mercoledì 14 novembre 2007

Potenze di frazioni. L'elevamento a potenza con le frazioni

Stavolta hanno scritto in tanti!
Nicola, Alessandra, Laura, Federico, Delia, Irene, Cristina hanno scritto i loro articoli. La classe li ha letti, commentati e unificati in un lavoro a più mani.

Lezione sull’operazione di elevamento a potenza di frazioni
L’operazione la conosciamo già, con i numeri naturali: si moltiplica la base per se stessa tante volte quanto mi dice l'esponente.
La prof scrive alla lavagna
(3/4)^2
3^2/4
3/4^2

ci chiede se notiamo una differenza fra queste diverse scritture.
La lezione comincia vivace e noi collaboriamo.
Queste tre scritture sono diverse perché nella prima, dove uso le parentesi, l’esponente è “associato” sia al numeratore che al denominatore, nella seconda l’esponente riguarda solo il numeratore, e nella terza l’esponente è del denominatore.
Quindi per elevare a potenza una frazione è valido il primo esempio, cioè devo metterla dentro parentesi.
La base della potenza è una frazione
, è un numero (razionale).

Detto questo noi abbiamo dato subito il risultato dell’operazione di elevamento a potenza:
(3/4)^2 = 9/16 questo lo abbiamo intuito.
La prof ci spinge a dimostrarlo, e quindi scriviamo per esteso:
(3/4) ^2 = 3/4 * 3/4 = 9/16
Per fare questo ci siamo serviti della definizione di elevamento a potenza.

Potenze un po' particolari
Le stesse che conosciamo con i numeri naturali
(2/3)^0 =1
Questo perché qualsiasi numero con esponente 0 è uguale ad uno.

(3/8)^1 = 3/8
Questo perché qualsiasi numero elevato uno dà se stesso.

Operazioni con le potenze di frazioni

In taluni casi usiamo le proprietà delle potenze (ce le siamo ricordate noi, la prof era contenta!)
Moltiplicazione
L’esempio che ci propone la prof è:
(2/3)^3 * (2/3) =
Noi risolviamo subito
= (2/3)^4
ricordando: = (2/3)^(3+1) Si sommano gli esponenti
La prof dimostra che è soddisfatta. Ci fa dire anche il perché della soluzione:
qualsiasi numero apparentemente senza esponente, ha nascosto l’esponente 1 (la prof dice: "bravi". Perché non ci siamo fatti trarre in inganno...!)
Il prodotto tra due potenze con ugual base ed esponente diverso è uguale a una potenza con la base uguale e per esponente la somma tra gli esponenti.

Ora ci propone un altro caso di moltiplicazione con base uguale:
(8/11)^6 * (8/11)^0
Siccome qualsiasi numero elevato zero è uguale a uno mi basta fare (8/11)^6 * 1 = (8/11)^6
So che l’1 è l’elemento neutro della moltiplicazione, quindi il risultato non varia.

Quando ho base diversa devo avere esponente uguale per applicare le proprietà.
Es: (2/3)^3 * (3/4)^3 = (2/3*3/4)^3= (1/1*1/2)^3=(1/2)^3
In questo caso mi devo fare la moltiplicazione tra basi, nel modo di sempre, tenendo sempre lo stesso esponente.

Divisione
(2/7)^4 : (2/7)^2 = (2/7)^2 perché = (2/7)^(4-2)
Se per le moltiplicazioni si addiziona per le divisioni, che sono le inverse, si sottraggono gli esponenti.
Il quoziente tra due potenze con la stessa base ed esponente diverso è uguale a una potenza con la stessa base e per esponente la differenza tra gli esponenti.
Poi la prof ci propone:
(8/13)^5 : (8/13)^0 = (8/13)^5
Considerato che qualsiasi numero elevato 0 dà 1, quindi faccio la divisione tra (8/13)^5 e 1, mi da sempre (8/13)^5 , perché qualsiasi numero diviso per 1, da come quoziente se stesso.
(9/11)^3: (9/11)^3=1
Non ho bisogno di sottrarre gli esponenti perché ogni numero diviso per se stesso è uguale a 1 e (9/11)^3 è un numero!

Fino a questo punto noi ce la siamo cavata abbastanza bene, rispondendo alle domande.
La prof ci ha dovuto aiutare di più nel caso in cui dalla divisione otteniamo l’esponente negativo.
Cioè quando il primo esponente è più piccolo del secondo:
(2/3)^2:(2/3)^4 =(2/3)^-2=

Abbiamo ricordato le potenze negative di 10 tipo 10^-1 che vuol dire un decimo, 1/10, quindi del 10 scrivo l'inverso, 1/10, e l'esponente è positivo (1 sottinteso).
Perciò:

(2/3)^-2 = (3/2)^2.

Potenza di potenza
(non ci ricordavamo questo caso, la prof ha dovuto insistere... Irene poi si è ricordata)
Es. con numeri naturali:
(8^2)^3 = 8^2* 8^2 * 8^2 = 8^6
con frazioni:
[(8/7)^2]^3 =
In questo caso la base è composta da: (8/7)^2, quindi:
[(8/7)^2]^3 =(8/7)^2*(8/7)^2*(8/7)^2=(8/7)^6
Nelle potenze di potenze bisogna moltiplicare i due esponenti, tenendo la stessa base.
Ultima cosa:
le proprietà si possono usare solo nelle moltiplicazioni e divisioni e solo nei casi che abbiamo descritto. In tutti gli altri casi bisogna sviluppare la potenza, cioè ottenere il risultato e poi eseguire le operazioni.
La II A

E bravi i miei monelli di seconda! :-)

Articoli correlati per categorie



Stampa il post

29 commenti:

  1. Trovo che questo post sia espresso in maniera chiara, e ritengo possa essere utilizzato come strumento di studio o di ripasso

    RispondiElimina
  2. Ale,
    come dire: rileggendoci sul web, sono proprio soddisfatta ...di noi! :-) :-)
    e, un suggerimento a chi legge, vero?

    RispondiElimina
  3. scusami per l'OT, Giovanna: giacché siamo così vicine mi piacerebbe che il 12 dicembre tu potessi venire alla presentazione dei Baffi, alla Satta

    (ancora OT: non ho mai visto un blog così, come dire, matematico)

    Lina

    RispondiElimina
  4. Lina, (non preoccuparti per l'OT, questo è un blog didattico, pazienza...!)
    Grazie per l'invito.
    Mi piacerebbe eccome! Alla Satta a Nuoro vero?
    Ma proprio il 12 dicembre! Dovrei andare a Cagliari con la mia Preside per un seminario....
    Accidenti, io che mi muovo così poco. sarebbe stata una bella occasione!
    Comunque...come mai di mercoledì? Io avrei scuola mattina e pomeriggio!
    Ti faccio i miei carissimi auguri!
    aspetto con ansia l'arrivo del libro :-)
    g.

    RispondiElimina
  5. peccato: la biblioteca era impegnata per il venerdì e il giovedì
    sarà alla prossima occasione
    grazie

    RispondiElimina
  6. Grazie 1000 degli auguri Giovanna!
    Per me la matematica è sempre stata un'opinione, ragion di più per leggerti!
    E ti lnk pure ;-)

    RispondiElimina
  7. Grazie Massimiliano!
    dai dai leggici :-)
    puoi trovare qualche post di..magica matematica!
    Grazie per il link, lo faccio subito anche io, era previsto, stamane ero di fretta....:-)

    RispondiElimina
  8. Ciao
    mi sorge un dubbio...se io ho una frazione con due basi differenti ed anche esponenti diversi es:
    (3/4)^3 x (5/10)^8
    come la rislolvo?Trovadnomi il risultato della potenza?
    grazie :-)

    RispondiElimina
  9. Ciao Cami!
    Sì, se hai il tipo di moltiplicazione che descrivi, non puoi sfruttare le proprietà delle potenze, ma devi appunto svilupparle, cioè trovare i valori delle due potenze e poi moltiplicare.
    Come detto alla fine dell'articolo.
    Grazie per la visita al blog e per la domanda!
    p.s.Sei uno/a studente della scuola media? Se vuoi, facci sapere!:-)
    giovanna

    RispondiElimina
  10. Ciao ragazzi !!! sono nico frequrnto la seconda media e non mi ricordo come fare a risolvere questa operazione : ( 1/2)^4 -( 1/2)^4........... Ciao e grazie

    RispondiElimina
  11. Nico?
    ma, sei mica il "nostro" Nico??? :-)
    Comunque...
    rispondo alla tua domanda.
    Facendoti delle domande! :-)
    (1/2)^4 è un numero?
    Sì vero? Sviluppando la potenza avresti (1/2)^4=1/16 che è un numero, no? Ma non è necessario sviluppare, l'ho fatto solo per farti rendere conto. A volte le potenze, o le stesse frazioni...ci "spaventano" più del dovuto perché facciamo un po' di fatica a "vederle" come dei numeri, non essendo semplici numeri naturali...
    Dunque, appurato, e "accettato" che (1/2)^4 è un numero, la tua domanda diventa:
    a quanto è uguale la differenza fra un numero e se stesso?
    quanto fa: un numero meno se stesso?
    e ora è semplice dunque: è uguale a 0 (zero)!
    Nei casi in cui, invece, dovessi avere due numeri diversi, cioè due potenze diverse, devi svilupparle e poi eseguire la sottrazione di frazioni.
    Spero di averti aiutato!
    Se mi fai sapere mi fa piacere!:-)

    RispondiElimina
  12. grazie mi 6 stata di aiuto alla prossima

    RispondiElimina
  13. Scusate se ho lasciato in anonimo..non avevo letto la regolina:Non ci piace però comunicare con "anonimi". Vi preghiamo di firmare i vostri messaggi.
    Come fare:
    Cliccare su Nome/URL.
    Inserire il vostro nickname nel campo "nome".
    Lasciate vuoto il campo URL se non avete un blog/sito.
    SCUSATEMI!!!=(

    RispondiElimina
  14. Sara?
    non è arrivato il tuo "anonimo"!
    ciao!

    RispondiElimina
  15. Ah...ihihih...cmq piacere Giovanna!Sono Sara e frequenterò la 3 media.Vorrei kiederti se x favore sapresti dirmi il valore di queste 2 frazioni elevate alla potenza:
    (128/90)^2
    (3/4)^2
    GRAZIE 1000 GIOVANNA per la tua disponibilità!!!

    RispondiElimina
  16. Oh Sara,
    ma ...allora non ti abbiamo aiutato con il nostro post !?
    ahi ahi, mi sa che non hai letto, oppure non con attenzione!
    Su, dai, fa' lo sforzo, così sei un po' allenata per il rientro! :-)
    E' importante l'attenzione!
    Però ti do un suggerimento per il primo esercizio:
    prima di elevare a potenza potresti semplificare la frazione 128/90. Si può, vero?
    Tuttavia ho il sospetto che queste due potenze facciano parte di un esercizio più articolato... un'espressione?
    ciao!

    RispondiElimina
  17. Si hai indovinato..UN'ESPRESSIONE!Grz x il consiglio CIAO!

    RispondiElimina
  18. ah, bene!
    immagino dovrai usare le proprietà delle potenze! :-)

    RispondiElimina
  19. Ho notato ke metti spessissimo le faccine..ihih.se posso chiedertelo con tutto il rispetto ..quanti anni hai?=)

    RispondiElimina
  20. Sara, sei fortissima!
    Dunque, metto le faccine: sono giovane perciò, vero??
    eheh... quando si sta con i giovani si rimane giovani per sempre!
    per questo faccio l'insegnante!:-))

    RispondiElimina
  21. ciao, come posso risolvere questa frazione con la potenza.
    (5/8)^4:(5/8)^3+(1/2)^3
    come faccio a risolverla

    RispondiElimina
  22. Elisa, piccola..
    che classe fai?
    Non ti è stato d'aiuto il nostro articolo?
    Ok, va...
    la tua piccola espressione
    (5/8)^4:(5/8)^3+(1/2)^3
    contiene:
    una divisione fra due potenze che hanno uguale la base ed esponente diverso.
    Ricordi le proprietà delle potenze con i numeri naturali? Valgono anche con le frazioni!
    La tua base stavolta è una frazione, (5/8)
    Dunque, la base rimane la stessa e gli esponenti si sottraggono.
    Il risultato è (5/8)^1
    ma, sai forse che l'esponente 1 può *non indicarsi*, qualsiasi numero elevato 1 è = se stesso!
    Insomma in tutti i numeri c'è l'esponente 1 ma ..non si vede!
    Nella tua espressione devi aggiungere poi (1/2 )^3
    che devi *sviluppare*, cioè:
    si eleva a potenza sia il numeratore che il denominatore:
    (1/2)^3 = 1^3/2^3 = ???
    Tutto ok??
    Buon lavoro! :-)

    RispondiElimina
  23. Ecco un blog di aiuto sull'algebra di base.

    RispondiElimina
  24. ciao JuG
    blog giovane giovane vero?
    ok seguirò gli sviluppi. In bocca al lupo!

    RispondiElimina
  25. Grazie giovanna, sto studiando algebra dalle basi e ho deciso di condividerlo sulla rete.

    RispondiElimina
  26. Ciao sono Simone e ho una domanda da farvi, io ho una potenza di frazione con frazioni diverse ma esponenti uguali è questa:

    [(1/4)^4 x (3/2)^4 : (5/8)^4] non so che fare c'ho provato ma non capisco bene!

    RispondiElimina
  27. Simone,
    un esempio simile al tuo c'è anche sul post.
    Basi diverse (le frazioni sono le basi delle tue potenze), esponenti uguali:
    si esegue il calcolo richiesto (moltiplichi o dividi) fra le basi e
    l'esponente "fisso era, fisso rimane" :-)
    quindi:
    [(1/4) x (3/2) : (5/8)]^4

    ciao!

    RispondiElimina
  28. Mi è stato molto utile, grazie mille! :)

    RispondiElimina

I vostri commenti sono graditissimi, l'interazione è molto utile!
Non ci piace però comunicare con "anonimi". Vi preghiamo di firmare i vostri messaggi.
Come fare:
Cliccare su Nome/URL.
Inserire il vostro nickname nel campo "nome".
Lasciate vuoto il campo URL se non avete un blog/sito.

Grazie!