Costruzioni Geogebra

Per la cl. prima

Ragazzi,

deciso di aiutarvi! Eccovi la costruzione cui accennavo stamane. Potrete vedere (e “frugare”) l’applet oppure scaricare il file.ggb. C’è il link.

Clic: Unità frazionarie: costruiamo e osserviamo...

Una lezione con la LIM: dalla suddivisione dell’intero... al numero razionale.

Non è una lezione “speciale” con la LIM (lavagna interattiva multimediale)

E’ soltanto una nostra normale lezione con la Lim, che utilizziamo da qualche mese nelle nostre normali attività.

Oggi ci è venuto in mente di salvare un PDF da condividere. Ci sono tutti i nostri scarabocchi, così come sono venuti, spontanei, in corso d’opera! Non siamo precisini, ordinatini... ma a noi pare importante il fatto che ci siamo tutti!

Il tema è l’ampliamento di N, insieme dei numeri naturali, alla scoperta dell’insieme Q, dei razionali.

Dalla suddivisione dell’intero.... (nella suddivisione del quadrato in parti uguali ci siamo poi sbizzarriti !)

Clic sulla figura per scaricare il PDF (al quale ho aggiunto qualche nota esplicativa...)

Ehi, o belli: la relazione ...resta assegnata! :-)

Unità frazionarie: costruiamo e osserviamo...

Ragazzi,

Utilizziamo ora le “porzioni” dell’intero diviso in parti uguali, quelle che si chiamano unità frazionarie [no???], per ... costruire e osservare.

Cominciate lavorando con dei fiammiferi o degli stecchini tutti uguali.

Costruiamo un rettangolo che ha la base doppia dell’altezza.

Quanti fiammiferi usate per la base? quanti per l’altezza?

Quanti rettangoli potete costruire rispettando l’indicazione: base doppia dell’altezza?

Vi risulta sempre, se scrivo in simboli:  b = 2 * h?

Oppure anche: $h\,=\, \frac{ 1 }{ 2}\, *\,b$ ? [altezza = un mezzo della base]

Costruiamo un rettangolo che ha la base tripla dell’altezza

Quanti fiammiferi usate per la base? quanti per l’altezza?

Quanti rettangoli potete costruire rispettando l’indicazione: base tripla dell’altezza?

Vi risulta sempre, se scrivo in simboli:  b = 3 * h?

Oppure anche: $h\,=\, \frac{ 1 }{ 3}\, *\,b$ ? [altezza = un terzo della base]

Ho preparato un geogebra dove potete ottenere dinamicamente tanti rettangoli con base doppia o tripla dell’altezza.

E inoltre scoprire che la relazione tra base e altezza ci aiuta a cominciare a comprendere un concetto cui si è accennato in qualche occasione ...

E, nella nostra discussione in classe, scopriremo anche dell’altro!

Clic sulla figura e ...studiare! :-) [Per chi ha bisogno, scaricare il file.ggb]

Suddividi ancora l’intero

Ragazzi,

ben avviati i lavori sulle suddivisioni in parti uguali di forme ...varie, ora:

su carta quadrettata, quaderno o geogebra indifferentemente, 

(o se preferite, utilizzate un righello)

disegnate 3 nastri rossi di uguale misura. Dividete:

- il primo nastro in due parti uguali

- il secondo nastro in tre parti uguali

- il terzo nastro in quattro parti uguali

Attenzione: nastri di ugual misura, parti uguali in ciascun nastro!

Mi piacerebbe avere una delle parti del bel nastro rosso! :-) ehmm.. potrei avere la parte più lunga possibile?

Devo scegliere la mia parte dal primo, dal secondo o dal terzo nastro, così come voi li avete suddivisi?

Potete indicarmi in termini matematici la porzione più conveniente?

Vi ricordo io che le “porzioni” così ottenute si chiamano unità frazionarie: indicano una delle n parti uguali in cui l’intero è stato suddiviso.

Cominciamo a dividere l’intero ...

Ragazzi di prima,

 - sì, vi preparate per la verifica di mercoledì. Poi ...

...dopo tante operatività in N, diciamo che N non ci basta più! :-)

Infatti: arriva il momento di suddividere l’intero...

E voi cominciate a farlo con l’attività su GeoGebra che vado a proporvi. Aprirete l’applet cliccando sulla prima immagine (o Scaricate il .ggb). Potrete lavorare ancora sul quadrato e, in un secondo foglio di lavoro, su un rettangolo (vi indico cosa fare... Ho scordato però di chiedervi di indicare “matematicamente” la parte ottenuta con la suddivisione – ehi, LaTex, che dite? -).

Tutti insieme lavoreremo poi anche su altre figure (triangoli, cerchi... o segmenti, percorsi non necessariamente rettilinei, ecc. Meglio se proporrete voi ...)

In quali modi si può piegare un quadrato in quattro parti uguali?

 

Questo il quadrato (già pronto!) su cui lavorare. Avete disponibili gli strumenti...

P.S [aggiornamento]

ragazzi...

il prof.Popinga ha così commentato:

L’insieme Q
È l’insiem dei razionali,
con la virgola o le frazioni:
corrispondon alle divisioni
tra numeratore e denominator.
Diversamente dai naturali,
non si contan sulle dita:
si rischierebbe persin la vita
a far frazioni delle falang.

Proprio così: N non ci basta più ... ... per dividere come ci pare e piace!

Per cui: insieme Q (che sta per quoziente), dei numeri razionali (dal latino ratio: vuol dire ragione, in origine aveva il significato di “calcolo” (presente ancor oggi nel termine ragioniere, colui che fa i conti, i calcoli), e anche relazione, rapporto (matematico) quindi quoziente.

Vedremo, c’è da comprendere bene ... il numero razionale!

grazie prof. Popinga :-)

Parliamo di frazioni...

In seconda parliamo di frazioni... in vista di un ampliamento dell'insieme N.
Hanno scritto Gimmi, Saverio, Laura, Maria. Altri devono ancora consegnare!
AnnaLaura ci dice...

Conoscevamo già dalle elementari le frazioni ma stiamo scoprendo delle altre cose...
La professoressa ci ha dato da risolvere dei piccoli problemi.
Abbiamo cominciato con un problema che diceva:
una maestra regala a Giovanni, Giuseppe e Maria un nastro della stessa lunghezza. I tre ragazzi decidono di dividere il nastro con i loro fratelli, Giovanni ha 1 sorella, Giuseppe lo divide con i suoi 2 fratelli, e Maria con i suoi 3 fratelli. I nastri erano uguali, ma a chi spetta la parte maggiore di nastro?
Abbiamo fatto uno schema come ci ha consigliato la prof, e abbiamo notato che Giovanni prendeva la parte più lunga di nastro, questo perché divideva il nastro con una sola persona.
La prof ci ha detto di indicare la parte che spettava ad ogni ragazzo in modo "matematico", allora abbiamo scritto che Giovanni prendeva la metà, Giuseppe un terzo e Maria un quarto.
Ma la prof ci ha detto che così era in italiano e non in matematico. Quindi finalmente abbiamo scritto le frazioni! Lo schema completo è questo:

Qualcuno di noi aveva difficoltà a dividere in parti uguali i nastri, lo abbiamo aiutato chiedendoci quale fosse il numero di quadretti più adatto per disegnare il nastro intero. Così abbiamo ripassato anche i multipli (e i divisori). La prof ci ha detto: abbiamo utilizzato ciò che sapevamo!
Con un altro problema abbiamo parlato di frazioni equivalenti.
Questo però è successo per caso, il problema era:
Giulia ha 1 tavoletta di cioccolato e la mamma le dice di dividerla a metà con suo fratello. Giulia mangia ¾ di una tavoletta e il resto lo da al fratellino, e il fratellino strilla. Perché il fratellino strilla?
Come sempre prima ci siamo fatti uno schema, uno schema per rappresentare come avrebbe dovuto fare secondo quello che le aveva detto la mamma e un altro per rappresentare quello che invece aveva fatto.

Dai due schemi abbiamo notato che il fratellino strilla perché la sorella ha mangiato più cioccolata e di conseguenza ne ha lasciato di meno al fratellino.
Adesso vi spiego perché da questo problema abbiamo parlato delle frazioni equivalenti.
Alcuni di noi per rappresentare la metà nel primo schema hanno scritto 2/4, altri 1/2.
Si poteva scrivere in entrambi i modi perché 2/4 e 1/2 significano la stessa cosa, infatti sono frazioni equivalenti cioè dello stesso valore.
Abbiamo discusso su come ottenere frazioni equivalenti: 1/2 diventa 2/4 se sia il denominatore che il denominatore vengono moltiplicati per uno stesso numero e il valore della frazione non cambia.
Questa regola non è altro che la proprietà invariantiva della divisione (moltiplicando o dividendo sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero il risultato non cambia).
La frazione è quindi una divisione! Infatti ci siamo ricordati che la linea di frazione vuol dire diviso. Poi il numeratore è il numero che sta su e il denominatore è quello che sta sotto, i termini della frazione ce li ricordavamo dalle elementari quindi non c’è stato bisogno di spiegarceli. Ma, dobbiamo ancora precisare meglio....
La professoressa ci ha chiesto: - quante sono le frazioni equivalenti alla frazione 1/2?
Ci abbiamo pensato un pochino e poi abbiamo detto che ne esistono infinite. Infatti possiamo moltiplicare in numeratore e il denominatore per infiniti numeri. (Qualcuno ha detto perché i multipli di un numero sono infiniti).
Sulle frazioni equivalenti dobbiamo però ritornare...

Abbiamo fatto ancora un altro problema:
Simone ama la musica rock, ha 57 dischi, 2/3 dei quali sono di musica rock. Quanti sono i dischi rock di Simone?
Abbiamo diviso 57 (il numero totale dei cd) per 3 e abbiamo trovato 1/3, cioè 19 cd.
Siccome ne dovevamo trovare 2/3 abbiamo moltiplicato per 2, 19 * 2= 38 , il numero dei dischi rock di Simone.
Da questo problema abbiamo capito che trovare una frazione (una parte) di una quantità, per es. il numero dei CD, è la stessa cosa che trovare una frazione di una grandezza, per esempio la tavoletta di cioccolato oppure la lunghezza del nastro.
Questo lo abbiamo spiegato in vari modi ad es. prendendo dapprima un foglio, calcolando i suoi 2/3, poi misurando la larghezza del foglio e calcolando la larghezza dei suoi 2/3, ecc...
Poi abbiamo scoperto il linguaggio specifico: la frazione è un operatore. Operatore perché lo usiamo per operare: dividiamo l'intero per quante volte ci dice il denominatore e moltiplichiamo la parte trovata per quante volte ci dice il numeratore.
Quindi: il denominatore di una frazione è il termine che indica in quante parti l'intero è stato suddiviso, il numeratore indica quante parti se ne considerano. Allora, usando il linguaggio specifico: operare su una grandezza equivale a operare sulla sua misura.
Abbiamo precisato che la frazione operatore finora usata, si chiama operatore diretto perché conosciamo l’intero e devo trovare una sua parte. Diretto perché ci viene più spontaneo dividere in parti uguali un intero e considerarne una certa quantità (di queste parti).
Abbiamo inoltre precisato che le frazioni del tipo: 1/ x (x = un qualunque numero intero) si chiamano unità frazionarie (il termine "unità" non ci veniva ma ci siamo arrivati...!). Perché si considera una sola delle parti in cui l'intero è stato frazionato.

A proposito di unità frazionarie, interrompo qui il "racconto" di Anna Laura sulle attività svolte, per mostrarvi il lavoro che Anna Laura ha fatto, da sola, senza che in classe se ne fosse parlato.
Con Excel ha rappresentato come varia il valore delle unità frazionarie al crescere del denominatore.

"Vediamo che al crescere del denominatore il valore diminuisce"
In cella C2 ha immesso la formula: =A2/B2
che poi ha copiato nelle celle sottostanti. Ha creato quindi il grafico.
Devo dire: bravissima Anna Laura!