Relazioni lato - perimetro e area di un quadrato

Avviandoci al concetto di funzione ...

in seconda abbiamo studiato come variano il perimetro e l’area di un quadrato in funzione del lato

Maria Chiara ha realizzato i grafici in Excel.

Relazione lato-perimetro:

Relazione lato-Area: Abbiamo visualizzato anche le linee di tendenza con le equazioni delle curve.

Si può scaricare il file (.xlsx)

Gabriele e Letizia hanno eseguito il lavoro su GeoGebra. Abbiamo usato per la prima volta il foglio di calcolo del programma. Clic sulle immagini

e

Ok, ragazzi.

Bè, guardatevi anche l’applet QUI

E QUESTA è attinente.

La nostra soluzione del problema del quarto di cerchio

Il problema era questo

E’ stata davvero un’interessante attività.

Ha richiesto diversi incoraggiamenti è vero (ma in questo sta il vero interesse!). Tra un’ipotesi esatta e una errata … siamo giunti a una conclusione.

Riportiamo la figura. Si tratta di riconoscere che la porzione rossa e quella blu della figura hanno la stessa area. Il settore circolare AOB è equivalente a  $\frac{ 1 }{ 4} $ del cerchio c.
I due semicerchi gialli sono equivalenti ciascuno a  $\frac{ 1 }{8 }$ del cerchio c:  presi assieme formano un cerchio che equivale a $\frac{ 1 }{ 4}$ del cerchio c. Questo perché  il raggio del cerchio giallo è pari alla metà del raggio del cerchio c.
Dunque il cerchio giallo e il settore circolare rosso sono equivalenti.
Ma non congruenti perché hanno diversa forma.
Nei due semicerchi gialli sono costruiti due rispettivi segmenti circolari (le parti blu). Questi, disponendo il cerchio giallo all'interno del settore rosso, sono equivalenti ai segmenti circolari gialli che restano fuori dal settore rosso. (come si potrà visualizzare nell’applet geogebra… vedi sotto)
I due segmenti circolari blu sono quindi equivalenti alla porzione rossa di settore, che resta visibile.

Abbiamo realizzato tutti insieme, per ora in maniera semplificata, la dimostrazione con geogebra.

Io avevo anticipato la costruzione un po’ più elaborata (vista dai ragazzi naturalmente solo dopo le attività). Clic sull’immagine per aprire l’applet.

Ancora un GRAZIE dunque al prof. Daniele: con questa attività abbiamo imparato molto! Sul suo blog abbiamo lasciato il nostro commento.

Ps: devo un GRAZIE  anche alla mia amica Renata per un suggerimento nella costruzione dell’animazione :-)

Sui cerchi e dintorni ...

Ecco il bel problemino “intorno al cerchio…” promesso all’amico Popinga! :-)

Letto in questi giorni nel nuovo Pi greco quadro del prof. Daniele Gouthier.  Caldamente raccomando la lettura del blog. In particolare ai colleghi docenti e agli studenti!

Pi greco quadro » Archives » Un classico problema via kwout

Noi dobbiamo ancora discutere in classe il problema, andremo poi a commentare dal prof. Daniele.

Grazie, prof. Daniele! :-)

Relazione tra raggio e area del cerchio

Ragazzi,

va bene, va bene, la relazione tra lato e area del quadrato era troppo facile …

Quindi anche quella tra il raggio di un cerchio e la sua area non presenta segreti!

Per pura formalità vi propongo ugualmente il geogebra per osservare ... Clic:

Relazione tra lato e area del quadrato

Ragazzi,

nell’attesa di approfondire il discorso sulle figure simili e anche sulle funzioni matematiche …

studiamo con geogebra come varia l’area di un quadrato al variare del lato. Clic sulla figura per aprire l’applet interattivo.Osservate attentamente e rispondete alla domanda… 

[Attività laboratoriale] Curve di evaporazione e di solidificazione

Parlando di grandezze direttamente e inversamente proporzionali e loro "leggi",
ci si è avviati naturalmente al concetto di funzione. Le "leggi" che regolano le proporzionalità non sono altro che funzioni matematiche.
Abbiamo quindi distinto le funzioni matematiche dalle funzioni empiriche.

Possiamo utilizzare ora le nostre conoscenze in un'attività di laboratorio di Scienze, mediante la raccolta e l'elaborazione in un grafico, dei dati relativi ad alcuni esperimenti.

Curve di evaporazione e di solidificazione

Materiale necessario
Becco Bunsen o un fornellino elettrico;
se si usa il bunsen, è necessario un treppiede e una reticella frangifiamma.
Becher, ossia un bicchierone di vetro resistente alle alte temperature (pirex); se non si dispone del becher, basta un pentolino.
Termometro tarato in modo da misurare temperature comprese almeno tra 0°C e 120 °C.
Pinza di legno,
provetta pirex a pareti robuste,
batuffoli di cotone,
carta millimetrata, carta quadrettata, biro;
orologio con la lancetta dei secondi,
acqua distillata,
sale da cucina,
naftalina (o paradiclorobenzolo, che è un altro comune antitarmico),
piccolo mortaio.

In questo primo post descriveremo il primo di quattro diversi esperimenti.

Curva di evaporazione dell'acqua

Preparazione delle tabelle di raccolta dati.
Gli esperimenti consistono nel misurare come varia nel tempo la temperatura di un certo corpo (sottoposto a riscaldamento o raffreddamento) e contemporaneamente nell'osservare che cosa succede relativamente allo stato del corpo: è liquido? È solido? È in parte liquido e in parte solido? E aeriforme? Lo è in parte?
Per ciascun esperimento conviene preparare su un foglio una tabella come la seguente:
La colonna del tempo va riempita fin dall'inizio. Per l'esperimento di vaporizzazione dell'acqua vanno bene intervalli da 30 secondi.
La colonna della temperatura andrà riempita durante l'esperimento.
Anche la colonna delle osservazioni va riempita durante l'esperimento. Tutti osservano e lo scrivano riporta quanto gli viene segnalato a proposito dello stato della sostanza su cui si sperimenta.
Bisogna infatti prevedere dei ruoli ben precisi.
Ruoli.
Per ciascun esperimento occorre individuare:
un cronometrista: il suo ruolo è quello di guardare con attenzione l'orologio e dare un segnale al lettore (anche semplicemente un "via!") ogni 30 secondi (ogni 10 secondi, per l'esperimento di fusione della naftalina);
un lettore: il suo ruolo è quello di non perdere di vista nemmeno un attimo il livello al quale si trova la colonnina di mercurio del termometro; ogni volta che il cronometrista lancia il suo segnale, il lettore deve dire ad alta voce quale temperatura ha raggiunto il corpo che si sta osservando;
uno scrivano: il suo ruolo è quello di compilare la tabella durante l'esperimento, con le temperature annunciate dal lettore e con le osservazioni fatte dai compagni.
Gli altri compagni hanno il compito di osservare lo stato del corpo su cui si sta sperimentando e di riferire, educatamente, i loro commenti allo scrivano.

Preparazione ed esecuzione dell'esperimento
Se si usa un fornellino elettrico, si accende e si lascia portare a temperatura.
Se si usa il bunsen, si prepara il treppiede con la reticella frangifiamma.
Si sistema la pinza di legno, eventualmente utilizzando un batuffolo di cotone, in modo tale che sostenga il termometro.
Si riempe il becher circa a metà di acqua distillata, si inserisce il termometro e si pone sopra alla fonte di calore.
Quando tutti sono pronti il cronometrista inizierà a dare il tempo e lo scrivano a segnare le temperature rilevate dal lettore.
Si procede fino a qualche minuto dopo che l'acqua inizia a bollire vivacemente.
Attenzione: osservare quando l'acqua inizia a bollire e prendere nota accuratamente ...!

Grafico
Con i dati raccolti nella tabella si costruisca il grafico: è la curva di riscaldamento-evaporazione-ebollizione dell'acqua.
Si può utilizzare la carta millimetrata o riportare la tabella dati su Excel e realizzare il grafico con il software.
Sull'asse delle ascisse (x) si riportano i tempi (in sec), su quello delle ordinate (y) le temperature (in °C).
Osservate poi:
Che tipo di andamento ha il grafico (crescente, decrescente, costante)?
Tutti i punti sono uniti da un'unica retta?
Mettete in relazione il grafico con le osservazioni riportate nella tabella di raccolta dati e poi proseguite con altre riflessioni.
Osservando la tabella dati e il grafico, rispondete alle domande:
A quale temperatura bolle l'acqua?
Che cosa succede alla temperatura quando l'acqua bolle?
Fare delle misurazioni, descrivere cioè la realtà attraverso i numeri, ossia in modo quantitativo, permette di descrivere con precisione quello che vediamo e anche di scoprire qualcosa in più sui cambiamenti di stato della materia.

La foto ... consapevolezza e padronanza di concetti.

Ciao ragazzi,
mi sembra interessante integrare l'articolo La Foto di Giuseppina, per ribadire ancora qualche concetto che nello svolgimento dell'attività si è rivelato (forse inaspettatamente) un po' difficile da interiorizzare!
Il lavoro ci è servito a consolidare abilità specifiche, a sviluppare capacità di utilizzare le stesse in situazioni reali (competenze --> la vita).
Riepiloghiamo i risultati positivi:

• corretto utilizzo dei concetti di rapporto, proporzione, riduzione in scala, proporzionalità;
• consapevolezza della necessità di un riferimento concreto nella foto (oggetto da poter misurare realmente).

E le difficoltà incontrate:

• errata interpretazione delle proprietà dei rapporti e della legge di proporzionalità;
• scorretta impostazione di proporzioni;
• scarsa consapevolezza nel distinguere le funzioni di tipo empirico da quelle matematiche.

Avete faticato un po' nell'intuire la necessità di un riferimento ad un oggetto presente nella foto, tuttora esistente, quindi la necessità del rapporto di riduzione in scala.

E' stato utile ripensare ad un'attività da voi svolta con l'insegnante di Ed. Tecnica: realizzazione della pianta della classe. Avete misurato la cattedra, il banco ecc… "nella realtà", poi ridotto in scala tutti gli oggetti secondo il rapporto indicato dall'insegnante.
Abbiamo considerato che il vostro foglio da disegno, nel nostro problema, non era altro che ... la foto! E quindi il problema diventa: "dal disegno, come "tornare" alle misure reali?" Naturalmente sapevate farlo usando il rapporto di riduzione indicatovi dall'insegnante. Nel nostro problema non si conosce però il fattore di riduzione. Ma... Giuseppina ha pensato di misurare l'altezza del muretto nella foto e nella realtà...!
E poi, vi siete resi conto: in molti di voi c'è stata la tendenza a considerare l'altezza variabile in maniera proporzionale all'età.
E' bastato ricordarvi che abbiamo studiato le funzioni empiriche… ed ecco allora: "Aaaah! L'altezza non cresce in maniera direttamente proporzionale agli anni!" E anche: "Non si può calcolare con una formula matematica, a tavolino!" Già...! :-)
E infine qualcuno di voi ha proposto la soluzione, rapportando le differenze di altezze e le differenze di anni...: problema più complesso ma, ottima questa occasione!
Abbiamo ribadito il concetto di rapporto come quoziente, come frazione, quindi esso gode della proprietà invariantiva della divisione. Abbiamo ancora esaminato semplici casi di proporzionalità diretta...
Se si ha la proporzione: 6:2=12:4 il 6 e il 2 diventano rispettivamente 12 e 4 moltiplicandoli per lo stesso valore e non aggiungendo o togliendo da essi lo stesso valore! "Stiamo crescendo: dobbiamo superare il più immediato ragionamento additivo per passare a quello moltiplicativo!"
Infine... occhio alla matematica nella realtà! ;-)

prof. Arcadu

La proporzionalità

In questo periodo, noi della III (A), siamo molto impegnati con la preparazione dell'esame di licenza. Non vogliamo tuttavia far mancare i nostri contributi! Peccato che il nostro blog sia nato solo adesso e noi stiamo per ... volare agli studi superiori!
Io (Francesca) vi voglio mostrare un mio lavoro su Excel sulla proporzionalità diretta e inversa.
Ecco le immagini dei grafici

ma potete scaricare il lavoro completo cliccando qui . Ehi, vi divertirete: è un lavoro interattivo! :-)

by Francesca