Attorno a pi … Connessioni e sequenze

Ancora pi, π …

non solo rapporto circonferenza/diametro.

Nel XVII secolo π fu liberato dalla sua relazione obbligata con il cerchio. Molte curve furono inventate e studiate (ad esempio vari archi, ipocicloidi, curve cubiche, ecc.) e fu scoperto che le loro aree potevano essere espresse in termini di π . Alla fine π ha oltrepassato i confini della geometria in un colpo solo.
Per esempio, oggi π si collega a molte aree della teoria dei numeri, alla probabilità, ai numeri complessi e alle serie di frazioni semplici come

$\sum_{n=0 }^{∞ }  \frac{ (-1)^n }{2n+1 } \,=\, \frac{1  }{1 } - \frac{ 1 }{3}  + \frac{ 1 }{ 5} - \frac{ 1 }{ 7} ... \,=\,\frac{ π }{4 }$

[Formula di Leibniz per π]

A titolo di esempio di come π si sia allontanato dalla sua semplice interpretazione geometrica, prendete il libro Budget of Paradoxes, nel quale Augustus De Morgan spiega un’equazione a un agente assicurativo. La formula, che fornisce la probabilità che un particolare gruppo di persone sia vivo dopo un certo numero di giorni, contiene π. L’assicuratore lo interrompe ed esclama: "Mio caro amico, questa dev’essere una delusione. Che cosa c’entra un cerchio con il numero delle persone vive alla fine di un dato tempo?"
Anche più recentemente, π si è presentato in equazioni che descrivono particelle subatomiche, luce e altre quantità che non
hanno una ovvia connessione con i cerchi. John Polkinghorne (fisico dell’Università di Cambridge prima di diventare prete anglicano nel 1982) crede questo indichi un fatto molto profondo circa la natura dell’universo, soprattutto che la nostra mente, che ha "inventato" la matematica, sia conforme alla realtà dell’universo.
Noi siamo in sintonia con la sua verità. (Si veda l’articolo di Sharon Begley "Science Finds God", nel numero del 20 luglio
1998 di Newsweek.) 

Da Magia dei numeri - C. Pickover

Connessioni e sequenze …

Una connessione tra π e ℯ

Questa è più che nota:

$1+ℯ^{iπ}\,=\,0$

La *formula di Dio*.

Ma occupiamoci di una questione molto più affascinante:

la serie di cifre consecutive più lunga entro π che sia stata trovata anche in ℯ.

Finora la serie 71828182 è la più lunga che pare essere stata trovata in entrambe le costanti. Ricordiamo che ℯ (costante di Eulero) è: 2,7182818284590452353602 …

Si è trovata la serie 71828182 sia in ℯ che in π alla posizione 58.990.555 contando dalla prima cifra dopo la virgola decimale (l’iniziale 3 in π non si conta). La serie e le cifre circostanti in π sono le seguenti:
177083426475657484777182818293786843571860331854.

…

Qual è l’importanza di questa sequenza misteriosa ?

6,  28,  241,  11.706,  28.024,  33.789,  1.526.800, ?

Qual è il successivo numero della sequenza? Finora nessun terrestre è mai riuscito a risolvere il problema.

E soprattutto l’enigma iniziale: qual è la serie più lunga di cifre consecutive appartenente a π che si trova anche all’interno di ℯ?

Esploriamo.

Il numero successivo nella bizzarra sequenza 6,  28,  241,  11.706, 28.024,  33.789, 1.526.800, — talvolta conosciuta come la sequenza di Pickover — è 73.154.827.

I numeri contano la posizione della prima comparsa delle cifre iniziali in ℯ entro π . Per esempio, 2 si presenta al 6º posto in 3,1415926. Finora nessuno ha scoperto il successivo numero della sequenza.

Le prime cifre di ℯ	Posizione in π
2	6
27	28
271	241
2.718	11.706
27.182	28.024
271.828	33.789
2.718.281	1.526.800
27.182.818	73.154.827
271.828.182	?

La serie di cifre consecutive più grande conosciuta in ℯ e anche in
π è 307381323, che in ℯ si trova qui:
2,7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190l15738341879307021540891499348841
La serie si trova anche alla posizione 29.932.919 in π, contando dalla prima cifra dopo la virgola decimale in π. La serie e le
cifre circostanti in π sono
7206490636956830747330738132384589296061161408236
… …

Non finisce qui. Ci sono altre sequenze strane.

Una è la sequenza di Earl.

Prende il nome dal suo ricercatore, Jason Earl. La sequenza cataloga la prima comparsa di n numeri n nell’espansione decimale di π.

Ad esempio, 1 si presenta nella posizione 1 dopo il 3 e la virgola decimale. (Il 3 iniziale non viene contato quando si discutono le posizioni in π.) Un doppio 2, o 22, si presenta alla posizione 135. Un triplo 3, o 333, si presenta alla posizione 1698.

La sequenza cresce in fretta: 1, 135, 1698, 54.525, 24.466, 252.499, 3.346.228, 46.663.520 .... Notate che 999999999, o nove volte 9, non si presenta mai nelle prime 100.000.000 cifre di π. Inoltre Earl ha trovato i più lunghi numeri ondulanti regolarmente in π: 242424242 alla posizione 242.421 e 292929292 alla posizione 69.597.703. (I numeri sono regolarmente ondulanti quando due cifre si alternano.) E una coincidenza che il primo numero ondulante e la sua
posizione abbiano analogie così evidenti?

Il più grande numero di Fibonacci conosciuto, trovato in π è 39088169, localizzato alla posizione 36.978.613.

La più grande serie consecutiva conosciuta di numeri pari che iniziano con 2 — ovvero, 2, 4, 6, 8, 10, che in π può essere rappresentata come 0204060810 — è stata trovata alla
posizione 78.672.424. La serie e le cifre circostanti sono
205961160319196391590204060810756497354798527088

Aiuto, capogiro ….!

Da La matematica di Oz II – C. Pickover

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