L’hotel straordinario, o il milleunesimo viaggio…

Ragazzi_prima,

Questa è una lettura … ormai lo sapete, propedeutica!

A cosa?

Oh, avete visto, stiamo scoprendo delle particolarità dei numeri naturali: sono quadrati, sono rettangolari, triangolari …, si susseguono in curiose serie… Ma questo è niente! Il nostro viaggio nell’insieme dei naturali è appena cominciato.

Leggete questa storiella, intanto. Ci aprirà la strada verso …

L’hotel straordinario di Stanislaw Lem

… Comunque, costruendo l’hotel avevano fatto un lavoro meraviglioso.
Nell’hotel c’era un numero infinito di stanze. Gli esuli speravano che da quel momento in poi nessuno avrebbe più dovuto sentire la famosa frasetta irritante che li aveva afflitti nei loro vagabondaggi: “ Non c’è più posto”. Nonostante ciò, non ebbi fortuna.

La prima cosa che attrasse la mia attenzione entrando nella hall fu un cartello: *I delegati del congresso di zoologia cosmica sono
pregati di registrarsi al 127º piano*.
Siccome gli zoologi cosmici venivano da tutte le galassie, e di galassie ne esiste un numero infinito, saltò fuori che tutte le stanze erano occupate da partecipanti del congresso. Non c’era posto per me …

… Mi spiegarono che non si erano accontentati di creare l’hotel Cosmos. Gli instancabili costruttori erano andati avanti e avevano fondato un insieme infinito di hotel, ognuno dei quali aveva infinite stanze. Per far ciò avevano smantellato così tante galassie che l’equilibrio intergalattico ne era stato sconvolto, cosa che poteva comportare serie conseguenze. Era stato quindi chiesto loro di chiudere tutti gli hotel eccetto il nostro, e di rimettere a posto il materiale usato. Ma era difficile eseguire quest’ordine, dal momento che tutti gli hotel erano pieni. Al direttore era stato chiesto di spostare tutti gli ospiti da un numero infinito di hotel a un unico hotel, che era già pieno! …

Il contabile dell’hotel propose una variante eccellente.
Mettere quelli del primo hotel nelle stanze 2, 4, 8, 16, 32 eccetera. Gli ospiti del secondo hotel andavano messi nelle stanze 3, 9, 27, 81, eccetera.

La sua proposta era di risistemare gli ospiti degli altri hotel in una maniera simile. Ma il direttore domandò:
— E dovremmo usare le stanze 4, 16, 64, per il terzo hotel?
— Naturalmente — rispose il contabile.
— Allora non otteniamo nulla: in fondo, nella stanza 4 abbiamo già un ospite del primo hotel. Dove metteremo la gente del terzo hotel?

Venne il mio turno di parlare; all’Accademia Stellare non facevano studiare cinque anni di matematica per niente.
— Usate i numeri primi. Mettete gli ospiti del primo hotel ai numeri 2, 4, 8, 16, ..., quelli del secondo hotel ai numeri 3, 9, 27, 81, ..., quelli del terzo ai numeri 5, 25, 125, 625, ..., quelli del quarto ai numeri 7, 49, 343, ...
— E non succederà anche in questo caso che qualche stanza abbia due ospiti? — chiese il direttore.
— No. In effetti, se si prendono due numeri primi, nessuna delle potenze intere positive di uno può equivalere a quelle dell’altro. Se p e q sono due numeri primi, con p ≠ q, e m e n sono due numeri naturali, allora $p ^m ≠\, q^n$
Questa proposta deliziò tutti ...

Tratto da Racconti matematici - Einaudi

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