La spirale ... da “riconoscere”

Ragazzi,
e ora la “sorpresa” fra le spirali equiangolari.
Osservate la figura

Ora non pensate all’angolo, alla suddivisione dell’angolo giro di cui abbiamo parlato finora.
Vi domando invece se la costruzione vi ricorda qualcosa...
Osservate in figura la serie di rettangoli. (La spirale passa però sui vertici di quadrati, voi concentratevi sui rettangoli) Mmh.. vi dice nulla? Pensateci un po’, su!
Ma se proprio avete il “vuoto”, sono certa che visualizzando l’animazione, riconoscerete ... !:-)

Verso l’infinitamente grande!

QUI, nella costruzione della spirale equiangolare, abbiamo visto la decrescita esponenziale, verso l’infinitamente piccolo ...

Viceversa...

Osservate l’immagine sotto.

Ancora dividendo l’angolo giro in 6 parti uguali, in angoli cioè di 60°, Si parte dal segmento AB

e si costruisce BC ⊥ (perpendicolare) AB;

si ha: AC = 2 AB; (angolo BAC = 60°)

si continua costruendo CD ⊥ AC;

si ha: AD = 4 AB; (angolo BAD = 120°)

e ancora:

DE ⊥ AD; si ha: AE = 8 AB; (angolo BAE= 180°)

e così di seguito.

Si può ben dire: verso l’infinitamente grande!

Si ha in questo caso una progressione geometrica di ragione 2. La progressione geometrica delle potenze di 2, che abbiamo visto nell’esempio.

E ancora, se

in generale  x = n° angoli e y = distanza da A,

si ha: y = 2^x

E’ la legge dell’accrescimento esponenziale, rappresentata sul piano cartesiano dal grafico qui sotto

Anche stavolta grafici ben diversi  per la stessa legge!

Ora clic per aprire l’applet geogebra.

   Possiamo costruire una spirale equiangolare anche partendo da un angolo più piccolo, per esempio da un angolo di 30°, suddividendo cioè l’angolo giro in 12 parti uguali.

Per il momento (riferito a quando ci lavoreremo su!) osservate l’immagine, più avanti potremo comprendere meglio la progressione geometrica che ritroviamo in questa spirale (di ragione (radice quadrata di 3 )/ 2):

 

Ma attenzione: questa spirale non è da confondere con quest’altra!

Eh, non vi avevo detto che avremmo confrontato diverse spirali?

La spirale equiangolare ha affascinato i più grandi scienziati del 1600: Cartesio (quello del sistema di riferimento cartesiano!), Galileo, Torricelli.

Il matematico svizzero Jakob Bernoulli (1654 – 1705) definì la curva “Spira mirabilis”, la spirale meravigliosa, disponendo che essa fosse scolpita sulla sua tomba, a Basilea, accanto alla frase “Eadem mutata resurgo”, ovvero “sebbene diversa, rinasco identica”. In onore al matematico la curva viene anche chiamata di Bernoulli.

Per quanto riguarda la pietra tombale sfortunatamente lo scultore sbagliò: incise una spirale uniforme, quella di Archimede!

E ... con le spirali equiangolari non è mica finita. Ci sarà pure una sorpresa!

Ah, le ritroviamo spesso in natura!

Guardate anche QUI le immagini ...

Queste attività sono sempre tratte da

Matematica nella Realtà

E. Castelnuovo, M. Barra

La spirale equiangolare

Ragazzi,

Avevo detto che avremmo confrontato curve spirali diverse.

La spirale di Archimede, ricordate (o ri-vedete), è ottenuta tracciando delle circonferenze in modo continuo, aumentando il raggio in modo proporzionale all'angolo percorso.

Un altro tipo di spirale può ottenersi dividendo l’angolo giro in 6 parti uguali, in angoli cioè di 60°. Osservate l’immagine (più sotto, ci sarà il link per l’applet):

Si parte dal segmento AB

e si costruisce BC ⊥ (perpendicolare) AC;

si ha: AC = 1/2 AB; (angolo BAC = 60°)

si continua costruendo CD ⊥ AD;

si ha: AD = 1/4 AB; (angolo BAD = 120°)

e ancora:

DE ⊥ AE; si ha: AE = 1/8 AB; (angolo BAE= 180°)

e così di seguito.

Si può ben dire: verso l’infinitamente piccolo!

In matematica si dice che si ha una progressione geometrica di ragione 1/2. [Qui sul blog abbiamo visto le progressioni aritmetiche, nelle quali la differenza fra qualsiasi termine ed il suo precedente è costante].

Si dice progressione geometrica (o per quoziente) una successione di numeri in cui è costante il quoziente fra un qualunque numero e il suo precedente.

Quindi, a partire da un termine iniziale (diverso da zero), ogni altro termine si ottiene moltiplicando il precedente sempre per uno stesso numero diverso da zero. Tale numero è detto ragione della progressione.

Es:

- La progressione geometrica delle potenze di 2:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, … ha termine iniziale 1 e ragione 2.

- La progressione geometrica delle potenze di 3:

1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, … ha termine iniziale 1 e ragione 3.

- La progressione geometrica delle potenze di 1/2:

1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256, ... ha termine iniziale 1 e ragione 1/2.

Quest’ultimo esempio è quello che si presenta nella nostra costruzione della spirale:

la lunghezza dei segmenti, a seconda dell’angolo descritto a partire da AB, in senso antiorario, varia via via in ragione di 1/2.

In generale se  x = n° angoli e y = distanza da A,

si ha: y = 1/2^x

E’ la legge della decrescita esponenziale, rappresentata sul piano cartesiano dal grafico:

Ancora una volta due grafici tanto diversi rappresentano la stessa legge!

Ora, per aprire l’applet geogebra, clic qui.

   Al prox post: verso l’infinitamente grande...