Punti notevoli del triangolo

Li abbiamo studiati utilizzando GeoGebra

Alessia ha raccolto i suoi lavori in un unico file usando lo slider (bene!). Ma anche altri hanno realizzato le singole costruzioni...

Ecco l’applet di Alessia. Clic su img

Se si vuol scaricare il file, QUI

Excentri del triangolo

Davide D.

ha costruito gli excentri del triangolo.

In questa applet spiega cos’è l’excentro e lo costruisce con riga e compasso. Ho semplificato un po’ la sua costruzione che risultava un po’ confusa.

Nella seconda applet la costruzione dei tre excentri

 

Bravo Davide!

Retta di Eulero

Davì

ha indagato sui punti notevoli del triangolo. E ha trovato ...

E’ spiegato sull’applet.

Ragazzi, anche Davì, ci sarebbe qualcosa ancora da scoprire. Guida e suggerimenti li trovate anch’essi sull’applet. Clic

Bravo, Davì!

Una relazione tra punti notevoli ... [Agg.: La retta di Eulero]

Ragazzi, II,

ho da proporvi ancora un’interessante attività sui punti notevoli del triangolo.

Osservate la figura sotto. Ho preso in considerazione solamente l’ortocentro, il baricentro e il circocentro. Potete intravedere perpendicolari, mediane e assi dei lati. Ma sapete fare la costruzione!

La domanda è: riuscite a scoprire una correlazione tra i 3 punti? Una caratteristica che li accomuna?

E anche: in che rapporto stanno le distanze tra i punti?

Sull’applet che andrete ad aprire, agite sui vertici del triangolo per modificarne la forma, osservate con attenzione i tre punti: cambiano le loro posizioni ma... c’è un’invariante! Utilizzate gli strumenti di GeoGebra, provate qualcosa!

Se proprio non doveste riuscire, vi darò degli indizi per la ricerca...

Ma ora cliic! Su, a sperimentare!

Se volete, comunicate nei commenti le vostre scoperte o solo eventuali osservazioni, considerazioni, richiesta di chiarimenti o quant'altro!

[Aggiornamento]

Ebbene, caro Marco, stamane attività in classe!

giacché nessuno aveva letto il post ...

Abbiamo lavorato tutti insieme direttamente su GeoGebra (con la LIM). Veronica, e Bachisio, aiutati un po’ da altri, hanno costruito l’ortocentro, il baricentro e il circocentro.

Abbiamo nascosto gli oggetti superflui ai fini dell’attività e lasciati in evidenza solo i tre punti.

Mio invito all’osservazione mentre si muovono i vertici del triangolo e se ne varia la forma: possiamo dire qualcosa sui tre punti?

Da più parti si mormora: sono allineati. Qualcuno è invitato a tacere per dare spazio ...

Letizia nota però che il baricentro è il punto che rimane sempre al centro, tra il circocentro e l’ortocentro (e naturalmente è l’unico punto sempre interno al triangolo, ma questo già si sapeva)

Si torna all’allineamento: Gabriele, Francesco (e altri) dicono che si può costruire la retta passante per i punti. Naturalmente bastano due punti per definire una retta e infatti lo strumento di Geogebra è Retta per due punti. Si decide di farla passare per l’ortocentro e il circocentro.

Questo forse rassicura... ma l’insegnante (“diabolica”, Marco) chiede: ma come faccio ad essere certa che anche il baricentro è un punto della stessa retta?

Oh, ma presto detto...

Letizia: ma c’è lo strumento.

- Cioè? (da noi mai stato utilizzato, lo sottolineo ...)

E’ Relazione tra due oggetti – ci dice Leti -

Ok, Letizia fa clic sul baricentro e sulla retta e:

e brava Leti!

Ma c’è ancora Erica, che ha notato dell’altro.

Che volevi dire Erica?

- Volevo dire che la distanza tra ortocentro e baricentro è doppia di quella tra baricentro e circocentro.

Io sto per guardare male Erica: ma questi qua mi rubano le domande!

Naturalmente sono invece felicissima e mi complimento con Erica per l’occhio! Misuriamo le due distanze con Geogebra e... Erica ha ragione! (in figura i tre punti sono indicati con la relativa legenda, i nomi dei punti sono diversi)

Ora io armeggio con un vertice del triangolo e...

Cosa cerco di fare, ragazzi?

- Vuole far coincidere i tre punti

E in quale caso i tre punti coincideranno?

- Quando il triangolo è equilatero.

riusciamo a ottenere uguali a zero le distanze:

ok, bravi...

Ma, ma ...io insisto:

Che mi dite però della retta nel caso del triangolo equilatero?

Qui occorre qualche minuto di riflessione in più, qualche osservazione - guida in più.

Francesco dice: la retta passa per tre punti ma sembra passare per un solo punto!

I tre punti ora coincidono, quindi passa per un unico punto.

Ragazzi, dovete utilizzare informazioni che già avete!

Dopo qualche istante, Letizia, senza scomporsi, come suo stile: per un punto passano infinite rette.

Benissimo! Dunque la retta (di Eulero) non è definita nel caso del triangolo equilatero.

Oh, ho scordato di dire che prima dell’osservazione sul triangolo equilatero, ho detto ai ragazzi che la correlazione tra i tre punti notevoli è stata studiata da un grande matematico del ‘700, svizzero, che voi conoscete bene, o se lo conoscete! (ma ai ragazzi non cito mica post e lavori... Solo in un secondo momento li ricordano loro)

Ebbene: Gabriele, trova che si tratta di Eulero.

E a Gabriele viene pure in mente che mentre cercava in rete sui punti notevoli, da qualche parte ha letto della retta di Eulero!

- Insomma ho rischiato anche stavolta che Gabri mi soffiasse la lezione! Ma uno stupendo rischio, no?

Punto di Fermat e ... punto di Gabri!

I punti notevoli del triangolo

sono proprio piaciuti!

Tanto che Gabriele (II) ha indagato per conto suo e in Rete ha scoperto il punto di Fermat.

Gabri scrive:

Fermat volle chiedere a Torricelli se era in grado di trovare un punto che rende minima (o minimizza) la somma delle distanze dai vertici di un triangolo qualsiasi.

Torricelli rispose: “bè, ma minimizza la distanza da ogni lato, no?”

- ah, rispose così?

Fatto sta che:

Il punto di Fermat (F) individua la distanza minima: se sommo la distanza da ogni vertice al punto di Fermat, rispetto a tutti gli altri punti all'interno del triangolo ottengo la somma minima.

Si ottiene costruendo in ogni lato del triangolo un triangolo equilatero, poi  traccio tre segmenti che uniscano ogni vertice del triangolo di partenza con il vertice del triangolo costruito sul lato opposto, per esempio A con A_1.

Una volta fatto questo i tre segmenti si incontrano in un punto: il punto di Fermat, che è anche il punto di intersezione delle tre circonferenze circoscritte ai tre triangoli equilateri.

Ecco l’immagine della costruzione:

Bene, Gabri! In classe abbiamo per ora verificato, misurando con geogebra, che il punto di Fermat minimizza la somma delle distanze dai tre vertici del triangolo.

Utilizzeremo il tuo lavoro per approfondire: dovremo dimostrare perché AA₁= BB₁= CC₁. Voi, chi può, cominciate ad osservare, attentamente, i triangoli ACA₁ e B₁CB ....

Ancora, sulla costruzione verificheremo le proprietà dei quadrilateri inscritti in una circonferenza. Osservate: AB₁CF, AFBC₁ e ...

Ma, ma... dicevamo nel titolo del post: c’è anche un punto di Gabri!

Sì, Gabriele ha voluto sperimentare. E ci dice:

Ho tracciato le perpendicolari ai lati AC e BC del triangolo ABC, passanti per i punti (vertici) A e C (lato AC) e B e C (lato BC) del triangolo.

Ho segnato i punti C, E, F, G, le intersezioni delle perpendicolari.

Con dei segmenti ho unito i punti C, E, F, G e ho ottenuto un parallelogramma.

Nel caso del triangolo isoscele il parallelogramma è un rombo.
Quando il triangolo è rettangolo con l' angolo retto sul vertice C si ottiene un rettangolo.
Quando invece il triangolo è rettangolo isoscele con l'angolo retto  sul vertice C, si ottiene un quadrato.

Il punto di incontro delle due diagonali del parallelogramma l’ho chiamato punto Gabri.

Osservando il caso dei triangoli rettangoli, ma con l’angolo retto su qualsiasi vertice, ho notato che il punto Gabri coincide con il circocentro del triangolo, perché cade sul punto medio dell’ipotenusa. Quindi ho tracciato la circonferenza circoscritta.

Perciò mi è venuto in mente che il mio punto potrebbe essere un altro modo per costruire il circocentro di un triangolo.

Clic sull’immagine per aprire l’applet GeoGebra con le costruzioni di Gabriele.

Punti notevoli del triangolo

Letizia (di II)

ha realizzato un bel lavoro con Geogebra sui punti notevoli di un triangolo. E’ stata brava, con le caselle di controllo permette di visualizzare alternativamente ortocentro, incentro, circocentro e baricentro di un triangolo.

Ma non solo. In seguito all’attività svolta in classe sul Cerchio dei nove punti, ha inserito anche gli excentri.

Un immagine dal lavoro di Leti. Clic per aprire l’applet.

[Aggiornamento]

Ed ecco, carine carine, le 4 circonferenze tangenti a un triangolo, di Erica.

Clic....

Il lampione

Ho proposto ai ragazzi una prova descritta nel

“Quadro di riferimento della matematica - Valutazione dei quindicenni” - OCSE-PISA 2003.

Esempio 1 - IL LAMPIONE
Il consiglio comunale ha deciso di mettere un lampione in un piccolo parco
triangolare in modo che l’intero parco sia illuminato. Dove dovrebbe essere
collocato il lampione?

Ecco una delle relazioni dei ragazzi (tutti hanno partecipato all’attività, hanno verbalizzato in molti, NON tutti!):

Oggi la prof ci ha proposto un problema che possiamo trovare anche nella vita quotidiana per farci capire la scuola è vita e che quello che facciamo a scuola non è inutile o fatto a caso.
Il problema è questo:

- un Comune deve collocare un lampione in una piazza a forma triangolare in modo che illumini tutte le parti della piazza nello stesso modo. Dove deve essere collocato il lampione?

La piazza non è “un triangolo equilatero” ma ha la forma di un triangolo qualsiasi.
La prima ipotesi è stata quella di mettere il lampione al centro della piazza e quindi la prof ci ha chiesto di trovare il centro della piazza.

Abbiamo disegnato un triangolo, Giammario ha detto che tracciando le bisettrici … (cioè dividere gli angoli in due parti uguali e segnare il punto d’intersezione)  ma Sara ha detto subito [“ma” io ho notato Gimmi ricredersi prima ancora che Sara intervenisse eh!] che il punto d’incontro delle bisettrici cioè l’incentro, è diversamente distante dagli angoli (o meglio dai vertici del triangolo).

La seconda ipotesi è stata quindi quella di tracciare gli assi di un triangolo e poi segnare il punto d’incontro cioè il circocentro. Il centro del triangolo è il circocentro, cioè  il  centro della circonferenza circoscritta. Il circocentro è equidistante dai vertici.

Ecco la costruzione con GeoGebra (In classe abbiamo lavorato alla lavagna, Anna Laura ha realizzato il geogebra. Clic per aprire l’applet)

Ma costruendo un triangolo qualsiasi, cioè anche ottusangolo, il lampione risulta fuori dalla piazza. Oppure se il triangolo è rettangolo, come ha ricordato Giammario e anche Giovanni Andrea, il lampione risulta nel punto medio dell’ipotenusa. In tutti i casi però è equidistante da ogni vertice del triangolo.

Il lampione essendo fuori dalla piazza, nella vita reale causerebbe dei problemi perché magari nel punto dove dovrebbe essere collocato c’è una strada o delle case o degli alberi, quindi anche trovando il centro perfetto si dovrebbe tener conto di tutti questi aspetti.

Con questa attività abbiamo capito meglio e ripassato tante proprietà. La prof ci ha citato alla fine della lezione una frase di Dante: “non può esistere un triangolo inscritto in un semicerchio che non sia rettangolo.”

Anna Laura non dice che la prof era soddisfatta della classe perché (in tanti) hanno saputo “utilizzare informazioni precedentemente acquisite”. Mica succede sempre! :-)

Link

Invalsi

Matematicamente

Incentro e circocentro dinamici con GeoGebra

Ancora sui punti notevoli del triangolo.
E' la volta dell'incentro e del circocentro.
Stamane abbiamo concluso l'attività con GeoGebra.
Clic per le proprietà dell'incentro

e quelle del circocentro

La II A

Ortocentro e baricentro dinamici su GeoGebra

Alessandra e Irene hanno costruito con GeoGebra (qui info), i punti notevoli del triangolo, ortocentro e baricentro.
L'ortocentro (clic)

Le proprietà delle mediane e del baricentro.
Clic: