Pi greco

I ragazzi di III per domani hanno il compito di scoprire, nientedimeno che ... pi greco, π!
Non conoscono ancora questo numero, abbiamo solo accennato al fatto che è un numero irrazionale.
Se è irrazionale, hanno ricordato, deve avere infinite cifre decimali e non può essere scritto sotto forma di frazione. Eh! C'è voluto un pochino di più per ricordare il perché dell'ultima proprietà! E dunque devono ripassare dell'altro... :-)
Nell'attesa del loro post su questo numero, fra i più famosi, pubblico io per loro un bella "storiella".
Ragazzi, dovreste ricordare il signor Ruche e Max, i protagonisti de "Il teorema del pappagallo", lo splendido libro di Denis Guedj. Li abbiamo incontrati diverse volte, per esempio parlando di Pitagora, questo di sicuro lo ricordate!
Bene: il signor Ruche e Max, si trovano al Palais de la Découverte, il museo della scienza e tecnologia di Parigi.

"... 'Sotto una cupola ispirata a uno stile da film cubista, corre la ghirlanda dei settecento decimali calcolati di π, pi greco.'
Erano finalmente arrivati: il tempio di π, una sala unica al mondo, che aveva fatto sognare generazioni di giovani... e li faceva sognare ancora, a giudicare dalla folla di adolescenti che vi si accalcava. La sala, naturalmente, era rotonda.
Tutt'intorno alla base correva una fascia circolare, che riportava i nomi di celebri matematici.
Più in alto, sormontato da una volta sferica illuminata, un fregio a spirale che compiva parecchi giri indicava i primi 707 numeri decimali di π, scritti a gruppi di dieci, alternativamente di colore rosso e nero.
Ipnotizzato da quel fregio numerico, Max posò lo sguardo sul 3 iniziale, saltò la virgola e cominciò: 1415926535, serie rossa, 8979323846, serie nera, 2643383279, serie rossa, 502... accelerò, serie nera, serie rossa.
Primo giro: era tornato sotto il 3 iniziale, serie nera, serie rossa. Corridore dei decimali!
Aumentò ancora la velocità: rosso, nero, rosso, nero, come la roulette.
Come la pallina bianca, i suoi occhi neri saltavano di cifra in cifra: vince, perde!
Aveva le lacrime agli occhi: dov'era Nofutur (il pappagallo) in quel momento?
Nero, rosso, rosso come la punta delle sue piume. Max girava su se stesso sempre più veloce, la testa gli girava, non aveva mai divorato tante cifre in vita sua.
Quarto giro, quarto giorno dalla scomparsa di Nofutur. Stava per decollare! Aveva il cervello ridotto in pappa e superò in tromba le ultime cifre senza riuscire a fermarsi. Perché fermarsi al decimale numero 707? Continua, continua la giostra interminabile delle cifre!
Quando infine riuscì a fermarsi, staccando gli occhi dal fregio sul quale danzavano ancora i decimali di π, si aggrappò con forza spasmodica alla sedia a rotelle del signor Ruche. L'edificio intero ballava la giga, il pavimento ondulava a passo di tango. Sotto i suoi piedi non c'erano forse i pali di quercia che sprofondavano ogni istante di più?

Si fece silenzio. Entrò in scena una sorta di conferenziere dall'espressione seria ma sveglia. Esordì subito, senza perdere tempo.
«Nel piano, la retta è la distanza più breve tra due punti. Se vi siete concessi una vacanza e volete raggiungere la vostra meta descrivendo un percorso circolare, sarà più lungo. Ma di quanto?
Sarà π/2 volte più lungo!
«Babilonia, l'egiziano Ahmes, Archimede, Archimede, Archimede, l'indù Aryabhata, il cinese Tsu Ch'ung Chi... E lunga, la storia di π. »
Max non riusciva a concentrarsi.
«Al-Kàshi, Samarcanda, quattordici decimali, Ludolph van Ceulen, trentacinque decimali, che fece incidere sulla sua tomba...»
Erano già stati utilizzati parecchi fogli del tabellone, e il conferenziere si lasciò sfuggire di mano il pennarello. Quel piccolo incidente segnò un cambiamento di atmosfera: Max si riscosse dai suoi pensieri, il signor Ruche si rilassò.
« A questo punto si entra nell'era delle formule », annunciò il conferenziere, che aveva recuperato il pennarello. « Francois Viète ne elaborò una davvero sbalorditiva, che metteva in gioco un solo numero, il 2. Il meccanismo si basava sulla giustapposizione di radici quadrate. Quella fu la prima formula infinita.» La scrisse lentamente sul tabellone.

$π = 2 \times \frac{ 2 }{ \sqrt{ 2 } } \times \frac{ 2 }{ \sqrt{ 2+ \sqrt{ 2 } } } \times ...$

«Vedete, tutto consiste nel gioco dei denominatori, che devono necessariamente essere sempre più grandi, altrimenti il prodotto sarebbe infinito.»
Poi, aggiunse, il calcolo di π attraversò la Manica e per tutto il XVII secolo divenne una specialità degli inglesi. Le varie formule proposte tiravano in ballo espressioni infinite, somme, prodotti, quozienti, ma avevano il vantaggio di non comportare l'uso dei radicali.
La prima di quel tipo fu elaborata da John Wallis. Eccolo di nuovo, il medico decifratore di codici! si disse il signor Ruche.
Nel momento stesso in cui scriveva la formula, il conferenziere la decifrava a beneficio del pubblico.
«Al numeratore, i numeri interi pari moltiplicati per se stessi: due volte due, quattro volte quattro, sei volte sei, eccetera. Al denominatore, i numeri dispari, sempre moltiplicati per se stessi: tre volte tre, cinque volte cinque, sette volte sette, eccetera. »
« Si direbbe che tartagli », sussurrò Max all'orecchio di Ruche. « Se sapesse che Wallis aveva aperto la prima scuola per sordomuti... »

$\frac{ \pi }{2 } = \frac{ 2\times2\times4\times4\times6\times6... }{3\times3\times5\times5\times7\times7... }$

In effetti la formula sembrava balbuziente.
«Poi», continuò il conferenziere, «fu la volta di Wílliam Brouncker, il primo presidente della Royal Society, che è l'equivalente dell'Accademia delle Scienze francese. Brouncker costruì una frazione diversa da quelle che usiamo di solito, una 'frazione continua'. Il numeratore è composto da un numero intero sommato a una frazione... che a sua volta ha per denominatore un numero intero e una frazione formata allo stesso modo della precedente... e così via. La definizione si deve a Eulero. In questo caso, la formula mette in gioco i quadrati dei numeri dispari. »
Si mise a scrivere sul tabellone, costretto ad abbassarsi man mano che procedeva nella trascrizione della formula.

$ \frac{ 4 }{ \pi} = 1+ \frac{ 1 }{2+ \frac{ 3^2 }{ 2+ \frac{ 5^2 }{2+ \frac{ 7^2 }{... } } } }$

« Affonda! » gridò qualcuno. « E' il Titanic! »
Uno studente del gruppo sportivo, uno di quelli che avevano trasportato fin lassù il signor Ruche, esclamò: « Bisogna tuffarsi, ragazzi, per continuare a scrivere! »
« Allora forza, Henry, tuffati! »
Henry inspirò profondamente, mentre tutti gli studenti seguivano con attenzione il suo torace che si gonfiava. Quando ebbe finito d'inspirare, piantò saldamente sul pavimento le scarpe da basket.
« Via! »
Senza fretta, ma con un ritmo fluido e sostenuto, il ragazzo cominciò. Si sentiva che era ben allenato. « Uno più uno su due più tre al quadrato su due più cinque al quadrato su due più sette al quadrato su due più nove al quadrato... »
Arrivò a ventisette, un vero record! Ruche calcolò che allo spirometro avrebbe raggiunto almeno il valore di cinque... Un po' meno dì Grosrouvre, certo, ma comunque un risultato formidabile.
....."
E la storia di pi greco continua...., lascio a voi, ragazzi, il compito di scoprire delle altre notizie e curiosità su π!

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