giovedì 28 agosto 2008

Curiosità e fascino della successione di Fibonacci

Su questo blog ho citato la successione di Fibonacci in Magica matematica, invitando il lettore a scoprirla con Excel.
Come indicato sul file da scaricare, agendo sulla casella di selezione si visualizza la sequenza. Ecco un'immagine


Ma il fatto che il rapporto tra due termini consecutivi tenda al numero "magico", al rapporto o proporzione aurea, al numero d'oro phi.... [proprietà scoperta nel 1611 (forse ancor prima da un italiano rimasto anonimo) dall'astronomo tedesco Keplero, ma passarono altri cento anni prima che la relazione tra i numeri di Fibonacci e il rapporto aureo fosse dimostrata (a anche allora non completamente) dal matematico scozzese Robert Simson (1687-1768) - La sezione aurea, Mario Livio] , non è l'unica particolarità dei numeri di Fibonacci. E' praticamente senza limiti l'elenco delle relazioni matematiche collegate ad essi.
Eccone alcune (ancora da La Sezione aurea).

Il trucco dell'addizione fulminea
Molte persone sono in grado di addizionare mentalmente con particolare rapidità. la sequenza di Fibonacci permette di effettuare un'analoga addizione senza fatica.
La somma dei numeri di Fibonacci dal primo al'nesimo è uguale all'(n + 2)esimo numero meno 1.
Per esempio, i primi dieci (1+1+2+3+5+8+13+21+34+55) sommati danno 143; il dodicesimo numero di Fibonacci è 144.
Allo stesso modo la somma dei primi 78 numeri di Fibonacci sarà uguale all'80° numero meno 1, e così via.
Potete quindi suggerire a qualcuno di scrivere una lunga colonna di numeri
in modo che ogni elemento sia uguale alla somma dei due precedenti (questa la caratteristica della successione di Fibonacci), e poi tirare una linea tra due elementi arbitrari; sarete in grado di calcolare quasi istantaneamente la somma degli elementi sopra la linea (che corrisponderà al secondo elemento sotto la linea , meno 1)
Es. in figura

la somma dei primi 15 numeri è uguale al 17° numero meno 1


Il diabolico undici
Nella tragedia di Shiller I Piccolomini, l'astrologo Seni dichiara: "Undici è il peccato. Undici oltrepassa i Dieci Comandamenti", riecheggiando un'idea che risaliva al Medioevo. Ma la successione di Fibonacci ha una proprietà connessa con il numero 11, che, lungi dall'essere peccaminosa, è invece assai bella.
immaginiamo di sommare i primi dieci numeri di F. : 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55 =143. Questa somma è esattamente divisibile per 11: 143/11=13
Lo stesso vale per qualunque decina di numeri di F. consecutivi.
Per es.
55+89+144+233+377+610+987+1597+2584+4181= 10857. E 10857/11= 987
Esaminando questi due esempi, si può scoprire ancora qualcosa: la somma di dieci numeri di Fibonacci consecutivi è sempre pari a 11 volte il 7° numero del gruppo.

La "quadratura" dei rettangoli
Sommando un numero dispari di prodotti di successivi numeri di Fibonacci, come i tre prodotti:
1*1
1*2
2*3
si ottiene il quadrato dell'ultimo numero di F. dei prodotti in questione.
Nell'esempio: 1 + 2 + 6 = 9 (somma dei tre prodotti). 9 è appunto il quadrato di 3, ultimo numero di F. che compare nei tre prodotti.
Un altro esempio? Proviamo la serie dei sette prodotti
1*1 (1)
1*2 (2)

2*3 (6)

3*5 (15)

5*8 (40)

8*13 (104)

13*21 (273)

Effettivamente la loro somma, 441, è uguale al quadrato di 21, ultimo numero di F. della serie dei prodotti.
Lo stesso accade con 11 prodotti....
L'ho fatto fare a excel:


Questa proprietà può essere rappresentata con grande eleganza in modo geometrico, come in figura:


Il quadrato ABCD ha il lato pari alla dimensione maggiore del rettangolo più grande
Un numero dispari di rettangoli con i lati uguali a una serie di termini della successione di Fibonacci trovano esattamente posto in un quadrato, il cui lato coincide con un lato del rettangolo più grande.

Per il momento ci fermiamo qui. Ma... ci sono anche i Fibonacci pitagorici. Dunque, curiosità sequenza continua....

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11 commenti:

  1. Gio, sei una fonte inesauribile, un vero "Pozzo di S.Patrizio".
    Come vedi sto diventando un tuo affezionato alunno.
    Ah, curiosità per curiosità, lo sai perché Fibonacci si chiamava così? Perché era figlio di Guglielmo Bonacci, quindi "filius Bonaccii", da cui ....., passamela anche se non è granché.
    Ciao Paolo

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  2. Paoloo!
    non stai diventando un affezionato alunno ma un affezionato lettore! Ma non solo.... vedrai vedrai... :-) :-)
    Filius Bonaccii, bravo!
    E Fibonacci era anche noto con il nome Leonardo Bigollo.
    Un decreto della Repubblica di Pisa gli conferì il titolo di "Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo" a riconoscimento dei grandi progressi che apportò alla matematica.
    Bigollo poteva significare buono a nulla o viaggiatore.
    "I suoi compaesani desideravano esprimere, attraverso questo epiteto, il loro
    sdegno per un uomo che dedicava se stesso a questioni di valore non pratico, o
    questa parola, nel dialetto toscano, indicava un grande viaggiatore, quale egli fu?"
    ecco, abbiamo aggiunto qualche info! :-)
    grazie Pa'

    RispondiElimina
  3. ciao Giovanna! sei pronta per il rientro? io no, benchè mi faccia tanto piacere rivedere i piei dolcissimi alunni! le mie vacanze sono volate, anzi ma chi le ha viste?
    ho letto le posie dei tuoi alunni e devo dire che sono tutte davvero molto belle!fai loro i miei complimenti.
    a te invio un augurio per un anno scolastico ricco e bello e pieno di esperienze positive.
    un abbraccione
    a si intendi
    elisa

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  4. Elisa carissima, ciao!
    béh, che dirti: sono pronta per il rientro! :-)
    farò senz'altro i complimenti ai miei alunni, anzi spero, connessioni a scuola permettendo, leggeranno loro stessi i complimenti di tutti i nostri cari lettori!
    grazie dunque.
    Anche a te auguro un anno scolastico felice.
    Davvero speriamo sia pieno di esperienze arricchenti!
    un abbraccio
    ah, "a nos intennere coittende" :-))

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  5. Che figata.
    Gia' per i miei nipoti, sono un nonno ''strano'' che piega le forchette con la forza della mente, mangia il fuoco, cammina sui carboni ardenti, figurati se gli faccio l' ''addizione fulminea''. Mi sto esercitando anche con l' ''addizione canadese'', trovata nel blog di Annarita.
    Grazie p... cioe G, altrimenti mi metti dietro la lavagna, in ginocchio sui ceci.

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  6. Volevo dire ''divisione canadese''.
    Vale

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  7. Scusa G ma Fibonacci e' cussu maccu che ha stabilito che nelle conchiglie e lumache le spirali non sono altro che la rappresentazione della sezione aurea?
    La serie di Fibonacci non e' poi presente nella musica (Mozart, DEbussy, mi sembra)e in molti strumenti musicali, il pianoforte e i violini per esempio?
    Dappu nau deu: maccu perdiu.
    Vale

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  8. eheh...
    tue nd'ischis duas! :-)
    Pie', hai cliccato su *Magica matematica* in apertura di post?
    Comunque, dici cose (quasi) esatte! :-)
    La seconda parte, sicuro!
    Comunque sto per pubblicare dell'altro... tieniti all'erta!:-)

    RispondiElimina
  9. Scusa G, ma sai l' eta' gioca brutti scherzi...
    Buona fine settimana
    Vale

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  10. Ma di che Pier Lui'?
    Ti ho detto anche che ne sai ... una più del diavolo! :-) :-)
    Sei forteeee!
    buona fine settimana anche a te!

    RispondiElimina

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