Espressioni con razionali relativi su Geogebra

Risolte da:

Erica. Che ha ben utilizzato il LaTex

Clic sull’immagine per aprire l’applet e seguire i passi della risoluzione.

[In LaTex non è agevole visualizzare le semplificazioni delle frazioni. Con il comando \not il segno di semplificazione appare sulla sola prima cifra dei numeri]

Gabriele. Ancora bene con La Tex!

Sulle frazioni

Ragazzi della prima,

Come d’accordo vi segnalo alcuni materiali, per ripassare, consolidare, approfondire.

Non dovete fare tutto in una volta ma, tenere presente questo post!

Da Maestra Renata,

una bella mappa riassuntiva. Fate clic su immagine e leggete le indicazioni di maestra Renata

In particolare, esercitatevi con le Frazioni sulla linea dei numeri. Clic su img

Giocate un po’ anche con quest’altra applet geogebra. Troppo bella! Clic

 

Per quanto riguarda il calcolo con le frazioni, fate clic sull’immagine qui sotto

Di seguito le immagini di ciò che troverete. Tanto materiale. Vi spiegherò come utilizzare per il ripasso estivo o pre-riapertura scuola!

Da subito però:

Nella sezione Eserciziari risolti e schede operative, cliccate su Espressioni con le frazioni con addizioni e sottrazioni. Con il destro per salvare subito, oppure aprite e poi salvate sul vostro pc, un PDF - Raccolta di espressioni.

- Non mi dispiace se cliccate anche sulle Etichette di questo post!

Espressioni con i numeri razionali (con Geogebra)

1° post 2011: utility!

“Calcolare frazioni, Come si calcolano le frazioni, Regole espressioni con frazioni, Numeri periodici in frazioni...” :

Sono chiavi di ricerca piuttosto ricorrenti!

E inoltre, non possiamo negare che anche noi abbiamo a volte qualche problema nella risoluzione delle espressioni con le frazioni!

Ecco dunque un primo semplice esempio che illustra

• la trasformazione di un numero decimale limitato e illimitato periodico nella corrispondente frazione
• il calcolo del valore dell’espressione

Un clic sull’immagine per eventualmente ingrandire

Un secondo esempio per ricordare anche l’elevamento a potenza di una frazione.

L’espressione è risolta su GeoGebra con l’uso del LaTex.

Clic per aprire l’applet, doppio clic per aprire la finestra dell’applicazione e salvare

... le frazioni!

Operare

con le frazioni.

Sull’applet geogebra dovete completare le figure e descrivere ciò che l’attività rappresenta. Vi serviranno gli strumenti Nuovo punto e Inserisci testo.

Clic su immagine

Schede ripasso: calcolo con frazioni

Il calcolo con le frazioni, meglio dire con i numeri razionali, è anch'esso una "chiave di ricerca" frequente. Ma, ragazzi di II, direi proprio: vale anche per voi!:-)
Si possono rivedere le spiegazioni nel link indicato, QUI, QUI e QUI.
Propongo delle schede di esercizi direttamente da un "libro delle vacanze" - Il capitello edizioni (che suggerisco, ripassare divertendosi!)
Ingrandire le immagini e stampare

Addizione e sottrazione

E un divertente Colora spazi

In una prossima scheda, l'elevamento a potenza.

Per esercitarsi con il calcolo con le frazioni, aggiungo un'altra segnalazione. Clic sulla figura, si può scaricare il file Excel dal sito di Daniel Mentrard

E' possibile controllare le soluzioni degli esercizi.
Sarebbe possibile! Come si legge, il file è in lingua francese (le cifre e i simboli delle operazioni... come i nostri, eh! :-)) e sono utilizzate le formule di Excel per il calcolo del Massimo Comune Divisore e del minimo comune multiplo, appunto in lingua francese.
- Per il MCD, la formula in francese è: =PGCD(num1; num2)
PGCD sta per: plus grand commun diviseur (il più grande divisore comune)
- Per il mcm: =PPCM(num1;num2)
PPCM sta per: plus petit commun multiple (il più piccolo multiplo comune)
Come vedete le denominazioni in francese ci aiutano perfino ... a non equivocare!
Che vi dico di solito? O meglio, cosa succede a volte con quel "mcm", quel termine "minimo" all'inizio? quante volte ci fa "sparare" il più piccolo dei numeri dati? Mentre stiamo cercando un multiplo! :-) Dunque, in francese: le plus petit commun multiple!
Ah, per verificare le soluzioni nel file segnalato:
nella colonna Solutions se cliccate su Afficher appaiono nelle celle dei simboli cancelletto, poiché il nostro Excel in italiano non riconosce le funzioni.
Clic sulla cella e nella barra della formula sostituire la scritta PGCD con MCD e
e la scritta PPCM con mcm.
Poi premere il tasto F9 per aggiornare i dati.

Potenze di frazioni. L'elevamento a potenza con le frazioni

Stavolta hanno scritto in tanti!
Nicola, Alessandra, Laura, Federico, Delia, Irene, Cristina hanno scritto i loro articoli. La classe li ha letti, commentati e unificati in un lavoro a più mani.

Lezione sull’operazione di elevamento a potenza di frazioni

L’operazione la conosciamo già, con i numeri naturali: si moltiplica la base per se stessa tante volte quanto mi dice l'esponente.
La prof scrive alla lavagna
(3/4)^2
3^2/4
3/4^2
ci chiede se notiamo una differenza fra queste diverse scritture.
La lezione comincia vivace e noi collaboriamo.
Queste tre scritture sono diverse perché nella prima, dove uso le parentesi, l’esponente è “associato” sia al numeratore che al denominatore, nella seconda l’esponente riguarda solo il numeratore, e nella terza l’esponente è del denominatore.
Quindi per elevare a potenza una frazione è valido il primo esempio, cioè devo metterla dentro parentesi.
La base della potenza è una frazione, è un numero (razionale).
Detto questo noi abbiamo dato subito il risultato dell’operazione di elevamento a potenza:
(3/4)^2 = 9/16 questo lo abbiamo intuito.
La prof ci spinge a dimostrarlo, e quindi scriviamo per esteso:
(3/4) ^2 = 3/4 * 3/4 = 9/16
Per fare questo ci siamo serviti della definizione di elevamento a potenza.

Potenze un po' particolari

Le stesse che conosciamo con i numeri naturali
(2/3)^0 =1
Questo perché qualsiasi numero con esponente 0 è uguale ad uno.

(3/8)^1 = 3/8
Questo perché qualsiasi numero elevato uno dà se stesso.

Operazioni con le potenze di frazioni

In taluni casi usiamo le proprietà delle potenze (ce le siamo ricordate noi, la prof era contenta!)
Moltiplicazione
L’esempio che ci propone la prof è:
(2/3)^3 * (2/3) =
Noi risolviamo subito
= (2/3)^4
ricordando: = (2/3)^(3+1) Si sommano gli esponenti
La prof dimostra che è soddisfatta. Ci fa dire anche il perché della soluzione:
qualsiasi numero apparentemente senza esponente, ha nascosto l’esponente 1 (la prof dice: "bravi". Perché non ci siamo fatti trarre in inganno...!)
Il prodotto tra due potenze con ugual base ed esponente diverso è uguale a una potenza con la base uguale e per esponente la somma tra gli esponenti.

Ora ci propone un altro caso di moltiplicazione con base uguale:
(8/11)^6 * (8/11)^0
Siccome qualsiasi numero elevato zero è uguale a uno mi basta fare (8/11)^6 * 1 = (8/11)^6
So che l’1 è l’elemento neutro della moltiplicazione, quindi il risultato non varia.

Quando ho base diversa devo avere esponente uguale per applicare le proprietà.
Es: (2/3)^3 * (3/4)^3 = (2/3*3/4)^3= (1/1*1/2)^3=(1/2)^3
In questo caso mi devo fare la moltiplicazione tra basi, nel modo di sempre, tenendo sempre lo stesso esponente.

Divisione
(2/7)^4 : (2/7)^2 = (2/7)^2 perché = (2/7)^(4-2)
Se per le moltiplicazioni si addiziona per le divisioni, che sono le inverse, si sottraggono gli esponenti.
Il quoziente tra due potenze con la stessa base ed esponente diverso è uguale a una potenza con la stessa base e per esponente la differenza tra gli esponenti.
Poi la prof ci propone:
(8/13)^5 : (8/13)^0 = (8/13)^5
Considerato che qualsiasi numero elevato 0 dà 1, quindi faccio la divisione tra (8/13)^5 e 1, mi da sempre (8/13)^5 , perché qualsiasi numero diviso per 1, da come quoziente se stesso.
(9/11)^3: (9/11)^3=1
Non ho bisogno di sottrarre gli esponenti perché ogni numero diviso per se stesso è uguale a 1 e (9/11)^3 è un numero!

Fino a questo punto noi ce la siamo cavata abbastanza bene, rispondendo alle domande.
La prof ci ha dovuto aiutare di più nel caso in cui dalla divisione otteniamo l’esponente negativo.
Cioè quando il primo esponente è più piccolo del secondo:
(2/3)^2:(2/3)^4 =(2/3)^-2=
Abbiamo ricordato le potenze negative di 10 tipo 10^-1 che vuol dire un decimo, 1/10, quindi del 10 scrivo l'inverso, 1/10, e l'esponente è positivo (1 sottinteso).
Perciò:
(2/3)^-2 = (3/2)^2.

Potenza di potenza
(non ci ricordavamo questo caso, la prof ha dovuto insistere... Irene poi si è ricordata)
Es. con numeri naturali:
(8^2)^3 = 8^2* 8^2 * 8^2 = 8^6
con frazioni:
[(8/7)^2]^3 =
In questo caso la base è composta da: (8/7)^2, quindi:
[(8/7)^2]^3 =(8/7)^2*(8/7)^2*(8/7)^2=(8/7)^6
Nelle potenze di potenze bisogna moltiplicare i due esponenti, tenendo la stessa base.
Ultima cosa: le proprietà si possono usare solo nelle moltiplicazioni e divisioni e solo nei casi che abbiamo descritto. In tutti gli altri casi bisogna sviluppare la potenza, cioè ottenere il risultato e poi eseguire le operazioni.

La II A

E bravi i miei monelli di seconda! :-)

Incognite nella divisione con frazioni!

Poi la prof ci ha proposto ...
di usare l’operazione di divisione per esercitarci con il calcolo (consapevolezza dice lei).
Per es. di una divisione con frazioni
conosco il risultato e il dividendo, devo scoprire il divisore:
3/4 : […] = 9/8
Per rispondere a questa domanda noi ci siamo serviti di un esempio con i numeri naturali perché ci veniva più facile: 18 : […] = 6
Come sappiamo dalla definizione di divisione, il quoziente per il divisore dà come risultato il dividendo:
6 * […] = 18
Perciò 18 : 6 = 3 = è il divisore sconosciuto.

Quindi anche con i numeri razionali vale lo stesso procedimento: devo dividere il dividendo per il quoziente
3/4 : 9/8 che risolvo normalmente: 3/4 * 8/9 = 2/3 è il divisore sconosciuto

Federico e Nicola II A

Il calcolo con le frazioni_2

Abbiamo visto come si eseguono l'addizione e la sottrazione con le frazioni (numeri razionali).
Alessandra, Laura e Irene, con la partecipazione di tutta la classe, "spiegano" la moltiplicazione e la divisione.

La moltiplicazione con frazioni

Se dobbiamo moltiplicare una frazione per un numero intero, è semplice:
2/5 * 3
la moltiplicazione è una addizione ripetuta con addendi tutti uguali, quindi nell'esempio dobbiamo addizionare 3 volte 2/5 :
2/5 + 2/5 + 2/5 = (2+2+2)/5 = (2*3)/5 = 6/5
quindi 2/5 * 3 = 6/5
Perciò per moltiplicare una frazione per un numero intero basta moltiplicare il numeratore della frazione per il numero, il denominatore resta invariato.

Se dobbiamo moltiplicare tra loro due frazioni, es:
1/3 * 2*5
Immaginiamo di avere un rettangolo che ha la base che misura 1/3 (dell'unità di lunghezza u) e l'altezza che misura 2/5 (dell'unità di lunghezza u)
Guardiamo la figura

Il rettangolo che ha le dimensioni di 1/3 e 2/5 equivale ai 2/15 del quadrato con il lato uguale all'unità di lunghezza u
Quindi per moltiplicare due frazioni basta moltiplicare fra loro sia i numeratori che i denominatori.
Quando eseguiamo i calcoli è meglio semplificare dapprima le frazioni. I numeratori si possono semplificare con i denominatori anche "a croce": numeratore di una frazione con denominatore dell'altra. Es:
10/15 * 9/8

Ho semplificato prima il 10 con l'8, dividendo entrambi per 2, il 9 con il 15 dividendo entrambi per 3, poi ho semplificato il 5 con il 5. Ho poi moltiplicato fra loro i numeratori rimasti e anche i denominatori.

La divisione con frazioni

Per poter eseguire la divisione, bisogna saper fare la moltiplicazione!
Infatti mi servo della moltiplicazione.
Iniziamo con un esempio partendo sempre con frazioni primitive:
3/7 : 5/14
Poiché la divisione è l’inversa della moltiplicazione, si deve moltiplicare per l’inverso.
3/7 : 5/14 = 3/7 * 14/5
Quindi, dopo l’uguale ho riscritto 3/7 (dividendo) e ho cambiato il : col suo segno inverso (*), e la frazione-divisore l’ho cambiata con la sua inversa.
Ora sviluppo l’operazione: la divisione ormai diventata moltiplicazione, la risolvo con il procedimento “classico” della moltiplicazione
3/7 * 14/5 =
semplificando il 14 con il 7, diventa
3/1 * 2/5 = 6/5
La divisione con frazioni si esegue quindi moltiplicando il primo termine (dividendo) per l'inverso del secondo temine (divisore).
Importante: abbiamo verificato che la divisione è un'operazione interna all'insieme Q! Infatti si può sempre fare restando in Q: il risultato è sempre un elemento di Q.

Alessandra, Irene e Laura
... e la II A

Il calcolo con le frazioni

Eseguiamo le operazioni con le frazioni perché esse sono, oltre che operatori su grandezze, anche dei numeri. Sono i numeri razionali.
Sì, non i naturali, quelli non bastavano più!
Quando l’uomo si è trovato a dover risolvere certe divisioni, quelle non fattibili in N, insieme dei numeri naturali, (si dice non interne ad N) si è dovuto inventare l’insieme Q (insieme dei numeri razionali). Più precisamente, ricordiamo che per numero razionale si intende una classe di equivalenza che è: l’insieme delle infinite frazioni equivalenti ad una frazione primitiva.
Vediamo le più semplici operazioni con frazioni, l’addizione e la sottrazione.
Un esempio:
2/3 + 5/3 + 4/3 = 11/3.
In questo caso mi è venuto molto facile perché dovevo addizionare sempre dei terzi, aggiungere sempre la stessa unità frazionaria che è 1/3, cioè sommare unità frazionarie omogenee, come si fa con le grandezze omogenee (solo fra grandezze omogenee si può operare, fare calcoli).
Quando invece dobbiamo eseguire un addizione con diverse unità frazionarie come sarà il procedimento?
Facciamo un esempio:
2/3 + 5/4 + 7/2
So che posso sommare solo unità frazionarie uguali, quindi devo avere uguali i denominatori. Questo con le frazioni è possibilissimo. Abbiamo uno strumento: riduzione al minimo comune denominatore. Lo abbiamo usato tante volte, per es. per confrontare frazioni.
Cerco il m.c.m. (il minimo comune multiplo) fra i denominatori, che in questo caso è 12 e lavoro così:
2/3 + 5/4 + 7/2 =
8/12 + 15/12 + 42 /12 = 65/12 (sul quaderno anziché scrivere il 12 per quanti addendi sono presenti, lo scrivo una volta sola sotto un’unica linea di frazione).
Come avete potuto vedere anche i numeratori sono cambiati, perché abbiamo seguito la regola dell’invariantiva, che è la proprietà della divisione, che ci permette di trovare frazioni equivalenti.

Cioè se il 3 per diventare 12 è stato moltiplicato per 4, anche il 2 a sua volta deve essere moltiplicato per 4, per questo è diventato 8. Così è stato anche per il 5 ed il 7. Per le sottrazioni si usa lo stesso procedimento.

dalla bozza di Laura,

la II A