(Una presentazione moderna e teatrale dell’insieme ternario di Cantor)
Ragazzi,
La storia che stiamo per raccontare ...
è una curiosa storia che vi divertirà anche se, molto probabilmente, non capirete proprio bene bene alcuni passi.
Nessun problema. Vi incoraggio anticipandovi, con filosofia, la conclusione stessa della storia: “Comprenderai quando sarai grande, rispose Paolo (con filosofia), quando gli ostacoli dei tuoi studi, tessuti dalle tue magre conoscenze, si saranno dissolti nella fiducia che ti arriverà dalla frequentazione di discorsi talvolta sorprendenti, ma mai contradditori.”
Intanto voi sapete che si può contare su basi diverse da 10 ... e poi avete letto
Dunque:
La storia che stiamo per raccontare ... è una storia lamentevole. Il suo eroe, Giorgio, è uno sventurato irresponsabile marchiato dal suo infame cognome: Lamacchia. Questo essere è pericoloso; ogni volta che vede un segmento pulito, egli ne sporca il terzo centrale. E’ più forte di lui, osservatelo sul segmento [0, 1]: il terzo centrale che ha sporcato ha lunghezza 1/3.
Restano due terzi puliti, direte voi. Ma Lamacchia li ha visti anche lui e eccolo che macchia anche i loro terzi centrali (ciascuno di lunghezza 1/9).
Poi si precipita su ognuno dei quattro pezzi restanti (ciascuno di lunghezza 1/27) e versa i suoi miasmi più nauseanti nel bel mezzo della loro lunghezza.
E continua così indefinitamente. Quando si fermerà?
La madre di Lamacchia, Sabina, è assolutamente sgomenta e si dispera agitando le braccia come pale di un mulino:
– Accidenti! niente resterà pulito con questo individuo…
Suo fratello, il piccolo Davide, che ci tiene a verificare matematicamente ogni cosa, prende la sua calcolatrice e si mette a calcolare freneticamente. Calcola l’estensione dei disastri, cioè…
$\frac{ 1 }{3 }\,+\, \frac{ 2 }{9 }\,+\, \frac{ 4 }{ 27} \,+\,...\,=\, \frac{ 1 }{ 3} \,(1\,+\, \frac{ 2 }{ 3} \,+\, \frac{ 4 }{ 9} \,+\,...\,)$
- Perbacco! , disse, non è altro che la “somma”, a partire da 1, degli infiniti termini di una progressione geometrica di ragione 2/3, ciascuno moltiplicato per 1/3. Bisogna che consulti mio zio.
Lo zio che ha letto
gli ricorda che, se a è un numero compreso tra 0 e 1, allora la somma
$1\,+\,a\,+ \,a^2+\,a^3+\,...\,+a^n+\,...$ vale 1/(1 – a).
- Allora 1/( 1 – ( 2/3)), vale 3/( 3-2) = 3, esattamente 3. Ed 1/3 di 3 fa 1. Catastrofe! La parte sporcata misura 1.
Il segmento [0,1] tutto intero è sporcato.
Le grida della madre di Giorgio Lamacchia si sentono appena:
- Questo segmento che avevo passato delle ore a pulire, Giorgio, mio figlio, l’ha sporcato completamente. è spaventoso! Che cosa dirà tuo padre?
Il padre Paolo arrivò allora dal lavoro.
Quando vide sua moglie in lacrime e quando lei gli mostrò il segmento che appariva tutto nero ai suoi occhi smarriti, ebbe subito un moto di collera.
Poi osservò più da vicino e si mise a contare sulle dita sorridendo sempre più frequentemente. Per comprendere questa storia bisogna subito dire che, lavorando in una segheria non equipaggiata da sistemi di sicurezza, non gli restavano che tre dita in tutto sulle due mani, motivo per il quale aveva preso l’abitudine di contare in base tre.
- Osserva, disse a sua moglie, quali sono esattamente i punti macchiati e come si presenta la scrittura delle loro ascisse in base tre?
-Tu credi di trovare una soluzione, Paolo? domandò lei vedendo apparire sul suo volto un barlume di speranza.
- Certamente, è come la scrittura decimale, ma invece di dividere in dieci parti il segmento per ottenere la prima cifra dello sviluppo decimale (tra 0 e 9), lo si divide in tre parti per avere una cifra da 0 a 2.
Esempi: 
- Vedi, disse l’invalido con solo tre dita, i punti macchiati da Giorgio sono quelli che, in qualche momento della divisione in tre, si trovano in mezzo; sono dunque quelli che, in qualche posizione della loro scrittura in base tre, presentano una cifra “1”.
- Allora, si rallegrò Sabina, tutti i numeri la cui scrittura in base 3 contiene solo degli 0 e dei 2 sono ascisse di punti non macchiati. 0,02020202… per esempio,
e 0,200200200200… anche, e molti altri. Ve ne sono moltissimi, Dio sia lodato!
- Ve ne sono infatti molti più di quanti tu creda, replicò suo marito, un po’ infastidito per il riferimento religioso. E te lo mostrerò con una operazione dolorosa ma efficace. Dammi quel coltello!
- Ma Paolo che cosa vuoi fare?
- Immagina che io scriva tutte le ascisse non macchiate. Ho bisogno solo di due dita (quello che indica 0 e quello indica 2). Siamo tutti d’accordo!
Con un gesto rabbioso e un po’ irresponsabile si taglia una delle tre dita che gli restano e la getta nella pattumiera.
- E ora, disse, posso contare solo in base due. Ma questo non mi impedisce di poter scrivere tutti i numeri del segmento (basta che io divida per due, invece che per dieci o per tre).
E ogni volta che scrivo un numero con le mie due dita, tu puoi riconoscervi l’ascissa di due punti secondo il modo in cui interpreti la scrittura:
1) se pensi che si tratti di una scrittura in base due, otterrai tutti i punti del segmento;
2) se pensi che si tratti di una scrittura in base tre, otterrai tutti i punti non macchiati da tuo figlio.
Vedi che l’insieme dei punti non macchiati ha la potenza dell’insieme dei punti del segmento? Concludendo, è come se tuo figlio non avesse fatto nulla. Abbracciami, Sabina!
La povera donna guardò il segmento e lo vide allora tutto bianco, con gli occhi della fede in Cantor.
Si domandò se non stesse sognando ma suo marito aveva l’aria talmente sicura di se che preferì chiudere gli occhi e carezzare la testa di Giorgio che si soffiava il naso nella sua veste.
Il piccolo Davide restò tuttavia pensieroso e interrogò suo padre:
- Malgrado tutto, papà, sono un po’ sorpreso. Ad un insieme di lunghezza 1, sembrerebbe che si possa togliere una parte i cui pezzi messi uno di seguito all’altro abbiano ancora lunghezza 1. E ciò che resta non è il nulla, ma questo assomiglia come una goccia d’acqua all’insieme da cui siamo partiti, tutto intero. Allora è come se non avessimo tolto nulla? E’ difficile da comprendere.
- Comprenderai quando sarai grande, rispose Paolo con filosofia, ... ... ... ... ...
Storia e immagini sono tratte da
Addomesticare l’infinito – A. Deledicq – F. Casiro - Edizioni Kangourou Italia
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