio, ha i 5 cent.

          - Ebbene, avrete già visto l’immagine. Ho realizzato lo schema di gioco con Excel! (l’avrebbe mai immaginato fra’ Luca Pacioli? )

Clic sull’immagine per scaricare il file. C’è l’indicazione: potete cambiare il numero associato alle monete, scegliendolo da un menu a tendina. Fate clic, o solo avvicinatevi con il mouse, anche sulle celle in grigio: leggerete i “commenti” che spiegano l’operazione eseguita (vedrete la loro curiosa forma. Poi vi insegnerò come si fa!) 

- Ricordate che nella cartella dei file da scaricare, questi sono in ordine alfabetico. Selezionate giocomonetePacioli.xls e dalla barra sulla destra scegliete: Scarica.

Ripassiamolo in versi

Nulla di più divertente!

Ragazzi, da

“un libro di poesie umoristiche scientifiche, cioè un libro scientifico di poesie umoristiche, oppure un libro umoristico di poesie scientifiche” !

Così lo presentò sul suo blog l’autore, il nostro amico prof. Popinga.

Un libro di matematica e fisica in versi,  semplicemente bello, divertente e originale. Perché le poesie sono poesie un po’ speciali. Dopo vi dirò come si chiamano!

Vedete la copertina del libro:

Giovanni Keplero aveva un gatto nero. Matematica e fisica in versi – Marco Fulvio Barozzi (Popinga) - Ed. Scienza Express

Ed ecco le rime che sono certa vi divertiranno.

Le prime due sono dei limerick, così si chiamano. Delle forme poetiche tipicamente inglesi. Parlatene con la vostra prof. di Italiano e farete un figurone!

[QUI il prof Popinga ce ne regalò uno, potete leggerlo in coda al post]

Rime geometriche

  Il riscatto

La retta disse al segmento: “Sei finito!”

e lui si ritirò in un piano, molto avvilito.

Un compasso disse “Coraggio,

ti assumerò per fare il raggio!”

Ora lavora in un cerchio, tutto impettito.

 

  Il pignolo

Grande fu l’importanza degli eventi

al reparto maternità dei segmenti.

Ebbero infatti i natali

tre gemelli, tutti uguali.

Corresse il pediatra: “Congruenti”.

Queste altre si chiamano incarrighiane (un po’ difficile? Scrivetevelo per parlarne con la prof!). Prendono il nome, un po’ storpiato, dal primo autore di questo tipo di composizioni, che risultarono involontariamente comiche, si prefiggevano di dare delle definizioni. 

Insiemi numerici

  L’insieme N

Numeri naturali son quegli enti

che contiamo sulle dita,

senza di lor la nostra vita

sarebbe assi più complicat.

Sol più tardi è stato aggiunto

quel pallin che è lo zero:

per gli antichi era mistero

una cifra valente nient.

 

  L’insieme Q

E’ l’insiem dei razionali,

con la virgola o le frazioni:

corrispondon alle divisioni

tra numeratore e denominator.

Diversamente dai naturali,

non si contan sulle dita:

si rischierebbe persin la vita

a far frazioni delle falang.

 

  L’insieme Z

E’ l’insiem dei relativi

che sono numeri con il segno:

una trovata di vero ingegno;

senza segno è ‘l valore assolut.

Sol con essi si può fare

ogni tipo di sottrazione:

era proprio contraddizione

togliere sette da cinque dit.

Grazie Pop!

I sassi di Fra’ Luca Pacioli

Ragazzi,

oggi un bel giochino da fare con gli amici!

Leggo in questi giorni I giochi matematici di Fra’ Luca Pacioli – Dario Bressanini  e Silvia Toniato – Ed Dedalo

“... è una raccolta, tradotta e con un commento matematico, dei giochi matematici descritti da Frate Luca Pacioli, figura fondamentale della matematica italiana antica, in un manoscritto del ‘400 sconosciuto al grande pubblico.” continua ...

Davvero bello, avremo tanto materiale per la nostra matematica ricreativa!

Intanto vi propongo uno dei giochi descritti nel manoscritto. Divertitevi a farlo, ora, in vacanza, con gli amici o con i familiari...

Riporto la traduzione del testo originale in italiano moderno, così come si trova nel libro, affiancata dagli autori (assieme al commento e alle soluzioni ben spiegate) a ogni problema descritto nell’italiano parlato nel ‘400. La cui lettura può risultarvi un po’ difficilotta! 

I sassi

Per divertire la compagnia puoi dire a uno di prendere dei sassi in ugual numero in una mano e nell’altra, che ne sposti un certo numero dalla destra alla sinistra, e tieni a mente quanti, quindi che conti quanti ne sono rimasti nella destra e li posi.

Dirai che ne posi altrettanti anche dalla mano sinistra, allora saprai che avrà in mano il doppio dei sassi che gli hai fatto spostare.

Poi, perché non scopra il trucco, dagliene ancora qualcuno, gli dirai quanti ne ha in tutto e non saprà come hai fatto.

Ricorda che quelli che gli restano in mano saranno sempre il doppio di quelli che gli hai fatto spostare.

Ragazzi, tutto chiaro? Se no, chiedete pure!

Notate che ho riportato interamente il gioco per seguire, come scrivono gli autori del libro, l’intento didattico non scolastico: Pacioli si preoccupa cioè che gli allievi conoscano in anticipo giochi e soluzioni perché facciano bella figura in pubblico meravigliando la compagnia...

Così anch’io sono stata brava a non costringervi a indovinare alcunché!

Ovviamente voi potete giocare con oggettini qualsiasi, palline, biglie colorate... Vi ho fatto anche lo schemino!

Voi NON conoscete il numero di palline prese dal vostro amico in ciascuna mano, ma sarete voi a dirgli il n° a di palline da spostare dalla destra alla sinistra.

Es.: chiedete di spostare 2 palline, poi di posare quelle restanti nella mano destra e altrettante palline dalla mano sinistra.

Quante palline restano nella mano sinistra? Sono il ... di quelle che avete fatto spostare!

Rileggete anche sopra, perché non scopra il trucco ...

In classe faremo insieme un’altra traduzione del gioco: nel “linguaggio matematico delle lettere”. In tal modo, se già non lo avete capito, vi sarà anche più chiaro perché il gioco funziona sempre.

A voi Buon divertimento e

Grazie Dario!

Schiavo ... della matematica

... Allo scopo,

Platone prende uno schiavo che dice di non sapere la geometria. Gli fa domandare da Socrate come fare a duplicare un quadrato di lato 2 piedi, e dunque di area 4.

Lo schiavo risponde di prendere un lato doppio, di 4 piedi. Socrate gli fa notare che così l’area diventa 16, e non 8.

Allora lo schiavo propone un lato di 3 piedi, a metà tra quello dato e quello doppio. Socrate gli fa di nuovo notare che così l’area diventa 9, e non 8.

E poi gli da lui la soluzione!

Da QUESTO LIBRO QUA

Ragazzi,

sapreste voi duplicare un quadrato?

10+ al primo che propone una soluzione!

Vi lascio tutto il tempo per pensare prima di aiutarvi.

 Badate: non dovete rispondere con la misura del lato del quadrato di area doppia, basta solo un disegno (e  così, ecco che un po’ vi ho già aiutato!)

Male che vada... ci sarà un’applet geogebra.

Aggiorno

Mi è arrivata via mail qualche proposta risolutiva. Non ci siamo, è necessario dunque un aiuto più ... più!

Che dite di questa figura?

Vi da qualche idea? Costruite, costruite, costruite!

Avete due possibilità ...

Aggiorno_2!

Mi arrivano due soluzioni. Non mi si dice se l’aiuto è stato utilizzato o no.

Gabriele (II) ha realizzato perfino il foglio dinamico con Geogebra. Clic su immagine

Beatrice (I), ha risolto anche lei con Geogebra. Copio incollo scritta e immagine

Bravi, Gabri e Bea.

Per gli altri: come ho accennato, esiste un’altra possibilità. Osservate l’ “aiuto” sopra e continuate a pensarci!

Davì mi invia questo schizzo

gli dico bravo perché si tratta della seconda interpretazione. Ma non è bravo se non realizza una costruzione più carina! Come gli dico in risposta alla sua mail

Clic sulla figura

Un problema su .... ?

Ragazzi,

i puntini di sospensione e il punto interrogativo perché lascio stabilire a voi su cos’è il problema! Potrete rispondere in modi diversi naturalmente, utilizzando termini differenti. Non preoccupatevi subito di stabilire l’argomento, divertitevi prima a giocare con le

 proprietà dei numeri, direi le magie dei numeri!

Ecco il testo del problema:

Prendi un numero (ad esempio 973). Moltiplicalo per 1000 (ottieni 973000). A questo prodotto aggiungi il numero di partenza (ottieni 973973).

Adesso: dividilo per 7. Poi dividi il risultato per 11. Poi dividi il risultato per 13.

Che cosa ottieni? Perché?

Problema segnalato qualche tempo fa su Pi Greco Quadro

Da (e per) “Eccellere in matematica”_2

Ragazzi (II. – I ?)

QUI mi proponevo di presentarvi ancora due giochi matematici tratti dal libro Eccellere in matematica del Prof. Luigi Boscaino.

Ecco in questo post il secondo gioco

- Diciamo che in primo luogo dovrebbe essere dedicato a voi di seconda, ma io sono certa che anche qualche ragazzo di prima vorrà cimentarsi! Si può fare, ragazzi! -

Ecco il testo della sfida:

Selezioni “Cotroneo”

“Durante le fasi di preparazione al concorso "Cotroneo", gli studenti delle scuole medie sono stati registrati nella piattaforma didattica www.gigiboscaino.it allo scopo di favorire il percorso didattico preliminare alle gare e per attivare criteri oggettivi per la selezione dei partecipanti.

Uno di essi, di cui non si menziona il nome, ha ottenuto nei cinque test di logica matematica disponibili in piattaforma i risultati rappresentati nel grafico.

Da un’attenta osservazione di quest’ultimo ho pensato di calcolare la percentuale di superficie più scura rispetto a quella rettangolare totale.

Sapresti farlo anche tu? “

Suggerimento: se occorre, stampate l’immagine e, righello e matita alla mano, ..... !

[Aggiornamento]

Ragazzi, molti di voi hanno risolto correttamente il problema. Buona e originale la procedura. Ora, lo sapete, aspetto la soluzione che ci permetta di ... andare avanti con lo studio dell’equivalenza di figure piane. Calcolo aree ....

Illusioni ottiche [Aggiornato]

Ragazzi,

qualcuno di voi mi chiedeva prima delle vacanze se avessi ricevuto il libro C’È SPAZIO PER TUTTI – Il grande racconto della geometria.

Ebbene sì, arrivato. Davvero interessante e appassionante!

Le prime pagine ci spingono a riflettere su come noi percepiamo, avvertiamo, vediamo il mondo che ci circonda.

- Siamo proprio sicuri di non prendere qualche granchio quando percepiamo il mondo esterno?

- Siamo certi che i nostri sensi non ci ingannino e ci facciano percepire effettivamente il mondo per quello che è?

- E, in particolare, siamo certi che la geometria che costruiamo a partire dalle nostre percezioni non sia solo una nostra bella invenzione umana, ma una caratteristica oggettiva del mondo?

Oh, belle domande vero?

Ecco dunque che l’autore ci illustra precisi fatti scientifici, studiati da grandi fisici, matematici, fisiologi, ecc... che ci mettono in guardia!

Sono le famose illusioni ottiche: su come valutiamo misure di grandezze,  sugli inganni del parallelismo, su semplici cerchi che il nostro occhio può percepire come spirali ...

Per goderci alcune di queste illusioni, ah, noi abbiamo una preziosa fonte! Qui sotto alcune delle illusioni ottiche con geogebra realizzate da Maestra Renata.

 Clic sull’immagine, divertitevi poi cliccando su tutte!

Grazie maestra Rena’ e

bè anch’io, ispirata... , ho fatto qualcosina.

Clic sulla prima immagine per aprire l’applet.

E' più lungo il segmento verticale o quello orizzontale?

Quale delle due cerchi rossi è più grande?

E dalla rete, citate nel testo di P. Odifreddi,

Le rette sono parallele o “in pendenza”?

E queste?

E, che dite di questa spirale? Spirale o cerchi? Controllate con una matita. Ehm.. non sul vostro monitor, meglio stampare!

[Aggiornamento]

Ragazzi, sapete che potreste anche creare da voi delle curiose illusioni ottiche?

Per sapere come fare leggete da maestra Renata e vedete il suo lavoro.

Qualcuno di voi mi dice di aver già visto il video nel post Striscioline del prof. Guzman. Ora, i più tecnologici, leggano bene da maestra Renata: c’è da scaricare un programma....

Da (e per) “Eccellere in matematica”!

Ragazzi (I e II),

Vi propongo ancora un paio di giochi matematici tratti dal libro Eccellere in matematica del Prof. Luigi Boscaino.

In questo post il primo gioco

Un obolo modesto

Il sacerdote di un piccolo comune della valle vitulanese (il nome da Vitulano, un comune in provincia di Benevento) ritiene urgente un intervento di recupero dell’antica chiesa del paese. Da una consulenza tecnica preventiva si stima che per riportare la struttura agli antichi splendori occorre investire un milione di euro.

Il sacerdote esorta i fedeli della sua Parrocchia a far si che non vada perduto il patrimonio artistico della chiesetta.

Un collega sacerdote gli suggerisce una strategia ... :

- il parroco faccia un’offerta iniziale di 2 euro per dare l’esempio;

- chieda successivamente ai suoi parrocchiani di lasciare un obolo pari alla somma presente in chiesa.

La proposta viene accolta da molti cittadini e così il primo fedele lascia 2 euro (cifra precedentemente offerta dal sacerdote), il secondo 4 euro (2 del sacerdote più 2 del primo fedele), il terzo 8 e cosi via.

È riuscito un paese di soli 1000 abitanti a far fronte all’impegno? Quale numero di fedeli consente di raggiungere il milione di euro?

Ragazzi, la “strategia” del sacerdote, vi è un po’ matematicamente familiare, vero? Ragionate, fate uno schema di calcolo, riconoscete ... . Proponete il problema anche ai vostri genitori o fratell(oni), così vi divertite di più!

Attenzione: non è detto che il calcolo consenta di ottenere esattamente 1.000.000 di euro. Può essere appena superiore!

Aspetto soluzioni, se possibile ... commenti!