La spirale equiangolare

Ragazzi,

Avevo detto che avremmo confrontato curve spirali diverse.

La spirale di Archimede, ricordate (o ri-vedete), è ottenuta tracciando delle circonferenze in modo continuo, aumentando il raggio in modo proporzionale all'angolo percorso.

Un altro tipo di spirale può ottenersi dividendo l’angolo giro in 6 parti uguali, in angoli cioè di 60°. Osservate l’immagine (più sotto, ci sarà il link per l’applet):

Si parte dal segmento AB

e si costruisce BC ⊥ (perpendicolare) AC;

si ha: AC = 1/2 AB; (angolo BAC = 60°)

si continua costruendo CD ⊥ AD;

si ha: AD = 1/4 AB; (angolo BAD = 120°)

e ancora:

DE ⊥ AE; si ha: AE = 1/8 AB; (angolo BAE= 180°)

e così di seguito.

Si può ben dire: verso l’infinitamente piccolo!

In matematica si dice che si ha una progressione geometrica di ragione 1/2. [Qui sul blog abbiamo visto le progressioni aritmetiche, nelle quali la differenza fra qualsiasi termine ed il suo precedente è costante].

Si dice progressione geometrica (o per quoziente) una successione di numeri in cui è costante il quoziente fra un qualunque numero e il suo precedente.

Quindi, a partire da un termine iniziale (diverso da zero), ogni altro termine si ottiene moltiplicando il precedente sempre per uno stesso numero diverso da zero. Tale numero è detto ragione della progressione.

Es:

- La progressione geometrica delle potenze di 2:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, … ha termine iniziale 1 e ragione 2.

- La progressione geometrica delle potenze di 3:

1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, … ha termine iniziale 1 e ragione 3.

- La progressione geometrica delle potenze di 1/2:

1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256, ... ha termine iniziale 1 e ragione 1/2.

Quest’ultimo esempio è quello che si presenta nella nostra costruzione della spirale:

la lunghezza dei segmenti, a seconda dell’angolo descritto a partire da AB, in senso antiorario, varia via via in ragione di 1/2.

In generale se  x = n° angoli e y = distanza da A,

si ha: y = 1/2^x

E’ la legge della decrescita esponenziale, rappresentata sul piano cartesiano dal grafico:

Ancora una volta due grafici tanto diversi rappresentano la stessa legge!

Ora, per aprire l’applet geogebra, clic qui.

   Al prox post: verso l’infinitamente grande...

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