Curiosità e fascino della successione di Fibonacci_2

Nel precedente post ho minacciato curiosità sequenza continua....
Eccomi!
Ancora da La sezione aurea - Mario Livio
Fibonacci pitagorici
Abbastanza stranamente, i numeri di Fibonacci sono in relazione con i triangoli rettangoli pitagorici, sono collegati alle terne pitagoriche. Queste, come si sa, sono terne di interi tali che, se interpretati come lunghezze, corrispondono ai lati di un triangolo rettangolo (per es. 3, 4 e 5).
Ebbene, scegliamo quattro numeri di Fibonacci qualsiasi, purché consecutivi. Per ipotesi:
1, 2, 3 e 5.
Il prodotto degli estremi (1*5, cioè 5),
il doppio del prodotto dei medi (2 volte 2*3, cioè 2*2*3, cioè 12),
e la somma dei quadrati dei medi (2^2+3^2, ossia 4+9, cioè 13)
formano una terna pitagorica;
infatti, 5^2+12^2=13^2.
Ma non è tutto: il terzo numero della terna, 13, è esso stesso un numero di Fibonacci.
Questa proprietà è stata scoperta dal matematico Charles Raine.
Per qualche altro esempio, come al solito facciamo lavorare Excel

In riga 1 e in riga 6 la sequenza di Fibonacci;
in riga 3 la verifica della proprietà per i quattro consecutivi: 3,5,8,13, con le formule utilizzate, nelle celle sottostanti.
39, 80 e 89 formano una terna pitagorica (vedi celle H3 e I3).
In riga 8 la verifica per i quattro consecutivi: 8,13,21,34 con le formule nelle celle sottostanti.
272, 546 e 610 formano una terna pitagorica (vedi celle J8 e K8).

Perché proprio 1/89?
Le proprietà dell'universo, dalla grandezza degli atomi a quella delle galassie, sono determinate dai valori di pochi numeri noti come "costanti universali". Tali costanti includono le misure della grandezza delle principali forze della natura: gravitazionale, magnetica, e di due forze attive nei nuclei atomici.
Per es. la forza elettromagnetica attiva tra due elettroni è espressa in fisica come una costante detta "di struttura fine". Il valore di quest'ultima, quasi esattamente pari a 1/137, ha fatto sorgere interrogativi in intere generazioni di fisici.
Una battuta sull'illustre fisico inglese Paul Dirac (1902-1984), uno dei fondatori della meccanica quantistica, racconta che, giunto in paradiso, l'uomo abbia avuto il permesso di rivolgere una sola domanda a Dio in persona e che gli abbia chiesto: "Perché proprio uno su 137?"
Anche la successione di Fibonacci ha i suoi numeri enigmatici.
Per es. il suo undicesimo termine: 89.
In forma decimale, 1/89 è uguale a 0,01123595...
Immaginate di disporre i numeri di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. 21 ... come decimali, nel modo seguente:

In altre parole, scrivendo la cifra delle unità del primo numero di F. al secondo posto, quella del secondo numero al terzo posto, e in generale la cifra delle unità dell'nesimo numero al (n+1)esimo posto. Ebbene, limitandosi agli otto addendi citati, il risultato è 0,01123595..., cioè 1/89. Vedi

Viste queste misteriose e affascinanti caratteristiche dei termini della successione di Fibonacci non stupisce che i matematici fossero ansiosi di trovare una formula maneggevole per calcolare, per qualsiasi valore di n, l'nesimo numero di Fibonacci Fn.
Ne parleremo in un prossimo post!

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