Numeri felici

E' da un po' che non propongo delle curiosità matematiche...
L'anno scorso abbiamo scoperto che esistono i numeri amici o amicabili. Ci sono poi i numeri ciclici (vedi box Segnalazioni qui a destra, post di oggi di Maurizio). Ecc...
Ma i numeri possono essere anche ... felici!
Eh sì, basta che raggiungano l'uno, l'unità!
L'unità, il principio unificatore per Pitagora, generatore di tutti i numeri, il nu­mero della ragione, il numero per eccellenza, "divino".
Ma in che modo un numero per essere felice, raggiunge l'uno?
Definiamo un numero felice:
Un numero si dice felice se sommando i quadrati delle sue cifre e ripetendo la somma dei quadrati per tutti i numeri che si ottengono, alla fine risulta 1.
Cioè:
si prende un numero,
si elevano al quadrato le sue cifre,
si somma il risultato,
quindi si ripete l'operazione.
Se dopo un certo numero di passaggi si raggiunge 1, il numero di partenza è detto numero felice.
Vediamo qualche esempio:
7 è un numero felice, perché:
7 -> 7^2 = 49
-> 4^2+9^2= 16+81 = 97 ->
->9^2+7^2=81+49 = 130 ->
-> 1^2+3^2+0^2= 1+9+0 =10
-> 1^2+0^2=1+0 = 1
19 è un numero felice. Infatti:
19 -> 1^2+9^2 = 1+81 = 82->
->8^2+2^2 = 64+4 = 68->
->6^2+8^2 = 36+64 = 100->
->1^2+0^2+0^2 = 1+0+0 = 1

Invece 12 non è un numero felice, perché:

12 -> 1^2+2^2 = 5 ->
->5^2 = 25
->2^2+5^2 = 29 ->
-> 2^2+9^2 = 85 ->
->8^2+5^2 = 89 ->
->8^2+9^2 = 145 ->
-> 1^2+4^2+5^2 = 42 ->
->4^2+2^2 = 20 ->
->2^2+0^2 = 4 ->
-> 4^2 =16 ->
->1^2+6^2 = 37 ->
->3^2+7^2 =58 ->
->5^2+8^2 = 89 e da questo punto in poi il ciclo si ripete.

Infatti:
Se un numero non è felice, la sequenza delle somme dei quadrati delle cifre non ha mai termine, perché si ripete ciclicamente da un certo punto in poi.

I primi numeri felici, inferiori a 100, sono 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100 e tra questi i numeri felici primi sono: 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97.

Un po' più felici dei numeri felici isolati, saranno due numeri felici vicini, o meglio consecutivi. Ad esempio 31 e 32.
I primi tre numeri felici consecutivi sono:
1880, 1881 e 1882.

E i primi cinque numeri felici consecutivi sono:
44488, 44489, 44490, 44491 e 44492.

Io vi ho citato Pitagora, ma ancor di più ci dicono questi versi:

Il cielo raggiunta l’unità diventa chiaro
la terra raggiunta l’unità diventa tranquilla
lo spirito raggiunta l’unità diventa potente
la valle raggiunta l’unità diventa piena
gli esseri raggiunta l’unità diventano viventi

Laotse

E' la soluzione del taoismo al problema della felicità. "È una soluzione che dipende soprattutto dal raggiungimento dell'unità ..."
I versi di Laotse o Lao tzu (o Lao tze) li ho trovati su questa pagina dove si parla dei numeri felici.
Qui, per ulteriori approfondimenti.

E infine, poteva mancare?
I numeri felici in Excel. La pagina è in inglese ma, se ho capito io... :-)
Ci sono dei file da scaricare.
Qui sotto un'immagine del file Happy Numbers

con la sequenza delle somme dei quadrati delle cifre, per i numeri da 1 a 200.
E qui, l'immagine del file Happy_Numbers_coloured.xls

dove, mediante formattazione condizionale, è stata evidenziata la sequenza delle somme dei quadrati delle cifre, fino ad arrivare al valore 1 nel caso dei numeri felici o fino al suo primo ciclo, nel caso dei numeri non felici.