I numeri di Fibonacci e la formula di Binet

Mario Livio ne "La sezione aurea", parla di esigenza di una formula maneggevole per calcolare, per qualsiasi valore di n, l'nesimo numero di Fibonacci Fn, poiché la sequenza di Fibonacci è definita in maniera ricorsiva, ovvero per trovare un numero della serie, basta conoscere tutti quelli precedenti.
Ma, è possibile calcolare direttamente il termine nesimo, senza compiere gli n passaggi di ricorsione?
Es. sappiamo che per n= 24, F24= F23+F22
ma occorre costruire l'intera successione da F1 a F23!
Ecco perché occorre una formula maneggevole!
"A metà del XIX secolo, il matematico francese Jacques Philippe Marie Binet (1786-1856) riscoprì una formula che a quanto pare era già nota nel XVIII secolo al più prolifico matematico di ogni tempo, Leonhard Euler o Eulero (1707-1783), nonché al suo collega francese Abraham de Moivre (1667-1754). La formula permette di calcolare qualunque numero di Fibonacci, purché sia noto il suo posto nella successione."

La formula di Binet

$Fn= \frac{ 1 }{ \sqrt{ 5 } } [( \frac{ 1+ \sqrt{ 5 } }{ 2} ) ^n-( \frac{ 1- \sqrt{ 5 } }{2 } ) ^n]$

Sorprende constatare che una formula di questo genere, contenente addirittura termini irrazionali, possa fornire al variare di n solo numeri naturali.
Eppure è così: svolgendo i calcoli si scopre che tutte le radici si eliminano, e la frazione si semplifica fino a fornire esattamente il numero di Fibonacci corrispondente al valore di n.
Il valore [1+radq(5)]/2 che compare nella formula, corrisponde alla famosa "sezione aurea", il numero a cui tende il rapporto fra due numeri di Fibonacci consecutivi: 1.6180339..., il numero Φ

"Per valori piuttosto grandi di n, il secondo termine in parentesi quadra diventa molto piccolo, cosicché Fn è semplicemente l'intero più vicino a Φ^n/radq(5). Per esempio, per n=10, Φ^n/radq(5)=55,0036 e il 10° numero di Fibonacci è 55"
"Per pura curiosità, potreste chiedervi se ci sia un numero di F. con 666 cifre. Il matematico e scrittore Clifford A. Pickover chiama "apocalittici" i numeri collegati al 666, e ha trovato che il 3184esimo numero di F. può essere assegnato a questa categoria, avendo 666 cifre."
"Una volta scoperti, i numeri di Fibonacci sembrano saltar fuori dappertutto, non solo nella matematica astratta ma in quella applicata e nella natura in genere. "
Ne parleremo, promesso!:-)

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