Curiosità e fascino della successione di Fibonacci

Su questo blog ho citato la successione di Fibonacci in Magica matematica, invitando il lettore a scoprirla con Excel.
Come indicato sul file da scaricare, agendo sulla casella di selezione si visualizza la sequenza. Ecco un'immagine

Ma il fatto che il rapporto tra due termini consecutivi tenda al numero "magico", al rapporto o proporzione aurea, al numero d'oro phi.... [proprietà scoperta nel 1611 (forse ancor prima da un italiano rimasto anonimo) dall'astronomo tedesco Keplero, ma passarono altri cento anni prima che la relazione tra i numeri di Fibonacci e il rapporto aureo fosse dimostrata (a anche allora non completamente) dal matematico scozzese Robert Simson (1687-1768) - La sezione aurea, Mario Livio] , non è l'unica particolarità dei numeri di Fibonacci. E' praticamente senza limiti l'elenco delle relazioni matematiche collegate ad essi.
Eccone alcune (ancora da La Sezione aurea).

Il trucco dell'addizione fulminea
Molte persone sono in grado di addizionare mentalmente con particolare rapidità. la sequenza di Fibonacci permette di effettuare un'analoga addizione senza fatica.
La somma dei numeri di Fibonacci dal primo al'nesimo è uguale all'(n + 2)esimo numero meno 1.
Per esempio, i primi dieci (1+1+2+3+5+8+13+21+34+55) sommati danno 143; il dodicesimo numero di Fibonacci è 144.
Allo stesso modo la somma dei primi 78 numeri di Fibonacci sarà uguale all'80° numero meno 1, e così via.
Potete quindi suggerire a qualcuno di scrivere una lunga colonna di numeri in modo che ogni elemento sia uguale alla somma dei due precedenti (questa la caratteristica della successione di Fibonacci), e poi tirare una linea tra due elementi arbitrari; sarete in grado di calcolare quasi istantaneamente la somma degli elementi sopra la linea (che corrisponderà al secondo elemento sotto la linea , meno 1)
Es. in figura

la somma dei primi 15 numeri è uguale al 17° numero meno 1

Il diabolico undici
Nella tragedia di Shiller I Piccolomini, l'astrologo Seni dichiara: "Undici è il peccato. Undici oltrepassa i Dieci Comandamenti", riecheggiando un'idea che risaliva al Medioevo. Ma la successione di Fibonacci ha una proprietà connessa con il numero 11, che, lungi dall'essere peccaminosa, è invece assai bella.
immaginiamo di sommare i primi dieci numeri di F. : 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55 =143. Questa somma è esattamente divisibile per 11: 143/11=13
Lo stesso vale per qualunque decina di numeri di F. consecutivi.
Per es.
55+89+144+233+377+610+987+1597+2584+4181= 10857. E 10857/11= 987
Esaminando questi due esempi, si può scoprire ancora qualcosa: la somma di dieci numeri di Fibonacci consecutivi è sempre pari a 11 volte il 7° numero del gruppo.

La "quadratura" dei rettangoli
Sommando un numero dispari di prodotti di successivi numeri di Fibonacci, come i tre prodotti:
1*1
1*2
2*3
si ottiene il quadrato dell'ultimo numero di F. dei prodotti in questione.
Nell'esempio: 1 + 2 + 6 = 9 (somma dei tre prodotti). 9 è appunto il quadrato di 3, ultimo numero di F. che compare nei tre prodotti.
Un altro esempio? Proviamo la serie dei sette prodotti
1*1 (1)
1*2 (2)
2*3 (6)
3*5 (15)
5*8 (40)
8*13 (104)
13*21 (273)
Effettivamente la loro somma, 441, è uguale al quadrato di 21, ultimo numero di F. della serie dei prodotti.
Lo stesso accade con 11 prodotti....
L'ho fatto fare a excel:

Questa proprietà può essere rappresentata con grande eleganza in modo geometrico, come in figura:

Il quadrato ABCD ha il lato pari alla dimensione maggiore del rettangolo più grande

Un numero dispari di rettangoli con i lati uguali a una serie di termini della successione di Fibonacci trovano esattamente posto in un quadrato, il cui lato coincide con un lato del rettangolo più grande.

Per il momento ci fermiamo qui. Ma... ci sono anche i Fibonacci pitagorici. Dunque, curiosità sequenza continua....

Articoli correlati per categorie